大学学部レベル質問スレ 11単位目

b_(n+1) = cos(b_n)

f(x) := x - cos(x)
f(0) = 0 - cos(0) = -1 < 0
f(π/2) = π/2 - cos(π/2) = π/2 - 0 = π/2 > 0

中間値の定理より、

f(x_0) = 0 となるような x_0 ∈ (0, π/2) が存在する。

f'(x) = 1 + sin(x) ≧ 1 - 1 = 0

だから、 f(x) は広義単調増加関数である。

f(x) = 0 に異なる2つの解 x_1, x_2 (x_1 < x_2) が存在すると仮定する。

x ≦ 0 ⇒ f(x) ≦ f(0) = -1 < 0
π/2 ≦ x ⇒ 0 < π/2 = f(π/2) ≦ f(x)

だから、 0 < x_1 < x_2 < π/2 である。

平均値の定理より、

f(x_2) - f(x_1) = f'(x_3) * (x_2 - x_1) (x_1 < x_3 < x_2) となるような x_3 が存在する。

0 < x_1 < x_3 < x_2 < π/2 だから、

f'(x_3) = 1 + sin(x_3) > 1 > 0
x_2 - x_1 > 0

よって、

f(x_2) - f(x_1) > 0 となるがこれは矛盾である。

よって、

f(x) = 0 となるような x はちょうど一つ存在する。

331

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/12(土) 09:35:10.35

:GJayoGcj

f(x_0) = 0 とすると、↑より、 x_0 ∈ (0, π/2) である。

n ≧ 1 のとき、

b_n = cos(b_(n-1)) だから、

-1 ≦ b_n ≦ 1 である。

n ≧ 2 とする。

cos(b_(n-1)) - cos(x_0) = -sin(t) * (b_(n-1) - x_0) となるような b_(n-1) と x_0 の間の数
t が存在する。よって、

|b_n - x_0| = |cos(b_(n-1)) - cos(x_0)| = |sin(t)| * |b_(n-1) - x_0|

と書ける。

n - 1 ≧ 1 だから、

-1 ≦ b_(n-1) ≦ 1 である。

また、

0 < x_0 < π/2 である。

もしも、 π/2 ≦ t ならば、

b_(n-1) ≦ 1 < π/2 ≦ t
x_0 < π/2 ≦ t

となってしまい、 t が b_(n-1) と x_0 の間の数であることに反してしまう。

また、 t ≦ -1 ならば、

t ≦ -1 ≦ b_(n-1)
t ≦ -1 < 0 < x_0

となってしまい、やはり、 t が b_(n-1) と x_0 の間の数であることに反してしまう。
-1 < t < π/2 である。

ゆえに、

-1 < t < π/2

である。

332

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/12(土) 09:59:41.63

:GJayoGcj

訂正します：

b_(n+1) = cos(b_n)

f(x) := x - cos(x)
f(0) = 0 - cos(0) = -1 < 0
f(1) = 1 - cos(1) > 0

中間値の定理より、

f(x_0) = 0 となるような x_0 ∈ (0, 1) が存在する。

f'(x) = 1 + sin(x) ≧ 1 - 1 = 0

だから、 f(x) は広義単調増加関数である。

f(x) = 0 に異なる2つの解 x_1, x_2 (x_1 < x_2) が存在すると仮定する。

x ≦ 0 ⇒ f(x) ≦ f(0) = -1 < 0
1 ≦ x ⇒ 0 < f(1) ≦ f(x)

だから、 0 < x_1 < x_2 < 1 である。

平均値の定理より、

f(x_2) - f(x_1) = f'(x_3) * (x_2 - x_1) (x_1 < x_3 < x_2) となるような x_3 が存在する。

0 < x_1 < x_3 < x_2 < 1 だから、

f'(x_3) = 1 + sin(x_3) > 1 > 0
x_2 - x_1 > 0

よって、

f(x_2) - f(x_1) > 0 となるがこれは矛盾である。

よって、

f(x) = 0 となるような x はちょうど一つ存在する。

333

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/12(土) 10:00:07.64

:GJayoGcj

f(x_0) = 0 とすると、↑より、 x_0 ∈ (0, 1) である。

n ≧ 1 のとき、

b_n = cos(b_(n-1)) だから、

-1 ≦ b_n ≦ 1 である。

n ≧ 2 とする。

cos(b_(n-1)) - cos(x_0) = -sin(t) * (b_(n-1) - x_0) となるような b_(n-1) と x_0 の間の数
t が存在する。よって、

|b_n - x_0| = |cos(b_(n-1)) - cos(x_0)| = |sin(t)| * |b_(n-1) - x_0|

と書ける。

n - 1 ≧ 1 だから、

-1 ≦ b_(n-1) ≦ 1 である。

また、

0 < x_0 < 1 である。

よって、

-1 < t < 1

である。

したがって、

-sin(1) = sin(-1) < sin(t) < sin(1)

すなわち、

|sin(t)| < sin(1) < sin(π/2) = 1 である。

よって、

n ≧ 2 のとき、

|b_n - x_0| = |sin(t)| * |b_(n-1) - x_0| < |sin(1)| * |b_(n-1) - x_0|

以上より、

|b_n - x_0| < |sin(1)| * |b_(n-1) - x_0| < … < |sin(1)|^(n-1) * |b_1 - x_0|

が成り立つ。

|sin(1)|^(n-1) * |b_1 - x_0| → 0 (n → ∞)

だから、

b_n → x_0 (n → ∞)

である。

334

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/12(土) 10:05:46.03

:DCAihiOO

相変わらずクドい議論をするなあ

335

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/12(土) 12:56:44.41

:GJayoGcj

ttps://imgur.com/YyJ37Df.jpg

a_(n+1) = exp(-a_n)

f(x) := x - exp(-x)
f(0) = 0 - exp(-0) = -1 < 0
f(1) = 1 - exp(-1) > 0

中間値の定理より、

f(x_0) = 0 となるような x_0 ∈ (0, 1) が存在する。

f'(x) = 1 + exp(-x) > 1 > 0

だから、 f(x) は狭義単調増加関数である。

f(x) = 0 となるような x はちょうど一つ存在する。

f(x_0) = 0 とすると、↑より、 x_0 ∈ (0, 1) である。

n ≧ 1 のとき、

a_n = exp(-a_(n-1)) > 0 である。

n ≧ 2 とする。

exp(-a_(n-1)) - exp(-x_0) = -exp(-t) * (a_(n-1) - x_0) となるような a_(n-1) と x_0 の間の数
t が存在する。よって、

|a_n - x_0| = |exp(-a_(n-1)) - exp(-x_0)| = |-exp(-t)| * |a_(n-1) - x_0| = exp(-t) * |a_(n-1) - x_0|

と書ける。

336

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/12(土) 12:57:09.32

:GJayoGcj

(1)
x > 0 で定義された以下の関数 g を考える。

g(x) := x - exp(-exp(-x))

g'(x) = 1 - exp(-x) * exp(-exp(-x)) = 1 - exp(-(x + exp(-x)))

-(x + exp(-x)) < 0 だから exp(-(x + exp(-x))) < exp(0) = 1

∴ g'(x) > 0

したがって、 g(x) は x > 0 で狭義単調増加関数である。

g(x_0) = x_0 - exp(-exp(-x_0)) = x_0 - exp(-x_0) = x_0 - x_0 = 0

だから、

x < x_0 ⇒ g(x) < g(x_0) = 0

x_0 < x ⇒ 0 = g(x_0) < g(x)

である。

すなわち、

x < x_0 ⇒ x < exp(-exp(-x))

x_0 < x ⇒ exp(-exp(-x)) < x

である。

∴a_n < x_0 ⇒ a_n < exp(-exp(-a_n)) = exp(-a_(n+1)) = a_(n+2)

(2)
a_n > x_0 ⇒ a_(n+1) = exp(-a_n) < exp(-x_0) = x_0
a_n < x_0 ⇒ a_(n+1) = exp(-a_n) > exp(-x_0) = x_0

である。

∴a_n < x_0 ⇒ a_(n+1) > x_0 ⇒ a_(n+2) < x_0
∴a_n > x_0 ⇒ a_(n+1) < x_0 ⇒ a_(n+2) > x_0

a_1 < x_0 であるとき、

(1), (2)より、

0 < a_1 < a_3 < a_5 < … < x_0 < a_2 < a_4 < a_6 < …

が成り立つ。

x_0 < a_1 であるとき、

(1), (2) より

0 < a_2 < a_4 < a_6 < … < x_0 < a_1 < a_3 < a_5 < …

が成り立つ。

337

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/12(土) 12:57:32.27

:GJayoGcj

以上から、

a = min(a_1, a_2) とおくと、

n ≧ 1 のとき、
0 < a ≦ a_n

が成り立ち、

0 < a < x_0

も成り立つ。

338

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/12(土) 12:58:05.66

:GJayoGcj

>>335

の続きを考える。

n - 1 ≧ 1 だから、

0 < a < a_(n-1) である。

また、

0 < a < x_0 である。

よって、

0 < a < t

である。

したがって、

exp(-t) < exp(-a) < exp(0) = 1

である。

よって、

n ≧ 2 のとき、

|a_n - x_0| = exp(-a) * |a_(n-1) - x_0|

以上より、

|a_n - x_0| < exp(-a) * |a_(n-1) - x_0| < … < exp(-a)^(n-1) * |a_1 - x_0|

が成り立つ。

exp(-a) < 1 だから、

exp(-a)^(n-1) * |a_1 - x_0| → 0 (n → ∞)

が成り立つ。

∴a_n → x_0 (n → ∞)

である。

339

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/12(土) 12:59:39.70

:GJayoGcj

>>338

一部訂正します：

「
よって、

n ≧ 2 のとき、

|a_n - x_0| < exp(-a) * |a_(n-1) - x_0|
」

が正しいです。

340

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/12(土) 15:28:50.06

:V0Y4+mrr

>>328

前にも言ったが整数値の電荷磁荷ならモノポールにまつわるディラックの量子化条件でも調べろよ。
トポロジー絡みのネタは不変量が整数で出てくる。

341

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/12(土) 19:41:35.36

:oLpBza7h

>>328

1階の偏微分方程式

342

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/12(土) 21:27:14.74

:pLZ6un56

>>328

解決しました。
1パラメータ変換群というものにあたるそうです

343

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/13(日) 13:09:27.40

:WQEbkGT3

ねぼけてんのか

344

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/13(日) 14:38:40.82

:tJSuiLIy

b^3+acd-bcd-a^3の因数分解をお願いします
から(b-a)で括りたい

345

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/13(日) 14:41:15.23

:ig+KKpxF

括ればいいと思うよ

346

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/13(日) 14:49:47.45

:tJSuiLIy

>>345

上手くいかない…

347

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/13(日) 14:54:30.67

:tJSuiLIy

あ、できた

348

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/14(月) 07:28:51.06

:dcmFiJiB

df（t）/dt+2f（t）=3
みたいな、右辺がゼロじゃないやつの解放が知りたいときはなんて検索したらいい？
今日小テストだって忘れてて緊急なんです
よろしくお願いします

349

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/14(月) 07:51:45.65

:OJrmlBvP

適当なものぶちこむ

350

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/14(月) 08:51:34.98

:C/cyQfU2

特解

351

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/14(月) 11:03:27.59

:f+JQ8Zsp

基本的には高校数学の分野ですが、高校数学の本には
書いてないのでここで質問させて頂きます。

分数式の極限は分母の最高次で割って調べるというのが原則ですが、
これは分母が収束するから見た目がよく判定しやすいという理由だけ
ですか？
分母の最高次で割ると収束発散が判定できて、分子の最高次で割ると
不定形となって判定できない例がありますか？ありましたらn→∞の
ときの、なるべく簡単な例を書いて頂けませんか。

352

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/14(月) 11:34:39.32

:PVUy2o++

意味不明

353

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/14(月) 12:04:46.62

:cV/gIJVZ

多項式f,gに対してf/gの極限を考えるとき、ということなんだろう
最高次で割ればa/x^k→0と定数に分離できるだけのこと
何も分母に限って考えることではない

354

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/14(月) 12:10:59.27

:f+JQ8Zsp

例えば下記のような質問はネットで見かけます。
外部リンク

ttps://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11136309216
ここでの回答に下記のように書いてありますが、
この場合は分子の最高次で割っても判定できないことはありません。
-∞になるはずがないからです。
***********************************
この例で、分母・分子をx^2で割ると、
(x^2-1)/(x+1)=(1-1/x)/(1/x+1/x^2)
となります。ここで、x→∞を考えると、右辺の分子は１に収束します。また、分母は０に収束します。つまり「1/0」という形になるのです。
では、「1÷0だから、∞だ」と言えるでしょうか。そうではないですよね。分母が0になる極限は正のほうから0になる場合は+∞になります。しかし負のほうから0になる場合は、-∞になってしまうのです。
したがって、この式をひとめ見てすぐに収束する！といい切るわけにはいきません。
************************************

上記は関数になっているようですが、分母分子が数列の場合の例で、ご説明
頂いてもけっこうです。

355

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/14(月) 14:19:35.51

:WHSKzX5G

けっこう

356

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/14(月) 14:20:09.46

:xgVeu9lt

MEE, TOO!!!

357

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/14(月) 14:43:58.67

:Aa1uwlSi

Ｋを環として、Ｋの部分集合Ｓで生成される環K[S]って
どうしてＫとＳの元からなる無限和、無限積を含まないんですか？

358

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/14(月) 14:58:03.91

:80/NA2Qv

不思議ですねー
いろんな意味で

359

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/14(月) 15:02:55.58

:Aa1uwlSi

ああ、Ｋの部分集合Ｓじゃないや。
Ｋ⊂Ａなる環Ａの部分集合Ｓ、ということで。

360

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/14(月) 15:41:18.83

:0cU/Y2bg

ＫＳ

361

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/14(月) 15:43:24.89

:cV/gIJVZ

無限和、無限積の定義は？

362

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/14(月) 18:14:17.59

:1NO8Ai+Y

環に無限和無限積はない。

363

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/14(月) 18:39:02.86

:ySNaGvgK

よっぽどやりたきゃ位相を入れて完備化しなよ
形式的冪級数て知ってる？
無限積はどうするかなー．．．

364

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/14(月) 19:12:40.04

:VRvJuuxP

>>363

同じ

365

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/15(火) 11:01:35.94

:OugAypVl

不等式の証明で微分を繰り返して0を代入するのなんで？🤔

なんでそれでf(x)>g(x)が証明できるの？🤔

366

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/15(火) 11:15:43.50

:uUBv6rUz

>>365

はて

367

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/15(火) 11:29:08.32

:kVC9ER5i

樂とは楽しむことである

368

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/15(火) 13:08:31.30

:+/Se1Tie

>>365

証明読め

369

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/15(火) 19:49:57.65

:7UaicqBI

Ｋ代数の準同型φ：Ｋ(S)→Lって
LがKを含んでいたらφはKについては恒等写像なんですか？
そう決めているだけ？

370

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/15(火) 20:47:08.53

:uUBv6rUz

Sって？

371

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/15(火) 20:49:29.04

:7UaicqBI

>>370

Lの部分集合です
KとLは体でも環でもいいです

372

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/15(火) 23:04:35.60

:hvHTl9ti

>>369

K代数の射と言ったらk上は恒等になる。定義。単なる代数の射ならk上恒等にならないものもありうる。

373

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/16(水) 13:13:54.01

:grqWjRRO

a/2-a/2+t=
がなぜat/2（2+t）になるのですか？

374

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/16(水) 13:19:28.87

:grqWjRRO

分かりにくかったので訂正します↓

a/2 - a/(2+t)=
がなぜat/[2(2+t)]になるのですか？

375

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/16(水) 14:52:50.57

:HBFrBM4e

学部の数学科３年生は多様体とかガロア理論とかルベーグ積分を勉強してるらしいけど
４年生はどんな勉強してるの？

376

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/16(水) 16:38:35.96

:yQ9K+Isp

>>375

論文読むでしょ

377

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/16(水) 16:41:20.41

:yQ9K+Isp

>>374

a/2-a/5=3a/10

378

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/16(水) 16:52:20.16

:+sElzgme

>>375

ゼミ

379

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/16(水) 16:54:38.46

:wrcnERm0

ゼミとかそういうのはやめて、講義を増やしてほしいですよね。

380

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/16(水) 16:57:58.04

:HBFrBM4e

>>376

３年次のカリキュラムを終えてすぐに論文読むのって厳しくない？
もっとずっとギャップがあるんじゃないの？

381

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/16(水) 17:01:26.56

:wrcnERm0

日本の大学の数学科の講義数が異常に少ないのは大問題ではないでしょうか？

382

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/16(水) 17:21:09.14

:+sElzgme

社会不適合者は気にすんなよ

383

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/16(水) 17:29:24.22

:wrcnERm0

面倒な実験、卒業論文などもないですし、これほど楽な学科もないのではないでしょうか？

384

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/16(水) 18:14:32.08

:wrcnERm0

∫ x / (exp(x) - 1) dx from x = 0 to x = ∞ を求めよ。

385

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/16(水) 18:21:33.74

:wrcnERm0

x = -log(t) とおく。

∫ x / (exp(x) - 1) dx from x = 0 to x = ∞

=

∫ -log(t) / (1/t - 1) (-1/t) dt from t = 1 to t =0

=

∫ log(t) / (t - 1) dt from t = 0 to t = 1

t = 1 + s とおく。

∫ log(t) / (t - 1) dt from t = 0 to t = 1

=

∫ log(1 + s) / s ds from s = -1 to s = 0

=

∫ [s - (1/2)*s^2 + (1/3)*s^3 - (1/4)*s^4 ± …] / s ds from s = -1 to s = 0

=

∫ 1 - (1/2)*s + (1/3)*s^2 - (1/4)*s^3 ± … ds from s = -1 to s = 0

=

[s - (1/2)^2*s^2 + (1/3)^2*s^3 - (1/4)^2*s^4 ± …] from s = -1 to s = 0

=

0 - [(-1) - (1/2)^2*(-1)^2 + (1/3)^2*(-1)^3 - (1/4)^2*(-1)^4 ± … ]

=

1 + 1/2^2 + 1/3^2 + …

386

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/16(水) 18:22:19.00

:wrcnERm0

>>385

=

π^2/6

387

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/16(水) 18:24:27.52

:B6aKTMQN

>>383

真面目にやるとこれほど適性の差を思い知らされる学問分野は有り得ない。の間違いだろ。
ちゃんと勉強できてれば数理経済学とかに文転も容易い。

388

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/16(水) 18:34:21.23

:wrcnERm0

数理経済学というのは何かの役に立つのでしょうか？

同じ役に立たないのなら数学のほうがいいですよね。

389

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/16(水) 18:38:30.63

:B6aKTMQN

バブル崩壊後に日本みたいにゼロ除算無理矢理しようとするがごとく流動性トラップゼロ金利に陥る間抜けがものづくり連呼するのには役に立たないかもね。

390

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/16(水) 18:43:30.51

:e/hc1wrd

>>375

基礎理論ではなく、所属する研究室の先生とかの専門分野の基礎的な話を学んだりするのでは
場合によっては論文も読むだろうけど

391

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/17(木) 13:14:06.14

:t8x6A37/

>>383

当時は楽と思ったが後で損したと思ったね

392

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/17(木) 13:49:17.03

:/Cd1dse+

主束π：P→Mのエーレスマン接続で水平分布の定め方が一意的でない理由がわからない
垂直部分空間はker π_*で一意に決まるのだからその直和成分も一意に決まるんじゃないんですか？？

393

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/17(木) 18:43:24.81

:MKgoY7jZ

選択公理は意識できる人はここで必要だなと意識できるものなんですか？

394

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/17(木) 21:39:07.03

:bK8jl4eF

>>392

んなわけないやん。R×Rの部分空間としてx=2yが仮に垂直成分として決まったとして、その補空間なんか一意には定まらないでしょ？x=0でもよし、2x=3yでもよし。内積とか入ってたら話は別ですが。

395

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/17(木) 22:52:51.72

:/Cd1dse+

>>394

あーそうか
ありがとうございます
何かすごい勘違いしてた

396

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/18(金) 02:25:43.25

:RWlLMkIt

(x^2-y^2)dx+(y-x^3/3)dy=0

これの積分因子が求まらないのでお願いします。

397

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/18(金) 02:36:23.87

:I0L1CYnW

>>396

dx側のやつをP、dy側のやつをPと置いて
Py=x^2-2y、Qx=-x^2
不一致より完全微分方程式ではない
(Py-Qx)/P=(2x^2-2y)/(x^2y-y^2)

ここから分子2でくくって分母yでくくれば2/yになって、これを積分したやつをYとしたら
積分因子はe^-Y

398

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/18(金) 13:33:17.13

:uyAuGu51

f(x) は [a, +∞) で連続かつ負でないとする。このとき、

∫ f(x) dx from x = a to x = ∞ が収束しかつ、 f(x) が有界でないということをあり得るか？

399

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/18(金) 13:50:08.05

:jymUZnit

ありうるか、ありえないか、それが問題だ。

400

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/18(金) 13:50:24.06

:uyAuGu51

あ、分かりました。

区間 [k, k+1] の真ん中に、幅 1/k^3、高さ n の二等辺三角形をおいたような
グラフを考えればいい分けですね。

401

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/18(金) 13:51:11.53

:uyAuGu51

訂正します：

あ、分かりました。

区間 [k, k+1] の真ん中に、幅 1/k^3、高さ k の二等辺三角形をおいたような
グラフを考えればいい分けですね。

402

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/18(金) 13:51:44.64

:uyAuGu51

あ、別に三角形じゃなくて長方形でもいいですね。まあ、何でもいいですね。

403

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/18(金) 13:53:09.92

:uyAuGu51

解答を見てみたら、やはり似たような解答でした。

404

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/18(金) 14:18:22.99

:uyAuGu51

Mathematica に描かせて見せました：

外部リンク

405

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/18(金) 14:23:22.05

:uyAuGu51

あ、長方形だと連続関数にはなりませんね。

406

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/18(金) 14:32:06.44

:uyAuGu51

微分可能という条件を付けるとどうですかね？

407

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/18(金) 16:04:45.62

:oOiIqROd

>>406

解析概論のp141の練習問題(9)より引用:
∫ x/(1+x^6 sin^2 x) dx from x = 0 to x = ∞ は収束する．

ちなみにこの積分はWolfram Alpha/Mathematicaが
収束判定を間違える例としても知られる。

408

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/18(金) 16:11:26.21

:xZaz6ACB

微分可能でもいっしょ
三角形の接地点をなめらかにつなぐだけ

409

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/18(金) 18:25:23.60

:uyAuGu51

ありがとうございました。

『定本解析概論』p.152(9)ですね。

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/18(金) 18:30:08.79

:uyAuGu51

>>407

ttps://imgur.com/rEOskz4.jpg

Mathematica に被積分関数をプロットしました。

411

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/18(金) 20:16:31.81

:uyAuGu51

>>407

∫ x/(1+x^6 sin^2 x) dx from x = 0 to x = t

を Mathematica にプロットさせました。

外部リンク

ttps://imgur.com/q8Mwi48.jpg

412

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/18(金) 21:09:45.56

:6tdyVQDQ

x^4+1∈P(R)を因数分解せよ。

413

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/18(金) 21:19:40.53

:yoEo8VzU

多項式環をR[x]でなくP(R)と書く人初めて見た
とりあえず(x^2+1)^2展開すればわかると思うよ

414

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/19(土) 12:56:32.27

:RP1ROwHE

(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1
x^4+1=(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1-√2x)(x^2+1+√2x)
なるほど

415

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/19(土) 17:56:23.70

:czgDWV0K

同じ位数の巡回群は同型ですか？

416

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/19(土) 18:02:37.90

:KgS6VdgG

>>415

同型以外有り得まいが

417

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/19(土) 20:02:51.56

:M4pEwFRY

計算用に↓のような電子ペーパーを使っている人っていますか？

外部リンク

ttps://av.watch.impress.co.jp/docs/news/1117150.html

418

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/19(土) 20:32:50.73

:GePgsIE7

>>417

WG-S50使ってるぞ
ニ万円しないし短い計算なら行けるぞ
電車の中とかでも便利

419

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/19(土) 20:49:03.99

:M4pEwFRY

>>418

最低A5サイズでないときついと思います。

まあ、少し待てば超高解像度で細い線も綺麗にかけるようｊな、いいのが
安価な価格で出るでしょうね。

420

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/19(土) 21:06:02.36

:ctgoLwpI

>>419

おいおい行ける、って言われてんだろエアプ

421

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/19(土) 21:12:26.74

:zugaCCgr

ipadは？

422

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/19(土) 23:12:19.84

:M4pEwFRY

>>421

iPadは触ったことがないのですが、ペンと変わりないくらいの感じで書けますか？

423

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/20(日) 00:41:12.25

:8wgASu/T

>>422

全然ダメ

424

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/20(日) 06:49:25.35

:I0Nl1W3D

>>384

>>385

>>386

別解: コーシーの積分定理より
∫[C](π^2+z^2)/(exp(z)+1) dz = 0
ここでCは L+πi,πi,-πi,L-πi (L>0)を頂点とする長方形上の閉曲線

実軸に平行な積分
= ∫[0,L]{(π^2+(x-πi)^2)-(π^2+(x+πi)^2)}/(-exp(x)+1) dx
= 4πi∫[0,L] x/(exp(x)-1) dx

虚軸上の積分
= -i∫[0,π]{(π^2-y^2)/(exp(iy)+1) + (π^2-y^2)/(exp(-iy)+1)}dy
= -i∫[0,π](π^2-y^2)dy
= -2(π^3)i/3

虚軸に平行な積分
→0 (L→∞)

したって
∫[0,∞] x/(exp(x)-1) dx = (π^2)/6

参考: 同様の計算で
∫[C](π^2+z^2)^2 /(exp(z)+1) dz = 0
⇒ ∫[0,∞] (x^3)/(exp(x)-1) dx = (π^4)/15

425

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/20(日) 11:03:52.23

:HzA/UPrm

『定本解析概論』p.152(9)ですが、

(n + 1) * π * ∫ 1 / [1 + (n*π)^6 * (sin(x))^2] dx from x = 0 to x = π

<

1 / n^2

という評価が書いてあります。

これはどうやって導くのでしょうか？

426

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/20(日) 11:08:51.39

:yQ3EPcFj

>>422

アプリによっては書ける

427

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/20(日) 11:11:26.24

:Z3Xs2J/F

>>425

sinx=1とすれば良いですね

428

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/20(日) 12:40:54.63

:60dsWsBY

上からの評価ちゃうのん？

429

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/20(日) 12:43:46.54

:I0Nl1W3D

>>427

それ、不等号が逆

>>425

sin x > 2x/π (0<x<π/2)
を用いて
(n+1)π∫[0,π] ＜ 2(n+1)π∫[0,π/2]
＜ 2(n+1)π∫[0,π/2] 1/(1+(nπ)^6 (2x/π)^2) dx
＜ 2(n+1)π∫[0,∞] 1/(1+(nπ)^6 (2x/π)^2) dx
＜ (n+1)/(2n^3)
≦ 1/n^2

430

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/20(日) 16:52:13.62

:HzA/UPrm

>>429

ありがとうございました。

高木貞治さんの『定本解析概論』ですが、結構クールな例が載っているんですね。

少しだけ見直しました。

431

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/21(月) 19:57:06.18

:w+/hwJ1E

L1、L2が体Kの拡大体のとき、
L1、L2の元をすべて含む体はKの拡大体なんですか？
どうやって示せばいいでしょうか？

432

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/21(月) 20:01:37.25

:lIiBgml3

拡大体L/L1(L2)じゃなくて単に集合としてL⊃L1∪L2であるような任意の体LがKの拡大体になるかってこと？
あり得ないが

433

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/21(月) 20:04:51.77

:w+/hwJ1E

>>432

すみません
L1とL2を含むような最小の拡大体、という意味でした

434

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/21(月) 20:05:42.62

:w+/hwJ1E

>>433

最小の拡大体→最小の体
です
たびたびすみません

435

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/21(月) 20:12:20.48

:lIiBgml3

LをL1,L2の拡大体とする
定義からK⊂Lであり、Lにおける演算をKに制限したものは体Kの演算に一致する
すなわちLはKの拡大体である

436

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/21(月) 20:20:16.20

:w+/hwJ1E

体L1とL2がK上の基底をもっているばあい
L1とL2を含む最小の体はK上を基底をもっている
は真でしょうか？

437

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/21(月) 20:32:45.07

:lIiBgml3

なんでわざわざ分かりにくい文章に書き直したのこの人

438

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/21(月) 21:50:59.29

:SUavv2Mw

>>431

.432
は？
L⊃L1⊃K

439

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/21(月) 21:51:53.67

:SUavv2Mw

>>436

は？
拡大体はベクトル空間だが

440

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/22(火) 18:47:48.08

:/DwI5E12

行列について質問です．
論文に
The singularity assumption about A is required, since otherwise Ax = 0 would
have only the trivial solution x = 0
という記述があったのですが，非正則な行列ならばAx=0を満たすxは0ベクトルだけではないと思うのですが，英語の解釈を間違っているのでしょうか．

441

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/22(火) 19:01:02.88

:meniBz/p

Aに関する非正則性が要求されます、なぜならばそうでなければAx=0は自明解x=0しかもたなくなるからです

数学やる人って、やっぱり英語できないんですね

442

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/22(火) 19:07:59.68

:/DwI5E12

>>441

サンクス

443

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/22(火) 19:49:37.95

:41rk/Y2T

下記データが有る場合において、統計学上、

103、104、105、106、107、108、109、110、
111、112、113、114、115、116、117、118

に該当する個別人数を推理することはできませんか？
logとかいうのを使わないで、数式を教えて頂けませんか？
エクセルで計算したいです。
あるいは、そんなこと（上記推理）はできないものでしょうか？

なお、高校数学ⅢCを除く程度の知識しかない文系です。

点数左に該当する人数
175満点 0
167~ 1
159~ 10
151~ 56
143~ 161
135~ 261
127~ 314
119~ 259
111~ 178
103~ 100
95~ 38
87~ 14
79~ 9
71~ 6
63~ 1
55~ 1
47~ 0
39~ 1
31~ 3
23~ 10
15~ 8
7~ 1
0~ 9

444

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/23(水) 16:05:55.76

:3HDcsTBb

両対数グラフで傾きどうやって求めるの？

445

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/23(水) 17:14:50.84

:P8fX9eU0

この下線部の関係はただ単に1枚目のものに両辺からFourierインバースをかけただけなんですか？フーリエ変換とフーリエ逆変換の関係がイマイチよくわかりません。
外部リンク

ttps://i.imgur.com/JRagH3C.jpg
外部リンク

ttps://i.imgur.com/jX6pUVk.jpg

446

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/23(水) 23:48:45.88

:TkJyJaId

>>445

逆変換の定義によるけど基本的にはそう。フーリエ変換したものをフーリエ逆変換すれば元に戻るという関係性が基本。

447

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/24(木) 13:08:09.30

:RERLVteh

>>444

定規を当てる

448

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/24(木) 21:50:44.08

:avJjNNJR

m ≦ n - 1 のとき

Σ (-1)^k * Binomial(n, k) * k^m from k = 0 to k = n

=

0

が成り立つことを示せ。

449

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/25(金) 01:11:22.18

:r+XnG/ib

>>448

D = d/dxとおく。
f(x) = (1+ e^x)^nとおけば
与式=D^m f(iπ)。
ここで
D^m f(x) = Σ[k1+k2+…+kn=m]D^k1(1+e^x) D^k2(1+e^x)…D^kn(1+e^x)
でm<nによりkのいずれかは０。よってD^m f(iπ) = 0。

450

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/25(金) 02:23:22.87

:BhnK8c7c

0^0-1^0=0

451

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/25(金) 03:31:36.39

:FzI0O2aB

次の積分を求めよ
∫∫e^(x^3)dxdy
D={(x,y) : 0≦y≦1,√y≦x≦1}
お願いします

452

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/25(金) 03:56:53.21

:2/+5MeHe

>>451

ttp://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5Be%5E(x%5E3),%7Bx,0,1%7D,%7By,0,x%5E2%7D%5D

453

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/25(金) 03:58:04.25

:2/+5MeHe

マルチかよ

454

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/25(金) 09:09:39.17

:WwKb5LHl

X,Yをi.i.dな確率変数とし、MをXのmedianとする。
任意のε>0について
2P(|X-Y|≧ε) ≧ P(|X-M|≧ε)
を証明せよ。

助けてください…

455

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/25(金) 10:12:34.97

:1dfelh4+

>>701

M=0としてよい。
|X|≧e→|X-Y|≧e or |X+Y| ≧e
∴P(|X|≧e) ≧ P(|X-Y|≧e) + P(|X+Y| ≧e) = 2P(|X-Y| ≧e)。

456

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/25(金) 10:44:22.56

:WwKb5LHl

>>455

0としていいのはなんでなんでしょうか。

457

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/25(金) 10:54:32.45

:1dfelh4+

>>456

X,YをX-M, Y-Mに置き換えてもi idだから

458

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/25(金) 15:00:31.80

:1UDD8qIb

>>457

すみません2行目はなんでですか…？

459

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/25(金) 15:08:28.41

:1UDD8qIb

>>457

いや、後は自分でなんとかします。ありがとうございました。

460

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/25(金) 19:47:30.81

:T95taKiP

(2)です。特異点が2つあるのですが、Z=0を囲むかで2通りの展開方法があるそうです。ローラン展開の定義にはC1はC2の外側にあり且つC1とC2の間の領域には特異点がないようにするとあふので、
①C2はZ=2のみを囲み且つC1はC2より大きく左側がZ=0～2の間を取るような閉曲線
②C2はZ=0,2を囲み且つC1はC2より大きい閉曲線
という2通りという意味ですか？
外部リンク

ttps://i.imgur.com/fzENFfH.jpg
外部リンク

ttps://i.imgur.com/OkhOfM7.jpg
外部リンク

ttps://i.imgur.com/iSEaM6b.jpg

461

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/25(金) 21:13:46.80

:ljSfkNMq

そーです

462

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/26(土) 02:56:50.48

:ZJxn9u1a

定積分 ∫[0, +∞] dx sin(x)^3/x^2 = 3*log(3)/4 (値はWolframAlpha より)
の求め方を教えてください。
∫[0, +∞] dx sin(x)^2/x^2
= (1/2)* lim{ε→+0} ∫[-∞, +∞] dx sin(x)^2/(x^2 + ε^2) = ... = π/2
こっちみたいに複素積分でバシっと行ける気がしませんが、どうなんですかね。

463

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/26(土) 04:21:35.09

:gMdOQMEY

>>462

sin^3 x = (exp ix - exp (-ix))^3/(-8i) = (exp 3ix - 3exp ix + 3exp ix - exp (-3ix))/(-8i)
として3ixとixの方は積分路を0 → i∞、残りは0 → -i∞ とすればいける希ガス。

464

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/26(土) 04:28:22.07

:b8MXO5HY

>>462

>>463

訂正。その前にx^2をx^sにしといて後で解析接続しないとダメかも。

465

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/26(土) 07:45:47.15

:OEuXm00o

>>462

[補題] ∫[0,∞](exp(iax)-exp(ibx))/x dx = log(b/a)　(a,b>0 or a,b<0)
∵a,b>0として積分路を実軸から虚軸に移すと
∫[0,∞](exp(iax)-exp(ibx))/x dx
=∫[0,∞](exp(-ay)-exp(-by))/y dy
=∫[0,∞]∫[a,b] exp(-ty) dtdy
= ∫[a,b] 1/t dt
= log(b/a)

sin^3(x)/x^2 = (exp(3ix)-3exp(ix)+3exp(-ix)-exp(3ix))/(-8ix^2)
= -(3/8)∫[-1,1] (exp(3itx)-exp(itx))/x dt
補題より
∫[0,∞] sin^3(x)/x^2 dx = -(3/8)∫[-1,1] log(1/3) dt = (3/4)log(3)

466

： 462 [sage] 2018/05/26(土) 09:23:13.10

:ZJxn9u1a

ありがとうございます。

467

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/26(土) 18:07:44.45

:HUORxEdm

開区間族と閉区間族の問題なんですけど、部分集合を求めた後、どういった思考フローで解答するのかわかりません
お願いします

外部リンク

ttps://i.imgur.com/wR9gLxu.jpg

468

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/26(土) 21:32:52.33

:efhvyUI2

>>467

(-1,1){0}
(-1,1){0}

ですよね
開集合の和は開集合
閉集合の積は閉集合
一点集合は閉集合ですね

469

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/27(日) 13:07:13.12

:s9yJF/4c

∫[a-i∞,a+i∞]x^s/s ds の値をa>0 の時と a<0 の時で求めた定理になんか名前がついてた希ガスなんですが誰の定理か知ってます？たしかPで始まる名前だったような…

470

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/27(日) 14:03:41.04

:YT8PnXu1

K⊂M⊂Lを体の有限次拡大で、NをKの代数閉包とする
L→NのK準同型は、MではないLの元についての写像は任意のL→NのM準同型と同じで
Mの元についての写像は任意のM→NのK準同型と同じであるようにとれる。
つまり
L→NのK準同型の個数＝L→NのM準同型の個数　×　M→NのK準同型の個数
である。
これってどうやって証明できますか？

471

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/27(日) 14:52:34.52

:V8AY+o1S

>>467

(a) (-1, 1) だと予想できるから、
-1<x<1 をみたす任意の x が含まれ、
x=±1 が含まれないことを示す。

(b) {0} だと予想できるから、
x=0 が含まれ、
x≠0 が含まれないことを示す。

472

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/27(日) 15:13:01.91

:CGYiTgTM

>>468

>積
？

473

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/27(日) 16:19:23.49

:IAxjNy8a

共通部分を積集合と呼ぶことはある

474

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/27(日) 17:50:06.79

:Z6hNhKPq

直積と勘違いする

475

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/27(日) 17:52:07.56

:JlVk5Goy

論理積とか聞かないんですかね
ここの回答者って、レベル低いんですね

476

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/27(日) 17:53:17.31

:YT8PnXu1

すみません、どなたか470おしえてくれませんか

477

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/27(日) 18:45:12.65

:WX94ISyu

体上の準同型写像を延長できる定理を使えばいいんでね？

478

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/27(日) 18:50:29.91

:YT8PnXu1

>>477

M→NのK準同型を、L→NのK準同型に延長するようなものが存在
することはわかるんですが
それがL→NのM準同型の個数通りの延長の仕方が
あるかどうかがわからないんです。

今も考えてるんですけど、有限次拡大なんで
基底の話にうまく結びつけることでとけないか
試行錯誤中です・・。

479

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/27(日) 19:32:31.22

:yiDHP8Qn

かっこいい方法は思いつかんけど、泥臭くていいなら
M. Lの元でK上分離的な元の全体をM0. L0として
(1) K → N の M への拡大の個数=[M0:K]
(2) L → N の M への拡大の個数=[L0:K]
(3) M0 → N の L への拡大の個数=[L0:M0]
が任意の準同型について言えることを確認すればできそう。

480

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/27(日) 19:59:51.97

:ok3Cpe8J

ttps://arxiv.org/pdf/0908.4287.pdf
のなかにΩ_±って記号がでてくるんですが、これ意味わかります？
wikipediaの情報からすれば

＞記号 O とo は通常、関数の収束や発散の漸近的な上界を記述する為に用いられる。同様に漸近的な下界を記述する為にΩ, ωという類似記法が用いられ、上下両方を記述する為にΘ という記法を用いる。

とあるので “漸近的な下界” を表してるっぽいんですが、±はなんの意味でしょう？どなたかわかりますか？

481

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/27(日) 21:23:45.12

:CGYiTgTM

>>474

てゆーか
論理積のつもりで積集合使ってるとしたらアホだね

482

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/27(日) 21:29:56.59

:CGYiTgTM

実際に構成したらいいんジャね？

483

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/27(日) 21:32:21.93

:JlVk5Goy

>>481

数学において、集合族の共通部分（きょうつうぶぶん、英: intersection）とは、与えられた集合の集まり（族）全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。
共通集合（きょうつうしゅうごう）、交叉（こうさ、交差）、交わり（まじわり、meet）、積集合（せきしゅうごう）、積（せき）[1]、などとも呼ばれる。

わかりませんでした、ってはっきり言ったらどうなんですか？

484

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/27(日) 21:47:57.70

:YT8PnXu1

>>479

返信がおくれてすみません。
ようやくわかってきた気がします。
準同型の個数が共役の個数なので
共役のうち異なる元の数をかぞえあげれば・・・
という感じでしょうかね。

まだ全体像が見えてないですけど
これならいけるかもです
ありがとうございました！

485

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/27(日) 22:00:46.89

:CGYiTgTM

>>483

486

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/27(日) 22:02:36.48

:JlVk5Goy

>>485

わからなかったんですね

487

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/27(日) 22:05:02.29

:CGYiTgTM

>>486

488

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/27(日) 22:07:20.65

:JlVk5Goy

>>487

わからないんですね

489

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/28(月) 02:28:11.89

:QlCcg7gT

>>484

分離拡大あたりを勉強中かな？お疲れさん。
雪江代数学2の179ページ補題3.3.16を参照しなされ。
明快な答えがそこにある。

>>479

その議論で言えるのはK⊂M⊂Lが有限次分離拡大である場合だけでは？

490

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/28(月) 07:59:43.68

:7DoP0x8Y

g(x) が x = a で n 回微分可能とする。

b := g(a) とする。

f(x) が x = b で n 回微分可能とする。

このとき、

f(g(x)) は x = a で n 回微分可能であることを示せ。

491

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/28(月) 08:22:47.91

:kdVc2zFn

合成関数の微分公式より明らか

492

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/28(月) 08:27:36.61

:7DoP0x8Y

f(x) は x = a を含むある開区間で定義されているとする。

f(x) は x = a で微分可能とする。

このとき、

f(x) は x = a を含むある開区間で微分可能であるか？

493

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/28(月) 08:32:04.36

:kdVc2zFn

反例
(-1,1)
y=|x|
a=1/2

494

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/28(月) 08:37:42.76

:7DoP0x8Y

f(x) = |x| は x = 1/2 を含む開区間 (0, 1) で微分可能だと思います。

495

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/28(月) 08:39:46.25

:7DoP0x8Y

f(x) が x = a で2回微分可能というとき、

当然、

f(x) は x = a を含むある開区間で定義されている必要があります。
f'(x) も x = a を含むある開区間で定義されている必要があります。

よって、

f(x) は x = a を含むある開区間で微分可能でなくてはなりませんよね？

496

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/28(月) 09:04:00.45

:kdVc2zFn

>>492

fは(-1,1)で定義された関数で
f(0)=0
f(x)=1/n(n≦1/|x|＜n+1)
を満たす

(f(h)-f(0))/h=1/nh
ただし、n≦1/h＜n+1
1≦1/(nh)＜1+1/n
0≦(f(h)-f(0))/h-1＜1/n
ε=1/Nととると、h＜εに対して
0≦(f(h)-f(0))/h-1＜1/n＜1/N=ε

よって、f'(0)=1

しかし、どのようなx=0を含む開区間をとっても、ある点x=1/nが存在して、この点においては不連続となるため微分不可

497

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/28(月) 09:07:50.47

:kdVc2zFn

>>495

はい

498

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/28(月) 11:17:21.84

:IsvYPSAT

>>495

なんで2回微分可能という条件つけんの？

499

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/28(月) 15:02:24.20

:LZ7thAEI

>>489

分離閉包とってるからいけるのでは？

500

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/28(月) 20:30:36.87

:35mGdcfM

ある同値関係R_1,R_2に対して以下の関係が同値関係かどうか示せという問題なのですが、
R_1 ∪ R_2に関して。反射律、対称律は導けますが、推移率に関してがわかりません

x(R_1 ∪ R_2)y ∧ y(R_1 ∪ R_2)z
⇔ (xR_1y ∨ xR_2y) ∧ (yR_1z ∨ yR_2z)
とは、つまるところxR_1yとyR_2zにおいても推移性があるのかどうか。この推移性があることで推移律は満たしていないかどうか。

教えてくださいお願いします

501

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/28(月) 21:47:59.49

:1GO2+eBu

>>500

≡(mod2)∪≡(mod3)
2,4,7で考えてみたら？

502

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/29(火) 16:13:23.68

:LrJ8VHO5

やはり、推移律は成り立たなさそうです
ありがとうございました

503

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/29(火) 19:11:46.60

:f5vIlzv/

f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ なら、
f'(x) = 0 となる点 x が存在することを示せ。

504

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/29(火) 19:12:40.90

:f5vIlzv/

f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ なら、
f'(x) = 0 となる点 x が存在することを示せ。

f(x) ≡ 0 の場合には↑の命題は成り立つ。

f(x) ≠ 0 となる x が存在すると仮定する。

f(b) ≠ 0 とする。

c < x ⇒ |f(x)| < |f(b)| となるような c が存在する。
b ≦ c である。

x < a ⇒ |f(x)| < |f(b)| となるような a が存在する。
a ≦ b である。

a ≦ b ≦ c である。

a = c のときには、すべての x に対して |f(x)| ≦ |f(b)| であるから、
f(x) は x = b で最大値または最小値をとる。
ロルの定理の証明と同様の論法により、 f'(b) = 0 である。
よってこの場合には、↑の命題は成り立つ。

a < c の場合を考える。

f(x) は [a, c] で連続だから [a, c] で [a, c] 内での最大値 M および最小値 m をとる。

K := max{|M|, |m|} とおく。

|f(b)| ≦ K だから、 f(x) は [a, c] 内の点 d で、 R 全体での最大値または最小値をとる。
ロルの定理の証明と同様の論法により、 f'(d) = 0 である。

以上より、↑の命題は成り立つことが分かった。

505

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/29(火) 19:14:43.42

:ZeYVVUmu

f=0なら自明
f≠0なら平均値or閉区間とって最大(または最小)値の存在

506

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/29(火) 19:15:47.56

:ZeYVVUmu

なんだよ松坂君かよ……

507

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/29(火) 19:19:42.40

:f5vIlzv/

齋藤正彦さんの解答は以下です。

f(x) が恒等的に 0 ならあきらかだから、ある x0 で f(x0) > 0 とする。
極限の条件により、 a < x0 < b なる a, b で f(a) < (1/3)*f(x0), f(b) < (1/3)*f(x0)
となるものがある。中間値の定理により、 a と x0 のあいだの c で f(c) = (2/3)*f(x0)
となるものがあり、 x0 と b のあいだの d で f(d) = (2/3)*f(x0) となるものがある。
ロルの定理により、 c と d のあいだの e で f'(e) = 0 となるものがある。

>>504

の解答とどちらが良い解答でしょうか？

508

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/29(火) 19:22:09.18

:k5/V1nu7

どっちが良いってなんだよ、長さか？

509

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/29(火) 19:30:10.34

:f5vIlzv/

>>504

の解答から、

f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞

⇒

f(x) は最大値または最小値をもつ

ということも分かりますね。

510

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/29(火) 21:44:58.33

:ZXXzNmmQ

f(x)が恒等的に０でない場合を考え、f(c) = α ＞ 0 とする。(α ＜ 0 の場合も同様)
仮に 0 not∈ f ' (R) とする。連続関数の連結性保存により f ' (R) ＞ 0 または f ' (R) ＜ 0 である。
f ' (R) ＞ 0 の時、f(x) = f(c) + ∫ [c, x] dt f ' (t) ＞ α (x ＞ c) より lim[x→ +∞]f(x) ≠ ０である。
f ' (R) ＜ 0 の時、f(x) = f(c) + ∫ [c, x] dt f ' (t) ＞ α (x ＜ c) より lim[x→ -∞] f(x) ≠ ０である。
前提条件と矛盾するので、0 ∈ f ' (R) である。つまりある β に関して f ' (β) = 0 となる。

511

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 06:08:04.46

:7943hsjh

導関数が連続という条件はない

512

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 06:55:48.55

:0UloCQab

f(x) = x^2 sin(1/x) if x ≠0, f(0) = 0とすればすべてのxで微分可能で
f’(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x)、f’(0) = 0。
f’(1/(2nπ)) = -1よりn→∞において1/(2nπ)→0であるがf’(1/(2nπ)→f’(0)=0にならない。

513

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/30(水) 10:48:35.37

:JPEhA3kc

＞ f が全実数で微分可能な関数で lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ なら、
＞ f'(x) = 0 となる点 x が存在することを示せ。

f は単射であると仮定する。f は R 上で連続だから、f は狭義単調増加または狭義単調減少となることが
簡単に証明できる。どちらのケースでも、[ lim f(x) = 0 as x → ∞, lim f(x) = 0 as x → -∞ ] という
仮定に矛盾することが証明できる。

よって、f は単射ではない。よって、ある a＜b に対して f(a)＝f(b) である。
このとき、閉区間 [a,b] 上でロルの定理を使えば、f '(x)＝0 なる x の存在性が出る。

514

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/30(水) 11:00:48.23

:PPEAylJR

>証明できる

証明しろよ

515

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 16:29:34.21

:PMZrRFyz

数値解析的な話題です。

「
R の区間 I 上で定義された関数 φ(x) に対して、次の2つの条件を満たす閉区間 J ⊂ I
と定数 0 < λ < 1 の存在を仮定する：

φ(x) ∈ J (x ∈ J).
| φ(x) - φ(x')| ≦ λ*|x - x'| (x, x' ∈ J).

このとき、 φ(x) は J において唯一の不動点を持つ。
」

「
不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか？
φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、
a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。
」

と書いてあるのですが、これはなぜでしょうか？

516

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/30(水) 16:53:49.16

:BU4I0cfT

んなもん成り立つはずない。
例えばJ=(-1,1)、λ* = 1/2として前程条件は
φ(x) = (x-2x^2)/10
とかで成立するけど初期値1/2とすれば1回目でいきなり不動点やん。

517

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 16:54:28.12

:7943hsjh

書いた奴が馬鹿だから。

518

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 17:49:45.21

:PMZrRFyz

>>516

ちょっと言っている意味が分からないのですが、

の続きを含めて引用します：

「
不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか？
φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、
a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。
これを続けて、 x_0 = x_1 = … = x_N = a を得る。すなわち、初期値 x_0 を x_0 = a
と選んだ場合のみこのようなことが起こる。
」

519

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 17:59:43.32

:PMZrRFyz

さらに以下の記述があります：

「
関数 φ(x) には、唯一の不動点 a = φ(a) が存在するとし、 φ(x) は
a の近傍で C^1 級であるとする。関数 φ(x) は定数関数ではないとする。
このとき、次が成り立つ。

(i) …

(ii) |φ'(a)| > 1 ならば、いかなる初期値 x_0 に対しても、反復法 x_(k+1) = φ(x_k)
は a に収束し得ない。
」

x_0 = a とすれば、明らかに {x_n} は a に収束するように思います。

あと、「閉区間 J のコーシー列 {x_n} には極限 a が存在し、 a ∈ J を満たす。これを
J は完備であると言う。」という内容が書いてあります。

閉集合内の点列が収束すると仮定すると極限もその閉集合に属するという命題のこと
ですが、完備などと言いますか？

520

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 18:02:14.16

:7943hsjh

書いた奴(515)が馬鹿だから。

521

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/30(水) 19:44:04.15

:BU4I0cfT

>>519

酷い本やな。なんちゅう本？

522

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/30(水) 21:37:57.32

:Wv6vXhQM

命題に関してはズタボロ
完備については間違ってはいない

523

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/30(水) 21:42:04.37

:Wv6vXhQM

収束しないの命題に関しては、不動点以外からスタート、という仮定が含まれてるのかもしれん

524

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/30(水) 21:45:25.80

:Zmm+qT5O

>>513

>>514

> f は単射であると仮定する。f は R 上で連続だから、
> f は狭義単調増加または狭義単調減少となることが
> 簡単に証明できる。

f は単射かつ、ある a, b ∈ R に関して a < b ∧ f(a) < f(b) とする。
任意の c ≠ a, b に対して f は 3点 {a, b, c}上で狭義単調増加である事が示せる。
・a < b < c の場合: 単射より f(b) ≠ f(c)。 f(b) ＞ f(c) とすると、
　 2区間 (a, b) , (b, c) において fの値 ( f(b) + max(f(a), f(c)) )/2 をとる点が存在する。 (中間値の定理)
　よって f(a) < f(b) < f(c)
・ c < a < b の場合, a < c < b の場合も同様
つまり f が相異なる3点の内2点上で狭義単調増加なら3点上でもそうである。

任意の 2点 x, y (x < y) をとる。
上の3点 {a, b, c} に関して、x と一致しない２点(α, γとする)、その2点の中で y と一致しない1点(αとする) が必ず存在する。
よって 3点上での狭義単調増加性を保ったまま点の入れ変え {a, b, c} → {α, x, γ} → {α, x, y} が可能で、 f(x) < f(y) を得る。
x < y ⇒ f(x) < f(y) つまり f はR上で狭義単調増加である。

525

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 21:48:31.76

:PMZrRFyz

>>521

齊藤宜一著『数値解析』（共立出版）

という本です。

>>522-523

>>518

は間違っていますか？

526

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 21:49:55.80

:PMZrRFyz

名前が間違っていました。訂正します：

>>521

齊藤宣一著『数値解析』（共立出版）

という本です。

>>522-523

>>518

は間違っていますか？

527

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 21:58:57.63

:7943hsjh

>>523

それだって成り立たんが。

528

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 22:01:56.37

:7943hsjh

>>526

>>516

の計算ぐらいしろ。

529

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 22:05:01.02

:PMZrRFyz

齊藤宣一著『数値解析』（共立出版）ですが、慣れないとちょっと読みにくいですね。

「
f(x) を区間 I で定義された C^1 級関数で方程式 f(x) = 0 には唯一の解 a ∈ I が
存在するとする。このとき、簡易ニュートン法(1.6)は、初期値 x_0 を a の近くからとり、
さらに f'(x_0) ≠ 0 である限り収束する。
」

簡易ニュートン法(1.6)とは、

x_(k+1) = x_k - f(x_k) / f'(x_0) (k = 0, 1, 2, …)

のことです。（分母が f'(x_0) で固定）

530

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 22:07:59.15

:PMZrRFyz

>>529

の証明ですが、ちょっと変わっています。

「
証明
φ(x) = x - f(x)/f'(x_0) とおくと、 φ'(x_0) = 0 であるから、 |φ'(a)| = |φ'(a) - φ'(x_0)|
となる。 f'(x_0) ≠ 0 である限り、 φ'(x) は a の近傍で連続なので、 x_0 を a の十分近く
にとれば、 |φ'(a)| はいくらでも小さくなる。
」

531

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 22:10:19.29

:PMZrRFyz

>>530

の証明では、↓の(i)が使われています。

「
関数 φ(x) には、唯一の不動点 a = φ(a) が存在するとし、 φ(x) は
a の近傍で C^1 級であるとする。関数 φ(x) は定数関数ではないとする。
このとき、次が成り立つ。

(i) |φ'(a)| < 1 ならば、 a の十分近くに初期値 x_0 をとると、反復法 x_(k+1) = φ(x_k)
は a に収束する。

(ii) |φ'(a)| > 1 ならば、いかなる初期値 x_0 に対しても、反復法 x_(k+1) = φ(x_k)
は a に収束し得ない。
」

532

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 22:11:31.52

:PMZrRFyz

日本語の数値解析の入門書っていい本がないですよね。

齊藤さんの本はましだと期待したんですが、この本はどうなんでしょうか？

533

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 22:14:03.43

:PMZrRFyz

>>530

x_0 を動かして φ(a) を評価するというのがちょっと変わっていると思いました。

534

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 22:25:12.92

:PMZrRFyz

>>516

あ、なるほど。

φ(1/2) = 0
φ(0) = 0

x_0 = 1/2
x_1 = 0
x_2 = 0

x_1 = φ(x_1)
x_1 = φ(x_0)

0 = x_1 ≠ x_0 = 1/2

ですね。

535

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 22:36:10.43

:PMZrRFyz

>>515-516

J = [-1, 1] とする。

|φ(x) - φ(x')|

=

|(x - 2*x^2) / 10 - (x' - 2*x'^2) / 10|

≦

(1/10) * |x - x'| + (1/5) * |x^2 - x'^2|

=

(1/10) * |x - x'| * (1 + 2 * |x + x'|)

≦

(1/10) * |x - x'| * (1 + 2 * 2)

=

(1/2) * |x - x'|

ですね。

536

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 22:42:26.94

:PMZrRFyz

>>527

うーん。いまその証明を見ていますが、どうも成り立つように思うのですが…

537

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 22:44:42.44

:PMZrRFyz

↓は、わざわざ注意1.3として書いていることです。恥ずかしすぎますね。

「
不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか？
φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、
a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。
」

538

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 23:29:08.75

:PMZrRFyz

>>530

↓「|φ'(a)| はいくらでも小さくなる」と書いてありますが、 a は固定された点です。
表現がおかしいですよね。こういうところも分かりにくいと感じさせる一つの要因かも
知れません。

「
証明
φ(x) = x - f(x)/f'(x_0) とおくと、 φ'(x_0) = 0 であるから、 |φ'(a)| = |φ'(a) - φ'(x_0)|
となる。 f'(x_0) ≠ 0 である限り、 φ'(x) は a の近傍で連続なので、 x_0 を a の十分近く
にとれば、 |φ'(a)| はいくらでも小さくなる。
」

539

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/30(水) 23:30:59.82

:PMZrRFyz

あ、今思ったんですが、

要は、 φ'(a) = 0 ということですよね。

540

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/30(水) 23:46:10.72

:sk1AqFXJ

ここは質問スレ

541

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/31(木) 00:13:19.19

:OOLJCy1l

まぁ今回のはそもそも分かりやすい分かりにくい以前に間違ってる。
しかし、反例提示されても理解するのにエライ時間くってるし、
今は今で成立してない命題証明しようと頑張ってるし、そもそも自分の数学力が足りてないんじゃないの？

542

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/31(木) 09:52:23.90

:3l5pYsM3

松坂君が馬鹿であることを再発見したね

543

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/31(木) 13:19:51.64

:ZYMJbq7V

離散数学のいい参考書ない？？
講義受けてるけど教授が何言ってるのか（声が小さくて）きこえないしわからない

544

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/31(木) 13:35:33.00

:5Mqf5Lbb

>>543

前の席に座れば？

545

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/31(木) 13:43:00.01

:NCmBy4cs

>>543

板名が読めるように日本語勉強したら

546

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/31(木) 14:06:54.83

:ZYMJbq7V

>>545

わかんねえからわかりやすいの聞いてんだろアスペか？日本語学び直してきたら？

>>544

一番前ではないけど前から２,３番目に座ってるけど聞こえんのよね

547

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/31(木) 14:12:27.64

:emeQPWA+

>>543

離散数学の本はタイトルは同じでも扱っている内容が大きく異なることが多いと思います。

その講義で扱われている内容はどんな内容なのでしょうか？

548

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/31(木) 14:14:02.10

:Prz+Bbp1

>>546

情報板へ行けといってるんだだボケ

549

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/31(木) 14:24:26.01

:ZYMJbq7V

>>548

そうかすまんかった

550

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/31(木) 14:32:00.69

:ZYMJbq7V

>>547

離散集合集合と対応関数同値関係集合の分割演算と代数順序集合と束様々な代数ブール代数ブール関数周期関数とその表現周期関数の級数展開関数の変換とその応用

ぱっとシラバスからコピペしたらこんな感じでした

551

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/31(木) 14:33:16.06

:emeQPWA+

離散数学を数学とはみないのは日本に特有のことみたいですね。

552

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/31(木) 14:50:38.92

:+UsmReGr

全部網羅的な教科書は無さそう

553

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/31(木) 16:51:13.69

:emeQPWA+

>>550

なんかよく分かりませんが、

＞周期関数とその表現周期関数の級数展開関数の変換とその応用

↑これって離散数学なんですか？

554

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/31(木) 18:17:23.33

:A5oJ+avV

フーリエ解析に分類されるよね普通
まあ応用数学一般として講義してるなら入れるかも

555

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/31(木) 18:43:26.54

:YExPTj9n

離散フーリエなんだろよ

556

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/05/31(木) 21:58:46.16

:Jirqm0H/

純粋数学寄りの離散数学だとほぼ組合せ論の話だしな
やや応用寄りでグラフ理論
離散フーリエとか差分スキームあたりは情報方面行った方がいいレベルの完全に応用

557

： １３２人目の素数さん [] 2018/05/31(木) 22:13:21.82

:emeQPWA+

>>518

「
不動点反復法が、有限回の反復で解 a に到達することはあるだろうか？
φ(x) は定数関数でないとする。もし、 x_N = φ(x_N) が成り立つと仮定すると、
a = x_N = φ(x_(N-1)) と不動点の一意性により、 x_N = x_(N-1) がわかる。
これを続けて、 x_0 = x_1 = … = x_N = a を得る。すなわち、初期値 x_0 を x_0 = a
と選んだ場合のみこのようなことが起こる。
」

↑この誤った注意ですが、後ろのほうにも影響が及んでいます↓。

「
定理1.13（ニュートン法の収束の速さ）

定理1.6と同じ仮定の下で、ニュートン法（1.5）の反復列は、 x_0 ≠ a のとき、

lim [x_(k+1) - a] / [(x_k - a)^2] as k → ∞ = (1/2) * f’’(a) / f’(a)

を満たす。
」

齊藤さんは、 x_0 ≠ a のとき、 x_k ≠ a だと思っているわけなので、
x_k = a となる場合があることを全く心配していません。

ひどい本です。

558

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/01(金) 00:17:57.30

:LBA4dh6k

低速フーリエ

559

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/01(金) 13:27:35.41

:sBmjNpTj

劣等感が追い出されて来たんか

560

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/01(金) 21:47:11.19

:iK5L1rIw

ある関数y(x)、z(x)のロンスキー行列をD(y、z)とするとき、このD(y、z)が恒等的に0にならない場合にy(x)とz(x)が一次独立であることの証明を行え

また、次の組みの一次独立の判定を証明を含めて行え
(1)1、x、1+x
(2)1、cos2x、cos^2x
(3)1、sin2x、sin^2x

すいません、これをお願いします。
二つ目の問題の(1)はxに0を代入してa+c=0でa=-1、c＝1でも成り立つので一次独立ではないといった感じで大丈夫ですか？

561

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/01(金) 22:10:25.53

:iK5L1rIw

(3)はsin2xとsin^2xのみでした

562

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/01(金) 22:19:54.48

:977NFEF3

その設問だとロンスキアンつかわなダメじゃね？

563

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/01(金) 22:25:00.14

:iK5L1rIw

>>562

すいません1問目ですか？

564

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/01(金) 22:34:20.37

:iK5L1rIw

2問目は抜けていましたが、一次独立の定義(ある関数y(x)、z(x)と定数a、bごあるときに、ay(x)+bz(x)=0がa＝b＝0の場合のみ恒等的に成立するとき関数y(x)、z(x)は一次独立)を利用して証明です

565

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/01(金) 23:18:33.64

:977NFEF3

>>5630

勘違いしてたorz。
ロンスキアン使わなあかんのは一次独立であるを示すとき。
(1),(2)は一次従属だから好きなもん使って示せばいいと思う。

566

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/02(土) 11:08:28.70

:NK2MAr72

ttps://i.imgur.com/dbDmjXj.jpg

>二つ目の問題の(1)はxに0を代入してa+c=0でa=-1、c＝1でも成り立つので一次独立ではないといった感じで大丈夫ですか？
像が1次従属だからといって元も1次従属にはならんがや

567

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/02(土) 15:35:16.56

:o9EnEJxC

>>566

すいません、どういう事でしょうか

568

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/02(土) 15:51:39.97

:2oBOSXM3

y=x＋定数の部分なんですが、なぜ定数になるのかがわかりません。任意関数ではないんですか？
外部リンク

569

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/02(土) 16:22:01.20

:2oBOSXM3

分野は偏微分方程式です

570

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/02(土) 19:40:46.94

:K42WJEUT

>>566

代入するとは多項式から実数への線形写像だよ

571

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/02(土) 20:42:31.18

:2TZQMZgd

それが何か関係あるのか。

572

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/02(土) 22:41:45.49

:NK2MAr72

>>571

ん？
f1(x),...,fn(x)が一次独立か従属か決定するために
a1f1(x)+...+anfn(x)=0
と置いた上で
xに何か値たとえば0を入れて
a1f1(0)+...+anfn(0)=0
が成立する非自明なa1,...,anがあったとしても
それで
a1f1(x)+...+anfn(x)=0
が成立するとは限らないってことだよ

573

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/03(日) 00:43:47.95

:yrB9kXha

>>570

は関係ないが。

574

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/03(日) 19:54:01.50

:kU0ozEMf

>>573

なんで？

575

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/03(日) 19:55:35.43

:S/KX08qG

R^3 から R への関数を f(x, y, z) とします。 c を定数とします。
f(x, y, z) = c となるような R^3 の部分集合は一般に曲面になる
というのはどうしてですか？ f にどんな条件が付くときに曲面に
なるのでしょうか？また曲面の定義自体が分かりません。

576

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/03(日) 19:57:09.96

:kU0ozEMf

>>567

1と1+xだけで
a・1+c(1+x)=0
にx=0を代入して
a+c=0
になるからa=1,c=-1で成立するから1次従属？

577

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/03(日) 22:41:47.74

:S/KX08qG

A を平面の点の空でない集合とし、 f(x, y) を A で定義された関数とする。
平面の点の集合 S に対し、最大値の定理の証明の中だけで使う記号
A ≦ S と A > S を定義する。 A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる
A の点 (s, t) で f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在するとき、 A ≦ S と
書く。 A の点 (x, y) で、 S に含まれる A の任意の点 (s, t) に対し
f(x, y) > f(s, t) となるものが存在するとき、 A > S と書く。記号 A ≦ S と
A > S の意味は関数 f(x, y) によって決まるものだが、記号からは省略した。

A が S の部分集合ならば A ≦ S である。 A は空集合ではないから、
A と S が交わらないならば A > S である。 A ≦ S ならば f(x, y) の最大値を
とる A の点で S に含まれるものがあるはずであり、 A > S ならば f(x, y) の
A での最大値をとる点は S には含まれない。

(1)と(2)のどちらが A ≦ S の定義でしょうか？

(1)
A ≦ S

⇔

∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t)

(2)
A ≦ S

⇔

∃(s, t) ∈ A ∩ S, ∀(x, y) ∈ A such that f(x, y) ≦ f(s, t)

578

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/03(日) 22:56:32.12

:kU0ozEMf

>>575

R^2からR^3への連続像だよ

579

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/03(日) 23:47:02.52

:S/KX08qG

>>577

(1)だと解釈すると、

「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」

は成り立ちますが、

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は成り立ちません。

(2)だと解釈すると

「A が S の部分集合ならば A ≦ S である。」

は成り立ちませんが、

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は成り立ちます。

580

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/03(日) 23:52:28.77

:rumwxwOg

ほとんど自明のような気がするんですが、ちゃんと証明するとどうなるのかよくわからない問題です

K⊂M⊂Lを体の有限次拡大でNをKの代数閉包とするとき
１、任意のM→NのK準同型は、あるL→NのK準同型の制限として存在する
２、任意のL→NのK準同型は、あるM→NのK準同型の拡張として存在する

これってどうやって証明できますか？

581

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 00:23:13.94

:eLfureAF

>>580

なんぼなんでも(2)は当たり前でしょ？g:L→NにたいしてそのMへの制限をfとすればgはfの拡張です。
(1)は[L:M]についての帰納法。[L:M]=1なら自明。[L:M]<nで成立として[L:M]=nとする。f:M→Nをとる。
h:M(a)→Nを以下のように定める。
a∈L＼Mをとってp(x)∈M[x]をaの最小多項式とする。
fをpの各係数にヒットして得られる多項式をq(x)∈N[x]とする。
b∈Nをq(x)=0の解とすればu(a) ∈ M[a]に対しh(u(a))を

h(u(a)) := u(b)

で定めればhがfのM(a)への拡張になる。
これを帰納法の仮定でLまで拡張すればよい。

582

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 00:25:39.00

:eLfureAF

>>581

ちょっと文章おかしい。orz

583

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 00:27:01.72

:Ew3FIvyX

>>581

無限次拡大でも成立するでしょ

584

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/04(月) 01:07:17.27

:h+ZWgLJO

>>581

ありがとうございます。
確かに、２は本当に自明でした。
１はLをM(a1),M(a1,a2)と順々に生成元を増やしていくことで
証明可能ですね。

585

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 01:08:30.80

:eLfureAF

>>583

成立するけどそんなこと聞かれてないじゃん。

586

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/04(月) 01:40:11.94

:TVLQ/Uff

>>575

f がどんな関数でもいいとすると、多分収拾がつかなくなる。
とりあえず f は微分可能としておくと、

・f(x,y,z)=c となるような R^3 の部分集合が空でない。
・各点で、∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z の少なくとも一つが 0 でない。

が成り立てば、普通にイメージする「曲面」になると思う。（陰関数定理より）

曲面の定義についてはいろいろとややこしい話があって、俺もよく分かってない

>>578

それだと例えば１点集合も含まれてしまう

587

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 01:43:47.58

:pRuLOyTB

曲面とは第二可算公理を満たす二次元の多様体とする。

ウィキペディアに書いてありました

588

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/04(月) 02:13:36.85

:uPN1izK/

波の周波数のピークだけを求めたいときにフーリエ変換より軽いアルゴリズムってありますか？

589

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 03:46:57.06

:Ew3FIvyX

>>585

無限次元でも成立するということは
機能的にちょっとずつ示すということが本質にならないことを意味してる
それは楽なことではあるけれど本質をズバリ示す方法が別にあるはず

590

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 04:13:15.19

:Utc1nkXv

>>589

では本質的な証明をどうぞ。

591

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/04(月) 08:58:40.11

:ycd3mYgI

>>576

そう言いたいんですが、ダメでしょうか

592

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/04(月) 09:21:54.35

:TVLQ/Uff

>>587

その上の例のところに
＞どんな形式的定義によってもこの多様さを包摂することはできないだろう。
と書いてある。

定義の所には
＞以下では、曲面とは第二可算公理を満たす二次元の多様体とする。
のように「以下では」と断っているので、
これが唯一絶対の定義というわけではない。

593

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 09:41:10.86

:6HdYFqxb

>>592

よくわかってないのにどうしてわかるんですか？

594

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 11:36:40.98

:yB8KSbea

>>586

んじゃ
局所単射な連続像で

595

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/04(月) 13:44:25.21

:qVhRS52G

>>593

主語と目的語を明記しろ

596

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 19:47:25.28

:SYEVbRdt

597

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 21:37:15.77

:Ew3FIvyX

>>591

ん？1と1+xが1次従属だと思ってるの？

598

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 22:06:06.63

:SYEVbRdt

「A の任意の点 (x, y) に対し、 S に含まれる A の点 (s, t) で
f(x, y) ≦ f(s, t) をみたすものが存在する」の意味ですが、これ
を素直に解釈した(1)の意味らしいです。

「A ≦ S ならば f(x, y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものがある。」

は本当に成り立ちますか？

(1)
A ≦ S

⇔

∀(x, y) ∈ A, ∃(s, t) ∈ A ∩ S such that f(x, y) ≦ f(s, t)

(2)
A ≦ S

⇔

∃(s, t) ∈ A ∩ S such that ∀(x, y) ∈ A, f(x, y) ≦ f(s, t)

599

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 22:14:43.45

:SYEVbRdt

>>598

正誤表を見てみてもこの件については書いてありませんでした。

600

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/04(月) 22:35:22.68

:I5WBOZE8

>>596

前後の文脈も仮定もいまいちわからんがsの仮定の文章だけから判断するなら（1）でしかありえない
最大値云々のところは文脈がわからんから間違ってるともなんとも

601

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/04(月) 22:37:40.96

:I5WBOZE8

ようするに抜き出し方が不十分なのでよくわからん
（2）はなさそうだろうということだけは言えるが

602

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/04(月) 22:38:56.60

:3Nmx3S2A

>>598

A＝{ (x,0)｜0＜x＜2 }
S＝{ (x,0)｜0＜x＜1 }
f：A → R, f(x,y)＝1/x

とすると、(1)は成り立つが、max f(A) は存在しない。
特に、f(x,y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものはない。

ただし、max f(A) が存在するケースでは、f(x,y) の最大値をとる A の点で S に含まれるものが存在する。
文脈から推測するに、max f(A) が必ず存在するようなケースしか考えてないのでは？

603

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 22:51:35.85

:SYEVbRdt

>>601-602

ありがとうございます。

抜き出し方が不十分ということはないと思います。

最大値の定理の証明の前の準備のような文章なので、もしかしたら、
max f(A) が存在するケースを勝手に考えているという可能性はあり
ます。

604

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 22:57:24.24

:SYEVbRdt

>>596

この本の妙なところですが、まず平面の開集合 U の点 a での連続性を定義していて、
その後に、一般の平面の点の集合 A の点 a での連続性が定義されていたりします。

妙に神経質なんです。

A - B という集合の演算についても B が A の部分集合のときにしか定義していません。
（意図が分かりません。）

605

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/04(月) 23:03:49.86

:SYEVbRdt

ttps://imgur.com/7AbnKtF.jpg
外部リンク

ttps://imgur.com/0OxqEoZ.jpg

念のため該当箇所の周辺をアップロードします。

606

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/04(月) 23:50:56.98

:m/g81t05

wara

607

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/05(火) 00:03:36.23

:SY5SVVbZ

>>605

単なる記号の定義で、成り立ちますかもクソもない気がするのですが、何が問題なんですか？

608

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/05(火) 00:26:24.95

:PbqFpKWz

>>607

何回同じ事やるんだ

609

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/05(火) 06:15:14.27

:+ryOilXm

>>604

アンタに神経質言われてもな

610

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/05(火) 19:01:19.69

:LjMi6mmc

>>597

1とxと1+xは一次従属じゃないんですか？

611

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/05(火) 19:51:08.19

:y93ap0Jy

なんでxを付け加えたの？

612

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/05(火) 20:07:51.97

:7Wnt1KgV

x"=-ω^2cosx , ω=√(g/l)を変形して
(x')^2-2ω^2cosx=2Eを表せ
Eは系のエネルギー
分かりません、教えてください

613

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/05(火) 22:23:22.73

:y93ap0Jy

物理板へGO!

614

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/05(火) 22:56:14.31

:gFLinEPr

数学としてみるなら、Ｅがエネルギーなのかなんなのかよくわかんないだろうけども
単に示すだけなあｒ、x'' = ... の式に、x'をかけていわゆるエネルギー積分してしまえば下の式になる。
Ｅは単なる積分定数としての扱いになるけど。

615

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/05(火) 22:59:57.23

:PbqFpKWz

ならんよ

616

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/05(火) 23:02:52.35

:SY5SVVbZ

わからないんですね

617

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/05(火) 23:13:37.90

:PbqFpKWz

いつも607みたいにおかしなこと書いてるね

618

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/05(火) 23:14:12.98

:LjMi6mmc

>>611

一応問題では1、x、1+xなので…

619

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/05(火) 23:20:03.45

:gFLinEPr

>>614

よくみたら確かにならんわ
問題確認して物理板いけ

>>612

620

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/05(火) 23:43:06.14

:59iDZs7a

ttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%AF%E3%82%8A%E5%AD%90

621

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 01:26:43.90

:I5g3t//e

>>618

1次従属の判定法が間違いだって言ってるんだがや

622

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 01:39:39.98

:Yt9GUMLT

>>621

すいません、どこが間違ってるのでしょうか…

623

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 02:30:51.42

:KlZGQ+Ub

>>621

味噌カスくせーw

624

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 03:24:58.10

:I5g3t//e

1と1+xでその判定法使えないって言ってるんだがや

625

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 03:51:08.55

:7StJ7dNK

必要条件を一つ出しただけで解き終わったと思ってる間抜けはよくいるから安心して

626

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 05:05:07.27

:f4z4TL4l

K:問題での係数体
多項式x,1+xの変数xはfixed
a,b,c∈Kが体K上一次独立⇔a+bx+c(1+x)=0⇔a+b=b+c=0⇔a=-b=c.
a=-b=c≠0、a+c=b+c=0のときもa+bx+c(1+x)=0.
∴a,b,cはK上一次従属

627

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 05:08:02.06

:f4z4TL4l

a=-b=c≠0はa=-b=c=0

628

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 05:17:00.63

:f4z4TL4l

a=-b=c=0⇔a+b=b+c=b
だから、

>>626

の「a=-b=c≠0、a+c=b+c=0」はb=0(a=b=c=0)でいいや

629

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 05:37:52.25

:bCWsafiW

集合論に関する問題です。
R := 実数集合 (連続体濃度)
A := 有限長記号列で表現可能な全ての実数の集合 (可付番濃度)
α := 集合 R - A から選んだ１要素 (選択公理を仮定)
とします。

α を定義する記号列は有限長なので、α は A に含まれます。
しかし α は A - B の要素なので、 α は A に含まれません。(矛盾)
これは何が問題なのでしょうか？

Aがあれで定義できているのか怪しい気がするのですが、
公理的集合論の立場から具体的に指摘してもらえると助かります。

630

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 05:40:13.94

:f4z4TL4l

失礼、

は取り消し。

でいい。

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 05:46:28.26

:TUSGQldc

>a+bx+c(1+x)=0⇔a+b=b+c=0

?

632

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 05:54:37.91

:f4z4TL4l

本当に失礼。

>>626

の
>a+bx+c(1+x)=0⇔a+b=b+c=0⇔a=-b=c
は
>a+bx+c(1+x)=0⇔a+c=b+c=0⇔a=b=-c

「a=-b=c≠0、a+c=b+c=0」は「a=b=-c≠0、a+c=b+c=0」

633

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 05:57:28.05

:1HbeHY1T

>629
その定義では値が一意に定まらないから

634

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 07:20:47.10

:bCWsafiW

>>633

αの値の定義ですか？
選択関数( 選択公理下で存在が保証されている )を適当に固定して ”sel” とでもしておきます。
α := sel( R - A )
これで一意に定まると言えるはずですが、矛盾は解消されません。

後付けですが A の定義について補足します。
有限長記号列で表現可能な実数とは
　現行のUnicode記号(有限種類)を有限個並べて数学的に意味をなし ”一意に定まる” 実数
という事にします。なので A が可付番濃度なのは明らか。(Aが定義できているのなら...)
また π, e , lim, Σ, ∫ , sin, cos 等の特定記号列は通常の意味を持つものとします。
◯例. lim[ξ→e] ∫[0, ξ] sin(t^π) dt
×例. m9(^Д^) (数学的に意味をなさない)
×例. 方程式 x^2 - 2 = 0 の解 (一意に定まらない)

635

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 07:36:35.15

:I5g3t//e

>>634

定義可能が定義されないからだよ

636

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 07:36:55.06

:I5g3t//e

>>634

>数学的に意味をなし ”一意に定まる”
ここがね

637

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 09:04:08.77

:DqPZ42vc

>>633

>>635

>>636

↑これが数学板の実力です
専門板なのに異常にレベルが低い
せいぜい数学の少しできる高校生レベル

>>629

＞A := 有限長記号列で表現可能な全ての実数の集合 (可付番濃度)

は集合ではありません
このような命題は、対象内の言語で表現不可能で、メタ視点から俯瞰していることに相当しているからです

638

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 09:12:24.22

:G6+C1kaY

こういうパラドックスての本質てのは自己言及なわけです

自分のことは自分ではわからない、ということですね

639

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 09:24:53.83

:c66ueKgy

集合とは何か定義し、集合ではないことを示せますか？

640

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 09:39:45.09

:G6+C1kaY

集合とは、特定の構成方法(ZFC)によって構成されるクラスであって、その方法ではAは構成できません

641

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 09:52:13.82

:I5g3t//e

>>637

>このような命題は、対象内の言語で表現不可能で、メタ視点から俯瞰していることに相当しているからです
そういうことだよ
よく知ってんじゃんｗ

642

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 10:17:20.58

:hEC4hMnU

素直にわかりませんでした、と認めたらどうですか？恥ずかしいですね

643

： １３２人目の素数さん [629 (質問者です)] 2018/06/06(水) 10:25:44.26

:bCWsafiW

>>635

>>637

>>640

ありがとうございます。
言わんとする事の雰囲気は分かるのですが、自分はちゃんと理解する域に達していないようです。
こういうのってどういう本読めばいいんでしょうかね。

644

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 10:27:19.71

:hEC4hMnU

まずは数理論理学から勉強しましょう

645

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 10:29:52.17

:c66ueKgy

>>640

具体的に定義し、具体的に示せますか？

646

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 10:30:23.54

:hEC4hMnU

定義はウィキペディアに載ってますね
それを見ると明らかですね

647

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 10:32:34.43

:f4z4TL4l

K:問題での係数体、多項式x,1+xの変数xはfixed
多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、
{1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となり、a,b,c∈Kについて
a+bx+c(1+x)=0⇔a+c=b+c=0⇔a=b=-cなので、a=b=c＝0となるが、
c≠0、a+c=b+c=0のときa,b≠0でa+bx+c(1+x)=0は成立して定義に反し矛盾
∴1,x,1+x∈K[x]はK上一次従属

648

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 10:33:05.47

:c66ueKgy

>>646

具体的にお願いします

649

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 10:52:49.30

:f4z4TL4l

ttps://i.imgur.com/AoPv0Ou.jpg

>>626

はなし

650

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 11:05:14.66

:hEC4hMnU

(1)+(x)=1+xだから独立ですよ
他の和で表せちゃったんですから

651

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 11:09:11.05

:JT1XOW9i

独立？

652

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 11:09:13.16

:hEC4hMnU

独立ではない、でした

653

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 11:14:46.94

:TXSYPVvY

ヘッシアンが0の時に極値を取ることはどうやって証明するんですか？

654

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 11:17:54.89

:7Q80lhuW

さあ

655

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 13:03:59.85

:p1acT6fD

ヘッシアン0が極値のわけねーだろ

656

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 13:15:33.70

:H9b9DLSi

ヘッシアンが0であれば極値をもつかどうかは分からない
そして実際に極値をもつかどうか判別する方法は問題ごとに違う
なので、具体的な問題を提示してくれないと答えられない

657

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 13:34:48.89

:TXSYPVvY

今まで見たのはヘッシアン0で極値を取らないことを示す問題ばかりでした
関数によっては極値を取るものもあると思うのですが、それを証明する方法はあるのでしょうか

658

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 14:06:17.14

:42MpZsQ1

>>647

＞多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、
＞{1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となり、

ここ詳しく説明してね

659

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 14:31:31.54

:H9b9DLSi

>>657

例えばf(x,y)=x^2+y^4上で(x,y)=(0,0)のヘッシアンは0になる
点(0,0)の近傍(x,y)を任意にとればf(x,y)>0を満たすので(0,0)で極小値0をとる

660

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 16:32:29.66

:Q1+o1co8

二次元分布わかる方教えてください

問題は2枚目と4枚目です
2枚目はできましたが4枚目がわかりません

外部リンク

ttps://i.imgur.com/bT8GtMb.jpg
外部リンク

ttps://i.imgur.com/v38wZjl.jpg
外部リンク

ttps://i.imgur.com/T4TLT0O.jpg
外部リンク

ttps://i.imgur.com/U8GsDKv.jpg
外部リンク

661

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 16:35:25.70

:bfuKxOwI

わからないんですね

662

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 16:52:10.03

:khFraanj

計算問題かよ

663

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 17:37:38.04

:TXSYPVvY

>>659

ありがとうございます

664

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 17:44:44.63

:f4z4TL4l

>>658

Fを環とする。環F上に定義された二項演算としての加法、乗法をそれぞれ+、・とする。1をFの単元とする。
Gを任意の可換群とする。可換群はその上に定義された加法の二項演算について可換と見なして考えることが多い。
そこで、+と区別するため、群G上に定義された二項演算を +' で表すことにする。0をGの単位元とする。
すると、Fの加法群Gへの、Gの加法 +' に関する左からの作用 F×G→G (a,f)→a+'f が定まる。
同様に、FのGへの、Gの加法 +' に関する右からの作用 G×F→G (f,a)→f+'a も定まる。
Fの加法群Gへの、Fの乗法・に関する左からの作用 F×G→G (a,f)→a・f＝af も定まるから、加法群Gは環Fの左F-加群。
同様に、FのGへの、Fの乗法・に関する右からの作用 G×F→G (f,a)→f・a＝fa も定まるから、GはFのF-右加群。
よって、加法群Gは環FのF-両側加群。Gは任意なので、G＝F として、
Gに定義された加法の二項演算 +' とFに定義された加法の二項演算+とを同じ二項演算の加法と見なせば、環FはFのF-両側加群となる。
単位的環はその上に定義された加法と乗法の二項演算について環なので、単位的環Fの加法の二項演算を+、乗法の二項演算を・とすれば、
Fは加法の二項演算+、乗法の二項演算・について、F上のF-両側加群となる。
Fの乗法の二項演算・が可換のときは、単位的環Fは可換環となって、同様に可換環Fは、
Fに定められた加法の二項演算+、乗法の二項演算・について、FのF-両側加群となる。
多項式環の定義から、可換環の点を係数とする多項式全体の空間F[x]は可換環をなし、
多項式環F[x]のF-係数多項式の変数xは固定されている。
このとき、もしF-係数多項式1,x,1+xが可換環F上一次独立ならば、{1,x,1+x}はF-係数の多項式環F[x]の基底となる。
体Kはその上に定義された加法と乗法の各二項演算が、環Fに定義された加法と乗法の各二項演算+、・のときは、環Fと見なせるので、
上の議論でのF上をF＝Kとすれば、多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、
1,x,1+x{∈K[x]で、1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となることがいえる。

665

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 18:02:03.77

:f4z4TL4l

>>658

>>664

の一番下の「1,x,1+x{∈K[x]で、1,x,1+x}」は「1,x,1+x∈K[x]で、{1,x,1+x}」

666

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 18:25:48.86

:EZ6cKRaC

1+x=1+x
これで終わることに長文垂れ流す人の心理を答えよ、という問題がわかりません

667

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 18:32:49.18

:f4z4TL4l

そんな反例すぐ分かってツマンネ

668

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 18:36:11.35

:EZ6cKRaC

また、1,x,1+xの線形結合によりx^2を構成せよ、という問題もわかりません

669

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 18:45:04.66

:f4z4TL4l

Kを体とすると、{1,x,x^2}はK-係数の多項式環K[x]の基底だから、
1,x,1+xのKの点による線形結合では表せない

670

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 18:48:39.39

:f4z4TL4l

体がK(x)とかだと、話は別

671

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 19:08:21.51

:42MpZsQ1

>>664

長々と意味のない説明もどきをありがとうございます
0点ですね

672

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 19:18:45.46

:+N4wjYI8

>>669

基底なんだからどんなものでも表せるはずですよね
はやく1とxと1+xでx^2を表してくださいね

673

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 21:05:46.33

:f4z4TL4l

>>671

そもそも、そのような類の詳細は話はテキストに書いてある
テキストへ Let's go.

>>672

少なくともKが標数0の体である限り、そんなこと出来ない

674

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 21:12:54.93

:DqPZ42vc

>>673

>>664

＞このとき、もしF-係数多項式1,x,1+xが可換環F上一次独立ならば、{1,x,1+x}はF-係数の多項式環F[x]の基底となる。

あなたが基底だって言ったんですよ

675

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 21:19:46.56

:f4z4TL4l

>>674

可換環FのF-係数多項式やその多項式環F[x]の構成などの話まで
ここに書く気はしない。それで話は終わる。

676

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 21:22:38.38

:DqPZ42vc

>>675

あなたが1とxと1+xでx^2つくればいいだけの話ですね

てか、環論よくわかりませんが、F係数って、多項式を係数としたら1が基底になるみたいな話なんですか？
係数はKですよね

677

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 21:26:42.95

:42MpZsQ1

>>673

もちろん1,x,1+xが係数環上で一次従属(=一次独立でない)ことは知っていますよ
(そんな当たり前なことを一々書いてある本は見たことないですが)

環K[x]の生成系ではなく基底だと言ったんですよね？

678

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 21:37:33.61

:f4z4TL4l

>>676

可換環Fの元を係数に持つ1変数の多項式をF-係数の1変数多項式という。
有理関数体K'(y)の係数を持つK-係数の2変数xy多項式を考えて
多項式環が環K[y,x]だと

>>647

の
>c≠0、a+c=b+c=0のときa,b≠0でa+bx+c(1+x)=0は成立(a,b,c∈K(y))
がヒントになる。xに着目するのではなく、yに着目してyを不定元として考える。

679

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 21:38:49.88

:DqPZ42vc

>>678

1とxと1+xは一般には基底にならないということで良いですか？

680

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 21:41:40.24

:f4z4TL4l

>>677

Kが体のとき、多項式環K[x]はK上の線型空間。

681

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 21:42:20.85

:DqPZ42vc

>>680

1とxと1+xはその線形空間の基底になってるんですか？

682

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 21:49:24.77

:f4z4TL4l

>>679

大抵の場合はそうだが、体Ｋの有理関数体K(y)は超越拡大体なので、

>>678

のような考え方は出来る。

683

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 21:51:38.72

:f4z4TL4l

>>681

少しはテキスト読めと

684

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 21:52:54.58

:DqPZ42vc

代数も勉強した方がいいんですかねやっぱり

685

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 21:54:39.14

:42MpZsQ1

>>682

「そう」の指し示すことは「(一般には)基底にならない」ということでいいですか？
それでは、あなたの発言を見てみましょうか

＞多項式1,x,1+xが体K上一次独立とすると、
＞{1,x,1+x}はK-係数の多項式環K[x]の基底となり、

686

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 21:57:06.12

:f4z4TL4l

>>685

それ、線型代数での話

687

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 22:00:05.77

:42MpZsQ1

ところで、

>>678

の

＞有理関数体K'(y)の係数を持つK-係数の2変数xy多項式を考えて

はどういう意味でしょうか？結局、係数環(体)はKですか？それともK(y)ですか？？？

688

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/06(水) 22:04:45.68

:f4z4TL4l

>>687

そこ、K'はK

689

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/06(水) 22:07:49.21

:42MpZsQ1

>>686

いまは線形代数の話ではないのですか？
私はずっと線形代数の話のつもりでしたが……そもそも一次独立性と基底についての疑問でしたよね？

>>688

結局、係数はKなのかK(y)なのかどちらでしょうか？

690

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 00:04:22.61

:dkWC8TZy

>>646

恥ずかしいですね

691

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 00:04:58.29

:dkWC8TZy

>>650

恥ずかしいですね

692

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 00:07:25.79

:dkWC8TZy

>>669

K[x]_2の基底ね

693

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 00:14:16.68

:dkWC8TZy

しかし何でこんなアホな紛糾しトルンか分からんな
1,x,1+xはどんな体上の多項式と考えても1次従属
ただ
適当な値（たとえばx=0）を代入するという線形写像の像が1次従属だと示しても無駄
像が1次従属でも元が1次従属とは限らないからな
でしまいだがや

694

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 00:21:01.13

:6/PBQ17G

1+x=1+xで終わる話ですよね

695

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 00:29:20.96

:jN6jtydj

>>693

「f(E)={f(x)|x∈E}が一次従属⇒Eが一次従属」が成り立つとしたら、線形写像として零写像を考えれば全ての部分集合E⊂Vが一次従属になってしまうわな

具体例考えれば明らかにおかしいのに、なんでこんな疑問を持つのか謎すぎる

696

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 00:52:03.60

:8fgM1ZQ4

>>689

>>677

で
>もちろん1,x,1+xが係数環上で一次従属(=一次独立でない)ことは知っていますよ
>(そんな当たり前なことを一々書いてある本は見たことないですが)
と書いたようだが、そういった可換環FのF-係数多項式やその多項式環F[x]の構成などに関わる話は、
現代数学概説Ⅰや岩波講座基礎数学の環と加群に書いてある。どっちも、ページ数は多い。
現代数学概説ⅰの代数系の話ははじめ群、環と体などの話からはじまり、後半の方でやっと線型代数の話になる。
環と加群の方は群を除いた加群や環から体にかけての話についてはとても詳しいが、
線型代数だと線型空間やJordan標準形と単因子論などからなる同講座の線型代数シリーズの方が詳しい。
後者のシリーズは如何に併読するかが問題だが、そこら辺は読者によって異なると思う。
今だと、それらのような本に沿った線形代数はやってないだろうから、食い違いが起きたんだと思う。

>>687

の係数はK(y)の元。

697

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 00:55:10.64

:6/PBQ17G

なんで勝手にKを限定してるんですか？

698

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 01:03:50.09

:8fgM1ZQ4

>>697

代数の一般論は、係数体が実数体Rや複素数体Cなどのような標数0の位相体になると、
必ずしもその一般論が適用出来るとは限らなくなることがある。

699

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 01:06:56.25

:6/PBQ17G

一般論としては、1,x,1+xは基底となるとは限らない、ですね
具体的な場合は成り立たないのかもしれません

で？て感じです

700

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 01:31:50.53

:jN6jtydj

>>696

「本に書いてある」というのは基底であることの証明ではなく多項式環の構成でしたか
それなら

>>677

の括弧は取り下げますね
で、その構成から1,x,1+xがどう(一次独立であるとした上で)K[x]の基底になるのか説明をお願いします

>>687

はつまりK(y)[x,y]ということですか
()内と[]内のyは同じものですよね？それならK(y)[x,y]=K(y)[x]となり体K(y)係数の一変数多項式環になりますけど

701

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 01:36:32.62

:8fgM1ZQ4

>>699

係数体KがRやCだと、Kは完備な位相体で1,x,1+xは関数でもあるので、本来は多項式環だったK[x]を位相線形空間として、
その位相線形空間K[x]上で考える必要性がある。複数あるK[x]のノルムの定義法の中から、
ノルムを選んで定めることなども問題になる。一般にはK[x]のノルムの選び方によって結果は変わる。
そこら辺は自分で。

702

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 01:48:59.50

:dkWC8TZy

>>701

>その位相線形空間K[x]上で考える必要性がある
？ないよ

703

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 01:53:00.72

:8fgM1ZQ4

>>700

>1,x,1+xがどう(一次独立であるとした上で)K[x]の基底
K[x]の基底は { x^n | n∈N＼{0} } だった

>()内と[]内のyは同じものですよね？それならK(y)[x,y]=K(y)[x]となり体K(y)係数の一変数多項式環になりますけど
記法間違えた。K[x,y]はK(y)[x]の間違い

704

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 02:09:40.90

:8fgM1ZQ4

>>702

はじめ問題にはロンスキアンが出ていたから、係数体はRかCで、1,x,1+xは関数の筈
あとは問題の創作をするかどうか

705

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 06:38:04.04

:2579HZik

単体集合から係数±1をうまくつけてd^2=0になる微分(つまり鎖複体)を作れたように
係数に1のnべき根をうまくつけるとd^n=0になるようなものが作れるって話聞きました
詳しくわかる人いたら教えてください

706

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 12:56:19.91

:ThU6x6bj

マセマの微分積分という本に、下のように書いてありました。
z=f(x,y)とおく
∂z/∂x=fx(x,y)+fy(x,y)・dy/dx

この式は正しいのでしょうか？
左辺はz=f(x,y)をxで偏微分したもの
右辺の第1項もf(x,y)をxで偏微分したものですよね。
でしたら左辺と等しいのは右辺の第1項のみだと思うのですが・・・

707

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 13:20:33.83

:F7x4Ph8K

>>706

yがxに依存してるならそうなる

708

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 13:22:34.69

:6/PBQ17G

その場合はdz/dxになるんじゃないですか？

709

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 14:00:18.89

:VAXZnzf0

>>706

左辺はf（x,y）をxで偏微分したもの
右辺第一項はfという関数の第一変数に関する導関数にx,yを代入したもの

似ているようで意味は異なる

710

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 14:04:03.95

:6/PBQ17G

>>709

同じですよね

711

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/07(木) 14:33:17.86

:Vm7vWCce

違う

712

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 14:48:08.95

:xRDshG/G

俺が最初に使った教科書にも、その定理は偏微分で書いてあった気がするな
x, y以外の変数の可能性も考えてそう書いているのだと思ってた

713

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 14:49:39.01

:vatmG1lW

ふつうの人は、そこは dz/dx のつもりなんだろうなと割り切って読み進む。
いちいちそんなとこで立ち止まらない。
誤植や著者のちょっとした勘違いなんて、この先いくらでも出てくるからね。

714

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 14:50:47.69

:SX28udAa

いわゆるガロア拡大の推進定理についての質問なんですが
ガロア群Gal（（M・N）/　N　）をMに制限する写像π
π：Gal（（M・N）/　N　）→　Gal（　M/（N∩M））
が全射になることの証明がわかりません。
Gal（（M・N）/　（N∩M）　）→　Gal（　M/（N∩M））
が全射であることは言えそうですが
Gal（（M・N）/　N　）→　Gal（（M・N）/　（N∩M）　）
は全射ではなさそうなので詰んでいます。どなたがご教授願います・・。

715

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 15:41:02.39

:SX28udAa

>>714

なんか頭のおかしいことをいろいろ書いてましたすみません
そもそもガロア拡大かどうかわからないものについて
ガロア群を考えているような感じになってしまいましたね・・。
π：Gal（（M・N）/　N　）→　Gal（　M/（N∩M））
これが全射かどうか知りたいだけです。他は虫してください・・。

716

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 16:15:29.32

:ThU6x6bj

>>706

です。
答えてくださった方ありがとうございます。
誤植と考えることにします。

717

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 17:29:15.85

:Le50RNDB

δ関数をケツの穴に入れたらどうなりますか？

718

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/07(木) 23:47:27.38

:E/Sjw1AU

>>715

M/(M∩N)とかMN/Nとかになんの仮定もないと、そもそもMへの制限の写像がwell definedじゃないやん。
つまりMNの自己同型でNの元を固定するσをとって来たときσ(M)⊂Mが成立するとは限らない。
M/(M∩N)がガロア拡大とかなんとかそんな仮定が抜けてるのでわ？

719

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/08(金) 02:00:15.47

:gjFcy+Uw

dF=∂f/∂x*dx +∂f/∂y*dy
これがわかればわかる

720

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/08(金) 09:12:38.37

:oMit71Pl

ttps://imgur.com/ByTQxCK.jpg
外部リンク

ttps://imgur.com/cvoii5m.jpg

↑物理で出てくる面積素片 dS = r * dr * dφ の極座標表示のグラフを描きました。
なんか、物理の本の図では、全然、 dr、 dφ が微小じゃないんですよね。
だから本当に長方形を近似しているのだろうか？と思ってしまいますよね。
だから確かめてみました。

721

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/08(金) 12:23:22.92

:nIWlXXWq

>>703

＞K[x]の基底は { x^n | n∈N＼{0} } だった
なぜわざわざx^0=1を除外してしまったのか

722

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/08(金) 12:48:45.24

:LboEm2ef

>>721

それか。ここは代数が出来るなら、その位自分で訂正出来るだろうと思って、
面倒臭くて敢えて訂正しなかった。0∈Nとする流儀とNを正整数全体とする流儀とがあって、
単純に { x^n | n∈N } と書くと人によって、解釈に相違が生じかねない。
正確にはK[x]の基底は { x^n | n∈N }∪{1} になる。
後、元の問題では変数xの定義域がRかCかも不明だし、
三角関数の一時独立性も判定しなきゃいけないから、やはり単純に代数「だけ」の問題とはいえない。

723

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/08(金) 12:53:28.71

:LboEm2ef

>>721

「三角関数の一時独立性」は「三角関数の一次独立性」ね。

724

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/08(金) 12:57:03.37

:xXWPeHIT

>>714

できたかも…

M∩N → Nは M→MNへ拡張される。

(∵) [M:M∩N]=1なら明らか。[M:M∩N]<kで成立するとして[M:M∩N]=kとする。
M∩Nを含む真の部分体M'とm∈MをM=M'[m]となるようにとる。
仮定から拡張 f:M'→M'N がとれる。
(M'N/M')の代数閉包をL、包含写像M'⊂LをgとしてgfはL→Lに拡張される。
gf^(-1)(m)とmはM'上の共役元であるからh∈Gal(M'N/M')をh(m) = (gf^(-1)(m)) となるように選べる。
このときk=gfhが求める拡張である。
実際kをM'に制限すれば拡張であり、
k(m)=gfh(m)=gf(gf^(-1)(m)) = m
であるからkをM'[m]に制限すればその像はM'N[m]に含まれる。

725

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/08(金) 13:25:48.02

:LboEm2ef

>>721

Nの流儀による解釈の相違を避けるため、一応書くと
正確にはK[x]の基底は { x^n | n∈N＼{0} }∪{1} になる。

726

： １３２人目の素数さん [] 2018/06/08(金) 13:30:58.32

:nIWlXXWq

>>722

それなら{x^n|n∈N∪{0}}と書けばいいのでは

まあそこはどうでもいいか
位相が入ったらK[x]のK基底が変わるというのが間違い
もしかしてV*=Hom(V,K)の双対基底とかの話と混同してない？

727

： １３２人目の素数さん [sage] 2018/06/08(金) 13:39:28.00

:LboEm2ef

>>726

そもそも、元の問題は