面白い問題おしえて〜な 二十四問目 [無断転載禁止]©2ch.net
: 132人目の素数さん [] 2017/08/07(月) 00:07:33.27:y+VPlwP8 過去ログ ttp://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/ まとめwiki ttp://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 1 ttp://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/ 2 ttp://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/ 3 ttp://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/ 4 ttp://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/ 5 ttp://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/ 6 ttp://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/ 7 ttp://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/ 8 ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/ 9 ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/ 10 ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/ 11 ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/ 12 ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/ 13 ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/ 14 ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/ 15 ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/ 16 ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/ 17 ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/ 18 ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/ 19 ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/ 20 ttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/ 21 ttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/ 22 ttp://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/ 23 ttp://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/ : 132人目の素数さん [] 2017/08/07(月) 00:08:17.09:y+VPlwP8 積み残し 937 132人目の素数さん 2017/08/04(金) 14:40:03.29 ID:S6Ck6bY/ 地球上の2地点A,B間を飛行機で移動する。このとき、飛行機がA,Bの両方より北側(高緯度側)を通るためのA,Bの位置関係を答えよ。 例えば東京とロンドンはこの位置関係にある(飛行機はロシア上空を通過する)。 地球は球と見なせるとし、飛行機は2地点間を最短距離で(大圏航路で)移動する。 また、球面上の2点を最短距離で結ぶ線は、球面をその中心を通る平面で切った円(大円)の弧になることが知られている。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/08/07(月) 00:09:46.21:y+VPlwP8 重複してもうた 本スレは↓ 面白い問題教えて〜な 24問目 [無断転載禁止]©2ch.net ttp://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/07(月) 00:34:34.25:/rspiZFz ☆☆☆馬鹿板は数学徒の脳を腐らせる悪い板であり、そやし廃止してナシにすべき。☆☆☆ ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/08/15(火) 13:01:57.32:CbWLpmUn 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/15(火) 13:39:24.65:eWiOROST ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/08/15(火) 15:21:58.25:CbWLpmUn 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/15(火) 15:25:33.33:eWiOROST ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/08/19(土) 04:40:24.43 複素係数の一般の多項式が1度でも因数分解できるかどうかを判定するアルゴリズムって存在する? (一般の多項式の解を加減乗除や開根で求めるアルゴリズムは存在しないけど、因数分解であって因数定理じゃないからね。そこは注意) : 132人目の素数さん [] 2017/08/19(土) 07:36:54.02:Y656Avbw ttps://en.wikipedia.org/wiki/Factorization_of_polynomials : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/19(土) 12:27:18.15:LB3Hl+jp ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/19(土) 12:27:35.98:LB3Hl+jp ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/19(土) 12:27:54.37:LB3Hl+jp ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/19(土) 12:28:12.51:LB3Hl+jp ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/19(土) 12:28:29.99:LB3Hl+jp ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/19(土) 12:28:46.78:LB3Hl+jp ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/19(土) 12:29:06.08:LB3Hl+jp ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/19(土) 12:29:24.56:LB3Hl+jp ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/19(土) 12:29:42.42:LB3Hl+jp ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/19(土) 12:30:01.77:LB3Hl+jp ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/08/20(日) 07:38:08.28:EgFHfW+Y 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/20(日) 07:49:43.81:vRIJh8/a ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/08/25(金) 12:53:23.72:0w23soD0 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/25(金) 13:10:46.66:TrbQa07i ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/08/26(土) 06:54:12.75:CeZn2wfG 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/26(土) 07:06:09.88:Nv7xuP/c ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/08/26(土) 12:35:34.69:CeZn2wfG 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/26(土) 12:36:40.58:Nv7xuP/c ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/08/26(土) 12:43:43.41:CeZn2wfG 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/26(土) 12:44:56.09:Nv7xuP/c ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/08/26(土) 12:49:40.36:CeZn2wfG 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/26(土) 12:50:37.19:Nv7xuP/c ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/08/30(水) 13:37:34.03:Gs2pOMIR 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/30(水) 14:27:28.02:xZ8twSlP ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/08/30(水) 14:27:38.93:Gs2pOMIR 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/30(水) 14:34:49.07:xZ8twSlP ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/30(水) 19:09:45.14:xZ8twSlP ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/30(水) 19:09:59.00:xZ8twSlP ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/30(水) 19:10:15.58:xZ8twSlP ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/30(水) 19:10:30.81:xZ8twSlP ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/30(水) 19:10:46.90:xZ8twSlP ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/30(水) 19:11:01.74:xZ8twSlP ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/30(水) 19:11:21.51:xZ8twSlP ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/30(水) 19:11:36.99:xZ8twSlP ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/08/30(水) 19:11:51.94:xZ8twSlP ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/08/31(木) 08:12:27.64:0miVNrvU 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/09/01(金) 10:54:22.79:7A4+w7Rv ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/09/02(土) 11:52:28.91:3V8qFOPU 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/09/02(土) 12:35:05.23:z17/uuYO ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/09/02(土) 12:41:46.72:3V8qFOPU 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/10(日) 04:00:33.43:GGGugCiK 複素数体上で因数分解できる(可約)ことは、代数学の基本定理(ガウスの学位論文)なりけり。 (大意) しかし位相的な概念が未開拓の時代に、多項式の軌跡がある点のまわりを何周するか表示するのさえ一苦労だった。 それを現代的な表現形式に整合しないと言って批判するのは 2x2=4 と同じぐらい簡単なことだなあ。 今では解析的に「整関数」とか持ってきてリュービルの定理を使うのが早いかも。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/10(日) 04:49:53.14:zM8ePnYv 君は黙ってた方がいい : 132人目の素数さん [] 2017/09/10(日) 06:47:26.96:tt7dT1ES 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/10(日) 12:55:39.62:GGGugCiK 話が逸れてしまった。スマソ 根を求めずに(2次以上の)因数を直接求めるアルゴリズムがあるかどうか、ですね。 : 132人目の素数さん [] 2017/09/10(日) 14:06:40.99:TOByQI19 例えばx^2-y^3∈C[x,y]という多項式をどうやって因数分解するんですかね…… 代数学の基本定理使っていいよ(どう使うのか知らんけど) : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/10(日) 20:33:30.53:sZp16U24 (x+y^(3/2))(x-y^(3/2)) : 132人目の素数さん [] 2017/09/10(日) 22:35:48.74:TOByQI19 多項式環の中での分解じゃないんかーい : 132人目の素数さん [] 2017/09/11(月) 08:32:53.48:y9hmVKAY 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/12(火) 19:15:53.73:YsdDbYfo xの多項式の積に因数分解しますた。 : 132人目の素数さん [] 2017/09/12(火) 19:21:23.03:sYsWMsP9 それなら2次以上の全ての多項式は(適当に変数を固定した上で)代数閉包の中で因数分解出来出来るから、そもそもの「因数分解可能性判定のアルゴリズム」を考える意味がないな : 132人目の素数さん [dddjk] 2017/09/12(火) 19:35:11.86:kC7odTIm ↑ 阿呆の典型 : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/13(水) 08:14:30.03:KCTM05Fh 多変数多項式環でそんなこと… : 132人目の素数さん [] 2017/09/13(水) 12:11:04.39:2L/JWqdx 代数閉包じゃなくて整閉整域の間違いだろ : 132人目の素数さん [] 2017/09/13(水) 14:13:59.90:HyiuMNX2 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/13(水) 15:53:25.38:c08G5Hbx 惨めな奴 : 132人目の素数さん [] 2017/09/15(金) 05:55:31.39:F69fW4K/ 耳栓をしたら世界が変わってワロタ : 132人目の素数さん [] 2017/09/18(月) 15:53:37.04:yPYGMzhj 1から9までの数を1つずつ成分に持つ3×3行列の行列式の最大値を求めよ : 132人目の素数さん [] 2017/09/18(月) 16:28:44.10:GxxGBFoM さっぱりわからないな どこがどう面白いのか : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/19(火) 02:35:12.36:j5C1c71V 君は黙ってた方がいい : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/19(火) 13:09:26.44:WFAZQDNC まず1^2〜9^2の和285を求めて 3等分すると95 3つの2乗和が95に近い組み合わせは (9,3,2)と(8,5,1)と(7,6,4) なるべく垂直に近くなるように組み合わせて |9,3,2| |1,5,8|=98 |6,4,7| : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/19(火) 19:25:01.65:2LE/gb8B 148 726 593 =412. : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/20(水) 13:07:13.46:hBQz7Wq4 どーやって出したの−? : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/20(水) 20:11:58.15:kPd7qqoJ しらみ潰しにやっても9!=362880通りでしょ : 132人目の素数さん [] 2017/09/21(木) 23:31:46.00:BjBw5Tqa A_N={a^2+b^2 | a,b∈N}={1,2,5,8,10,13,…} と A_Z={a^2+b^2 | a,b∈Z}={0,1,2,4,5,8,9,10,13,16,…}が、それぞれ乗法に関して閉じていることを示せ。 すなわち、2平方数の和で表せる数どうしの積も2平方数の和で表せることを示せ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/22(金) 00:02:59.44:sJRN4z1J 反例 (1^2+1^2)*(1^2+1^2)=4 : 132人目の素数さん [] 2017/09/22(金) 00:38:40.32:QEpB9Ilp A_Nの方は無視して下さい。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/22(金) 01:58:30.80:Pj5LbyXe (a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2 : 132人目の素数さん [] 2017/09/22(金) 05:18:57.27:JQid37/t (1)tan(π/n)が有理数となるような自然数nは1,4のみであることを証明せよ (2)格子点を結んで出来る正多角形は正方形のみであることを示せ : 132人目の素数さん [] 2017/09/22(金) 11:41:00.79:1BMCcREk 正解 【解説】 Brahmagupta–Fibonacci の恒等式(Brahmagupta の2平方恒等式、Diophantus の恒等式) (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 …★ x,yをn次元列ベクトルとすると Lagrange の恒等式 |x・y|^2+|x×y|^2=|x|^2|y|^2 が成り立つ。 ★はこの特別な場合(n=2でx=[±a,±b]T, y=[±c,±d]T(複号任意、Tは転置))である。 ★は Euler の4平方恒等式 Degen の8平方恒等式 Pfister の16平方恒等式 の特別な場合でもある。 ★は Brahmagupta の恒等式 (a^2+nb^2)(c^2+nd^2)=(ac+nbd)^2+n(ad-bc)^2=(ac-nbd)^2+n(ad+bc)^2 の特別な場合(n=1)でもある。 この恒等式は、あるnについてB_n={a^2+nb^2 | a,b∈Z}が乗法に関して閉じていることを示している(B_1=A_Z)。 : 132人目の素数さん [] 2017/09/22(金) 11:41:48.44:1BMCcREk このせっかく書いた解説を貼りつけたかっただけなんだよね : 132人目の素数さん [sage] 2017/09/30(土) 19:20:17.23:xCMLiX5D ここが次スレになったの? : 132人目の素数さん [] 2017/09/30(土) 20:08:43.26:MLHXLYIv 誰も建てないから! : subo [] 2017/10/02(月) 20:55:55.49:DNso6s4Z 部屋に4X4のマスの盤があります。 悪魔はA、Bを部屋の外に待機させ、この盤に碁石(黒石)をランダムに置いていきます 尚、各マスに置ける黒石は一つです 黒石を配置したあとAを部屋の中に入れ1以上16以下の整数のどれか一つを告げます Aは4X4のマスの盤の上に @黒石が置いていないマスに一つだけ黒石を置く A黒石が置いてあるマスから一つだけ黒石を取り除く のいずれかの操作を一回だけ行います その後Bを部屋の中に入れ、Bは盤の様子を見てAに告げられた整数を当てます A,Bはどのような戦略を取ればよいでしょうか? 尚A、Bは初めの配置を知りません ルールを知った上で開始前に戦略を打ち合わせることができます : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/02(月) 22:38:21.72:32ZOrIhi 確率の問題です。 2個並列の電池があります。 1個の電池が100時間で切れる確率は1%。 ただし1個が切れると、もう片方により負荷がかかるので、残った2個目の電池が100時間で切れる確率は2%に上がります。 さて、2個並列の電池が100時間のうちに@0個切れるA1個切れるB2個切れる確率をそれぞれ求めよ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/02(月) 22:49:11.60:n0H9QlEZ マルチだらけだな : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/03(火) 00:00:42.09:PmCavwN2 マルチだから、こっちも見ているのだろうから書いておくと 悪魔の告げる数字が何を意味しているのかが書かれていなければA、Bに代わって戦略を立てる手だてがない。 マルチ先の追加の書き込みをみると、4×4のマスには1から16の数字を当てているようだが、そんなことは最初の問題には書かれていない。 Aの操作と告げられた数の間との関係が不明なのでそこから先、何も言えない。 総じて、問題記述とは何か、についての教養が足りない、というところか。 : subo [] 2017/10/03(火) 00:28:24.59:izOJ84j7 悪魔の告げる数字は1から16までの整数でランダムです Aに告げた数字をBに当ててもらうという意味です 1から16の数字は便宜上割り振りました Aは数字を聞いた後一回だけ操作します Bは悪魔が黒石を置いた盤面とAに告げた数字、Aがどこを操作したかわかりません A、Bは悪魔からルールをきいたあと2人で相談して、後にゲームをします これでよろしいでしょうか : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/03(火) 00:34:14.49:PmCavwN2 全然 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/03(火) 00:42:29.06:PmCavwN2 というだけでは不親切なので書き足しておくと 悪魔がAに告げた数とAの操作との関係(ルールのことだ)が示されていなければ、 の、Bに関することは全く無意味な設定であり設問。 パズルにもなっていない。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/03(火) 07:47:18.05:o8kwb0ZL 数字はなんでもよくて、Aの操作からそれを当てろって問題でしょ : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/03(火) 08:10:01.04:h+mIy0yD A ○○1 ●○。 ○○2 ○●。 ○●1 ○○。 ○●2 ●●。 ●○1 ○○。 ●○2 ●●。 ●●1 ●○。 ●●2 ○●。 B ○○ 1。 ○● 2。 ●○ 1。 ●● 2。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/03(火) 09:54:43.47:TBTW+f/Z A、Bは悪魔からルールの説明を聞いた後2人で相談し、Aは悪魔が黒石を置いた 盤から一回だけ黒石を置く又は黒石を消去の操作で悪魔から告げられた整数 の数がBにわかるようにする 尚一つのマスには黒石は一つしか置けません インチキやとんちとかではなく数学的手法による理詰めもの問題です : 132人目の素数さん [] 2017/10/03(火) 10:00:56.29:TBTW+f/Z Aは一回の操作でBに1から16までの数字が読みとれるように操作します 盤には数字など書いてませんが二人の相談であらかじめ数字を割り振るのは問題 ないです Aは4回操作できるなら簡単だち思いますが : 132人目の素数さん [] 2017/10/03(火) 10:10:29.65:TBTW+f/Z 1→0001 9→1001 2→0010 10→1010 3→0011 11→1011 4→0100 12→1100 5→0101 13→1101 6→0110 14→1110 7→0111 15→1111 8→1000 : 132人目の素数さん [] 2017/10/03(火) 10:51:25.57:/5TlxbPt >ID:PmCavwN2 問題の意図が理解できてないね 2^16のパターンを16通りに分類してどのパターンからも16通りの変更パターンが別々の分類になるようにせよって問題よ : 132人目の素数さん [] 2017/10/03(火) 21:04:19.32:TBTW+f/Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0000→1 1000→9 0001→2 1001→10 0010→3 1010→11 0011→4 1011→12 0100→5 1100→13 0101→6 1101→14 0110→7 1110→15 0111→8 1111→16 : 132人目の素数さん [] 2017/10/03(火) 21:11:07.98:TBTW+f/Z の表を元に 1、3、5,7、9、11、13、15→1桁の1に対応 2、3、6、7、10、11、14、15→2桁の1に対応 4、5、6、7、12、13、14、15→3桁の1に対応 8、9、10、11、12、13、14、15→4桁の1に対応 : 132人目の素数さん [] 2017/10/03(火) 23:25:14.59:TBTW+f/Z より 悪魔の設定した盤面から1桁に対応する数字に置いてある石の合計が偶数なら0 奇数なら1とします 以下同様に4桁まで計算し10進法に換算した数字が初期設定の数字になります : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 00:39:10.88:7B5xw5D5 分からん : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/04(水) 01:00:01.65:ECkyD75U マスを0000〜1111に対応させる。 数を0000〜1111に対応させる。 Aは石のあるマスと数の排他的論理和のマスを変える。 Bは石のあるマスの排他的論理和に対応する数を答える。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/04(水) 01:15:27.75:5LumzJji 前提として、盤面の向きはどちらが正面かなどわかるものとして考える。 盤面のマスに0から16までの通し番号をつけておく。 悪魔が告げた数が16の時は0とみなす。 Aの行動:悪魔が黒石を置いたマスのすべての番号および悪魔が告げた数を 2進法4桁で表し、それらすべての数について桁毎に排他的論理和をとる。 得られた4桁の2進数に相当するマスに黒石があれば取り除き、なければそこに黒石を置く。 Bの行動:黒石の置いてあるマスのすべての番号を2進法4桁で表し、 それらすべてについて桁毎に排他的論理和をとる。 得られた4桁の2進数に相当する数が悪魔が告げた数。(0のときは16とみなす) : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/04(水) 01:16:06.37:5LumzJji かぶったorz : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 10:11:27.30:e98YzzLb >前提として、盤面の向きはどちらが正面かなどわかるものとして考える そうですね、ご指摘ありがとうございました : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/04(水) 11:15:52.81:5LumzJji 誤:0から16 正:0から15 : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 14:29:12.90:DglZq4kI 2べきならok? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/04(水) 15:32:09.52:1jJ7Y6uu 悪魔が配置した黒石の総数が、操作前に偶数なら、操作後の黒石の数は奇数。 操作前に奇数なら、操作後の黒石の数は偶数。 この偶奇は悪魔依存でプレイヤーは変更できない。 操作後の石の総数が偶数の場合、8マスずつに分けると、それぞれのマスの中の 黒石の数は、「偶数と偶数」か「奇数と奇数」になる。 操作後の石の総数が奇数の場合、8マスずつに分けると、それぞれのマスの中の 黒石の数は、「偶数と奇数」か「奇数と偶数」になる。 これらに注意し、盤面に次のように点数を与え、操作後の盤面値が、通告された 整数になるように、いずれか一カ所マスに操作を行う 1列目と2列目の合計8マスの黒石の数が奇数なら8 1列目と3列目の合計8マスの黒石の数が奇数なら4 1行目と2行目の合計8マスの黒石の数が奇数なら2 1行目と3行目の合計8マスの黒石の数が奇数なら1 (操作前の盤面値と、目標の盤面値から、操作すべき一マスが定まる) : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 19:09:31.76:e98YzzLb 悪魔の問題は2進数から10進数に10進数から2進数に変換できる方を対象にしています 排他的論理和については知っていれば演算に便利です : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 19:12:55.40:e98YzzLb 0、 1、 2 、3 4、 5、 6、 7 8 、9、 10 11 12、13、14、15 : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 19:15:06.29:e98YzzLb より 1、3、5,7、9、11、13、15→1桁の1に対応 2、3、6、7、10、11、14、15→2桁の1に対応 4、5、6、7、12、13、14、15→3桁の1に対応 8、9、10、11、12、13、14、15→4桁の1に対応 : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 19:22:26.23:e98YzzLb 0から始まる盤面にそれぞれの桁の1に対応する数字を当てはめます 1桁の数字は1の縦列と3の縦列です 2桁の数字は2の縦列と3の縦列です 3桁の数字は4の行と12の行です 4桁の数字は8の行と12の行です : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 19:25:38.64:e98YzzLb それぞれの縦列と横行を組み合わせることによって16通り数に一回の操作で 変換することができます : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 19:29:11.30:e98YzzLb 1111を一回の操作で0000にするためには4桁の縦列、横行が重なる数字です つまり15のマスということになります : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 19:32:49.88:e98YzzLb 初期の2進数で得られた数字をそのまま変換したくないときは 1から4桁のそれぞれの縦、横が重ならない数字 つまり0のマスです 112のレスの4桁は1から4桁に変更します : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 19:47:56.89:e98YzzLb 悪魔が設定した盤面が2進数で1101(計算は97、98参照)、告げられた整数が 11だとしたら、悪魔の告げた11は10進数(1〜16)なので2進数(0〜15)で計算 する場合ー1して10、10は2進数で1010です 排他的論理和の演算では 1101(+を丸で囲う記号)1010=0111、0111は7ですので7のマスを操作します : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 19:56:10.62:e98YzzLb BはAが操作した後の盤面から97,98の要領で計算すると1010が求められます 10進数にすると10ですが2進数(0〜15)に基づいて計算した値なので10進数(1〜16) では1加えて11になります : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 20:04:08.62:e98YzzLb 操作する0111(7)は1桁、2桁、3桁を同時に切り替えすることになります 109のレスにある桁に対応する数字を見ていただくと7は1桁、2桁、3桁にありますが 4桁にはありません つまり1、2,3桁は変更して4桁は変更しないということです : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 20:10:04.60:e98YzzLb 109のレスから初期設定で求められた2進数の各桁(各ビット)から 1と4のビットを変更したい場合には1と4のビットのみにある9のマスを操作することになります : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 20:15:07.27:e98YzzLb 尚、石が置いてあるマス、置いてないマスはー1又は+1ですのでどちらも 偶数から奇数、奇数から偶数に変更できますので石が置いてあるマス、置いてないマス に関わらず計算には影響を及ぼしません : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 20:26:02.16:e98YzzLb 計算する場合には110レスを4X4の盤面に投影して1ビットの縦列(2)、2ビットの縦列(2) 3ビットの横行(2)、4ビットの横行(2)をイメージして計算し、操作するマスは変更するビット のみの重複する部分を探すようにすれば脳内計算が楽になるかも : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 20:31:42.94:e98YzzLb とりあえず悪魔の問題の説明は終わらせていただきます 不明な点があれば遠慮なくどうぞ(次の問題が出せないし : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/04(水) 20:48:47.39:XgFrbgQj 誰も相手にしてくれませんでしたね : 132人目の素数さん [] 2017/10/04(水) 21:06:25.99:e98YzzLb 数学版は数学やパズルが嫌いな奴の集まりなのか? パズル版は過疎ってるしな、囲碁や将棋版のほうがいいかもな 特にプロ棋士は考えるのが好きだしな、藤井4段に出してみるか : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 00:37:15.58:UpBq7URN ,110 が出ているのに、何をゴチャゴチャ : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 00:38:27.19:UpBq7URN 間違えた。 ,101 : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 00:58:31.42:UYhgoWZA 2マスで1〜2もできたけど 2ベキなら同じようにできるの? それとも2の2ベキ(2,4,16,256…)でないと駄目? : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 00:59:56.77:UYhgoWZA 一般化して見てよ : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 01:11:01.47:wKzID2dg みたいなアホに絡まれてるときは気の毒だと思ったが、 いざ解答が書き込まれても無視してゴチャゴチャと 自分の見解を書くだけの人間だと分かったので 同情の余地なしだわな : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 01:59:28.00:yUeXuwQW 106の回答者です。出題者ではありません。問題を見て考え、一定の方法に至り、 回答を作成しアップしましたが、実質的に同じ内容の回答がアップされていて、一番でなかった のは少々残念でした。排他的論理和という言葉を使えば、すっきりですね。 ただ「4×4の盤」や「碁石」という設定にに即した回答を作り、あのようにしました。 >>それとも2の2ベキ(2,4,16,256…)でないと駄目? 出題者と勘違いされてのご指定だったのかもしれませんが、せっかくなので、私の考えをば。 マスの数は16。このマスのどれかを変更するので、加えられる情報は4ビット。 16マスを8マス−8マスに二分するという二分探索を4回できることに対応します。 この二分探索を適切に行うことを前提にすれば、2のべきのマスなら、可能といえるでしょう。 では、2のべきでない場合、どうでしょうか? nマスからなる盤面(?)あり、悪魔からは、0〜n-1の整数が指定されるとします。 任意の盤面状態から、一マスの状態を変更することで、「盤面値」を0〜n-1のどれかに変更 できなければなりません。盤面の状態数は2^n通りあります。盤面値はn通りあるので、 ある盤面値に対し盤面の数は、2^n/nとなります。これは、nが2のべきでないと割り切れません。 つまり、盤面値によって、それに対応する盤面数が異なることがあることを意味します。 対称的でないと成立しなさそうな問題なので、無理なのでは? というのが私の考えです。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 12:14:19.98:XL413ZpQ 0、 @、2、 B 初期設定 4 、D、6、 7 8、 H、I、 J K,13、M、15 : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 12:20:11.93:XL413ZpQ 出題者です、8X8マスで告げられる整数が1から64の場合は111111は63ですので 解答可能ですね 意味不明、パズルとして成立しない、不備だらけなどは嫌がらせとして無視します : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 12:34:08.64:XL413ZpQ サイコロがあります、一般に売られている普通のサイコロです AとBにサイコロを使ったゲームをしてもらいます まずじゃんけんなどにより、先手、後手を決めてもらい、先手はまずサイコロの目を 表示します、サイコロの一番上の目ですね 次に後手は4つある横の面のどれかに傾けます 例えば先手が1の目を出したら次に後手が出せる目は2、3、4、5のどれかになります このようにしてサイコロの合計が31を越えたら負けになるというゲームです 先手必勝か後手必勝か、先手必勝なら最初に出す目は? : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 12:40:08.49:XL413ZpQ 先手が最初にだす目はランダムですけど、目を表示した瞬間に先手必勝か後手必勝か が決定します 二人零和有限確定完全情報ゲームになりますので必勝法が存在します : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 12:42:34.31:XL413ZpQ サイコロの合計→サイコロの目の合計 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 12:57:24.47:DWW9UCvZ コマ大かな? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 14:07:43.65:nY7mqHtK 母線1の円錐の体積の最大値は? : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 14:46:10.23:YNcEijUt 最小値=最大値=0 とかいう引っ掛け問題? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 15:08:02.25:nY7mqHtK 普通の問題 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 17:45:40.51:yUeXuwQW 合計数が、 3+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必敗 1,2,5,6+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必勝 0,4,8+9kで手番が回ってくると、出目が、3,4の場合は必敗、その他の場合は必勝 7+9kで手番が回ってくると、出目が2,5の場合は必敗、その他の場合は必勝 従って、先手が必勝になるのは、最初のサイ振りで、3または4を出したとき。 その他の場合は後手必勝 高さをhとすると半径は√(1-h^2) 体積をVとすると、 (V/π)^2=(h(1-h^2)/3)^2=(1/9) h^2 (1-h^2)^2=(4/9) h^2 ((1-h^2)/2)^2 ≦(4/9) [(h^2 + (1-h^2)/2 + (1-h^2)/2)/3]^3 = (4/9) (1/27) 従って体積の最大値は2π/(9√3) この値は、h^2=(1-h^2)/2 つまり 高さが1/√3 のとき 普通にやると、微分して極値を求める問題になるけど、 V^2で考えると、平易な相加相乗平均の問題にすることができるのが、このスレで出された理由かな : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 17:52:02.86:yUeXuwQW 補足 ゴールに近い場合は、特殊処理が必要で、あの一般式は当てはまりらないことがあります。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 20:30:02.92:XL413ZpQ コマ大、、、、コマネチ大ですね : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 20:34:09.34:XL413ZpQ 最初の目が3の場合には後手は1の目が出せるので合計4になり後手は先手で 4の目を出したことと同じになりますが : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 21:09:12.34:yUeXuwQW 合計が4で同じでも、出目の状態が4なのか、1なのかが異なるので、同じ状態ではありません。 先手が3を出し、後手が1を出してきた場合は、先手は4を出し、 「合計8、出目4」の状態で手を渡します これに対し、後手版は、12で渡せれば必勝パターンに持ち込めるのですが、現在の出目が4なので、 12にすることはできません。 あれ!、あなた、出題者さんですよね。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 21:30:01.51:T12hOafX 先手3後手1先手4後手5。 先手3後手5。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 21:41:16.30:XL413ZpQ とある理由で勘違いしてました、どうもすいません 先手が3を出し、後手が1を出し、先手が4を出してきた場合には 後手は5の目をだします 合計13でのこり31ー13=18になります : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 21:42:41.47:yUeXuwQW >>先手3後手1先手4後手5。 「合計13、出目5」ですね。この状態を [13(5)] と表すことにします。この状態に対する手は4です [13(5)]→4[17(4)] >>先手3後手5。 [8(5)]→4[12(4)] : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 21:42:54.35:UYhgoWZA 何で正方形にこだわるの? : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 21:44:53.85:XL413ZpQ >先手3後手1先手4後手5。 先手3の次後手は6の目をだします : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 21:47:41.96:yUeXuwQW あ、ちょっと待ってください。 >>このようにしてサイコロの合計が31を越えたら負けになるというゲームです 合計31はセーフなのですか? 31以上がアウトとして解きました。32以上がアウトなら、一つづつずれます。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 21:50:27.61:XL413ZpQ 先手3後手1先手4後手5先手4ですか この場合後手は5を出します 5の目で次先手、合計22、31ー22=残り9になります : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 21:51:25.51:XL413ZpQ 31超がアウトなので32になったら負けです : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 22:01:38.64:yUeXuwQW 31以上が負けとしては回答を作りました。 32以上が負けなら、一つずつずれます。勘違いしました。改めてアップします。 合計数が、 4+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必敗 2,3,6,7+9kで手番が回ってくると、どのような出目であっても、必勝 0,1,5+9kで手番が回ってくると、出目が、3,4の場合は必敗、その他の場合は必勝 8+9kで手番が回ってくると、出目が2,5の場合は必敗、その他の場合は必勝 従って、先手が必勝になるのは、最初のサイ振りで、4または5を出したとき。 その他の場合は後手必勝。 ただし、ゴール近くでは、上の一般式が当てはまらないことがあります。 先手3は必敗手順になります。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 22:12:38.57:XL413ZpQ 9Kというのは9の倍数という意味でしょうか 先手が5を出した場合には後手は4を出します : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 22:22:59.91:XL413ZpQ 悪魔の問題で正方形じゃない場合はということだったんですね 正方形でない場合は考えてませんでした : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 22:31:55.36:yUeXuwQW 先手必勝状態は、一つずらしただけでは通用しませんでした。 修正します。32以上になったら負けという条件では先手必勝は4の時のみです。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 22:35:49.35:yUeXuwQW kを整数として、4+9k という形で表せる整数の時という意味です。 つまり、4+9kというのは、4,13,22,31,40,...の値の時という意味です。 ,3,6,7+9kで手番が回ってくると、 こちらは、2+9k、または、3+9k、または、6+9k、または、7+9k という意味で書いています。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 22:43:46.75:XL413ZpQ 先手4で後手1の場合、先手は : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/05(木) 22:57:03.13:yUeXuwQW 4[4(4)]→1[5(1)]→4[9(4)] 以後分岐 →1[10(1)]→3[13(3)]または4[14(4)] →2[11(2)]→2[13(2)]または3[14(3)] →5[14(5)]→4[18(4)] →6[15(6)]→2[17(2)]または3[18(3)]または4[19(4)] : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 23:08:58.28:yUeXuwQW に補足します。を読めば、どのような手を取るか判るはずです。 必勝パターンに入っている場合ですが、次の手を指します。(複数実現できる場合はどれでも可) ・合計を4+9kにする ・3または4を出して、合計を0,1,5+9kにする ・2または5を出して、合計を8+9kにする : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 23:20:36.49:XL413ZpQ 先手4、後手1、先手4、後手1、先手3又は4、、、 先手4、後手1、先手4、後手2、先手2又は3、、、、(後手2、先手2? : 132人目の素数さん [] 2017/10/05(木) 23:31:52.08:XL413ZpQ >・3または4を出して、合計を0,1,5+9kにする ・2または5を出して、合計を8+9kにする 先手が3又は4を出して合計9K、1+9K、5+9K 先手が2又は5を出して合計8+9K にして後手に手を渡せば先手必勝という意味ですか : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/06(金) 00:15:26.19:yM7HZvxZ ここで言う、「先手」、「後手」というのは、ゲームスタート時どちらが先に手を打ったかという 意味だと思いますが、この観点は、あの説明には、関係ありません。 先手必勝パターンでスタートし、ずっと必勝パターンを保っていれば先手側への「虎の巻」だし、 先手必勝パターンでスタートしたものの、ミスをして、後手側に勝ち筋がやってきたら、後手側への 「虎の巻」になります。 後手必勝パターンからスタートし、ミスがなければ、後手側への「虎の巻」だし、 ミスをして、先手側に勝ち筋を渡してしまうと、先手側への「虎の巻」になります。 手番が自分に回ってきて、その直後の状態(=操作を行うまえの状態)か、操作を行った後の状態かに注目します。 ・操作を行う前の状態が、これこれの場合は、必勝パターンである/必敗パターンである ・操作を行った直後の状態が、これこれの場合は、必勝パターンである/必敗パターンである 等といろいろな言及の仕方がありますが、で私が行った説明は、 操作直後の状態をこれこれにすれば(自分が)必勝パターンにある、あるいは、これこれにすることが出来るようならば、 必勝パターンにあり、出来ないならば、必敗パターンにあるというような形式での言及です。 自分の手番になって、操作を行い、相手に手番を渡す。 手番を渡す時のサイコロの目の合計を、4+9kにするか、0,1,5+9kにするか(出目は3か4限定)、 8+9kにする(出目は2or5限定) この状態で手番を渡すことが出来れば、(自分の)勝ちパターンだし、 逆に、そのような操作がいずれも出来ないのならば、手番を受け取ったときにすでに負けパターンに陥っていたと言うことです。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/06(金) 00:28:27.51:yM7HZvxZ さらに補足 は、操作「後」の状態を、これこれに「すれ」ば勝ちパターンという という形で、 勝ちパターンの場合についてのみ説明を与えています。 は、操作「前」の状態を「見て」、これこれの場合は勝ちパターン、これこれの場合は負けパターンと 分類しています。 勝ちパターンを維持するためには、具体的にどのようにすればよいかを、直接的には書かれていませんが、 きちんと読み取れば判ります。 つまり、操作後の状態をここで分類している必敗パターンにすれば、いいのです。 そうすれば、相手は、必敗パターンで手番を受け取ることになるからです。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/06(金) 00:38:51.96:BYQIr94n > まずじゃんけんなどにより、先手、後手を決めてもらい、先手はまずサイコロの目を > 表示します、サイコロの一番上の目ですね この表示って何? 「先手になった人間がサイコロを振る」という意味でいいの? で、「一番上の目」というのは「普通にサイコロを振って出た目」のこと? > 次に後手は4つある横の面のどれかに傾けます 「サイコロを傾ける」って何? 『その「ある横の面のどれか」が上になるように転がす』ということ? > 例えば先手が1の目を出したら次に後手が出せる目は2、3、4、5のどれかになります > > このようにしてサイコロの合計が31を越えたら負けになるというゲームです で「合計」の対象は、「上になった面の目」の合計で 「次々に足し込んでいく」という計算でいいのかい? > 先手必勝か後手必勝か、先手必勝なら最初に出す目は? 「最初に出す目」って『最初に「振って出てほしい目」』のことでいいんだろ? なんか意味の取りずらい表現の連続だなあ : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/06(金) 07:50:26.19:Qm7dXfuX 置くんじゃねえの? 問題の内容からして振る場面は一度もないんじゃないかと理解した しかし「置く」と書くだけではっきりするのにとも思った サイコロの通常の使用方法とは違うということをはっきりさせないとわかりにくい : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/06(金) 09:01:30.97:BYQIr94n 単に置くということだと、先手は勝つという意図をもって置くことになるのだろうから にある「先手が最初にだす目はランダム」とはどういう意味なんだろ : 135 [sage] 2017/10/06(金) 15:38:20.25:IgHVmcgc ((2√3)/27)π正解 : 132人目の素数さん [] 2017/10/06(金) 19:09:16.80:MIIg7pOT サイコロ31の出題者です 分かりづらい点があるということですね サイコロは最初に目を指定して置くと考えてください 数える目はサイコロの一番上の目です、一番上の目の合計ですね : 132人目の素数さん [] 2017/10/06(金) 19:23:08.31:MIIg7pOT 相手に手番を渡す場合に 出目に関わらず 4+9K 出目が3又は4で0、1、5+9K 出目が2又は5で8+9K で相手に手番を渡せば必勝という意味ですね : 132人目の素数さん [] 2017/10/06(金) 19:33:56.21:MIIg7pOT 出目に関わらず 4+9K の場合には相手は4の目を出します 出目が3又は4で1+9Kの場合には相手は1の目を出します 出目が3又は4で5+9Kの場合には相手は5の目を出します 出目が2又は5で8+9Kの場合には相手は4の目をだします : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/06(金) 20:38:37.38:yM7HZvxZ はい、その通りです。 下図左側はの内容を見やすく表示し直したものです。 手番が来たときの合計数と、出目の状態から、必勝パターンか、必敗パターンかを判断できるものです。 そして、その右側には、それぞれの場合の対応手を添えました。 合計:_出目状態_:対応手 ----:123456: 8+9k:○×○○×○:5 7+9k:○○○○○○:3,6 6+9k:○○○○○○:2,3,4 5+9k:○○××○○:4 4+9k:××××××:無し 3+9k:○○○○○○:1,5 2+9k:○○○○○○:2,3 1+9k:○○××○○:3,4 0+9k:○○××○○:4 への対応手は、上から順に、8+9kなので5を出し4+9k型へ、2+9kなので2を出し4+9k型か3を出して5+9kの出目3型へ、 1+9kなので3を出して4+9k型か4を出して5+9kの出目4型へ、3+9kなので1を出して4+9k型か5を出して8+9kの出目5型へ : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/06(金) 21:07:13.58:z0eHqgXi 自然数nを選び、2nを元に3倍して2を足す操作を繰り返すと nに関わらず、いつかは2の累乗になる? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/06(金) 21:23:25.08:yM7HZvxZ に補足します。 これまでにも何度か書きましたが、一般式での判定はゴール近くでは少々変化します。 それに伴い、また、ゴールを越える手は負けになってしまうため、必勝手も変化します。 ゴール近辺での判定表と、対応手をアップします。 __:----:123456: 31:4+9k:××××××:無し 30:3+9k:×○○○○×:1 29:2+9k:○○○○○○:1,2 28:1+9k:○○××○○:3 27:0+9k:○○××○○:4 26:8+9k:○×○○×○:5 25:7+9k:○○○○○○:3,6 24:6+9k:○○○○○○:2,3,4,6 23:5+9k:○○××○○:4 : 132人目の素数さん [] 2017/10/06(金) 22:52:27.44:MIIg7pOT 残り0〜8までの対応手ですね 見たところ間違いはありませんでした : 132人目の素数さん [] 2017/10/06(金) 23:09:06.55:MIIg7pOT >.170 意味がよくわかりません 31を分解すると4+9K(9の倍数)・・・・・・になると思いますが 1+9Kで1を出したら、出目1、0+9Kになりますが 5+9Kで5を出したら、出目5、0+9Kになりますが 8+9Kで4を出したら、出目4、4+9Kになりますが : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/07(土) 01:32:08.22:bTqUs8/j >>31を分解すると4+9K(9の倍数)・・・・・・になると思いますが 分解という言葉はよく分かりませんが、31は4+9k(型)に分類されます。 >>1+9Kで1を出したら、出目1、0+9Kになりますが なりません。(1+9k)+1=2+9k です >>5+9Kで5を出したら、出目5、0+9Kになりますが なりません。(5+9k)+5=10+9k=1+9(k+1)=1+9k’ です >>8+9Kで4を出したら、出目4、4+9Kになりますが なりません。(8+9k)+4=12+9k=3+9(k+1)=3+9k' です 4+9kなどは、残りの数を表す値では無く、合計値です。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/07(土) 02:00:11.43:bTqUs8/j インスタント虎の巻を作るとしたら、 ・残りのサイの目の合計が9の倍数になるようにして手番を渡す。 ・それが出来ないときは4を出して手番を渡す。 これだけでいけますね。 そして、これだけを知っていて、出題したのなら、私の回答には困惑するでしょう。 今そんな状態なんじゃ無いですか? >>出題者さん : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/07(土) 07:20:00.88:epr99XwW 先手4後手1先手4後手2。 先手4後手2先手4後手6。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/07(土) 07:34:35.28:bTqUs8/j なるほど、は終盤状態で使えるだけをみていけそうと思ったけど、 ダメなようですね。は撤回します。 やはり、、および、 に書かれている対応手を虎の巻とします。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/07(土) 18:39:29.98:nOn1Thvs a_{k+1}= 3 a_k + 2, a_{k+1}+ 1 = 3(a_k + 1)= … =(3^k)(a_1 + 1) =(3^k)(2n+1), いつかは2ベキになる? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/07(土) 19:35:42.03:XV9KgwKd 全ての内角が等しく、辺の長さが{1,2^2,3^2,...,12^2}の並び替えであるような凸12角形は存在するか : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/07(土) 21:29:56.83:NGXdrdFG 存在しない : 132人目の素数さん [] 2017/10/07(土) 22:03:10.17:OR9egiY4 じゃあ証明して : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/07(土) 22:16:26.35:ouwOZ2Xu どっかで、もっと大きい場合の類題見たな : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/07(土) 22:17:34.61:ouwOZ2Xu 西暦-gonで{1^2,2^2,3^2,…,西暦^2} : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/08(日) 00:51:08.57:/bgtrAhl 辺長を順に、a[0],a[1],a[2],...,a[11]とすると、 Σ[i=0,11]a[i]*sin(i*π/6)=Σ[i=0,11]a[i]*cos(i*π/6)=0 が必要。√3の無理性を使って整理すると、i=0,1,2,3,...に対し a[i]^2+a[i+2]^2=a[i+6]^2+a[i+8]^2 これを満たす、{1,2^2,3^2,...,12^2}は、特定のiについて成立するものでさえ5組。 異なるiについて同時に成立するものもせいぜい二組しかなく {1,2^2,3^2,...,12^2}と{a[0],a[1],...,a[11]}が一致するものは見つからない。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/08(日) 04:27:21.71:MpaBQY8Y i=0,1,2,…,5 に対して a[i] + a[i+2]= a[i+6]] + a[i+8], 特定のiについて成立するもの: {1,4,7,8} {1,8,9,12} {2,5,10,11} {2,6,7,9} {3,7,9,11} の5組 {1,5,5,7}は省いた。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/08(日) 07:50:56.81:fFtBdowM A、B、Cを、同じ文字は連続しないように一列にn個並べるとき、Aがk個含まれる並べ方の個数A(n、k)を求めよ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/09(月) 03:56:03.44:AAcQM4kG A(n,k)のうち、末尾がAのものを f(n,k),末尾がA以外のものを g(n,k)とする。 A(n,k) = f(n,k) + g(n,k) 漸化式 f(n+1,k)= g(n,k-1), g(n+1,k)= 2f(n,k)+ g(n,k), 初期値 f(n,0)= 0, f(n,1)= g(n,0) = 2, f(n,2)= g(n-1,1)= 4n-10, Σ[n=2k-1,∞]f(n,k) z^n ={(1+z)/2z}{2zz/(1-z)}^k, Σ[k=1,∞]Σ[n=2k-1,∞]f(n,k) z^n t^k =(1+z)zt/(1-z-2tzz), Σ[n=2k,∞]g(n,k)z^n ={(1+z)/(1-z)}{2zz/(1-z)}^k, Σ[k=0,∞]Σ[n=2k,∞]g(n,k) z^n t^k =(1+z)/(1-z-2tzz), Σ[n=2k-1,∞]A(n,k)z^n ={(1+z)(1+tz)/(1-z)}{2zz/(1-z)}^k, Σ[k=0,∞]Σ[n=2k-1,∞]A(n,k) z^n t^k =(1+z)(1+tz)/(1-z-2tzz), むむむ、解けぬ。。。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/09(月) 08:31:44.21:TpfOSZ45 A(n,k)の文字列において、B,CをXに置き換えた文字列をA~(n,k)とし、これを考える これは、先頭がAかXか、最後がAかXかにより、四つに分類できる AA型(n≧3,k≧2) k個のAとk-1個のXが交互に並ぶ文字列 AXAX...XA のXのあるところに、n-(2k-1)個のXを挿入すると、A~(n,k)になる これは、H[k-1,n-2k+1]=C[n-k-1,k-2] 通りあり、k-1カ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、 2^(k-1)*C[n-k-1,k-2] XA型およびAX型(n≧2,k≧1) k個のAとk個のXが交互に並ぶ文字列 のXのあるところに、n-2k個のXを挿入すると、A~(n,k)になる これは、H[k,n-2k]=C[n-k-1,k-1] 通りあり、kカ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、 2^k*C[n-k-1,k-1] XX型(n≧1,k≧0) k個のAとk+1個のXが交互に並ぶ文字列 のXのあるところに、n-2k-1個のXを挿入すると、A~(n,k)になる これは、H[k+1,n-2k-1]=C[n-k-1,k] 通りあり、k+1カ所ある各Xの先頭をAかBに戻すとA(n,k)に戻るので、 2^(k+1)*C[n-k-1,k] これら四つの合計がA(n,k)で、2^(k-1) {1+ 4(n-k)(n-2k+1)/(k(k-1))} C[n-k-1,k-2] 通り? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/09(月) 13:22:17.02:ngMZhx3y 数学オリンピックの過去問に似た問題あったな : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/10(火) 00:40:30.91:7jpvSrE2 正解ナリ。考え方も同じでおじゃる。 並べることができるのは n≧2k-1 のときで、 (1) A〜A (2) A〜X or X〜A (3) X〜X の場合を考える際に、(1)しかない場合とか、(1)(2)しかない場合があるので、 k=0 (n≧1) k=1 (n=1, n=2, n≧3) k=2 (n=3, n=4, n≧5) k≧3 (n=2k-1, n=2k, n≧2k+1) に分けて計算して、最終的に、 A(1,1) = 1、 (n, k)≠(1,1)のとき、{4n^2 - 3(3k-1)n + 9k^2 - 5k}*2^(k-1)*(n-k-1)!/{(k!)(n-2k+1)!} とまとめられるでおじゃる。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/10(火) 00:56:29.30:7jpvSrE2 何かの確率の本に載っていた問題。 n 頭の動物の群れから m 頭を捕らえ、目印をつけて逃がす。 (1) 目印のついた r 頭を得るために k 頭捕らえる必要がある確率 Q(k, r) を求めよ。 (2) 目印のついた r 頭を得るために捕らえた動物の期待数 E(r) を求めよ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/10(火) 03:35:59.50:h4u4sSCs 参考スレ ttp://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1350178359/ : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/10(火) 12:13:41.95:tLRvewGK とりあえず答えだけ(以下、nCr=C(n,r)と表す) (1) Q(k,r) = C(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)/C(n,m) (2) E(r) = r(n+1)/(m+1) : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/10(火) 22:45:39.46:tLRvewGK n頭の動物のうちどのm頭に目印をつけるかということと、 n頭の動物をどういう順番で捕まえるかということは 独立にランダムであると考えると、 目印をつけてから捕まえる順序を決めても、捕まえる順番を決めてから目印をつけても 確率や期待値には影響しないので、後者で考える。 (1) 捕らえる順番のうち、k-1頭目までのうちr-1頭に目印がつき、 ちょうどk頭目にも目印がつき、 残るn-k頭のうちm-r頭にも目印がつく状況を考えるので、 目印をつけるm頭の選び方C(n,m)のうち、 上記条件をみたすm頭の選び方がC(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)で、 確率は Q(k,r) = C(k-1,r-1)*C(n-k,m-r)/C(n,m) (2) 捕らえる順番に並べたn頭の動物を、目印をつけるm頭を間仕切りとみなして 目印をつけないn-m頭をm+1のブロックに分割したものとみなすと、目印をつける m頭の選び方は、和がn-mとなるm+1個の非負整数の列 (a(1),a(2),…,a(m+1)), a(1)+a(2)+a(3)+…+a(m+1)=n-m と1対1に対応する。 a(i)の期待値はいずれも(n-m)/(m+1) r頭目の目印のついた動物より前に捕まえる目印のついていない動物の数は a(1)+a(2)+…+a(r)なので、その期待値はr(n-m)/(m+1) よって、r頭目の目印のついた動物が捕まえる順番の何番目であるかの期待値は E(r) = r+r(n-m)/(m+1) = r(n+1)/(m+1) : 132人目の素数さん [] 2017/10/10(火) 23:00:39.20:IqN7kRQU 問題文は相当に変な文章だからやる気起きない : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/10(火) 23:37:54.60:7jpvSrE2 正解です! : ル.ヌー [kazu.fukuda@grace.ocn.ne.jp] 2017/10/12(木) 20:20:43.30:Hbkmuqaq f(z)=z/sinz,z∈Cにおいて, (1) z=0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。 (2) f(z)の極をすべて求めよ、また、極での留数を求めよ。 (3) z=0まで定義域を拡大したf(z)のz=0におけるマクローリン展開の2次の項までを求め よ。 (1).(2).(3)の解答をお願い致します。 👀 👀 Rock54: Caution(BBR-MD5:ae2afb6cd11f3e92f5cd12f037b4c3ac) : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/13(金) 20:37:05.28:ZKLVGo1x フィボナッチ時計 ttp://www.itmedia.co.jp/news/spv/1505/12/news088.html 問:フィボナッチ時計において、どの時刻でもどこかに赤が現れるようにできるか? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/13(金) 21:02:27.33:duOhusPr そのネタは数スレ前に出た : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/13(金) 21:06:26.30:duOhusPr ttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1442617810/136-138 ttp://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/522-524 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/15(日) 04:18:26.78:1IDsr2si 別の板から転載 137 ( ・∀・)つ〃∩ヘェーヘェーヘェー sage 2017/10/15(日) 01:45:06.10 打ち切りラノベにあったクイズが面白かったので あなたはお祭りの屋台で行われている一回三千円のゲームに参加しています。 正解すれば九千円が貰え、失敗すれば何も貰えません。 ゲームの内容は、三つの箱の中から、中身のある一つの箱を見つけるというものです。 あなたは、三つの箱の中から一つの箱を選びました。すると、店主はある提案をしてきました。 「残りの二つのうち、ハズレのものを一つだけ取り除く。その上で、あなたはもう一度選び直すことができる」 さて、あなたは選ぶ箱を変えるべきでしょうか? それとも、そのままにすべきでしょうか? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/15(日) 07:38:13.05:z/2f4/lr モンティホールのように一連の処理として書かれてないから意味ない つまり、今オレは散財したい気分なので変えるのが正解 てかこれ普通にこなしても期待値高すぎひん : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 11:32:20.31:sXTS1Zqc かならず選び直しができるという前提があったなら変えたほうが期待値は6000円 になるだろ : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 11:41:33.01:sXTS1Zqc サイコロ31?ですが 31を4+9+9+9に分解します 先手必勝で4の目です、9の倍数は後手必勝になります 3、4出目で・・・(3,4、7,8)+9の倍数叉は3、4、7,8 2、5出目で・・・・5+9の倍数叉は5 : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 11:53:29.33:sXTS1Zqc 赤 @ A B C D E F G H I 青 @ A B C D E F G H I 黄 @ A B C D E F G H I 交互に数字を消していきます、1から3まで連番で数字を消すことができます 例えばB、C、DとかB、C、Gは連番でないので消せません 待ったは出来ません、必ず一つは消していきます 最後の数字を消したほうが負けです 先手必勝か後手必勝か、どのように消していったらよいでしょうか? : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 11:57:11.37:sXTS1Zqc 同じ色の数字のみ連番で消せます、一度に違う色をまたがっては消せません : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/15(日) 13:10:20.86:S8/uhkYq 3、4、5が連番じゃないの? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/15(日) 17:23:45.98:v3csOi23 訳が不適切? : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 17:59:10.24:sXTS1Zqc どうもすいませんでした。 B、C、Dは連番で消せます : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 18:01:54.41:sXTS1Zqc 先手が赤のBを消したら後手は赤の@、A、Cとは消せません @、Aは消せますが : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 18:02:29.94:1CsCN52B f(z)=x/(x-x^3/3!+x^5/5!+…)=1/(1-x^2/3!+x^4/5!+…)=1+x^2/3!+((1/3!)^2-1/5!)x^4+… sinz=(e^iz-e^-iz)/2i=0 e^2iz=1 z=nπ f(z+nπ)=(z+nπ)/sin(z+nπ)=(z+nπ)/(-1)^nsinz=(-1)^n(1+nπ/z)f(z) Res(nπ,f(z))=(-1)^nnπ : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 18:16:16.20:1CsCN52B モンティホールよ 期待値は3000円 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/15(日) 19:13:58.49:A+H1wM81 先手必勝 先手は初手、例えば黄色の56を消す 赤と青への着手に対しては、相手と同じように消し、赤と青で同じ形を保つようにして消す。 黄色は四つの塊が二つある状態に手をつけることになるが(これを(4,4)と表す)、これは必敗形。 この状態から手をつけると、最初に手をつけた方が最後の一つを消すことになり、負ける。 他にも、(1,2,3)、(2,2)、(1,1,1)も必敗形なので、これらの形にして手番を渡せばよい。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 19:26:44.32:A+H1wM81 この文面のままでは、店主の提案が、 1.当たりを引いていた時に限定して行われているもの 2.常に行われるもの 3.気まぐれに行われるもの のどれなのか不明。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 19:47:09.23:1CsCN52B 提案をしてきたんだから確定 : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 19:49:16.92:1CsCN52B ああそうか 店主がこの時点で解を知っているかどうかか : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/15(日) 23:34:38.30:/BqPaXSt ドヤ顔でモンティーホール問題を持ち出した奴は間違い 選ぶ箱を変えないのが正解 自分が選んでから店主が提案してきたのは、 店主が当たりの箱を知っていて、コッチが当たりの箱を選んでしまったので変えさせようと思っているから 中途半端にモンティーホール問題を知っていると、まんまと罠に嵌まる : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 23:40:05.18:sXTS1Zqc はい、正解です。 偶数は偶数個、奇数(1)は偶数個 1010 0100→4 1010 0100→4 1010 1010→10 ーーーー 1010→10 1010 −−−− 0000にして手渡す : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/15(日) 23:40:26.16:+Pi/YMoh 当たりを選んでいようがそうでなかろうが提案してくるんじゃないのかこれ : 132人目の素数さん [] 2017/10/15(日) 23:47:33.03:sXTS1Zqc 店主が当たり外れの箱を事前に知っていて残りの箱から必ず外れを見せるという 前提でなければ確率の問題にならないよな : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/16(月) 01:55:35.23:o4Cyk4in だからモンティの亜種にさえなってないというか、設問になってないし意味がないっての 引用にあるように"クイズ"なんだろうし、少なくともこの板このスレではいいだろもう : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/16(月) 05:36:18.12:6H1A+T2J おっ、負け惜しみか? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/17(火) 00:38:27.72:Hxe2yrOS おっぱい : 132人目の素数さん [] 2017/10/17(火) 08:31:50.47:dtu522yI ちんこじゃよ! ふぉふぉ! : 132人目の素数さん [] 2017/10/19(木) 12:01:00.65:2lzXiq1o 引き算(差)の問題です。 例 B A 3と2の差は1です @ では ○ ○ ○ 1から6までの数字を入れてください ○ ○ ○ : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/19(木) 13:44:17.84:VfTCenk4 1〜6を一度だけ入れる 左上-右上の場合は解なし |左上-右上|の場合は 1,6,4 -> 5,2 -> 3 2,6,5 -> 4,1 -> 3 4,1,6 -> 3,5 -> 2 4,6,1 -> 2,5 -> 3 5,2,6 -> 3,4 -> 1 5,6,2 -> 1,4 -> 3 6,1,4 -> 5,3 -> 2 6,2,5 -> 4,3 -> 1 の8通り : 132人目の素数さん [] 2017/10/19(木) 16:59:28.65:2lzXiq1o はい、正解です、次は1から10です 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 1から10まで一度だけ○に入れてください : 132人目の素数さん [] 2017/10/19(木) 20:08:32.55:E5+K8vHr 1辺の長さ1の正方形の頂点からの距離が全て有理数となる平面上の点は存在するか? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/19(木) 21:08:16.67:8edKBDzG 有名な未解決問題ですね : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/20(金) 05:06:15.59:daEDnYrh 四角錐の体積が2次元方程式の自然解であれば成立する : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/20(金) 08:48:35.25:auvGi4HJ 〔問題1〕 1辺の長さが1の正三角形ABCがある。 AP=a,BP=b,CP=c がすべて有理数である点Pを全有理距離点とよぶ。 (初級問題) 正三角形の辺上および外接円の周上に 全有理距離点が無限個あることを証明してください。 (上級問題) 正三角形の内部にある全有理距離点 (3個の距離)を挙げてください。 (数セミ,2009年5月/8月) [エレ解スレVol6.440-442] [エレ解2スレ(2016.11).636] : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/20(金) 08:54:00.56:auvGi4HJ リマソン(2a-b=1)上に無限個ある。 (M先生のメモ) a =(n^4 +10n^2 +9)/L, b =(n^4 -4n^3 +10n^2 +12n+9)/L, c =(8n^3 +24n)/L L = n^4 +4n^3 +10n^2 -12n+9, ただし,nは自然数で n≧5 とする。 [エレ解スレVol6.449-450] [エレ解2スレ(2016.11).637] ttp://www.geocities.jp/elegantnakama/mizutani.html : 132人目の素数さん [] 2017/10/21(土) 16:17:16.09:NqQS+cuf Q.異なるn個の点を通る次数が(n-1)以下の多項式は存在するのだろうか?もし存在するならばどんな形で書けるか? という問いについて問題を作ってみました! 以下α_1,…,α_nを相違なる実数とし、β_1,…,β_nは任意の実数とします。 ⑴g(x)=(x-α_1)(x-α_2)…(x-α_n) とする。g'(α_k)≠0(k=1,…,n)で成り立つ事を示せ。 ⑵f(x)を(n-1)次以下の多項式とする。 f(x)/g(x)= A_1/(x-α_1)+…+ A_n/(x-α_n) と書ける事を示せ。 ⑶⑵の両辺に(x-α_k)をかけ、極限をとる事により A_k=f(α_k)/g'(α_k) (k=1,…,n)を示せ。 ⑷f(α_k)=β_k (k=1,…,n) を満たす(n-1)次以下の多項式が存在する事を示し、g(x),β_1,…,β_n などを用いて表せ。 ラングジュの補完公式...物足りないな笑 これを拡張した問題なんか作れませんかね笑 : 132人目の素数さん [] 2017/10/21(土) 16:28:06.97:L6B9RyEm ポエムはポエムスレでどうぞ : 132人目の素数さん [] 2017/10/21(土) 18:59:39.18:P1IDIQpT 228の答えです G I B H : 132人目の素数さん [] 2017/10/21(土) 19:05:16.23:P1IDIQpT A町からB町まで車で平均時速60キロでしたが帰りの平均時速は40キロでした では往復の平均時速は何キロでしょうか? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/21(土) 19:19:25.25:NTquPUNO ラングジュって誰やねん (2x)/((x/60)+(x/40))=48 km/h : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/21(土) 19:20:05.74:NTquPUNO これだけ? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/21(土) 19:26:17.38:rGTNska6 あなた…怠惰ですね? : 132人目の素数さん [] 2017/10/21(土) 19:37:19.09:NqQS+cuf あら、間違えてたorz ラングジュって誰なんでしょうね笑 面白い問題スレなので幾何の自作問題出しときますね♪ (1)或る9つの異なる点において,次の条件を満たすとき,9つのうち8つが同一円周上に存在することを示せ. 条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する. (2)三角形ABCに於いて,∠A内の傍心をI_Aとおく.辺BC,AB,AC上にそれぞれ点D,P,Qが在って,AP=CD,AQ=BDを満たしている. また,三角形PBDと三角形QCD其々の外接円は2点で交わるとする. この2つの交点のうち点Dでないものを点Eとおく.このとき,点I_A,D,Eは同一直線上に在ることを示せ. : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/21(土) 19:43:12.79:lnVE/SbO 横から失礼。独立なのは4種類(左右反転をいれると8種類)あったよ。 の拡張 三角形を五段にして、使う数字を1から15までにしたものは何通り可能か? さらに拡張 三角形を6段にして、使う数字を1から21までにしたものは不可能だが、 使う数字を1から22までにするると一通り可能となる。使わない数字は何か? : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/21(土) 19:53:01.19:eJYoKJ3T J国とC国が海を隔てて存在している。 海上に国境を引いて、国境上のどの地点から見ても 両国の領土までの距離が等しくなるようにしたい。 そのように国境を引くことは可能か? : 132人目の素数さん [] 2017/10/21(土) 20:05:39.01:P1IDIQpT G I B H A F E D @ C 1から10まで一つ入れました : 132人目の素数さん [] 2017/10/21(土) 20:11:05.28:P1IDIQpT J 国とC国は形、面積が同じなんだろ(丸とか : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/21(土) 23:04:14.01:gIa8pLhZ まあ、可能でしょうなあ。 d=(J国からの距離)-(C国からの距離)というのを、海上の座標を定義域とする 関数とすると、明らかに連続で、C国の海岸線ではプラス、J国の海岸線ではマイナスに なっているので、その値が0になるところを辿ればいいのだから。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/22(日) 01:58:23.93:k/cRaXCA 入り江がある場合も? : 名無しさん@そうだ選挙に行こう! Go to vote! [] 2017/10/22(日) 08:47:25.88:92V5orwH たぶん大丈夫 : 名無しさん@そうだ選挙に行こう! Go to vote! [] 2017/10/22(日) 15:00:25.25:FBhS88Mi 此の幾何問題むずくね? 特に後者... : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/22(日) 20:00:02.18:kD3swxA5 61415313. 6202232113. : 132人目の素数さん [] 2017/10/23(月) 00:53:36.54:2CO3D21b 問題を6問出しておこう @a,bを実数とする.方程式ax^2-2ax-b=0が0≦x≦3に実数解をもつような点(a,b)の範囲をab平面上に図示せよ. A袋の中に1の数字が書かれたカードが1枚,2の数字が書かれたカードが2枚,3の数字が書かれたカードが3枚ある. 袋の中から1枚のカードを取り出し,カードに書かれた数字を確認し袋に戻すという操作を繰り返す. n回操作を繰り返した後,取り出したカードに書かれた数字の総和が3の倍数となる確率を求めよ. B点Oを中心とする半径rの球面Sがある.平面Fは球面Sと共有点をもち,その共有点全体は円Cをなす.Fが動くとき,円Cを底面,点Oを頂点とする塩水の体積の最大値を求めよ. Cpを素数,sをpの倍数でない整数とする. (1)st-1がpの倍数となる整数tが存在することを示せ. (2)s^2-1がpの倍数となるための必要十分条件は,sをpで割った余りが1またはp-1となることを示せ. (3)(p-1)!+1はpの倍数であることを示せ. Dxy平面上に2点O(0,0),A(2,1)がある.点Pが曲線y=e^2上を動くとき,線分の長さの和OP+PAの最小値を求めよ. E数列{a_n}をa_n=∫[0,1]x^n*e^xdx(n=0,1,2,...)で定める. (1)n=0,1,2,...に対し,a_(n+1)をa_nで表せ. (2)無限級数Σ[n=0,∞]1/n!の和を求めよ. : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/23(月) 01:24:55.10:RuudF8So 学校の宿題レベルが面白いとは、呆れるのを通り越して哀れみを感じる : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/23(月) 11:32:14.55:I0vxc0sG (1) 或る5点を選ぶと、その4点は円周C上に存在する。(題意) 1点を別の点で置き換えても、その4点は円周D上に存在する。(題意) ∴ C,Dは異なる3個以上の点を共有する。 ∴ C=D、「同一円周」はじつは同一の円周である。 5点をどう選んでも、そのうちの4点はC上に存在する。 ∴ C上に存在しない点は高々1個しかない。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/23(月) 13:38:10.27:I0vxc0sG 奇数番目 (1) a≠0 のとき x = 1±√(1+ b/a), -1 ≦ b/a ≦ 3, a=0 のときは b=0, (3) 点Oと平面Fの距離を h とすると、円Cの半径は √(rr-hh) V(h)=(π/3)(rr-hh)h =(2π/3)(r/√3)^3 -(π/3){(r/√3)^3 +(r/√3)^3 + h^3 - rrh} ≦(2π/3)(r/√3)^3, (← AM-GM) 最大は h = r/√3 のとき。 (5)直線 y=ee ? A '(2,2ee-1)とおく。 OP + PA = OP + PA '≧ OA '= √{4 + (2ee-1)^2} : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/23(月) 13:40:04.55:ld+Bd+yO ABCDE,ABCDF,ABCDG,ABCDH,ABCDIのそれぞれの5点のうち4点が同一円周上にあってもABCDが同一円周上にあればいいのでEFGHIがその円周上にあるとは言えない。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/23(月) 14:00:01.54:ld+Bd+yO 三つの円の二円ずつの交点の六点をとると 六点のうちどの五点をとってもそのうち四点が同一円周上にあるけど 六点のうち五点が同一円周上にあるとはいえないので 証明には九点というのを使う必要がある。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/23(月) 14:27:14.27:2CO3D21b (1) a=0のとき -b=0よりb=0 したがってa=0のとき、b=0となり、このときは任意のxが解であるためこの点(原点)は条件を満たす a≠0のとき ax^2-2ax-b=0 これは二次方程式であるためこれが0≦x≦3を満たす解を持つことを考える。 関数f(x)=(左辺)を考えると f(x)=a(x-1)^2-a-b これが0≦x≦3にx軸と交点を持つための条件は (i)a>0のとき -a-b≦0かつf(3)≧0 (ii)a<0のとき -a-b≧0かつf(3)≦0 では? 偶数番は難しくてとっつけないな... : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/23(月) 14:57:46.04:aT1WkN5V A f(x)= ( (x^1+2x^2+3x^3) / 6 )^n と置く。f(x)=Σ[k=0〜∞] a_k x^k と展開するとき、r=0,1,2 に対して f_r(x)=Σ[0≦k, k≡r (mod 3)] a_k x^k と置けば、f(x)=f_0(x)+f_1(x)+f_2(x) となる。また、求める確率は f_0(1) である。 ω=e^{2πi/3} と置けば、l=0,1,2 に対して f(ω^l)=f_0(ω^l)+f_1(ω^l)+f_2(ω^l) となる。 簡単な考察により、r=1,2 に対して Σ[l=0〜2] f_r(ω^l) = 0 となることが分かる。 また、f_0(ω^l)=f_0(1) (l=0,1,2) である。よって、Σ[l=0〜2] f(ω^l)=3f_0(1) となるので、 f_0(1)=(1/3)Σ[l=0〜2] f(ω^l)=(途中計算省略)= ( 1+((√3)/6)^n * 2cos(πn/6) ) / 3 となる。よって、( 1+((√3)/6)^n * 2cos(πn/6) ) / 3 が求める確率である。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/23(月) 21:58:37.35:I0vxc0sG (1) X,Y等は{E,F,G,H,I}のどれかを表わすとする。 5点{A,B,C,X,Y}に於いて、XもYもABCの外接円上に存在しない。 ・4点{A,B,X,Y}が同一円周上に存在する. ・4点{B,C,X,Y}が同一円周上に存在する. ・4点{C,A,X,Y}が同一円周上に存在する. のいずれか1つだけが成り立つ。(2つ以上 成り立てば矛盾) 5点{A,B,D,X,Y} 5点{A,C,D,X,Y} 5点{B,C,D,X,Y} に於いても同様だから、 ・4点{A,B,X,Y}{C,D,X,Y}が同一円周上に存在する. ・4点{B,C,X,Y}{A,D,X,Y}が同一円周上に存在する. ・4点{C,A,X,Y}{B,D,X,Y}が同一円周上に存在する. の1つだけが成り立つ。(2つ以上 成り立てば矛盾) {X,Y}の組は C[5,2]= 10 とおりある。 それらは上記の3種のいずれかに属するから、いずれか1種に4組以上が属する。(鳩ノ巣原理) その4組の{X,Y}の中に、文字の重複が3回以上ある。 第1種の場合については (1)4文字循環の場合 {A,B,X,Y,Z,W}{C,D,X,Y,Z,W}が同一円周上に存在する。 ∴ 8点{A,B,C,D,X,Y,Z,W}が同一円周上に存在する。 (2)それ以外の場合 9点が同一円周上に存在する。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/23(月) 22:11:32.20:vRWWbVD4 4と6いけます? : 132人目の素数さん [] 2017/10/23(月) 23:43:28.58:2CO3D21b 私には解けないのでここで1問(謎) asinθ+bcosθが最大値をとる時のtanθの値を求めよ。ただし、a,b,sinθ,cosθは実数とし、b≠0である。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/23(月) 23:44:11.32:2CO3D21b b≠0である。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/23(月) 23:59:47.73:0nYxYDlE asin+bcos≦√(a^2+b^2)√(sin^2+cos^2)=√(a^2+b^2) 等号はacos=bsinのとき よってtan=a/b : 132人目の素数さん [] 2017/10/24(火) 00:02:40.23:Qx6baGkh 半径1の円周を直径を折り目として、直角に折ったものをMとする このとき、Mを境界に持つ曲面の面積の最小値を求めよ : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/24(火) 09:07:03.86:jdGUs1kc 訂正 最後の辺り (1)文字循環がある場合(3文字 or 4文字) (2)文字循環がない場合 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/24(火) 23:18:19.68:jdGUs1kc プラトー問題ですな。 数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社(1984/Sep) p.188-189 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/25(水) 01:52:51.99:iCDqTvAW (2) 簡単に概略、特殊な場合を除いた解答 直線CI_AとQCDの外接円の交点でC以外の方をC'、直線BI_AとPCDの外接円の交点でB以外の交点をB'とする 一致した場合は別で解ける 角の二等分線からC'D=C'Qで∠DC'Q=∠BCA、B'D=B'Pで∠PB'D=∠ABC △C'QA≡△C'DB、△B'PA≡△B'DCから∠AC'B=∠ACB、∠AB'C=∠ABC よってAB'BCC'の5点は同一円周上 よってBI_A×B'I_A=CI_A×C'I_A 直線DI_AとQCDの外接円の交点、PCDの外接円の交点でDと異なる方をそれぞれE'、E"とすれば E'I_A×DI_A=C'I_A×CI_A=B'I_A×BI_A=E"I_A×DI_A なのでE'I_A=E"I_Aから、E'とE"は一致 点の取り方から、E'(=E")は二つの外接円の交点でDと異なる方であり、これはEと一致する したがって、E, D, I_Aは同一直線上にある : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/25(水) 05:15:06.39:q+PBe4Rp a,bを自然数として、 k=(aab+a+b)/(abb+b+7)とする。 kが自然数になるときを考える。 (1) b=1のとき、aを求めよ。 (2) b=2のとき、aを求めよ。 (3) b≧3のときを考える。 (i) k<(a/b+1/b)を示せ。 (ii) b≧3のとき(b-7/b)>0になることを利用して、(a/b-1/b)<kを示せ。 (iii) aをkとbで表せ。 (iv) bをkで表せ。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/25(水) 11:18:24.81:pcVh66sW 必ず4点のみだと5点が同一円上にあるケースが必ずあって条件満たさないんじゃ( ̄▽ ̄;) : 132人目の素数さん [] 2017/10/25(水) 17:46:09.04:pcVh66sW ttps://i.imgur.com/4YFzx0B.jpg こう解きましたが、省かれる1点が確実に5点に含まれるならそうなんだけど、「どの5点も」だからEを抜いた場合も成立しなきゃ十分とはならないんだよね... : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/25(水) 17:49:24.72:3pQ+8OFe 汚くて読みづらい字だが、味わい深くもある : 132人目の素数さん [] 2017/10/25(水) 18:11:20.62:pcVh66sW Eを抜いた場合を考えると問題が成立しなくなるので、止むを得ずEを含めた場合のみで考えたのですが... 上半分で、 ある一点だけが円周上にない⇔条件が成り立つ ことを言いたかったのですが不十分ですかね? : 132人目の素数さん [] 2017/10/25(水) 19:48:07.35:z2FhQXb7 特定した : 132人目の素数さん [] 2017/10/25(水) 19:49:55.94:pcVh66sW ?? 問題って成立します? : 132人目の素数さん [] 2017/10/25(水) 19:49:59.11:z2FhQXb7 5の内4が何々とは5の内4だけが何々ではない 数学の言い回し : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/25(水) 21:13:14.00:uK36bSi/ (6) (1)部分積分により a[n+1] = e -(n+1)a[n], (2) (1)と a[1] = 1, よりa[n]を求めると、 (-1)^n・a[n]/n!={Σ[k=0,n](-1)^k /k!}e - 1 ところで、n→∞ のとき 0 < a[n]≦ e∫[0,1] x^n dx = e/(n+1)→ 0 だから、 {Σ[k=0,∞] (-1)^k /k!}e = 1 …(A) 一方、 {Σ[k=0,∞] (-1)^k /k!}{Σ[n=0,∞]1/n!} =Σ[m=0,∞]Σ[k=0,m](-1)^k /{k!(m-k)!} =Σ[m=0,∞] (1/m!)Σ[k=0,n]C[m,k](-1)^k =Σ[m=0,∞](1/m!)(1-1)^m =Σ[m=0,∞](1/m!)δ_{m,0} = 1 …(B) 辺々比較して Σ[n=0,∞]1/n!= e, [分かスレ435.723]の解答。 無理やりぢゃないよね。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/26(木) 12:50:39.05:1czx1ktV 高校レベルで平面ベクトルの奇問難問面白問出してください : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/26(木) 13:13:35.48:K9dc9LGC 高校レベルのベクトルなんてぶっちゃけ初等幾何と大差ないよ 受験生なら初等幾何の問題や公式をあえてベクトルを使って解いてみたら いい力試しになるんじゃないか : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/26(木) 13:19:26.62:AxPSvumO 補足 δ_{i,j}= 1 (i=jのとき) = 0 (i≠jのとき) 「クロネッカーのδ」 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/26(木) 15:17:17.91:jkYw2AAu >>(1)或る9つの異なる点において,次の条件を満たすとき,9つのうち8つが同一円周上に存在することを示せ. >>条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する. という問題、および、この出題者と思われる には >>証明には九点というのを使う必要がある。 という書き込みがありましたが、この問題、実は、9点じゃなくて、7点、あるいは、8点でも成立するのでは? 「ある6点」は、三つの円の交点とすれば、「条件」が可能なことは、に書かれている通りですが、 「ある7点」は、七つの「特殊な閉曲線」を用いれば可能なことは確認しましたが、「円」で作図可能かどうかは 非常に疑わしく思います。 「ある8点」で「条件」を満たす非自明な配置は、「特殊な閉曲線」でも無理のようです。 この問題文に「或る9つの異なる点」とあるのは、用意している証明方法では、9点が必要だったということに 由来しているのではありませんか? なお、「特殊な閉曲線」とは、「特殊な閉曲線同士の交点は最大二個」という性質を持つ閉曲線を指し、 この性質さえ持てば、形状を問わないものを表します。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/26(木) 15:37:54.56:1czx1ktV 256は出題者(私)では無いです. 既に私の想定解は前スレで出ているのですが,貴方の主張の通り或る9点でしか想定しておりません。 然し,或る7或いは8点に置換しても示せる旨の記述について,詳しく示してください. 興味があります. : 132人目の素数さん [] 2017/10/26(木) 20:10:48.28:1czx1ktV 私の想定解はこちら 点12345より条件を満たす円Oを作る。 このとき円に乗っている点を1234とする。 この円O外に2点以上の点があると仮定すると(56とする)、 12356を考えたとき円Oは3点123より一意に定まるが、56が円O外となり条件に矛盾する。 ∴背理法より円O外には1点以下しか外れない。 以上から、円Oには少なくとも(n-1)個の点が乗る。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/26(木) 22:04:04.88:jkYw2AAu は出題者さんのコメントでは無かったのですね。失礼しました。 7点の場合ですが、次の7文字からなる、七つの数字列を見てください。 (0001111),(0110011),(0111100),(1010101),(1011010),(1100110),(1101001) 各数字列はそれぞれ「円」に対応し、第一の数字から第7の数字は、第一の点から第7の点に対応し、 円が、その点をを通る場合は1、通らない場合は0が書かれています。第1の円は、(0001111)と書かれているので、 第一、第二、第三の点は無く、第4から第7の四つの点が乗っていることを示しています。 この七つの数字列が示すように七つの円と点が取れば、条件 >>条件:どの5点に於いても,そのうち4点が同一円周上に存在する. を満たしていても、「7つの点の内、六つが同一円周上にはない」ようなものが存在できるというものです。 実際、上の数字列でチェックしてみてください。どの5点を選んでも、1を四つ含む円が必ずあることが確かめられます。 しかし、組み合わせ上可能でも、実際にこのような「円を描く」事が可能なのか? に疑問がわいて、「9点じゃなくて、7点、あるいは、8点でも成立するのでは?」と書きました。 7点の場合は、このように「円」という形状に起因し、不可能では?と考えました。 そこで、「特殊な閉曲線」を持ち出し、そのようなものなら可能としました。 一方、8点の場合は、上のような数字列を見つけ出すことが出来ませんでした。 (プログラムを組んで探したので、プログラムミスで見逃した可能性は否定できません) : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/26(木) 22:49:59.60:jkYw2AAu >>この円O外に2点以上の点があると仮定すると(56とする)、 を考えたとき円Oは3点123より一意に定まるが、56が円O外となり条件に矛盾する。 1256か1356か2356が、別の円の上に乗っていればいいだけなのでは? 何か勘違いしてる? : 132人目の素数さん [] 2017/10/26(木) 23:19:58.97:1czx1ktV ああ、たしかに別の円に乗せられば行けるので不充分っぽい : 132人目の素数さん [] 2017/10/27(金) 00:29:42.72:Jpqp4p7D △ABCがある。BC=10, sinB=3/5, sinC=4/5となるとき、△ABCの面積を求めよ。(かなり汚い数字になりますがご勘弁を) : 132人目の素数さん [] 2017/10/27(金) 00:44:14.90:IOyAuxgL 似た問題を某所に応募してみたけど採用されなかったので、ここで供養 10個の変数 x_ij (1≦i<j≦5) についての0でない多項式fであって、次を満たすものを1つ求めよ: 5つの平面ベクトル v_i (i=1,2,3,4,5) をどう定めても、f に x_ij=v_i・v_j を代入した値は必ず0になる。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/27(金) 00:57:19.63:IOyAuxgL の誘導問題(群論知ってたらわりとすぐだけど一応) コルクボードに5つの画ビョウa,b,c,d,eが、この順に正五角形の頂点をなすように刺さっている。 ab,bc,cd,de,eaの5つの組を、それぞれ紐で結ぶ。(つまり、紐は正五角形の辺をなす) この状態から、『2つの画ビョウの位置を紐をつけたまま入れ替える』という操作を奇数回行うことで、再び紐が正五角形の辺をなすようにすることは可能か。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/27(金) 01:02:07.76:XGdnrbSu ボツ問題より、どこで募集しているかを知りたい。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/27(金) 02:50:08.54:1iLpsAin (cosC)^2 =(sinB)^2, (cosB)^2 =(sinC)^2, より ±cosC = sinB = 3/5, cosB = sinC = 4/5, (1) A = B+C= 90°(直角凵jのとき sin(A)= 1, 正弦定理より BC:CA:AB = sin(A):sin(B):sin(C)= 5:3:4 面積:24 (2) C - B = 90°(鈍角凵jのとき sin(A)= 7/25, 正弦定理より BC:CA:AB = sin(A):sin(B):sin(C)= 7:15:20 面積: 1200/7 : 132人目の素数さん [] 2017/10/27(金) 11:02:26.31:Kn04ELyx Mathpowerっていう数学のイベントが去年から毎年数日間にわたって開催されてるんだけど、 今年はその中の小イベント『数学の決闘』で出題するための問題を公募してたんだよ もうイベントも公募も終了してるけどね : 132人目の素数さん [] 2017/10/27(金) 11:17:43.85:Jpqp4p7D 鈍角の時は600/7になると思う 計算式は(1/2)(BC)(sinB)(sinC)/(sin(B+C)) これで計算すれば、 B鈍角時は解無し(負の数で解が出る) C鈍角時は600/7 B,C鋭角時は24 ってなった : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/27(金) 15:36:57.65:3CZEhSpS Mathpowerって5ちゃんねると同じく公安のスパイであるニコ生の催しか : 132人目の素数さん [] 2017/10/27(金) 19:33:08.76:Jpqp4p7D 気を取り直して 3つドアがあって、景品1つとハズレが2つドアの向こうにります。 あなたはドアを1つ選びます。 このあと、ハズレのドアが1つ開きます。 その後あなたはドアを変えることも出来るし、そのまま選択することもできます。 あなたはドアを変えるべきでしょうか? 答えと理由もお願いします。 : 132人目の素数さん [] 2017/10/28(土) 15:59:05.66:4DKtP3Rk 次の不等式の表す領域を図示せよ。 ・y≧-x^2+6|x|-8 ・4y≧-5x^2+10|x|+21 ・0≧x^2+y^2-6y-16 ・0≧x^2-(8√2)|x|+y^2-2(3+4√2)y+64+24√2 : 132人目の素数さん [] 2017/10/28(土) 18:41:37.80:4DKtP3Rk ちなみに上はミッキーマウス描けまーす... 反応ない... ちょっとした頭の体操?というか意地悪な問題です笑 「有理数全体の集合をQとする。 この時、Qの2つの要素a/b,c/d に対して 和a/b+c/d をa/b+c/d=(ad+bc)/bd と定義する。」 この時、この定義はまだ数学的に不充分です。どこが不充分でしょうか?? : 132人目の素数さん [] 2017/10/28(土) 18:43:18.63:4DKtP3Rk あ、当然b≠0かつd≠0です!笑 : 132人目の素数さん [] 2017/10/28(土) 18:51:09.66:jWurCcgF キモ・・・ : 132人目の素数さん [] 2017/10/28(土) 18:52:57.46:4DKtP3Rk 計算してまとめただけなら定義じゃないねorz 私達は有理数の足し算は上の定義式のような計算で与えられることを知っています。では、その足し算というものを改めて定義しようとした時上の定義ではそもそも定義として危うい点が残っています。それは何でしょう?って事です( ノД`)シクシク… : 132人目の素数さん [] 2017/10/28(土) 20:07:51.86:HxNBMRQu どうせwell-definedかどうかなんだろうけど、ちょっと代数習いたて感が半端ないっす : 132人目の素数さん [] 2017/10/28(土) 20:35:04.15:4DKtP3Rk ですね笑 最近やっと代数を楽しいと思えてきました : 132人目の素数さん [] 2017/10/28(土) 20:39:55.70:4DKtP3Rk これって定理に入らないか? いえいえ! 和や積などに代表される二項演算とは、一種の写像として定義されます。具体的には集合S上の二項演算とはf:S×S→S という写像fの事です。 なのでQの要素2つ定めれば、それに対する演算の結果は必ず一意に定まらないとダメです。 なので今回の場合は⑴そもそもの演算の結果が有理数になる。 ⑵その計算結果は有理数の表示の仕方に依らず、一意に定まる。 という2点が確かめられて初めて定義可能と言えます。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/10/28(土) 22:15:19.41:XSy63dyw 幾度となく出てる : 132人目の素数さん [] 2017/10/29(日) 01:30:42.66:5TeRc4Dg の答え(の例) Σ sgn(σ)x_σ(1)σ(2)x_σ(2)σ(3)x_σ(3)σ(4)x_σ(4)σ(5)x_σ(5)σ(1) σ∈S_5(=5次対称群) (ただし、x_ijとx_jiは同じ文字と見なす) (証明)上で定めたfは 10x_12x_23x_34x_45x_ 51 の項を持つので0でない。 x_ij=v_i・v_j をfの式に代入した時の値をg(v_1,…,v_5)とおくと、gはv_i,v_j(i≠j)の入れ替えにより符号が反転することが確かめられるので、v_iのうち一次従属な二つ組が存在すればg=0とならなければならない。 v_iのうちどの二つ組も一次独立であると仮定する。各i=3,4,5に対して、v_1+t_iv_2とv_iが一次従属になるような実数t_iが存在するので、 tについての二次以下の式 h(t)=g(v_1+tv_2, v_2, v_3, v_4, v_5) は零点を3つ以上持つ。したがって、hは恒等的に0。ゆえに、g(v_1,…,v_5)も0。 : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/10/29(日) 18:19:01.94:w8MLdeK9 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/10/29(日) 18:19:19.15:w8MLdeK9 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/10/29(日) 18:19:35.82:w8MLdeK9 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/10/29(日) 18:19:53.48:w8MLdeK9 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/10/29(日) 18:20:10.44:w8MLdeK9 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/10/29(日) 18:20:29.57:w8MLdeK9 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/10/29(日) 18:20:47.60:w8MLdeK9 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/10/29(日) 18:21:04.99:w8MLdeK9 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/10/29(日) 18:21:24.13:w8MLdeK9 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/10/29(日) 18:21:40.64:w8MLdeK9 ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/08(水) 12:43:13.76:X+T0MJpc 面白くないかもしれんが、lim[x→+0] {e - (1+x)^(1/x)}/x を求めよ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/08(水) 22:22:45.97:mblwdtt/ 0 < x << 1 のとき (1+x)^(1/x + 1/2) 〜 e, ∴(1+x)^(1/x)〜 e/√(1+x)〜 e/(1+x/2)〜 e(1-x/2), ∴(与式)= lim[x→+0](ex/2)/x = e/2, 〜は差がO(xx)であることを表わす。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/09(木) 14:12:21.30:3X7VVSFu 面白くないかもしれんが、lim[x→+0]{e -(1+x)^(1/x + 1/2)}/xx を求めよ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/10(金) 00:52:52.85:zIX+6Ycy 0 < x << 1 のとき (1+x)^(1/x + 1/2 - x/12 + xx/24 - …)= e : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/11(土) 15:28:23.29:ch5TTVlt 1/(1+x)= 1 -x +xx -x^3 + …, log(1+x)= x -xx/2 +(x^3)/3 -(x^4)/4 + …, (1/x +1/2 -x/12 +xx/24 -…)log(1+x)= 1, (1+x)^(1/x +1/2 -x/12 +xx/24 -…)= e, : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/12(日) 10:48:32.40:Ol3q012R ttps://i.imgur.com/b8KxwvA.png : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/12(日) 11:44:42.83:+jphTJpC 対角線方向の和は等しい(全体の1/2) 32+16= 28+x, x=20. : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/12(日) 17:20:16.27:ppo0TGHI > 対角線方向の和は等しい(全体の1/2) なぜ? : 132人目の素数さん [] 2017/11/12(日) 18:11:44.33:bcdob+HV 正方形の頂点からも補助線を引けば 底辺は皆同じ長さだし 高さが同じ三角形が確変状に2つずつできるからだよ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/12(日) 18:44:27.24:ppo0TGHI ありがとう : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/12(日) 19:00:05.18:+jphTJpC 凸四角形ABCDの内部に点Pをとる。 4辺AB,BC,CD,DA の中点を K,L,M,N とおくと、 △APK = △BPK = k, △BPL = △CPL = l, △CPM = △DPM = m, △DPN = △APN = n, となる。 S_A = n + k, S_B = k + l, S_C = l + m, S_D = m + n, S_A + S_C = S_B + S_D, : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/12(日) 19:10:32.10:AbMINYSr ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/12(日) 19:10:47.92:AbMINYSr ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/12(日) 19:11:05.90:AbMINYSr ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/12(日) 19:11:22.71:AbMINYSr ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/12(日) 19:11:40.74:AbMINYSr ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/12(日) 19:11:58.48:AbMINYSr ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/12(日) 19:12:16.30:AbMINYSr ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/12(日) 19:12:38.84:AbMINYSr ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/12(日) 19:12:56.75:AbMINYSr ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/12(日) 19:13:15.45:AbMINYSr ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/12(日) 19:32:20.75:+jphTJpC では、本題に入ります。 PK,PL,PM,PN で4片に切り分け K,L,Mを鳩目で留めて、各片を動かします。 ABCDを1点Qに集めると、新しい凸4角形 K'L'M'N' が出来ます。 (鳩目がえし) 〔問題〕 点P が KM と LN の交点にあったとき、◇K'L'M'N' は平行4辺形になることを示せ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/13(月) 00:09:15.66:JLzkThPB ほう、そっちに補助線が多数派か おれは少数派 : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/13(月) 00:50:51.00:Yii0a2oy なんかそんな感じの図で変な名前の定理があったなと思った british flag's theorem だった : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/13(月) 01:30:25.03:JZdVlCPR なにが「本題に入ります」だコラ てめえは画像貼ってねえだろ : 132人目の素数さん [] 2017/11/13(月) 01:35:51.81:8sAckRBe 前スレ 面白い問題おしえて〜な 二十三問目 [無断転載禁止]©2ch.net ttp://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/ ">ttp://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/ 187 132人目の素数さん 2017/06/25(日) 01:21:36.25 ID:8SgueX3P Microsoftが就職面接で出したとかいう問題 長方形ABCDに対して点PがAP=11,BP=13,CP=7を満たすとき、DPは? 216 132人目の素数さん 2017/06/25(日) 22:50:39.89 ID:LvX/aL4D ttps://youtu.be/bhMyvC7o97Y マイクロソフトはこの問題を口頭で解かせた…? : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/13(月) 01:55:12.51:Yii0a2oy ああsつかないんだ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 02:49:28.58:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 02:49:48.02:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 02:50:06.03:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 02:50:24.08:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 02:50:42.28:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 02:51:02.07:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 02:51:22.17:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 02:51:41.51:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 02:52:04.48:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 02:52:25.10:tP2A7oah ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/13(月) 18:30:50.24:ZO46PDyG ┌┏━━━┳━━━┓ │┃ 3p^2┃5p^2 ┃ 4┣━━━╋━━━┻━┓ p┃ ?p^2┃ 7p^2 ┃ └┗━━━┻━━━━━┛ └─── 5p────┘ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/13(月) 18:35:14.93:s1bK+9vv ずれすぎ。絵を書いて貼ったほうがいい : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 20:06:14.92:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 20:06:35.77:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 20:07:03.06:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 20:07:20.65:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 20:07:37.51:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 20:07:54.22:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 20:08:11.73:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 20:08:28.77:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 20:08:45.49:tP2A7oah ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/13(月) 20:09:02.85:tP2A7oah ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/14(火) 03:33:26.70:Tiu/gc0k 等幅フォントならずれてないという罠 : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/14(火) 03:42:14.27:Tiu/gc0k ┌ A━━━B━━━C‥D │ ┃ 3p^2┃5p^2 ┃ : 4 E━━━F━━━G━H p ┃ ?p^2┃ 7p^2 ┃ └ I━━━J━━━K━L . └─── 5p────┘ 解けないけどとりあえず点に命名 : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 04:43:21.57:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 04:43:38.12:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 04:43:54.78:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 04:44:11.13:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 04:44:27.58:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 04:44:43.71:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 04:45:00.95:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 04:45:18.18:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 04:45:34.73:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 04:45:54.99:DKMYn3HH ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/14(火) 07:54:34.80:QSiwpYdW 答え出すだけなら当てずっぽうの3で計算あっちゃうからなあ 文字を置いて比と合計で方程式立てればいいんだろうけど小学生はどうやるんだろう? 中学受験とかの問題だよね? : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/14(火) 08:25:21.04:BWV4+ALo 東大数学科卒のおれが 少し考えてしまった : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/14(火) 08:27:48.30:BWV4+ALo × : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/14(火) 09:15:51.06:ZesshMJ4 5cmはIL間の距離だろうな、問題の意図からして : 132人目の素数さん [] 2017/11/14(火) 10:17:13.68:DHFhf7rh 問題文 長方形AILDがある。 辺AI上に点E、辺DL上に点Hを、AE=DHとなるようにとる。 辺AD上に点B、辺IL上に点Jを、AB=IJとなるようにとる。 EHとBJの交点をFとする。 線分BD上に点C、線分FH上に点G、線分JL上に点Kを、BC=FG=JKとなるようにとる。 AI=DL=4、AD=IL=5、□AEFB=3、□BFGC=5、□FJLH=7であるとき、□EIJFを求めよ。 : 132人目の素数さん [] 2017/11/14(火) 11:59:24.39:B4AZ+w8T 点C,G,Kってただの糞エアロパーツ? : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 13:05:50.88:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 13:06:10.21:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 13:06:28.13:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 13:06:46.09:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 13:07:03.30:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 13:07:22.13:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 13:07:39.76:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 13:07:58.92:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 13:08:16.69:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 13:08:37.46:DKMYn3HH ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/14(火) 17:46:50.52:Tiu/gc0k 3以外の別解がないことが証明できた : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/14(火) 17:54:52.45:Tiu/gc0k AE=p,AB=q とするとき ┌pq=3 ┤(4-p)(5-q)=7 └3(5-q)>5 を解くと (p,q)=(2,3/2)のみになりこのとき(4-p)q=3 なお(p,q)=(6/5,2)は上2式だけみたすが3(5-q)=25/12<5 なので不適 : 132人目の素数さん [] 2017/11/14(火) 18:39:53.24:GD1DjxVU なら当てずっぽうは立派な回答だと知ってように : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/14(火) 19:47:46.43:6BrELZtY 3 ^2とかと表示されて意味不明だった。 3 10-x x 7 x(10-x)=21 x=3,7 : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 20:36:32.61:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 20:36:47.91:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 20:37:03.82:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 20:37:20.23:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 20:37:35.97:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 20:38:09.64:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 20:38:25.77:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 20:38:42.44:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 20:38:59.96:DKMYn3HH ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/14(火) 20:39:17.96:DKMYn3HH ¥ : 380 [] 2017/11/14(火) 22:13:32.27:A0rgzxpS 解答例 AE=xとおく。 □AEFB=3よりAB=3/x AI=4よりEI=FJ=4-x □FJLH=7よりBD=FH=7/(4-x) AB+BD=5より3/x+7/(4-x)=5⇔5xx-16x+12=0⇔x=6/5,2 x=6/5のときAC=(3+5)/x=20/3>5=ADより矛盾(□BFGC=5はここで使う)。 x=2のときEI=AE=2より□EIJF=□AEFB=3 : 380 [sage] 2017/11/14(火) 22:15:44.36:A0rgzxpS これを小学校の算数の知識(面積比)で解くのが主旨なのでは : 393 [sage] 2017/11/14(火) 23:34:48.28:Tiu/gc0k を訂正 正:「なお(p,q)=(6/5,5/2)は上2式だけみたすが3(5-q)=3<5 なので不適」 3(5-q)が意図するのは□BFGCではなく□BFHDの面積なので気をつけてほしい 右上の欠けを足したものは5cm^2より真に大きかろう、の意 : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/14(火) 23:48:51.76:Tiu/gc0k 解がいくつもありそうに思いきや、 Aを中心に積が3の双曲線(片割れのみ) Lを中心に積が7の双曲線(片割れのみ) を書いて考えただけでも、 交点は2個以下だから、解が2個以下であることまでわかる てのは中学知識以上か : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 00:54:28.91:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 00:54:51.79:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 00:55:10.78:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 00:55:29.92:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 00:55:50.37:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 00:56:11.00:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 00:56:30.69:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 00:56:49.86:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 00:57:06.95:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 00:57:25.48:WZuPK5Ir ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/15(水) 07:51:33.18:leq/t8zY Dまでの全体の大きな四角形は20cm^2 大きな四角形を十字で分けて左上と右下を足して10cm^2なので左下と右上を足しても10cm^2 こうなるためにはBがADの中点であるかEがAIの中点であるか少なくともどちらかが必要※ 従って求める左下の四角形の面積は3cm^2か7cm^2だが7だと右上が5より小さい3となってしまい不適 ※は辺の長さを文字で置けば簡単だが、図形でやろうとするとちょっと面倒な方法しか思いつかない BもEも中点でないとすると大きな四角形の中心について点対称に移動した十字を書き加えたとき中央に小さな四角形が必ずできる この四角形の面積のぶん、左上と右下の和、左下と右上の和に差が出る : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/15(水) 08:27:56.05:yoSEZHQY 一方が中点じゃない時にもう一方が必ず中点になる事をいえばいいだけじゃね : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/15(水) 08:40:23.80:leq/t8zY それを簡単に言う方法が思いつかないってことだよ 小学生でもすんなり理解できるくらいの証明方法があったら教えてくれ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/15(水) 12:35:25.28:YjleuV3m ことによると、もっとでかい図形の一部として考えでもするのかな 悪名高きラングレーの凧はそのたぐい : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 20:26:03.02:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 20:26:18.76:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 20:26:36.11:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 20:27:07.62:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 20:27:25.49:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 20:27:41.70:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 20:27:57.62:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 20:28:13.71:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 20:28:29.97:WZuPK5Ir ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/15(水) 20:28:45.05:WZuPK5Ir ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/16(木) 04:10:16.86:+0/ZGG+j 「ラングレーの問題」とか「フランクリンの蛸」とか : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 05:57:40.12:6ldUKvsQ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 05:57:57.05:6ldUKvsQ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 05:58:13.36:6ldUKvsQ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 05:58:30.14:6ldUKvsQ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 05:58:46.31:6ldUKvsQ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 05:59:02.85:6ldUKvsQ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 05:59:20.31:6ldUKvsQ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 05:59:37.37:6ldUKvsQ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 05:59:55.72:6ldUKvsQ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 06:00:12.36:6ldUKvsQ ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/11/16(木) 14:34:01.79:xSbgXfSQ 1辺の長さ1の正三角形の面積を二等分する曲線の長さの最小値を求めよ : 132人目の素数さん [] 2017/11/16(木) 14:34:50.15:xSbgXfSQ 高さ1、底円の半径1の円錐の体積を二等分する曲面の面積の最小値を求めよ : 132人目の素数さん [] 2017/11/16(木) 14:37:39.09:j2ynrfH6 頂点中心の円弧 : 132人目の素数さん [] 2017/11/16(木) 14:38:54.77:xSbgXfSQ はやい正解 ちなみに証明は? : 132人目の素数さん [] 2017/11/16(木) 14:39:09.94:j2ynrfH6 頂点中心の球面錐 : 132人目の素数さん [] 2017/11/16(木) 14:40:43.15:j2ynrfH6 変分法で : 132人目の素数さん [] 2017/11/16(木) 14:42:41.47:w3VzNcGK 正三角形の内部(周を含む)と曲線の共通部分がチョン切れてもいいの? : 132人目の素数さん [] 2017/11/16(木) 14:55:42.27:OJKu5fNY それでも構いません 閉曲線じゃなくてもいいです : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 15:47:02.80:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 15:47:19.18:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 15:47:35.99:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 15:47:53.87:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 15:48:15.13:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 15:48:35.12:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 15:48:50.41:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 15:49:06.67:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 15:49:22.40:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 15:49:37.46:dwsFtXIf ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/16(木) 17:33:11.94:41JgcOJC 問題の意味がわからん 直線で2等分するのが最短だと思うんだが : 132人目の素数さん [] 2017/11/16(木) 18:37:02.51:uFb11v3p 直線の場合との場合で計算して比較してみな : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/16(木) 20:15:38.73:KgFiXVl/ の本音↓ 「自分で計算するのメンドクセーから他の人にやってもらお♪」 : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 20:52:15.86:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 20:52:33.36:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 20:52:51.21:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 20:53:08.77:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 20:53:27.29:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 20:53:43.74:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 20:53:59.38:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 20:54:17.03:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 20:54:35.43:dwsFtXIf ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/16(木) 20:54:57.64:dwsFtXIf ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/16(木) 23:54:45.63:41JgcOJC 正三角形を6個並べる 同じ面積で周が最小なのは円 こんな感じ? : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/17(金) 01:07:53.30:5tznSTq6 Wolfram先生を頼らずに、次式を手計算で因数分解するには、どう考えたらいいかな? (abc)^2 + (bcd)^2 + (cda)^2 + (dab)^2 + abcd(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/17(金) 01:53:53.18:VLF4tQu0 どの文字も3次以下。 1次以下の3つの因数? (ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/17(金) 01:58:30.79:VLF4tQu0 底円の面積は πゆえ 円錐の体積 V = π/3, 高さが(1/2)^(1/3)倍になるように、底面に平行な平面で切る。 その断面積は S =(1/2)^(2/3)π = 0.630π, 軸と母線のなす角αは α = arctan{(底円の半径)/(高さ)}= arctan(1)= π/4, cosα = 1/√2, 球面錐の半径をrとすると 体積 V ' =(2π/3)(1-cosα)r^3 これが V = π/3 の半分だから r = 1/{4(1-cosα)}^(1/3)= 0.9486 断面積 S ' = 2π(1-cosα)r^2 = 0.5271π : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/17(金) 02:16:25.75:VLF4tQu0 1辺が1の正△の高さ(√3)/2、面積はS =(√3)/4 高さが√(1/2)倍になるように、底面に平行な平面で切る。 その長さは L =√(1/2)= 0.7071 半径r、中心角60°の扇形の面積は S ' = πrr/6, これが S =(√3)/4 の半分だから r =(1/2)√{(3√3)/π}= 0.643 L ' = πr/3 = 0.6734 : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 03:12:17.10:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 03:12:39.24:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 03:12:57.25:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 03:13:14.75:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 03:13:32.66:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 03:13:49.71:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 03:14:06.05:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 03:14:22.91:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 03:14:40.14:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 03:14:58.46:Y8c01QBt ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/11/17(金) 07:11:02.84:eHjnVrvG こういう問題って円弧、直線以外も解になり得るの? : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/17(金) 07:39:59.09:N4iBa0j5 最小値は求まるけど図示は可能なんだろうか? 等積問題と同じようなもん? : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 14:48:02.83:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 14:48:21.41:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 14:48:37.93:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 14:48:54.55:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 14:49:11.31:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 14:49:27.70:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 14:49:50.55:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 14:50:07.12:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 14:50:24.14:Y8c01QBt ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/17(金) 14:50:39.67:Y8c01QBt ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/19(日) 20:32:58.40:iFjU+4Gu 半径1の円に内接する四角形ABCDが、 AC⊥BD かつ 2OA↑+3OB↑+4OC↑=0↑(矢印はベクトル)をみたすとき、 四角形ABCDの面積を求めよ。 : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/19(日) 20:44:12.14:1TUhKzn4 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/19(日) 20:44:28.65:1TUhKzn4 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/19(日) 20:44:44.71:1TUhKzn4 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/19(日) 20:45:00.85:1TUhKzn4 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/19(日) 20:45:18.62:1TUhKzn4 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/19(日) 20:45:36.78:1TUhKzn4 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/19(日) 20:45:53.49:1TUhKzn4 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/19(日) 20:46:10.61:1TUhKzn4 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/19(日) 20:46:28.14:1TUhKzn4 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/19(日) 20:46:45.59:1TUhKzn4 ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 14:01:33.33:hzCSYxc+ (1) 2直線y=ax, y=bxが、y=xについて対称の位置にあるための、a,bの必要十分条件を求めよ。 (2) xy≠0, kは定数として、 (y/x)+(x/y)=k (|k|>2) はどのようなグラフになるか? (y/x)-(x/y)=k はどのようなグラフになるか? : 132人目の素数さん [] 2017/11/20(月) 21:43:11.87:MPXap2oe (1,a)//y=ax (1,b)//y=bx (1,a)/√(1+a^2)+(1,b)/√(1+b^2)//y=x 1/√(1+a^2)+1/√(1+b^2)=a/√(1+a^2)+b/√(1+b^2) : 132人目の素数さん [] 2017/11/20(月) 21:48:31.58:MPXap2oe √(1+a^2)+√(1+b^2)=b√(1+a^2)+a√(1+b^2) (1-b)√(1+a^2)=(a-1)√(1+b^2) (1-2b+b^2)(1+a^2)=(a^2-2a+1)(1+b^2) b(1+a^2)=a(1+b^2) a(ab-1)=b(ab-1) (a-b)(ab-1)=0 a=b,ab=1 : 132人目の素数さん [] 2017/11/20(月) 21:49:43.27:MPXap2oe a=b=±1 -> ab-1=0 a=b≠1 -> NG ab=1 : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/20(月) 22:48:07.76:yjl62pX+ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/20(月) 22:48:24.88:yjl62pX+ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/20(月) 22:48:44.20:yjl62pX+ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/20(月) 22:49:01.83:yjl62pX+ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/20(月) 22:49:20.34:yjl62pX+ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/20(月) 22:49:37.32:yjl62pX+ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/20(月) 22:49:54.88:yjl62pX+ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/20(月) 22:50:11.45:yjl62pX+ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/20(月) 22:50:29.55:yjl62pX+ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/20(月) 22:50:46.80:yjl62pX+ ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/20(月) 23:13:45.09:fb9CDJs2 (1)正解 (1,a)/√(1+a^2)+(1,b)/√(1+b^2)=(c,c)からab=1まで同値性を保持している : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 06:11:05.72:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 06:11:28.63:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 06:11:45.85:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 06:12:02.49:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 06:12:18.00:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 06:12:34.22:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 06:12:51.02:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 06:13:08.27:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 06:13:24.88:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 06:13:42.27:XVyRctJ0 ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/21(火) 06:51:26.51:H9m/I1ar (1)の補足 (y=x対称)⇒ab=1 a=tan(π/4+α), b=tan(π/4-α)とおいて計算するとab=1 ab=1⇒(y=x対称) ab=1, ab≠0でa=tanθ, b=tan(π/2-θ)とおけば、θ=π/4+αと変換してπ/2-θ=π/4-αでy=x対称なのを示せる が… >a=tanθ, b=tan(π/2-θ)とおけば、 のところが循環論法かもしれない : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 07:46:20.68:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 07:46:36.83:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 07:46:53.90:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 07:47:10.98:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 07:47:29.55:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 07:47:47.04:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 07:48:05.97:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 07:48:24.30:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 07:48:42.50:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 07:49:01.19:XVyRctJ0 ¥ : 132人目の素数さん [] 2017/11/21(火) 14:21:46.90:Heuk6zpo y=ax<->x=ay y=bx ∀x=abx ab=1 : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 17:51:46.95:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 17:52:04.40:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 17:52:22.57:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 17:52:41.53:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 17:52:59.59:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 17:53:17.26:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 17:53:37.49:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 17:53:55.82:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 17:54:14.02:XVyRctJ0 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/21(火) 17:54:33.40:XVyRctJ0 ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/24(金) 01:28:03.71:3FWBc0BM (2)の解答 x≠0∧y≠0, k^2-4>0を考慮して (y/x)+(x/y)=k ⇔y^2-kxy+x^2=0 ⇔y=(kx±√((k^2)(x^2)-4(x^2)))/2 ⇔y=(kx±|x|√(k^2-4))/2 ⇔y=((k±√(k^2-4))/2)x ((k+√(k^2-4))/2)((k-√(k^2-4))/2)=1より、 これはy=xに対称な(原点を除く)2直線を表している x≠0∧y≠0を考慮して (y/x)-(x/y)=k ⇔y^2-kxy-x^2=0 ⇔y=(kx±√((k^2)(x^2)+4(x^2)))/2 ⇔y=(kx±|x|√(k^2+4))/2 ⇔y=((k±√(k^2+4))/2)x ((k+√(k^2+4))/2)((k-√(k^2+4))/2)=-1より、 これは直交する(原点を除く)2直線を表している : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/24(金) 01:45:53.40:7RwNGOaZ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/24(金) 01:46:09.34:7RwNGOaZ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/24(金) 01:46:26.66:7RwNGOaZ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/24(金) 01:46:42.31:7RwNGOaZ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/24(金) 01:46:57.30:7RwNGOaZ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/24(金) 01:47:14.24:7RwNGOaZ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/24(金) 01:47:30.86:7RwNGOaZ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/24(金) 01:47:46.46:7RwNGOaZ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/24(金) 01:48:02.51:7RwNGOaZ ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/11/24(金) 01:48:18.26:7RwNGOaZ ¥ : ゲルシュゴリンの定理 [sage] 2017/11/26(日) 01:48:41.01:D95U6Y/2 4次行列 [100 , 0 , 0 , 1] [0.5 , 100 , 0 , 0.5] [-1 , 0 , 100 , 0] [1/2 , 1/3 , 1/6 , 100] の固有値の絶対値はいくつくらい? 暗算で : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/26(日) 22:21:43.16:b02GGEMo (x-100)^4 -(2/3)(x-100)^2 = 0, ∴ x = 100, 100±√(2/3). : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/26(日) 22:38:30.18:b02GGEMo (1) 最も多数の点をとおる円の1つをΓとする。 Γはn個の点を通るとする。 題意より、n≧4 Γが通る点をA,B,C,… とする。 n<8 のとき、Γを通らない2点X,Yがある。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/26(日) 22:40:06.20:b02GGEMo (1) ・5≦n<8 のとき 5点{A,B,C,X,Y}に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。 このとき、A,B,C のうちの1つが欠ける。 ∵ もし XまたはY が欠けて A,B,C が残るならばその円はΓに一致し、XまたはY がΓ上に存在することになる。(矛盾) たとえば、4点{A,B,X,Y}が同一円周上に存在する、とする。 A,B の片方を共有する{A,C,X,Y}や{B,D,X,Y}は同一円周上に存在しない。(C,D は A,B 以外の任意の点) ∵ もし存在するなら{A,B,C,X,Y}や{A,B,D,X,Y}が同一円周上に存在するが、それらはΓに一致し、X,Y がΓ上にあることになる。(矛盾) 次に、5点{C,D,E,X,Y}に於いて、そのうち4点が同一円周上に存在する。 たとえば、4点{C,D,X,Y}が同一円周上に存在する、とする。 更に、5点{A,C,E,X,Y}に於いて、そのうちの4点が同一円周上に存在する。 A,C,E のうちの1つが欠けるが、上記の2円のいずれかと3点を共有するので、結局Γと一致する。(矛盾) 以上により、5≦n<8 となることはない。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/26(日) 22:44:17.48:b02GGEMo (1) ・n=4 のとき 上と同様にして、1組の{X,Y}について 4点{A,B,X,Y}と{C,D,X,Y}が同一円周上にある。 4点{A,C,X,Y}と{B,D,X,Y}が同一円周上にある。 4点{A,D,X,Y}と{B,C,X,Y}が同一円周上にある。 の3条件のうち、1つだけが成立つ。 (∵ 2つ以上が成立てば、3点を共有する2円が一致し、結局Γと一致する。矛盾) ところで、5点から{X,Y}の組合せを選ぶ方法はC[5,2]= 10 通りある。 上記3条件の1つは、4通り以上の組合せについて成り立つ。 その4通りの中に{X,Y}の片方を共有するものもある。 たとえば、{A,B,X,Y}と{A,B,Y,Z}が同一円周上に存在するなら、 3点を共有するので2円は一致し、5点{A,B,X,Y,Z}が同一円周上に有る(n≧5)。 これは n=4 と矛盾するから、n=4 となることはない。 ・まとめ 以上により、n≧8 と結論される。 : ゲルシュゴリンの定理 [sage] 2017/11/27(月) 01:25:06.22:/O2mcbZv まあ確かにそうなんだけど (100-λ)^4-(1/6)(100-λ)^2-(1/2)(100-λ)^2+(1/6)(100-λ)-(1/6)(100-λ)=0 を考えるよりはもっと楽な方法が : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/28(火) 20:30:25.36:8oBcz/rm …ない。 : 132人目の素数さん [] 2017/11/28(火) 20:42:42.09:nK0w+JqJ nを2以上の自然数とするとき、 1+√2+...+√nは無理数であることを証明せよ : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/28(火) 22:42:00.31:pYbSrd6a の想定解 Gershgorin circle theoremより、固有値は4つとも、中心100,半径1の円盤に乗っている 固有値の絶対値は約100 : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/29(水) 15:20:35.31:yyAEt0PP 無理っすう ttp://integers.hatenablog.com/entry/2016/12/17/000000 : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/29(水) 17:26:32.70:VCsmhCGN xの多項式H_nを次の漸化式で定義する。 H_0 = 1 H_1 = 2x H_(n+1) = 2x*H_n - 2n*H_(n-1) m≠nのとき ∫[-∞,+∞] (H_n)(H_m)(e^(-xx)) dx についてどんなことが言えそうか? : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/29(水) 23:50:09.14:uL+p74UV 100Eっぽい行列の固有値は だいたい100っぽい。 そんだけの話。 : 132人目の素数さん [] 2017/11/29(水) 23:53:52.79:Rmm8KPOh 直交? : 132人目の素数さん [sage] 2017/11/30(木) 01:02:10.77:YBzixp/L エルミート多項式 (√π)2^n・n! δ_{n,m} : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/12(火) 05:01:41.50:emj/pgNO Σkが平方数→無限にある(1,36,1225,…) Σkkが平方数→1,4900のみ Σkkkが平方数→全て ところでaをある整数として (Σk)+aが平方数になるのは有限個か? Σ(k+a)=(Σk)+akが平方数になるのは有限個か? a=1,-1について考えよ : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/13(水) 00:19:59.30:IInGjIF+ R = 1/(1+1/(1+2/(1+3/(1+4/(…)))))=(√e)∫[1,∞]e^(-xx/2)dx = √(eπ/2)・erfc(1/√2)= 0.6556795424188 S = Σ[k=1,∞]1/(2k-1)!! =(√e)∫[0,1]e^(-xx/2)dx = √(eπ/2)・erf(1/√2)= 1.4106861346424 辺々たすと R + S =(√e)∫[0,∞]e^(-xx/2)dx = √(eπ/2)= 2.0663656770612 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/13(水) 11:32:46.57:IInGjIF+ 部分積分を繰り返して、 ∫e^(-xx/2)dx = Σ[k=1,n]{1/(2k-1)!!}x^(2k-1)e^(-xx/2)dx + {1/(2n-1)!!}∫x^(2n)e^(-xx/2)dx, S =(√e)∫[0,1]e^(-xx/2)dx = Σ[k=1,∞]1/(2k-1)!!, : 132人目の素数さん [] 2017/12/14(木) 01:26:30.70:BG0HQM59 無理っすう ttp://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7124/irratio.html ttp://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/7124/alg_int.html : 132人目の素数さん [] 2017/12/14(木) 16:17:42.55:t9T3shyE 三角形ABCにおいて,∠A内の傍心をI_Aとおく.辺BC,AB,AC上にそれぞれ点D,P,Qがあって,AP=CD,AQ=BDを満たしている. また,三角形PBDと三角形QCDそれぞれの外接円は2点で交わるとする. この2つの交点のうち点Dでないものを点Eとおく.このとき,点I_A,D,Eは同一直線上にあることを示せ. : 132人目の素数さん [] 2017/12/14(木) 19:04:34.54:t9T3shyE 此処って問題解ける人どれくらいいるんでしょう... 簡単な問題をもう1問(数3の範囲で解けます) f,gを定義域が開区間I=(a,b)である連続な実数値関数とする 此の時、任意のα,β∈Iに対し、∫(x:α→β) f(x)dx=∫(x:α→β) g(x)dxを満たすならば、f=gである事を示せ : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/14(木) 19:13:44.97:AzNCv8pt 「面白い」問題なら解くけど : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/14(木) 19:18:02.09:Ofj4vZmo 手垢の付いた問題は解かないけど : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 01:40:24.29:YbKpkeYJ (略証) c∈I とする。(a<c<b) 題意により、h(x)= f(x)- g(x)もIで連続。 ε> 0 を任意の正数とする。 h(x)は x=c で連続ゆえ、 |x-c| < δ ⇒ |h(x)- h(c)| < ε なる δ>0 がある。 [c-δ,c+δ]∩ I = J とおくと、 x ∈ J ⇒ h(c)-ε < h(x)< h(c)+ε, 一方、題意により、 ∫_J h(x)dx = 0, ∴ h(c)-ε < 0 < h(c)+ε, ∴ |h(c)|< ε ε>0 は任意に小さくできるから、 h(c)= 0, f(c)- g(c)= 0, : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 02:01:20.23:YbKpkeYJ 数3だと ∫[c,c+t] h(x)dx = 0, をtで微分してt→0 かなぁ(微分積分学の基本定理というらしい。) : 132人目の素数さん [] 2017/12/15(金) 08:47:36.88:G5v7erv5 確かに微積分学の基本定理は受験でも使うし使えば簡単だが一応無くても高校範囲で解くことは可能 : 132人目の素数さん [] 2017/12/15(金) 08:47:59.47:G5v7erv5 (選択公理に目を瞑れば) : 数3 [] 2017/12/15(金) 11:56:54.59:uqXDpGhA f=g+z -> ∫zdx=0 if z !=0 , then there exists z != 0 in [a,b]. take m = min[z,[a,b]] ∫zdx >= m(a-b) !=0 : 132人目の素数さん [] 2017/12/15(金) 14:24:12.18:IuA5e40o F(x) = ∫_α^x f(t) dt, G(x) = ∫_α^x g(t) dt とおく。 条件よりF(x) = G(x)を満たすのでF'(x) = G'(x)、即ちf(x) = g(x)が成り立つ。 当ってる? 平面図形の問題は分からん。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/15(金) 16:07:29.46:y5bzFKnT 良いだろうね もう一問 悪魔は8×8のチェス盤にランダムにポーン(0〜64個)を置き、どこかのマスを指定する。 幼女Aはそれを見てどこか1マスに対し「ポーンを置く」「取り除く」のいずれかの行動を1回のみ行う。その後、幼女Bはチェス盤の様子を見て悪魔がどのマスを指定したのか答えねばならない。どうすればいい? : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 23:00:11.32:kGUdHQtO 8×8のチェス盤64マスに、0〜63の番号を割り振る。 ポーンのおかれている番号をリストアップし、さらに指定されたマスの番号をリストに加え、 これら全ての排他的論理和を求める。 その排他的論理の値に当たるマスに「操作」を加える。これが幼女Aの行動。 幼女Bは、ポーンのおかれている番号をリストアップしこれら全ての排他的論理和を求め、 その値に当たるマス目を指定すればよい。同様の問題がちょっと前にも出されている。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 02:38:51.80:IUgCYmg5 Σk^4 が平方数 → なし? Σk^5 が平方数 → 1001^2(k=1〜13)のみ? Σk^m (m>5)が平方数 → なし? : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 05:10:51.04:IUgCYmg5 Σ[k=1,n]k = n(n+1)/2 = mm, m=n=1 は自然数解。 {m,n}が自然数解ならば{3m+2n+1,4m+3n+1}も自然数解。 ∴自然数解は無限にある。 一般解 m_k ={(√2 +1)^(2k)-(√2 -1)^(2k)}/(4√2), n_k ={(√2 +1)^(2k)+(√2 -1)^(2k)-2}/4, kは自然数。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 13:31:38.53:IUgCYmg5 m_{k+1}= 3m_k +2n_k +1, n_{k+1}= 4m_k +3n_k +1, ∴漸化式 m_{k+1}= 6・m_k - m_{k-1}, n_{k+1}= 6・n_k - n_{k-1}+2, : 132人目の素数さん [] 2017/12/16(土) 14:47:31.83:1gDMckgM 一般解ってことは 他にないのね?なぜ? : 132人目の素数さん [] 2017/12/16(土) 17:33:02.86:YLFrUwwC 空間内の AA_1=AA_2=AA_3=√3 A_1A_2=A_2A_3=A_1=√6 を満たす四面体AA_1A_2A_3をHとする.△A_1A_2A_3の内心をI,内接円をCとする.円Cの中心が直線AI上にあるように,円CをAI方向に平行移動するとき,円Cが描く図形をFとする.四面体Hの表面および内部と,Fの表面および内部の共通部分Kの体積を求めよ. : 132人目の素数さん [] 2017/12/16(土) 17:34:42.77:YLFrUwwC 訂正 空間内の AA_1=AA_2=AA_3=√3 A_1A_2=A_2A_3=A_3A_1=√6 を満たす四面体AA_1A_2A_3をHとする.△A_1A_2A_3の内心をI,内接円をCとする.円Cの中心が直線AI上にあるように,円CをAI方向に平行移動するとき,円Cが描く図形をFとする.四面体Hの表面および内部と,Fの表面および内部の共通部分Kの体積を求めよ. : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 19:38:31.32:YKyBeAy6 任意の実数 x, y に対して、f(f(x)+y) = 2x + f(f(f(y)-x)) をみたす関数 f を求めよ。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/17(日) 00:19:49.14:YgXxzpBe y=0 ffx=2x+ff(f0-x) x=f0/2 ff(f0/2)=f0+ff(f0/2) f0=0 ffx=2x+ff(-x) x=0 fy=fffy x=fy f(ffy-y)=2fy 0=f(fffy-fy)=2ffy f(fx+y)=2x x=0 fy=0 0=2x NG : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 01:18:03.96:rRk/M3Id 2m = M,2n+1 = N とおけば NN - 2MM = 1 という「ペル方程式」になります。 ペル方程式の全ての解は、最小解(M_1,N_1)≠(0,1)のべき乗になることが知られています。 N_k + M_k(√2)={N_1 + M_1(√2)}^k : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 01:18:47.10:4vXjwLo4 ヴォイニッチ手稿かよ! 何を書いているのか理解できんわ! : 132人目の素数さん [] 2017/12/17(日) 01:39:12.64:YgXxzpBe 問題として成立してない : 132人目の素数さん [] 2017/12/17(日) 01:40:03.13:YgXxzpBe へーそうなんだ 面白いね : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 01:58:30.57:4vXjwLo4 検索したら出てきた。面白スレ20問目912 ---------------------------------------------------------- 912 :132人目の素数さん:2015/05/09(土) 05:43:03.75 ID:2Ji3jztR f : R→R ∀x, ∀y ∈R , f(f(x)+y) = 2x + f(f(f(y))-x) 914 :132人目の素数さん:2015/05/09(土) 14:24:47.79 ID:thUnZu1m 解の1つがf(x)=xなのはわかった 915 :132人目の素数さん:2015/05/09(土) 18:33:22.73 ID:2Ji3jztR こういう関数方程式の問題のお決まりの解法ってなんだろうな 916 :132人目の素数さん:2015/05/10(日) 16:02:40.40 ID:CIiswLGB 2003 春合宿なら f(f(x)+y) = 2x + f(f(y)-x) だけど、それとは別の問題? 917 :132人目の素数さん:2015/05/10(日) 16:31:57.91 ID:3rqDb3p4 別。 918 :132人目の素数さん:2015/05/10(日) 18:48:38.37 ID:CIiswLGB 与式においてy=-f(x)として f(0)=2x+f(f(f(-f(x)))-x) この左辺は定数で, xは実数全体を動くのでfは全射. a,b∈R, f(a)=f(b)とする. 与式においてy=a, bとして f(f(x)+a)=f(f(x)+b) fは全射よりf(x)は任意の実数値をとりうるのでfは周期b-aをもつ. また, 与式においてx=a, bとして 2a+f(f(f(y))-a)=2b+f(f(f(y))-b) f(f(y))-a-{f(f(y))-b)}=b-aとfの周期性よりf(f(f(y))-a)=f(f(f(y))-b)なので a=b よってfは単射. 与式においてx=y=0として f(f(0))=f(f(f(0))) fは単射なのでf(0)=0 ∀c∈R, 与式においてx=-c, y=0として f(f(-c))=-2c+f(c)・・・@ また, 与式においてx=0, y=-cとして f(-c)=f(f(f(-c))) fは単射なので-c=f(f(-c))・・・A @, Aより-2c+f(c)=-c よってf(c)=c 逆にf(x)=xは与式を満たす. □ ---------------------------------------------------------- 918の下から7行目が間違っているような…。 正しくは f(f(-c))=-2c+f(f(-c))・・・@ だから、それ以降が使えんな。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 02:00:00.00:KSMqeXY0 n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)/12. n=1,13,133,1321,13081,.... : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 03:42:58.65:MW4shBkj f(s)をsの整式に限定した場合の解はf(s)=±s ∵f(s)をsのn次式とおくと与式左辺はyのn次式、右辺はyの(n^3)次式なので、任意のyで等式が成立するnは0または1 そこでf(s)=as+bとおく。 左辺=a(ax+b+y)+b=aax+ay+(ab+b) 右辺=2x+a(a(ay+b−x)+b)+b=(2−aa)x+aaay+(aab+ab+b) aa=(2−aa)よりa=±1。これはa=aaaも満たす。 ab+b=aab+ab+bよりaab=0 aa=1なのでb=0 □ 整式以外のときはどうすればよいでしょうね : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 05:17:08.31:4vXjwLo4 分かっていることは、これくらいでござるな。 (1) f は全単射 (2) f(0) = 0 (3) f(f(x)) = x (4) f(-x) = -f(x) (5) f(2x) = 2f(x) (6) 与式は f(f(x)+y) = f(y)+x と書き直せる : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 07:30:39.15:MW4shBkj 918の修正版 与式においてy=-f(x)として f(0)=2x+f(f(f(-f(x))-x)) この左辺は定数で, xは実数全体を動くのでfは全射. a,b∈R, f(a)=f(b)とする. 与式においてy=a, bとして f(f(x)+a)=f(f(x)+b) fは全射よりf(x)は任意の実数値をとりうるのでfは周期b-aをもつ. また, 与式においてx=a, bとして 2a+f(f(f(y))-a)=2b+f(f(f(y))-b) f(f(y))-a-{f(f(y))-b)}=b-aとfの周期性よりf(f(f(y))-a)=f(f(f(y))-b)なので a=b よってfは単射. 与式においてx=y=0として f(f(0))=f(f(f(0))) fは単射なのでf(0)=0 〜〜以下修正〜〜 ∀c∈R, 与式においてx=0, y=cとして f(c)=f(f(f(c))) fは単射なのでc=f(f(c))…@ @と与式より、 f(f(x)+y)=2x+(f(y)-x)=x+f(y) この式においてx=f(a),y=bとして f(f(f(a))+b)=f(a)+f(b) @よりf(a+b)=f(a)+f(b):fは加法的…A 逆に@とAが成立すれば、与式について 右辺=f(f(x)+y)=f(f(x))+f(y)=x+f(y) 左辺=2x+f(f(f(y)))-f(f(x))=x+f(y) なので、@かつAが与式の成立に必要十分 □ ここまでですね : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 08:00:01.42:KSMqeXY0 問題が違う。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/17(日) 08:20:32.41:YgXxzpBe 間違えた > > y=0 > ffx=2x+ff(f0-x) > x=f0/2 > ff(f0/2)=f0+ff(f0/2) > f0=0 > ffx=2x+ff(-x) これは不要 x=0 fy=fffy y=-fx f(fx-fx)=0=2x+ff(f(-fx)-x) f epi x=fy x=ffx f iso f(fx+y)=2x+fy-x=x+fy f(z+y)= fz+fy f Q-homo & ff=Id example f1=e fe=1 fx=x for other generators f(p+qe+Σr_sx_s)=pe+q+Σr_sx_s : 132人目の素数さん [] 2017/12/17(日) 08:29:11.39:YgXxzpBe > f Q-homo & ff=Id f Q- iso & ff=Id : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 09:00:01.25:KSMqeXY0 x=a+b,f(a)=a,f(b)=-b. f(x)=a-b. a=(x+f(x))/2,b=(x-f(x))/2. x=a+b,f(a)=a,f(b)=-b. a+b=c+d,f(a)=a,f(b)=-b,f(c)=c,f(d)=-d. a-b=c-d. a=c,b=d. : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 12:04:47.22:4vXjwLo4 と 数式だけの羅列だと、何を言いたいのか、何をやっているのかサッパリ理解できないんだが? 単に俺がアホなだけなんだろうけど。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 12:56:48.68:rRk/M3Id {n(n+1)/2}^2 は明らかに平方数ゆえ、 (2nn+2n-1)/3 が平方数 mm ならばよい。 (2n+1)/3 = N とおくと、 3NN - 2mm = 1, (m,N)が自然数解 → (5m+6N,4m+5N)も自然数解。 m_{k+1}= 5 m_k + 6 N_k, N_{k+1}= 4 m_k + 5 N_k, 漸化式 m_{k+1}= 10 m_k - m_{k-1}, N_{k+1}= 10 N_k - N_{k-1}, 一般式 m_k ={(√3 +√2)^(2k+1)-(√3 -√2)^(2k+1)}/(2√2), N_k ={(√3 +√2)^(2k+1)+(√3 -√2)^(2k+1)}/(2√3), : 132人目の素数さん [] 2017/12/17(日) 18:06:01.29:YgXxzpBe fx=x fx=-x 以外に 具体的に書けるfはある? RのQ-mod baseって選択公理から存在が出るだけで 具体的には無理ぽ : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 18:29:36.84:fnZuYwJ/ たしか選択公理までは必要なくRが整列できればよかったと思う どちらにせよ具体的にはならないけど : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 19:17:06.01:MW4shBkj ハメル基底U={Ui}(Q-mode baseはこの意味?)を使って任意の実数xを有理ベクトル(q1,…,qn)に1対1に対応させてx=Σqi・Uiが成立するようにできるから、 基底ごとに係数ai=1またはai=ー1を選んでf(x)=Σai・qi・Uiとすれば条件は満たされるのではと。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/17(日) 19:38:11.15:MW4shBkj ハメル基底の存在を示すとき選択公理が出てくる 選択公理からはハメル基底が「ある」ということは言えるが、ハメル基底の実例を具体的に示すことはできない ハメル基底の実例が示せないから、実数を有理ベクトルに分解する方法も具体的には示せない ってところかな : 132人目の素数さん [] 2017/12/17(日) 19:44:10.58:YgXxzpBe Q-mod baseと書いたのはそれのこと そしてそれが具体的に与えられないから fを具体的に書けそうもないってこと 具体的に書けたら基底の交換とか反転(-1倍)とか 固有値±1の行列的なのが色々と : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/18(月) 00:33:44.65:UbK7WUxq Σ[k=1,n]k^5 ={n(n+1)/2}^2(2nn+2n-1)/3, が平方数になるような n をさがす。 に沿って考えると、結果は になるらしい。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/18(月) 10:22:50.68:GtvOXPBa 黒板に何個かの相異なる自然数が書かれている。此れから2人で,以下の様な操作を交互に行うゲームをする. (操作)「プレーヤーは自分の手番※のとき,黒板に書かれている数から1つの数aを選び,aを其れから1を引いた数a-1に書き直す. 此のとき,a-1=0であるか,a-1が既に黒板に書かれている他の或る数と等しければ,今書いたばかりのa-1を1つ黒板から消す.」 自分の手番のとき,黒板に書かれている最後の数を消してしまったプレーヤーが負けになる. 此のゲームに於いて,両者が最善を尽くした場合に先手が勝つ場合は先手必勝であると言い,後手が勝つ場合は後手必勝であると言う.
例えば,黒板に1,2が書かれている場合は,先手が2を選ぶと,2-1=1は黒板に書かれているから其れは消されて1が1つだけ黒板に残る. 其のとき,後手は1を選ぶしか無いが,1-1=0なので0は消されて,黒板から全ての数が消えてしまい,後手が負けとなる. 故に黒板に1,2が書かれている状態は,先手必勝である. 問.此のゲームについて最初に黒板に書かれている数が全て偶数の場合は,先手必勝であることを証明せよ. ※「手番」とは,先手と後手の2人で交互に操作を行うゲームにおいて,操作を行う順番が回ってきた状態を言う. : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/18(月) 10:54:34.54:vwATuN9O 濁点が1コずつしかないのが気になる ゲームの結果消されたのかな : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/18(月) 11:20:26.47:eRhrRXUs 今年は素数みたいな粋な注意書がありそう : 132人目の素数さん [] 2017/12/18(月) 12:13:56.89:vwATuN9O 先手は以下の戦略をとることで必ず勝利できる。 @ 盤面が全て偶数ならば最大の数を減ずる A 盤面に奇数が2つだけあるとき、小さい方の奇数を減ずる (証明)初期盤面が全て偶数であるとき、上記の戦略をとると先手の着手後の盤面は必ず「最大の数は奇数」かつ「最大でない数は全て偶然」の状態(条件A)にできる。 この条件Aを満たす盤面は奇数が少なくとも1つ残っており、先手は負けることはない。このことを以下に示す。 先手の初手は@に従う。盤面は全て偶数である、および初期盤面に同一の数が存在しないことから、最大数は他のどの数よりも2以上大きい。 よって、最大数を1減じて奇数にしても他の数より大きいため盤面に奇数が残り、その奇数は盤面の最大数である。 最大数は奇数、かつそれ以外の数は偶数となり条件Aを満たす。 次に条件Aを満たす盤面での後手の着手を考える。後手の次の手は最大数である奇数か、それ以外の偶数を減ずることになる。 最大数の奇数が1である場合、それが最大数であることから他に数はなく、後手は唯一残った1を消す必要があるので先手は勝利する。 最大数の奇数が3以上のとき、後手が奇数を1減じて偶数とすると、その偶数を消す必要があるときもないときも、盤面に残った数はすべて偶数となる。 元の盤面はすべて異なる数であり、減じた結果の数が他の数と一致すればその数は消されるため、盤面はすべて異なる偶数となる。 そのため、初手と同じく次に先手が@のとおり着手すれば条件Aを満たす盤面にできる。 最大数の奇数が3以上のとき、後手がいずれかの偶数を選び、1減じて奇数とした場合、元の盤面の唯一の奇数は最大数であることから、これとは一致しない。よってこの着手では奇数が2つだけ残る。 先手はAの戦略をとることで、後手が今しがた減じた奇数を1減じて偶数とする。 この着手で最大数の奇数は盤面に残り、減じた偶数を消す必要があるときもないときも、最大数以外の数はすべて偶数となる。この場合も条件Aを満たす。 後手の着手は他にない。後手がいずれの着手をしても、先手は常に次に条件Aの盤面にすることができ、先手は負けることがない。 最後に、全ての着手で盤面の数の総和は単調減少であり、このゲームは必ず決着する(引き分けはない) よって、このゲームにおいて、偶数のみの盤面では先手必勝である。□ : 132人目の素数さん [] 2017/12/18(月) 12:49:42.46:GtvOXPBa 即答か...流石 2つの壁と床が互いに直交している部屋の隅に半径1の円盤を立てかけて静止させる. 但し円盤は其の2つの壁と床の其々に唯1点点ずつで接触しているものとし,厚さは無視する.又部屋は十分広くて円盤が他の壁に接触することは無い. 部屋の隅を原点Oとし,壁と床を座標面,全ての座標が正である領域を室内とする座標系を定める. 円盤に垂直なベクトルを円盤の法線ベクトルということにする.又単純化のため,全ての成分が正となる法線ベクトルを持つ円盤だけを考える. 此のとき円盤の中心 (α, β, γ) の存在範囲を求めて図示せよ. : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/18(月) 13:10:04.21:nqvhCgK9 2015近大数コンB-1 : 132人目の素数さん [] 2017/12/20(水) 23:08:11.57:5IhznqoQ xy平面上において、放物線y=x^2と円Oは異なる4点A,B,C,Dで交わっており、Aのx座標をaとする。 C,Dが線分ABの垂直二等分線上にあり、直線ABの傾きが正であるとき、C,Dのx座標をaで表せ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/21(木) 01:31:33.08:de+NyBf2 A(a,aa) B(b,bb) C(c,cc) D(d,dd) とおく。 (ABの傾き)= a+b, (CDの傾き)= c+d, AB ⊥ CD より(a+b)(c+d)= -1 題意より、CDは円Oの直径。 円Oの中心O'は CD の中点O'((c+d)/2,(cc+dd)/2) 円Oの半径は CD/2 =|c-d|√{1+(c+d)^2}/2 ∴c,d は次式の根。 xx + x/(a+b) -(aa+bb+1)/2 = 0, : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/21(木) 01:45:11.00:de+NyBf2 これにより c,d は a+b,aa+bb で表わされる。 またA,Bは円O上にある。 ∴a,b は次式の根。 {x-(c+d)/2}^2 +{xx -(cc+dd)/2}^2 =(CD/2)^2 これらより a+b,aa+bb は a で表わせる。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/21(木) 14:03:31.20:de+NyBf2 (続き) 放物線y=xx と円Oの交点はすべて次式の根。 {x-(c+d)/2}^2 +{xx -(cc+dd)/2}^2 =(CD/2)^2, ∴{(x+c)(x+d)+1}(x-c)(x-d)= 0, ∴(x-a)(x-b)=(x+c)(x+d)+ 1, ∴ a+b = -(c+d), ところで直交性(a+b)(c+d)= -1,(ABの傾き)= a+b >0 により a+b = 1,c+d = -1, ∴ c,d は次式の根。 xx + x -(aa-a+1)= 0, : 132人目の素数さん [] 2017/12/21(木) 14:42:34.69:wwmE25ut y²=x²+x+kを満たす0以上の整数(x,y)の組が2個となるような正の整数kを全て求めよ : 132人目の素数さん [] 2017/12/21(木) 20:51:11.79:wwmE25ut 円Oの方程式を(x-p)^2+(y-q)^2=r^2とおいて y=x^2を代入して整理すると x^4+(1-2q)x^2-2px+p^2+q^2-r^2=0 A,B,C,Dのx座標をa,b,c,dとすると 解と係数の関係によりa+b+c+d=0 このとき直線ABの傾きは(b^2-a^2)/(b-a)=a+b、 同様に直線CDの傾きはc+dなので、2直線の傾きの和は0 直線ABの傾きは正で直線ABと直線CDは直交するので 直線ABの傾きは1、直線CDの傾きは-1 A(a,a^2)から直線ABの式はy=x+a^2-a y=x^2を代入して整理するとx^2-x-a^2+a=0 解と係数の関係からa+b=1なのでb=1-a つまりB(1-a,(1-a)^2) ABの中点は(1/2,a^2-a+1/2)なので 直線CDの式はy=-x+a^2-a+1 これとy=x^2との交点のx座標を求めると x={-1±√(4a^2-4a+5)}/2 … (答) : 132人目の素数さん [] 2017/12/21(木) 21:57:28.27:gjhKD82f ,642 正解! : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 00:38:20.81:hi/zE5Ka 三角数1,3,6,10,...,n(n+1)/2,...がある。このとき、mが三角数であることが、(a_i・m)+b_iが三角数であるための必要十分条件であるようなa_i,b_iの組が無限に存在することを示せ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 03:13:58.87:gDyMI1rU k≠平方数のとき (x,y)=(k-1,k)だけ、1個(不適) k=平方数のとき (x,y)=(0,√k)もある。 他に解が無ければ2個 k = L^2, L = 2,3,6,9,15,21,… : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 04:12:50.91:vWsab/FY a>0 a+b=1 3a+b=3 a=1 b=0 : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 10:52:03.63:hi/zE5Ka 2017年もそろそろ終わるということで。 x_0,x_1,x_2,...,x_63が{1,2,...,2017} の異なる要素であり、 かつ (x_0)+(x_1)+2(x_2)+3(x_3)+...+63(x_63) が2017で割り切れるような64個の順序組(x_0,x_1,x_2,...,x_63)を求めよ。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 11:02:53.30:YapE+IwD x_0=630 x_i=i (1≦i≦63) とか x_0=694 x_i=i+1(1≦i≦63) とか 想定解は x_0=2016 x_i=i^2(1≦i≦63) だと思うが : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 11:08:09.35:hi/zE5Ka ええと...答案書ける? : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 11:30:53.05:pEu9Op4q まぁ実際にはi^2の形は2016を超えるのでmod 2017で考えるのだが 2017が素数なのでi≧1でかぶらないことは明らかで 229^2+1が2017の倍数なのは簡単な計算で求められるから 2016も出てこないだろうことが言えるのかな : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 13:16:12.92:VAwmH06/ a= s^2, b=(s^2-1)/8 とすれば簡単に確認できる 一般に自然数Nが△であることと,8N+1が□であることは同値であること および 0以上の値を取る整数列が1より小さいなら0を取るしかないことを使えば すべて求めることも可能 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 13:20:10.40:UW3Uffha 別解が多数あるような問題だと面白味に欠けるね : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 14:00:07.94:8Lg2YKjF 9m+1=3. m=2/9. : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 14:06:53.67:hfP9wJYE 別解がないような問題って、気付いたらおしまいな一発芸クイズ問題のことか? : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 14:08:33.89:hi/zE5Ka つまらないのか... 年末だし自作問題だしまくろうというヤケ糞精神で挑みますよ... f(x),f’(x),f’’(x),f’’’(x)が任意のxに対して正であるような実関数fを取る。 また、この関数fは連続な3次導関数である。 任意のxに対してf’’’(x)≦f(x)が従うとき、 任意のxに対して f’(x)<2f(x)が従うことを示せ。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 14:30:48.11:GaEzdGdo 学校の課題で問題が出されたのですが、全くわかりません。 問題は、 問1 平均値μ=2、および標準偏差σ=2の正規分布に従う確率変数を考える。このとき、この確率変数が次の区間に含ま れる確率を小数第4位まで計算しなさい。 1 (4, ∞) 2 (-∞, 2.7) 3 (0.88, 5.6) 4 (1.46, 3.24) 問2 ある検問所で記録された車のスピードのデータによると、そこを通過する車は平均時速61.6km、標準偏差7.0kmで、だいたい正規分布に従っている。このとき、次の割合を100分率(パーセント)で小数第1位まで計算しなさい。 1 時速70kmをこえている車は全体の○%である 2 時速49kmよりも遅い車は全体の○%である 3 時速56kmから時速63kmまでの車は全体の ○%である 皆様方どうかお手を差し伸べていただけませんか、、、 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 15:00:01.28:8Lg2YKjF 3^2=1^2+1+7. 7^2=6^2+6+7. : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 15:49:07.42:gGCV2aUH 9m+1=6 m=5/9 : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 16:04:18.47:hi/zE5Ka 詰まってるようなのでさらに投下 n≧3である整数nに対し、θ=2π/nが従っている。 ここで、Iをn×n単位行列、A={a_(jk)}は任意のj,kに対して 要素a_(jk)=cos(jθ+kθ)を持つとする。 このとき、n×n行列l+Aの行列式を求めよ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 17:02:25.06:VAwmH06/ 整数環Z[√2] において, x^3+y^3=z^3 を満たすx,y,zをすべて求めよ : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 21:37:14.73:TqYw9/fC f ∈ C^2 かつ f(0)≠0 で、 任意のx、y∈R に対して f(x+y) + f(x-y) = f(x)f(y) をみたすとき、f を求めよ。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 22:52:19.21:gGCV2aUH 日本語が変すぎ : 132人目の素数さん [] 2017/12/23(土) 23:14:31.72:gGCV2aUH f0+f0=f0f0 f0=2 fy+f-y=f0fy=2fy f-y=fy f2x+f0=fxfx 2f'2x=2fxf'x うーん : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 23:18:56.51:gDyMI1rU D_n(θ)=|I + A| =|δ_(j,k)+ a_(j,k)| =|δ_(j,k)+ cos((j+k)θ)| = -(nn-n-4)/4 + Σ[m=1,n]((n+2-m)/2)cos(2mθ), D_n(2π/n)= -(n+2)(n-2)/4, どうでもいいけど、 D_n(θ)は周期πで、θ=0,±π,±2π,… にピークをもち、nが大きいほど鋭い。 D_n(0)= n+1, : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 23:29:53.90:gDyMI1rU f(x)= 2cos(kx), f(x)= 2cosh(kx)= e^(kx)+ e^(-kx), 他にもあるか… う〜ん : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 23:42:05.13:VAwmH06/ 1-4n が Z/mZ で平方数となるような自然数nをすべて求めよ(但し, m=n! とする) : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/24(日) 00:16:32.86:cmcygqx4 ついでに… D_n(±π/2)= -(n+2)(n-2)/4 (n:偶数) -(n+1)(n-1)/4 (n:奇数) θがピーク(mπ)から離れた所にあるときは、これ位の値。。。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/24(日) 08:51:22.74:XxuOjX7e f(x)=a^x+a^-x (a∈ℝ) : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/24(日) 11:42:20.65:Xnr2/YA4 またぞろ選択公理絡みの異常解が出てくる問題かな : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/24(日) 11:52:31.08:cmcygqx4 それはそうだが、最後に「う−ん」がない。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/24(日) 12:22:02.44:4I+VyOLh f∈C^2 を使ってみよう。 f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y) の両辺を y で微分した後 2y で割って y→0 の極限をとると、 f''(x)=f(x){lim f'(y)/(2y)}。 左辺が収束することから、右辺の{ }内も収束する。 f''(x)=f(x)C (Cは定数) と置いて 微分方程式を解いて原式へ代入すると、 誰かが上に書いた解が得られる。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/24(日) 13:29:15.73:XxuOjX7e x=y=0とせよ 2f(0)=f(0)^2 f(0)≠0より f(0)=2 x=0とせよ f(y)+f(-y)=2f(y) f(-y)=f(y) ∴fは偶関数. y=xとせよ f(2x)+2=f(x)^2 両辺をxで微分して両辺を2で割ると f'(2x)=f'(x)f(x) x=0を代入するとf'(0)=0. 与式の両辺をxについて微分せよ f'(x+y)+f'(x-y)=f'(x)f(y) 更に微分せよ f''(x+y)+f'(x-y)=f''(x)f(y) 此処でx=0とせよ f''(y)+f''(-y)=f''(0)f(y) 偶関数を微分すると奇関数になり、奇関数を微分すると偶関数になるからf''は偶関数であって 2f''(y)=f''(0)f(y) 此の二階の微分方程式の解を求めよ f''(0)=Kと置く 2f''(y)=Kf(y) 2f''(y)-Kf(y)=0 特性方程式2t^2-K=0を解き、t=±√(K/2) 則ち一般解はf(y)=Ae^{√(K/2)y}+Be^{-√(K/2)y} √(K/2)=Cとせよ f(y)=Ae^(Cy)+Be^(-Cy) f(0)=2よりA+B=2 f'(0)=2よりf'(0)=AC-BC=0 AC=BC C=0のときf(y)=A+B=2 此れはf(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)を満たす C≠0のときA=B,則ちA=B=1 此のときf(y)=e^(Cy)+e^(-Cy) 此れはC=0としても成立する. ∴求める関数は f(x)=e^(Cx)+e^(-Cx) (Cは定数) 因みにを解けたやつおるか? : 132人目の素数さん [] 2017/12/24(日) 14:43:40.28:89LOn+Gp 微分可能って仮定はどこからでたの? : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/24(日) 15:24:42.41:4I+VyOLh f∈C^2 : 132人目の素数さん [] 2017/12/24(日) 15:25:35.11:4L8q796c f∈C²という表記がfがC²級(2回微分可能で微分係数が連続)ということを指しているのでは? : 132人目の素数さん [] 2017/12/24(日) 17:34:40.63:l/9hxEv0 おお。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/24(日) 18:21:16.77:Xnr2/YA4 f:C→C の意味かな、それだったらf∈C^Cって書き方が正しいよねとか思ってた : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 02:47:59.87:HAz1LRxT (補足) D_n(θ)= -(n+2)(n-2)/4 +{n/4 + Σ[m=1,n]((n+2-m)/2)cos(2mθ)}, θ = 2π/n のときは m ⇔ n-m としても cos(2mθ)は不変だから平均して { }=((n+4)/4)Σ[m=1,n]cos(2mθ) =((n+4)/4)Σ[m=1,n]{sin((2m+1)θ)- sin(2m-1)θ)}/(2sinθ) = 0, ・漸化式は D_{n+1}(θ)-2 cos(2θ)D_n(θ)+ D_{n-1}(θ)= -((nn-2)/2){1 - cos(2θ)} : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 07:11:24.62:e0+X2iMy お前は高校数学止まりなのか?常識だと思うが。お大事に。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 08:18:01.17:nZWVudFS いや、あれはが悪い。 「級」を付けて書かなければ、 値が複素2次ベクトルかな? くらいに思うほうが普通。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/25(月) 09:06:09.40:48ocxvwa 思わん思わん : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 09:23:30.09:lE0+sr8Z どんな数学書を読んだらそんな勘違いするのか : 132人目の素数さん [] 2017/12/25(月) 09:23:43.63:yDO/OeKP 数学科の常識は非常識だからな ときどきそういうことが起こる : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 09:42:35.29:Ll0quYmf テキストだけの世界で端折った書き方する方が悪い 数学書は表記について意味を定義した上で省略が許される : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 11:52:04.26:e0+X2iMy 基本中の基本である定義を知らないのがおかしいんじゃないのかな? : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/27(水) 19:46:24.68:HxzH42Hz 〔問題21〕 凸4辺形ABCDにおいて、∠ABC = β,∠BCD = γ とします。 β/2 + γ = 120゚, ∠ABD :∠DBC = 1:3, ∠ACD = 30゚, と角度が指定されています。 このとき、∠ADB は何度でしょうか。 ・参考 E.M.Lanley:"A problem",The Math. Gazette(1922/Oct)(1923/May) Franklin の凧 数セミ増刊「数学の問題 第2集」日本評論社(1978)問題21 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/27(水) 19:57:27.87:HxzH42Hz 訂正スマソ E.M.Langley:"A problem",The Math. Gazette(1922/Oct)(1923/May) : 132人目の素数さん [] 2017/12/27(水) 20:51:55.98:ShDF2mQ5 ∠ABCの二等分線と直線CDの交点をEとすれば 1つ目の条件より∠BEC=60° ∠ACD=30°よりACとBEは垂直で、内角の二等分線であることからAB=AC, ∠ABE=∠CBE これと2つ目の条件から∠ABD=∠EBD また、対称性から∠AEB=∠CEB=60°であり∠AED=60° よって直線EDは∠AEBの外角の二等分線であり 点Dは△ABEの傍心の1つ よって∠ADB=1/2 ∠AEB=30° でどうでしょうか : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/28(木) 04:14:38.43:bxSLS3DP ん : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/29(金) 03:20:02.58:Fcad1R4A 正解!おみごとです。 だだし AB=BC ですが… 最後の定理(?) 点Dが△ABEの傍心のとき、∠ADB =(1/2)∠AEB も簡単ですね。 ∠ADB = 180°- ∠BAD - ∠ABD = 180°-(90°+ ∠BAE/2)-(1/2)∠ABE =(180°-∠BAE -∠ABE)/2 =(1/2)∠AEB, : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/29(金) 04:12:00.74:Fcad1R4A (別解) DC上に∠ABF=60°となる点Fをとって BF と共に AF を結ぶ。 ∠BFC = 180°-(β-60゚)- γ = γ となるから BF = BC. また、∠BAC = 180°- β -(γ-30゚)=(γ-30゚)= ∠BCA だから BA = BC. したがって、頂角∠ABF = 60°の2等辺△ABF は正三角形となり、AF= BF で ∠AFD = β/2 となる。 ところが、∠FBD = 60°- β/4 = ∠FDB だから、FD = FB で、結局△FAD は2等辺三角形となる。 その頂角が∠AFD = β/2 だから、その底角として ∠ADC = 90°- β/4, ∠ADB = 30° 前掲書「数学の問題 第2集」問題21,解V(改) : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/29(金) 19:47:09.47:tFbo94hj (1) (2^n-1)/n が整数となるような自然数nを全て求めよ。 (2) (2^n+1)/(n^2) が整数となるような自然数nを全て求めよ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/29(金) 19:56:20.67:tFbo94hj (3) (2^n+1)/n が整数となるような素数nを全て求めよ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/29(金) 21:52:01.80:E4ItVfjT (3) 2^n+1は明らかに奇数なので、nは奇素数であることがわかる。また、nが奇数であれば2^n+1は3の倍数であるので、結局のところn=3のみが求めるnである。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/29(金) 23:50:31.73:FZBCcLtg (2) n∈ℕ=ℤ>0とする (2ⁿ+1)/n²∈ℕは則ちn²|(2ⁿ+1)であり、従ってn|2ⁿ+1である 2ⁿ+1は奇数より、n²も奇数であり、則ちnは奇数である n=1とすれば、1²|2¹+1は明らか nが素数であればFermatの小定理より、 n|2ⁿ⁻¹-1 ∴n|2ⁿ-2=2ⁿ+1-3 前提より、或るα∈ℕが存在し、2ⁿ+1=αn ∴n|αn-3、則ちn|3 nは素数より、n=3が必要である 逆に2³+1=9=3²=3²×1より、1∈ℤも加味し、 nが合成数の時、n|2ⁿ+1と仮定する 或る素数pとβ∈ℕが存在し、n=pβと表せる ∴p|2ⁿ+1 Fermatの小定理より、p|2ᵖ⁻¹-1 ∴p|2ᵖ-2 ∴p|2ᵖᵝ-2ᵝ=2ⁿ+1-2ᵝ-1 前提より、或るγ∈ℕが存在し、2ⁿ+1=γn ∴p|γn-2ᵝ-1、則ちp|2ᵝ+1 ∴p|2ᵖ-2も加味し、p|2ᵖ+2ᵝ-1 ∴p|2²ᵖ+2ᵖᵝ-1=4ᵖ+2ⁿ+1-2=4ᵖ-2+γn 此処で、Fermatの小定理より、p|4ᵖ⁻¹-1 従ってp|4ᵖ-4 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/30(土) 00:28:53.78:OjZCutAG (2)は IMO-1990(北京)A3. いわゆる「マスターデーモン」 (3)n=3^m のとき、3で割りきれ、9で割りきれない。(n≠素数 ですが) m=0,1 のとき 3,m=2 のとき 57,m=3 のとき ≡-24(mod 729)、m≧4 のとき ≡462(mod 729) : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/30(土) 00:37:38.44:OjZCutAG 〔補題〕 凸4辺形ABEDにおいて、 BD は ∠ABE を2等分し、 ED は ∠AEE’を2等分する(E’はBEの延長線上の点) とします。このとき AD は ∠EAA ’を2等分する。(A ’はBAの延長線上の点) (略証) 点D が△ABEの傍心となることを使えば明らかだが、あえて使わない。 デカルト座標をとる。 Bを原点、BE方向をx軸とし、BE=1 とする。 p = tan(∠ABE/2), q = tan(∠BEA/2), とおく。 sin(∠AEB)= 2q/(1+qq), sin(∠ABE)= 2p/(1+pp),cos(∠ABE)=(1-pp)/(1+pp), sin(∠BAE)= sin(∠AEB+∠ABE)= 2(p+q)(1-pq)/{(1+pp)(1+qq)}, 正弦定理より AB = sin(∠AEB)/sin(∠BAE)= sin(∠AEB)/sin(∠AEB+∠ABE)=(1+pp)q/{(p+q)(1-pq)}, A(ABcos(∠ABE),ABsin(∠ABE))=((1-pp)q/{(p+q)(1-pq)},2pq/{(p+q)(1-pq)}) B(0,0) D(1/(1-pq),p/(1-pq)) E(1,0) ↑AD =({p/(p+q)(1-pq)}(1+pq),{p/(p+q)(1-pq)}(p-q)) DAの傾き =(p-q)/(1+pq)= tan((∠ABE-∠BEA)/2)=(∠EAA’の2等分線の傾き) ∴ AD は ∠EAA’を2等分する。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/30(土) 07:08:50.93:HJRnpCjN マスターデーモンって、あれか? 女の子に教えてもらったメアドにメール出したら、知らない外人から返事が来るってヤツ。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/30(土) 12:17:21.04:HJRnpCjN (1)はどうやるの? : 132人目の素数さん [] 2017/12/30(土) 13:03:03.03:Swdov7O+ (2^n-1)/n∈ℤのとき明らかにn∈ℕ n≧2と仮定すれば、nの素因数のうち最小であるpが取れる 此のとき2^n-1≡0(modp)より2^n≡1(modp) 一方nは奇数より、則ちpも奇数 ∴Fermatの小定理から2^(p-1)≡1(modp) ∴2^(gcd(n, p-1))≡1(modp) pはnの最小の素因数より、p-1の素因数とnの素因数が共通することは無い ∴gcd(n, p-1)=1 ∴2^1≡1(modp)⇔2≡1(modp) ∴p=1 此れはpが素数であることに矛盾する ∴n<2 n∈ℕよりn=1が必要である n=1のとき(2^n-1)/n=1∈ℤ ∴n=1 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/30(土) 13:14:44.23:HJRnpCjN ありがとう。この手の問題は好きだけど苦手。解けたことがない。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/30(土) 13:33:09.27:Swdov7O+ 自分が一重瞼なのか二重瞼なのかわからない人がn人いて、n人は毎朝を顔を合わせる。 すると天の声が聞こえてきて、二重瞼の人の人数に関する自明でない何かを言う。 n人は自分の瞼の状態がわかると40秒後に心臓麻痺で死ぬ仕組みになっている。 n人は天の声を最も自然な形で信じ込む。 実はn人は遅かれ早かれ全員死ぬ(驚くべきことに天の声が明らかな嘘のときも成り立つ)ことが証明できるが、難しいのでn=3の場合を証明せよ。 例えばn=2として2人とも一重瞼とする。天の声が「2人とも二重瞼である」といったとき、A君は天の声が嘘だとわかり、もし自分が二重瞼なら40秒後にB君が死ぬはずであると結論する。 しかしB君は死なないので自分が一重瞼であることがわかり、40秒後にA君は死ぬ。同じことがB君にも言えるので2人の心臓は同時に麻痺を起こす。 ・「毎朝」という条件は特に意味がない。 ・「自明でない何か」とは、例えば「少なくとも〜人は一重瞼である」のように、「情報量としてゼロではない断定的なセリフ」を指す。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/30(土) 15:35:39.77:/h12TCYZ つ鏡 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/30(土) 15:59:44.59:X9Qp65Rk n変数論理関数の真理値表をつくるときは n行を使うから 2^n通り よって, n変数論理関数の個数は2^(2^n)であり,有限である. つまり,2^(2^n)日以内に全滅する. 誰か解かないのかな スルーされている : 704 [sage] 2017/12/30(土) 16:12:22.19:X9Qp65Rk (誤)n変数論理関数の真理値表をつくるときは n行を使うから 2^n通り (正)n変数論理関数の真理値表をつくるときは 2^n行を使う : 132人目の素数さん [] 2017/12/30(土) 17:58:10.82:Swdov7O+ 回答ありがとうございます。 「論理関数」ということばを初めて聞いたので私には難しいのかもしれません。 40n 秒以内に全滅すると考えています。 n=3 のときは状況を列挙すればいいわけですがやはりそれ以外の方法は期待したいところです。 : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/30(土) 18:33:07.29:dI2X0ZTp A一,B一,C一 「少なくとも2人は一重である」→40秒後に誰も死なない→全員自分が一重だと悟る→40秒後に全滅 計80秒 A一,B一,C二 「少なくとも1人は二重である」→40秒後にCが死ぬ→A,Bが自分が一重だと悟る→40秒後に全滅 計80秒 : sage [] 2017/12/30(土) 19:59:24.94:X9Qp65Rk 与えた上界2^(2^n)はもちろん最良からかけ離れていることは承知 このバカでかい上界の意味するところは全滅するまでというよりは 2^(2^n)回目以降の天の声は内容の重複が生じてしまうという意味 この場合の重複というのは内容を個々にみていった場合の重複であって, いくつかの内容から ある内容が自明になってしまう場合は重複とみなしていない. たとえば, n=2として 3つの内容を 「Aくんは一重」, 「AかBは一重」 「Bくんは一重」 この3つは重複しているとみなしていないが 本題のほうは さきの2つの内容から3つ目の内容が自明化してしまうので このようなことは起こらないという立場だとおもわれる なので本題では 2^(2^n)より前にすでに内容が重複しているだろう (いずれにしろ「いつか必ず全滅」を示したことにはなるが) そういう意味で自明な上界だが, その一方で上限を求めるということならまだ考えてない. 論理関数とは {0,1}^n から {0,1}への写像 n人に番号をふり, i番目(1≦i≦n)の人が一重という命題が真なら A_i = 1, 偽なら A_i=0 A_1 から A_n に 0か1をすべて割り当てて, それ全体に対して, 0か1を割り当てる これで論理関数がつくられた 天の声は必ず論理関数として表現されるとみなす(これは数学の問題としての形式化) たとえば, n=3 として, 少なくとも一人が一重というのを論理関数Fで表現すると, F(0,0,0) = 0, F(A_1,A_2,A_3)=1 (A_1=A_2=A_2=0 でないとき) もっと複雑なものとしては「1番の人が二重であるか,あるは,2,3番の人のどちらかは一重」 F(0,A_2,A_3)=1, F(1,0,0)=0, F(1,A_2, A_3)=1 (A_2=A_3=0 でないとき) こんな感じです : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/30(土) 20:03:44.37:X9Qp65Rk (誤) 「Aくんは一重」, 「AかBは一重」 「Bくんは一重」 (正) 「Aくんは一重」, 「AかBの片方だけが一重」 「Bくんは二重」 : 132人目の素数さん [] 2017/12/30(土) 20:43:42.49:Swdov7O+ 少し考えます ある直方体のなかに、その直方体より縦と横と高さの長さの和が大きい直方体を入れることはできるでしょうか? : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/31(日) 01:05:58.85:95lUPHAf うーむ : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/31(日) 01:39:11.71:luAx8+8l 3 circumcenter method(3外心法?)というのがあるようですね。 斉藤 浩:「初等幾何で整角四角形を完全制覇」, 現代数学, 49巻, 590号, pp.66-73 (2016/Feb) ttp://www.gensu.co.jp/saito/challenge/3circumcenter_en.html 成書(2009年)では難しかった問題も解けるらしい。 : 132人目の素数さん [] 2017/12/31(日) 02:15:09.09:1wo8CHXV >ある直方体のなかに、その直方体より縦と横と高さの長さの和が大きい直方体を入れることはできるでしょうか? これちょっと前に直方体のr近傍の体積の比較による見事な証明見たよ : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/31(日) 02:47:55.63:luAx8+8l a=18-17√2,b=18+17√2,n∈Z として (x,y,z)=(a・n,b・n,42n) : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/31(日) 03:03:42.60:luAx8+8l a’= 9√2 -17,b’= 9√2+17,c’= 21√2, として (x,y,z)=(a’n,b’n,c’n)も : 132人目の素数さん [] 2017/12/31(日) 12:41:22.77:ky9WzhjK リンクある? : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/31(日) 13:56:06.09:iKYWVkCy は 凸四角形ABCDにおいて、 ∠ABD=t, ∠DBC=3t, ∠BCA=90-2t, ∠ACD=30 (ただし、0<t<45,角度は全て度数法) のとき、∠BDA=30となる という話なので、 ttp://www.gensu.co.jp/saito/langley/ の最初のFlashの系列1-13の 120<x<165の範囲に相当するが、 別の系列で ∠ABD=2t, ∠DBC=90-3t, ∠BCA=60-t, ∠ACD=3t(ただし、0<t<30)のとき、∠BDAを求めよ という問題もできる。(系列1-5の120<x<150) いわゆるラングレーの(最初の)問題を含む系列が2つあるという話。 (で、こういう系列に属してる問題の証明に外心3つ法 ttp://www.gensu.co.jp/saito/challenge/3circumcenter_jp.html を持ち出すのは、少々「砂場でブルドーザー」感はある) : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/31(日) 15:00:03.94:qskzjnqt : 132人目の素数さん [] 2017/12/31(日) 15:26:48.87:ky9WzhjK レス番いくつ? : 132人目の素数さん [sage] 2017/12/31(日) 17:38:23.26:luAx8+8l ∠B =∠C の場合は三角法を使えば解けますね。(初等的でない?) ∠ABC = ∠BCD = β ∠DBC = β’ ∠ACB = γ’ とおくと ∠ADB = β’- arctan[{(tanβ)^2(tanβ’- tanγ')}/{(tanβ)^2 -tanβ’tanγ'}], ttp://www.youtube.com/watch?v=O2J4Nvy9cKo : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/01(月) 04:23:48.24:YGqriAdp ∧_∧ ( ´Д` ) 新年あけまして / ヽ し、__X__,ノJ /´⌒⌒ヽ l⌒ ⌒l おめでとうございます ⊂ ( ) ⊃ V ̄V : 132人目の素数さん [] 2018/01/01(月) 21:14:03.96:C5IEESt5 双曲線y^2 - xy -x^2 =1があり、 (x,y)はこの式の非負整数解である。 ある平方数nに対し、x+y=nが成り立っているとき、なりうるnの和を求めよ : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/02(火) 04:16:56.08:KflQvt+M n∈ Z[√2]として (x,y,z)=(0,n,n)(n,0,n)(n,-n,0) n∈ Z[√2] : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/02(火) 04:57:07.19:KflQvt+M 題意より、 (x,y)=(0,1)(1,2)(3,5)(8,13) … (F_{2m},F_{2m+1}) … ここに m≧0、F はフィボナッチ数。 n = x+y = F_{2m+2}が平方数となるのは F_2 = 1 と F_12 = 144 1 + 144 = 145 : 132人目の素数さん [] 2018/01/02(火) 10:50:22.33:okX91MtS これどこからフィボナッチ出てくるの? : 132人目の素数さん [] 2018/01/02(火) 13:13:10.36:0lWf9w73 面白い双曲線なのよ : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/02(火) 14:10:18.69:KflQvt+M (0,1)は一つの解。 (x,y)が解ならば(x’,y’)=(x+y,y+x’)も解になる。 そこで{f_m|m≧0}= 0,1,…,x,y,x’,y’,… とおくと、 f_1 = f_2 = 1, f_{m+1}= f_m + f_{m-1}, ∴f_m はフィボナッチ数。 : 132人目の素数さん [] 2018/01/02(火) 14:33:09.55:okX91MtS >(x,y)が解ならば(x’,y’)=(x+y,y+x’)も解になる。 へぇー確かにそうなるけど この (x',y')=(x+y,x+2y) という変換はアドホックに得られたものかな? : 132人目の素数さん [] 2018/01/02(火) 16:38:41.88:okX91MtS 2次曲線で(x',y')=(x+y,+2y)という変換で不変なものは x^2+xy-y^2=c に限るのね アフィン変換一般についても2次曲線と関連づけられそうね : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/03(水) 04:35:57.68:M3D961pO 〔問題717〕 凸4辺形ABCDにおいて、∠ABC = β,∠BCD = γ とします。 β + γ/2 = 120°(60゚<β<90゚,60゚<γ<120゚) ∠ABD :∠ACD = 2:3, ∠BAC - ∠ABD = 30゚ と角度が指定されています。 このとき、∠ADB は何度でしょうか。 ∠DBC + ∠ACD = 90゚ ∠BCA + ∠BDC = 90゚ : 132人目の素数さん [] 2018/01/04(木) 00:14:10.93:Hj9rtC2t 中の直方体の1つの頂点を直交座標で原点と置き、隣り合う頂点の1つを(a,b,c)と置け。 此の直方体を、座標軸に辺が平行な直方体で囲むことを考えよ。 此の辺を長さ1長くすると、囲むのに必要な直方体を得るには x軸方向にa/√(aa+bb+cc) y軸方向にb/√(aa+bb+cc) z軸方向にc/√(aa+bb+cc) の長さを付け足す必要が生まれる 更に考察を踏み込むと、 隣り合う3つの頂点を(ak,bk,ck)と置くと 囲むのに必要な直方体のx軸方向の長さは Σak/√(akak+bkbk+ckck) などと表せ、此れで目的の不等式を示せる 中の直方体の辺も座標軸に平行な時のみ等号成立 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/04(木) 22:08:31.55:q45yvd8D ∠ADB = 30° : 132人目の素数さん [] 2018/01/05(金) 23:49:47.51:7ZNncoy1 整数環Zに値する最小値が無いため解は0 : 132人目の素数さん [] 2018/01/06(土) 07:44:38.44:jKWU7LXK 大学受験レベルの問題を作ってみた。工夫すれば計算はそれ程。 問 xy平面上に原点O、A(0,1)、B(1,2)、C(3,0)をとる。 直線OB,ACの交点をPとして、O,Cを焦点とし、Pを通る楕円をC1、 A,Bを焦点とし、Pを通る楕円をC2とする。 C1,C2の周及び内部の領域をそれぞれD1、D2とするとき、和集合D1∪D2の領域の面積を求めよ。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/06(土) 15:03:56.51:UX59u7iL 3行目の > 此のとき2^n-1≡0(modp) は何故? ここは明らかに言えるの? : 132人目の素数さん [] 2018/01/06(土) 17:54:39.25:q194DY3+ 一辺4の正三角形、長さ30の針金、半径2の円盤がある。 (i) 針金の先に円盤を取り付け、 正三角形の点Cに針金の一端を固定して針金が辺BCに接した図の状態から時計回りに円盤を動かす。 (ii) 針金は正三角形の角で折り曲げる。 (iii) 円盤が正三角形にぶつかったら終了とする。 円盤の通る軌跡の面積を求めよ。 ただし、針金の太さは無視できるものとする。 一応用意してる解答では、3パーツに分けてます どなたか要領の良い解答を待ってます : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/06(土) 18:35:30.41:ioRU9Isi 2^n-1がnの倍数かつnがpの倍数なんだから明らかでしょうに : 132人目の素数さん [] 2018/01/06(土) 19:03:11.59:q194DY3+ 図を忘れてた ttps://i.imgur.com/iz3KDYZ.jpg : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/06(土) 19:05:42.86:ioRU9Isi ところどころ条件が不明瞭なんだけど、以下でいい? ・針金の初期状態は直線の一部つまり線分であり、線分の一方の端点が正三角形の頂点C、かつ線分が頂点Bを含む ・円盤は針金の頂点Cとは異なる側の端点に円盤の中心が重なるように取り付ける ・針金および円盤は正三角形と同一の平面上を動く ・針金は正三角形に巻き付けるように折り曲げてゆく。このとき、針金の正三角形に接していない部分は線分の状態を維持する : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/06(土) 19:19:13.40:ioRU9Isi 図があったのか これ、円盤の周までの針金の長さが30なの? : 132人目の素数さん [] 2018/01/06(土) 19:55:04.34:q194DY3+ 針金の長さが30ですが... : 132人目の素数さん [] 2018/01/06(土) 21:25:17.61:KArfBxjX 今話題の阪大の過去問の改題ですが、暇な方は是非チャレンジしてみて下さい! 実数ℝからℝへの関数fは次の2つの条件を満たすとする。 (a)任意の実数x,yに対しf(x+y)=f(x)+f(y) (b)fは連続である。つまりlim(n→∞)a_n=αならばlim(n→∞)f(a_n)=f(α) この2つの仮定からfの微分可能性を導こう。 ⑴f(1)=aとおく。任意の整数nに対しf(n)=anとなる事を示せ。 ⑵任意の有理数rに対しf(r)=ar を示せ。 ⑶一般に、任意の実数は必ずある有理数列の極限で表せる事が知られている。 この事を用いて任意の実数xに対しf(x)=ax を示せ。 ⑷f(x)は任意の実数xに於いて微分可能である事を定義に基づいて示せ : 132人目の素数さん [] 2018/01/06(土) 21:30:47.92:KArfBxjX 因みに原題はこちら。 挑戦枠だけあってかなり骨があります(というか有理数の稠密性知らないと無理な気すらする…) ttps://i.imgur.com/aLYMX7n.jpg : 132人目の素数さん [] 2018/01/07(日) 09:22:09.32:9R15ZkXF fq=q ux={q|x<q} lx= {q|x>q} fux={fq|x<q}={q|x<q} flx={fq|x>q}={q|x>q} flx<fx<fux fx=x : 132人目の素数さん [] 2018/01/07(日) 09:23:35.43:9R15ZkXF flx<fx<fux fx=x : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/07(日) 15:21:07.41:MXKMTdfE 何年度の問題ですか? : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/07(日) 15:46:50.05:pGpwp6A2 誰か734 : 132人目の素数さん [] 2018/01/07(日) 18:19:56.83:VVbpgw0b 線形性とf(xy)=f(x)f(y)から有理数についてf(x)=xで、稠密性から1発 これ前他の大学も出してたね : 132人目の素数さん [] 2018/01/07(日) 22:25:30.99:9jmbCXAa どこらへんが面白いの? : 132人目の素数さん [] 2018/01/08(月) 00:23:28.18:27YyLP77 面白くないよ : 132人目の素数さん [] 2018/01/08(月) 01:04:46.73:syCUhg30 とりあえず答えてみたら : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/08(月) 05:02:49.08:o2HjFYS0 アホな質問かもしれないけど、教えてください。 3行目と5行目から6行目が出てくるのが分かりませぬ…。 抜き出すと、次の部分です。 2^n≡1 (mod p) かつ 2^(p-1)≡1 (mod p) ならば、2^(gcd(n, p-1))≡1 (mod p) : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/08(月) 07:28:19.49:wDeXD3tv 工夫すれば計算はそれほど必要なく5分程で解ける : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/08(月) 08:00:02.08:xaiDjCmX ユークリッドの互除法。 a,bに対してx,yが存在して gcd(a,b)=ax+by。 2^gcd(a,b)=(2^a)^x(2^b)^y。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/08(月) 22:27:26.32:6yE9/RTC 交点P(3/7,6/7) OP =(3/7)√5, AP =(1/7)√10, BP =(4/7)√5, CP =(6/7)√10, より OP:AP = 3:√2, CP:BP = 3:√2, また OC:AB = 3:√2, ∠OPC = ∠APB よって △OPC ∽ △APB また C1 ∽ C2 D1 ∽ D2 面積比は 9:2 楕円 C1,C2 は点Pで接するから、D1∩D2 ={P} (点Pにおける共通接線はOCとABの2等分線の方向で、それらと 22.5°の角をなす。) 楕円C1について a =(CP+OP)/2,b =√(aa - 9/4),e =(3/2a), 楕円C2について a' =(AP+BP)/2 =(√2)/3 a,b' =(√2)/3 b,e' = 1/(a'√2)= e, S = S(D1)+ S(D2)= πab + πa'b' = πab +(2/9)πab =(11/9)πab, : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/08(月) 22:32:17.07:6yE9/RTC の続き 数値を入れると、 a =(3/14)(2√10 + √5)= 1.83441928 b =(3/7)√(5√2 -1)= 1.05598015 e =(2√10 - √5)/5 = 0.81769747 a' = 0.86475354 b' = 0.49779382 e' = e S = 2.36757932π : 132人目の素数さん [] 2018/01/09(火) 01:18:49.79:LGZC+Dl2 肝心な2つの楕円が接することの説明がないじゃん : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/09(火) 11:21:56.60:dgOIUcU6 D1∩D2 ={P}の証明 D1とD2が点Qを共有したとする。 Q∈D1 より OQ + CQ ≦ OP + CP = 2a, Q∈D2 より AQ + BQ ≦ AP + BP = 2a’ 辺々たすと OQ + AQ + BQ + CQ ≦(OP + BP)+(AP + CP)= OB + AC … (1) 一方、△不等式から、 OQ + BQ ≧ OB, AQ + CQ ≧ AC, 辺々たすと OQ + AQ + BQ + CQ ≧ OB + AC … (2) 等号成立はQ ∈(OB∩AC)={P}のとき。 (1)(2)より等号が成立する。 ∴ Q = P. : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/09(火) 12:15:48.79:LGZC+Dl2 正解! 楕円が相似形になること・楕円同士が接することに気付くのがこの問題のポイントでした。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/09(火) 13:15:45.95:KWEYIsTZ ありがとうございます : 132人目の素数さん [] 2018/01/09(火) 19:21:05.59:szzDHmE7 どっちかの封筒に2倍の金が入ってるってやつで もし10000だったら1/2で5000、1/2で20000になるから 期待値的に絶対交換した方がいいってやつさ 面白い問題教えてーな激しくガイシュツのやつでみたんだけど あれの解説が納得できない 普通に1/2で低い方、1/2で高い方選ぶんだから、片方の金額をx、もう片方を2xってすると、低い方とる確率が1/2、高い方とる確率も1/2なんだから、期待値は (1/2)x+(1/2)2x=(3/2)x だから、もし低い方だったら期待値とくらべて自分の手持ちが3倍、高かったら手持ちが3/4倍になるんだから1/2(1/2)x(3)+1/2(2x)(3/4)=(3/2)x だから交換してもしなくても期待値は変わらないっていう説明じゃだめなん? : 132人目の素数さん [] 2018/01/09(火) 20:49:50.68:aBLuETRh わざとらしい厚化粧を剥がすことのみがポイントってこと? : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/10(水) 13:38:16.66:yyayDtEj 一万円を入れた封筒と、二万円を入れた封筒を用意し、この二つの封筒を、大きな封筒に入れる。これをAとする。 一万円を入れた封筒と、五千円を入れた封筒を用意し、この二つの封筒を、大きな封筒に入れる。これをBとする。 AとBは外見では区別がつかない。 問題1:Aを50、Bを50、合計100用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。 箱からランダムに一つ大きな封筒を取りだし、その大きな封筒の中から一つ封筒を取りだし、中身を確認すると 一万円が入っていた。その大きな封筒に入っている、もう一方の封筒の中身が二万円である確率は? 問題2:Aを10、Bを90、合計100用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から...≪以下同文≫ 問題3:Aをn、Bを100−n、合計100用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から...≪以下同文≫ 問題4:AとBを併せて100用意し、箱に入れて、よくかき混ぜる。箱から...≪以下同文≫ 問題5:AとBを併せて一つ用意し、箱に入れた。つまり、AかBを用意して箱に入れた。箱から封筒を取りだし、...≪以下同文≫ : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/10(水) 13:38:55.46:yyayDtEj つづき 761の問題は、問題5に相当するものだが、761さんは無条件にA・Bが用意されている確率は共に1/2として議論している。 果たしてそれは妥当か? それが正しいというのならば、「A・Bが用意されている確率は共に1/2」に相当する内容が問題文 で確認できなければならない。確認できるのは、大きな封筒に入っている二つの封筒の内、どちらを選ぶかが1/2というだけ。 Aが用意されていて、二つの封筒から一つを選ぶとき、一万円を選ぶ確率は1/2で、二万円を選ぶ確率も1/2だが、 この確率事象は終了し、すでに一万円を選んでいる。ここで交換したら、他方の封筒には確率1で二万円が入っている。 同様に、Bが用意されていて、一万を選び、ここで、封筒を交換したら確率1で五千円が入っている。 Aが用意されている確率、Bが用意されている確率を、どうして、「大きな封筒の中の二つの封筒から一方を選ぶ」 のと同じように 1/2 と、判断できるのか? Aが用意されている確率、Bが用意されている確率が、「大きな封筒の中の二つの封筒から一方を選ぶ」のと同じように、 1/2 づつだ と、巧みに思わされているだけ。 上の問題では、問う内容が「もう一方の封筒の中身が二万円の確率は」となっているが、 「交換したときの期待値は」としてもよい。そして、問題1から3では、きちんと期待値が計算できるが、 問題4,5では出来ない。理由は、必要な情報が問題に無いから。 同様に、761の問題でも期待値は計算でない。 この問題に、(勝手な想定を置かずに)期待値を持ち出して議論しても本質にはたどり着かない。 二つの封筒問題には、「数学的見地から、あるいは、期待値という観点から、交換すべきかどうかの判断は出来ない」 というのが妥当で正当な結論。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/10(水) 21:59:39.97:w1qVs6Aq 金額で期待値測るからだめなんだろ 金額とは別に金額から決まる嬉しさを表す数値(経済学の効用関数)を導入する 最初にあけた封筒の中身a円と 一般の金額x円に対して 嬉しさの関数が log_2 (x/a) の人にとっては何も悩むことはない : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/10(水) 22:30:57.84:yyayDtEj 1/2教信者が矛盾を避けるために導入したアイデア。オッカムの剃刀で棄てられる。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/11(木) 10:02:14.31:RLBorN9o logだと赤字のとき虚しさが漂うんですが : 132人目の素数さん [] 2018/01/11(木) 15:00:59.48:gGnDAYFj ちなみにこれの問題3を解くとどうなります? : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/12(金) 01:55:04.09:Or3GsGEd 正の数aが a + 1/a = [a] +[1/a] + 1 をみたすとき、aは無理数であることを示せ。ここで[a]はガウス記号。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/12(金) 05:28:29.23:aNi1PHCw ±πiずれる。 x -[x]={x}とおくと 0 ≦{x}< 1 {a}+{1/a}= 1, a または 1/a が整数のとき {a}= 0 または{1/a}= 0 ゆえ、和は1より小さい。 a が分数のとき a = p/q(p,q≧2 は自然数、互いに素) {a}= m/q,{1/a}= n/p, p,qは互いに素だから、和は1にならない。 : 132人目の素数さん [] 2018/01/12(金) 07:38:08.51:D//7CCq/ (a^2+1)/a=n a^2-na+1=0 a=(n±√(n^2-4))/2 aが有理数→√(n^2-4)=p/q n^2-4=p^2/q^2 q=1 n^2-p^2=(n-p)(n+p)=4 n=±2,p=0,a=±1 a+1/a=±2≠[a]+[1/a]+1=1±2 NG aは無理数 a=(3+√5)/2 1/a=(3-√5)/2 [a]=2 [1/a]=0 a+1/a=3=[a]+[1/a]+1 aは存在 : 132人目の素数さん [] 2018/01/12(金) 12:06:24.79:ECD3lcV6 1/2じゃないの? 例えば金額をxと置き換えて10000となるのは x=5000、2x=10000の時と x=10000、2x=20000の時 この2つになる確率は同じはず xの上限が無限になると確率が分からなくなるって事? それは数学的におかしくね? : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/12(金) 13:50:19.98:C3nTSBqQ > この2つになる確率は同じはず そういう設定かどうかが問題では不明なので 現実の問題として考えると 5,000円と10,000円の2つが用意してあったが選ぶ人には「どちらかがどちらかの2倍」としか言わなかった 引いた人は袋を替えることが出来るが替えた方が得か? という問題だと考えることも出来るというかむしろ妥当 こうなると替えた方が得かどうかは不明としか言いようがなく確率で考える問題ではなくなっている : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/12(金) 14:08:19.79:mFtDwv+X 二封筒問題は、必ず議論が紛糾するネタであり、 雑多な問題を扱うこのスレには向かないので 別のところでやっていただいたほうがよいと思われます。 : 132人目の素数さん [] 2018/01/12(金) 14:19:58.85:ECD3lcV6 なるほど つまり問題文として不備があるってことね そうなんだ あまり数学板に来た事がなくて すまなんだ : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/12(金) 15:40:02.86:aNi1PHCw うん : 132人目の素数さん [] 2018/01/12(金) 17:41:00.08:jxiFg+zg ベイジアン的にはどっちも同等だから1/2でしょうよ : 132人目の素数さん [] 2018/01/12(金) 17:48:50.65:jxiFg+zg 交換しなければ期待値は1万円確定 交換したら期待値は5000p+20000(1-p)=20000-15000p p=1/2が妥当な推測として12500円 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/12(金) 19:10:46.08:f4N6ck+k p=1/2が妥当な推測になるような数学的根拠がまったくわからない ってのが指摘されていることなんじゃないのかね : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 02:50:24.02:8oWXJ1ub そう。 の問題2と4を解けば終わる話。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 13:53:16.51:vxAtUgvr n は3以上の自然数とする。 n-1 <(n+√(nn-4))/2 < n, (n-√(nn-4))/2 = 2/(n+√(nn-4))< 1, ∴[a]+[1/a]= n-1, ∴ a + 1/a =[a]+[1/a]+ 1, : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 13:53:42.05:BrLzT1uQ 正整数Nの全ての約数dに対して1/(d^2+N)の総和が1/Nに等しくなるような、正整数Nを全て求めよ : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 15:21:19.07:cdvpZheR 子供のテスト問題。 ttps://i.imgur.com/Dhfjjr8.jpg : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 16:04:51.85:qu21oNoK 数学の問題じゃないな : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 18:02:49.68:l5cQ8XEN 自分の目を塞げってやつだろ、このスレに出す問題じゃないな。 : 132人目の素数さん [] 2018/01/13(土) 18:11:43.15:p9jSzu0M >p=1/2が妥当な推測になるような数学的根拠がまったくわからない ベイジアンでは 推測できないときには同等と考えます : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 19:14:36.93:Bhnz9Zau そしてその推測が誤りだったから実はどうなるかを推測し直していく問題なのか : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 19:47:02.49:IcEcp/Nx >> ベイジアンでは >> 推測できないときには同等と考えます 違います。考えていません。ただ単にそれを採用しているだけ。 データ更新こそがベイズ流の本質。ベイジアンは初期データにこだわりはない。 初期データは最終的に寄与が小さくなるためどのようなものでも大差が無いと考えている。 ただ、何の情報が無い場合でも、何らかの初期データは無理矢理にでも設定しなければならない。 それが無ければデータ更新も何も出来ないから。 初期データは、最終的には寄与が小さくなるため、全て同じでも、好みによって差をつけてもかまわない。 経験を駆使して、最終結果に近いであろうデータを用いるのが効率的であろうし、収束が早い。 ここに実行者の経験や能力が現れる。 ≪ しかし、そのような技術の関与が無いことの方が望ましいと考える場合や、 ≫ ≪ 主観が入っていないことを明確にしたいような場合には、水平データを使うのが無難といえる。 ≫ その例が多くあるというだけ。その単なる『配慮』を以て、 「水平データから始めることこそ、ベイジアン流だ」等と勘違いしている1/2信奉者が、ベイジアンを語っているだけ。 : 132人目の素数さん [] 2018/01/13(土) 21:18:54.94:p9jSzu0M こだわりがないときは1/2とします : 132人目の素数さん [] 2018/01/13(土) 21:23:01.93:p9jSzu0M この問題に関してはp=1/2で確定です なぜかと言えば金額は不明で倍額ということだけ指定されていて たまたま1万円が見えたと言うだけ 1万と5000あるいは1万と2万荷限定されるわけではなく xと2xの封筒がどんな比率でも構わず無数にある中から 1組選ばれているというだけのことだからですよ その中でx=10000か2x=10000かは等確率つまりp=1/2で確定ですね : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 21:30:54.11:W7ucPUwR それは貴方個人のこだわりでしかない 「ベイジアンでは推測できないときには同等と考えます」は誤り というのが趣旨でしょう : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 22:02:11.13:Bhnz9Zau これを1/2と思い込んでしまいがちだから面白い問題になるってことなんだろうな : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 22:10:32.40:qu21oNoK いや面白くはない 出題者の意地が悪いだけ : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 23:14:32.89:j2acKMxk ベイズ統計学は、ベイズ改訂という改訂の連鎖に価値があるのであって、 改訂前の単なる初期値には何の価値も無い。 ベイズにおける 1/2 という値は改訂前の単なる初期値に過ぎないのだから、 この 1/2 という数値を「妥当」だと言い張ったところで何の価値も無い。 「ベイジアンでは推測できないときには同等と考えます」と言い張ったところで、 それは主観確率の初期設定をどうしたいかというマインドコントロールでしかなく、 数学的根拠になり得ない。 常識的に考えても、改訂前の単なる決めつけである「 1/2 」という値から 期待値を計算したところで、その期待値も単なる決めつけでしかなく、何の価値も無い。 そこで確率の改訂を繰り返すことで、主観確率なのに客観性が上がっていくことが 期待されるところに、ベイズ統計学の価値がある。 そして、この違いを分からないバカがベイズ統計学をやる価値も無い。 : 132人目の素数さん [] 2018/01/13(土) 23:32:21.00:n+R0iV0s 要は一様分布と仮定するか否かってだけでしょ どっちも間違ってないと思うけどな : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 23:38:35.16:Bhnz9Zau 一様分布に設定することが不可能なんだから : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/13(土) 23:42:48.49:W7ucPUwR >要は一様分布と仮定するか否かってだけでしょ 問題の在り処を取り違えている (今の状況で)一様分布を仮定することがベイズ統計では自動的に承認されるのか、それとも特記すべき事項なのかが争点 : 132人目の素数さん [] 2018/01/14(日) 00:09:28.63:yNhhPVL1 いろいろあるねえ : 132人目の素数さん [] 2018/01/14(日) 00:34:31.02:7iI/H+u5 この問題は金額の分布が問題にされているのではなく 2つのうちどちらを選んで10000円が出たかというところだけが考慮すべき事柄です 金額の分布を云々している人はアホとしか言いようがありませんね もう一方が5000円であるか20000円であるかは等確率すなわちp=1/2ですので 選択を変更する場合に得られる期待値は12500円 すなわち選択は必ず変更するべきと言うことです : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/14(日) 00:37:58.91:ZEpbJsii 数学の問題じゃないので適当に決めちゃいました : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/14(日) 00:53:01.53:+CLRWeXb : 132人目の素数さん [] 2018/01/14(日) 01:08:42.58:9RpZhmpe いっそ二封筒問題のスレを立てればいいんでないかな : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/14(日) 01:33:12.41:QZS2nyEG いずれにしても二封筒問題はこのスレで扱う問題とは違うと : 132人目の素数さん [] 2018/01/15(月) 14:41:10.85:Nr3Tqe6F 2整数の最大公約数を(a,b)で表す。(a,b)=cの時ax+by =cは必ず整数解を持つというベズーの等式を少し高級な視点から証明してみましょう! ℤを整数全体の集合とする。ℤの部分集合Iでa,b∈I⇒a-b∈I,a∈I,n∈ℤ⇒na∈ℤ の2条件を満たす様なものをイデアル(Ideal)と呼ぶ。例えば2ℤ={2n|n∈ℤ}はイデアルである。 ⑴m∈ℤ⇒mℤはイデアルとなる事を示せ ⑵I⊂ℤがイデアルならばある整数mを用いてI=mℤとなる事を示せ(Iの中で最も絶対値の小さい0でない整数をmと置こう) : 132人目の素数さん [] 2018/01/15(月) 14:41:31.11:Nr3Tqe6F ⑶2つのイデアルの和、つまりmℤ+nℤ={mk+nl | k,l∈ℤ}はイデアルである事を示せ ⑷ベズーの等式が成り立つ事を示せ : 132人目の素数さん [] 2018/01/15(月) 18:49:29.36:DUXDgO4Y ⑴a,b∈mℤ⇒a=mk,b=ml (k,l∈ℤ)と置け、 a-b=m(k-l)∈mℤ, n∈ℤ⇒na=m(nk)∈mℤ よりてmℤはイデアル ⑵I={0}の時、I=0ℤより成立 I≠{0}の時、Iの要素で絶対値の最も小さな0でない元をmと置きてI=mℤを示す イデアルの定義よりmℤ⊂Iであり、 a∈I⇒a=mq+r (0≦r<|m|)と表せり、 r=a-mqは仮定よりイデアルIの元 r≠0の時に此れはmの最小性に反するので r=0故にI⊂mℤとなりI=mℤ ⑶⑴と同様 ⑷⑶よりaℤ+bℤはイデアルである 故にある整数dを用いてaℤ+bℤ=dℤとなる 示すべきはd=cである a∈dℤ,b∈dℤよりdはa,bの公約数 又、d'をa,bの任意の公約数とした時に或る整数x,yが存在しax+by=dとなるのでd'はdの約数 以上よりd=cとなり、ベズーの等式は示された □ : 132人目の素数さん [] 2018/01/15(月) 18:52:06.13:DUXDgO4Y 簡単すぎw : 132人目の素数さん [] 2018/01/16(火) 08:17:17.98:PWgP6/+/ 面白い問題教えテーな : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 03:49:10.39:PWBeFkV2 a<cで(a,a+3,c)というピタゴラス数の組は存在するか?(類題:近大数コン2014) : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 03:50:03.08:PWBeFkV2 (a+3)<cね : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 07:16:24.17:leMdf1QC 自然数nに対して、n乗積分 ∫_(R^n) 1/(1+||x||^(2n))dx を求めよ (||・||はユークリッドノルム) : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 10:16:43.95:YoDVUQg0 3で割ったあまりを調べるとないことがわかる。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/17(水) 10:42:39.57:1S3G2BEK 素であると条件がついてないから(9,12,15)で良いんじゃない? : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 11:11:08.99:EO7VHN63 (12,16,20)だな : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 13:09:12.30:c5xzziUo 私はあなたに面白い問題を教えてくれるでしょう! 私は日本語を話せませんので、英語で問題を書きます。 多分、私は日本語で答えを読むことができるので、あなたは日本語でそれを書くことができます。 できれば、私の問題を日本語に翻訳してください。 Consider the 2^1013 numbers ±1±2±...±1013. How many of these numbers are 2017 in modulo 2027? Express your answer in modulo 1000. ありがとう! : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 13:19:19.15:9qRKZbfk スパムメールっぽい日本語だな ☆☆☆ あなたがアマゾンにアカウントはロック!至急パスワードに変更!! ☆☆☆ みたいなの : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/17(水) 13:20:42.98:7PcoNND/ 「大好きが虫はタダシくんの」 を思い出した : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/17(水) 14:11:20.04:1S3G2BEK 例えば1+…+384−385+386+…+1013≡2017(mod 2027)である 2027は奇数であるので、この問題は以下と同値である 「1から1013までの整数の集合の部分集合のうち、総和が385+2027k(kは整数)となる部分集合の個数の下3桁を求めよ」 : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 14:15:53.19:YoDVUQg0 元の問題って和訳すると? : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/17(水) 14:20:04.78:3jdYKGvc 859. : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/17(水) 14:56:22.18:1S3G2BEK 答え出ちゃったね 【訳】 ±1±2±...±1013の形の2^1013個の数を考えよ 2027を法として2017に合同な数は幾つあるか? 1000で割った余りを解答せよ : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 16:12:08.13:YoDVUQg0 どう求めたの? : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/17(水) 19:31:56.47:9BtkzFPq うほうほ : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 21:44:13.29:EO7VHN63 コンピュータ : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 21:51:44.14:ugLbTJqW 1を加算する操作をsとし、整数による加算をs^k、kによる減算をs^-kのように表現するとき、 ±1±2±...±1013の形の式のうち解が整数nとなる式の個数は Π(k=1→1013)(s^k+s^-k)…@を展開したときのs^nの係数に現れる。 2027を法とする演算を考えればよいので、s^2027=s^0とし、 このときのs^2017の係数を考えればそれが2017と合同な式の個数となる。これを求めればよい。 Π(m=0→1012)(s^(2^m)+s^-(2^m))…Aの形の式を考える。 s^(2^m),s^-(2^m) (0≦m≦1012) の各々に、s^k,s^-k (1≦k≦1013) のいずれかと同一のものが ちょうど1つずつ存在する(1対1に対応する)ことから、Aは@の項を並び替えたものであり、@に等しい。 Aを展開するとs^-(2^1013-1)+s^-(2^1013-3)+...+s^-3+s^-1+s^1+s^3+...+s^(2^1013-1)…A'となる。 A'の項の総数は2^1013個であり、各項の指数が2ずつの等間隔に存在すること、2027が奇数であること、 2^1013+1が2027の倍数であることから、1≦k≦2026 の各々について s^k に等しい項は(2^1013+1)/2027個ある。 すなわちs^2017に等しい項の数は(2^1013+1)/2027個あり、これが求める係数である。 (なお、s^0=s^(2^1013+1)に等しい項の個数は他のs^kより1つ少ない) (2^1013+1)/2027を10進数で表現すると300桁を超えるが、 1000の余りを求めればよいので2027×1000を法とする演算で2^1013+1を求め、 2027で割る方法をとれば計算量を減らすことができる。 計算は省略する。解は859。 ※巡回群に詳しい方、補足がありましたらお願いします。 : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 21:55:00.34:ugLbTJqW 1行目ミスった 整数kによる加算をs^k、整数kによる減算をs^-kのように表現する : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 22:03:36.43:qFKXYmDa コンピューターおばあちゃん コンピューターおばあちゃん イェーイイェーイ ぼーくら大好きさー : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/17(水) 22:30:44.76:mZCIBayH お尻ペンペンコンピューターの方が好きだわ俺。 : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 23:22:58.51:EO7VHN63 お見事 2027は素数 x^2027=1で Σx^(±1±2±...±1013)=(Σx^±1)(Σx^±2)...(Σx^±1013)=(x+x^2026)(x^2+x^2025)...(x^1013+x^1014) ということね そして上記の式のxのベキは2027の0以外の2026個で原始根のベキで表せるわけだけど F_2027において2が原始根なのは確かにそうだとは確認したけど簡単に分かるの? まあ2でなくても原始根ならいいけど原始根は探すの結構めんどくさい : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 23:35:03.42:EO7VHN63 >2でなくても原始根ならいいけど 2じゃないと駄目か ±だから展開したとき2進法で考えるから-(2^1013-1)から2^1013-1まで2飛ばしで出てくるってことになる 3とかだと3進法ではそうもならないな : 132人目の素数さん [] 2018/01/17(水) 23:59:13.48:ugLbTJqW そう。2が原始根であることが言えればいい 位数が2027-1の約数であり、2027-1の素因数は2と1013なので、 2 と 2^2 と 2^1013 について 2027 を法として 1 と合同でないことを確認すればよい : 132人目の素数さん [] 2018/01/18(木) 00:15:10.12:8rC65/QE Oh wow guys Congratulations!! It seems you got a right answer. So I’ll show you my solutions. Let p=2027 and observe that this is prime. Let a_i for 0≦i≦p-1 be the number of the 2^2013 numbers which are i in modulo p. Then, N=Π[(p-1)/2, i=1]((ε^k)+(ε^(-k))) =a_0+...+a_(p-1)ε^(p-1) where ε=exp((2π/p)i). Now, observe that Π[p-1,i=1]((ε^k)+(ε^(-k))) =NΠ[p-1,i=(p+1)/2]((ε^k)+(ε^(-k))) =NΠ[p-1,i=(p+1)/2]((ε^(k-p))+(ε^(p-k))) =NΠ[(p-1)/2,i=1]((ε^k)+(ε^(-k))) =N^2 But, Π[p-1,i=1]((ε^k)+(ε^(-k))) =Π[p-1,i=1](ε^(2k)+1)=Π[p-1,i=1](1+ε^k)=1 where we use the fact that k→2k is bijective in ℤ/pℤ and 1+x+...+x^(p-1) =Π_(1≦k≦p-1)(x-ε^k). So N^2=1⇒N=±1. So, a_0+...+a_(p-1)ε^(p-1)=±1 ⇒a_0±1=a_1=...=a_(p-1)=q for some integer q.Then, pq=a_0+...+a_(p-1)±1=2^((p-1)/2)±1. Since q must be an integer and 2^((p-1)/2)≡(2/p), q=(2^1013-(2/2027))/2027 =((2^1013)+1)/2027≡859 (mod 1000). : 132人目の素数さん [] 2018/01/18(木) 01:22:37.18:I6nQhhU/ なーるほどー 位数は1か2か1013か2026かしかないってことか 2^1013はキツそうだけど2^11=2048=21とか使うのかしらね : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/18(木) 02:12:14.89:BqMeO5gJ 2^1013の計算は多少手間だけど、工夫すれば短くできそう 例えばこう 2^1013≡2^(1008+5)≡2^(7・2・2・2・2・3・3+5) ≡((((((2^7)^2)^2)^2)^2)^3)^3・2^5 ≡(((((128^2)^2)^2)^2)^3)^3・32 ≡((((168^2)^2)^2)^3)^3・32 ≡((((-154)^2)^2)^3)^3・32 ≡(((-608)^2)^3)^3・32 ≡(750^3)^3・32 ≡(750^2・750)^3・32 ≡(1021・750)^3・32 ≡(-456)^3・32 ≡(-456)^2・(-456・32) ≡(-845)・(-403) ≡-1 (mod 2027) : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/18(木) 02:47:01.58:3VMTZnuL a=3A, c=3C とおくと、 AA +(A+1)^2 = CC, (2A+1)^2 + 1 = 2CC … ペル方程式 (A,C)=(0,1) (A,C)が自然数解なら(A',C')=(3A+2C+1,4A+3C+2)も自然数解。 A_n ={(√2 +1)^(2n+1)-(√2 -1)^(2n+1)-2}/4, C_n ={(√2 +1)^(2n+1)+(√2 -1)^(2n+1)}/(2√2), : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/18(木) 04:13:54.25:3VMTZnuL (A_n, C_n) n=0 (0, 1) n=1 (3, 5) n=2 (20, 29) n=3 (119, 169) n=4 (696, 985) n=5 (4059, 5741) n=6 (23660, 33461) n=7 (137903, 195025) n=8 (803760, 1136689) n=9 (4684659, 6625109) n=10 (27304196, 38613965) : 132人目の素数さん [] 2018/01/18(木) 15:27:22.81:FEilI+AF 全ての実数で定義されている実数関数 f に対し B={x | limsup_y→x |f(y)-f(x)|/|y-x|<∞}と置く R-Bが高々可算個の疎な閉集合で被覆されるならば ある開区間で f はリプシッツ連続となることを示せ ただし選択公理によるベールの被覆定理を仮定する : 132人目の素数さん [] 2018/01/19(金) 17:10:25.90:K29Y+eUT 誰もわからないようだから解答置いとく ttps://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/20(土) 12:43:59.72:urj88i9i 5×5の碁盤目状の道路があり、5件の家 A(0,1)、B(1,4)、C(2,0)、D(3,3)、E(4,2) がある。 図 ttps://i.imgur.com/pzdRfIv.jpg この街に直線道路を1本引きたい。 5件からのマンハッタン距離の平方和が最小となる直線を求めよ。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/20(土) 12:46:16.88:urj88i9i 言い方がマズかったかな。 Aから直線道路までのマンハッタン距離の2乗 + Bから直線道路までのマンハッタン距離の2乗 + Cから直線道路までのマンハッタン距離の2乗 + Dから直線道路までのマンハッタン距離の2乗 + Eから直線道路までのマンハッタン距離の2乗 が最小となるような直線です。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/20(土) 13:28:39.53:urj88i9i ごめん、もう一度訂正。 Aから直線道路までのx軸方向の移動距離の2乗+y軸方向の移動距離の2乗 + Bから直線道路までのx軸方向の移動距離の2乗+y軸方向の移動距離の2乗 + Cから直線道路までのx軸方向の移動距離の2乗+y軸方向の移動距離の2乗 + Dから直線道路までのx軸方向の移動距離の2乗+y軸方向の移動距離の2乗 + Eから直線道路までのx軸方向の移動距離の2乗+y軸方向の移動距離の2乗 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/20(土) 22:03:01.41:kH6iNY66 マンハッタンじゃないじゃないか。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/21(日) 04:26:29.48:SUkk+U6n 点(x_a,y_a)から直線 y = mx+n までのM距離は、 x軸方向の移動距離 と y軸方向の移動距離 のうち小さい方、つまり min{|y_a -m x_a -n|,|(y_a -m x_a -n)/m|} |m|≦ 1 のとき |y_a -m x_a -n|, |m|≧ 1 のとき |(y_a -m x_a -n)/m|, y =(x+18)/10 または y=10x-18 のとき 距離の平方和 = 99/10 : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2018/01/22(月) 00:17:07.65:vBTdEgh5 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2018/01/22(月) 00:17:25.91:vBTdEgh5 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2018/01/22(月) 00:17:43.88:vBTdEgh5 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2018/01/22(月) 00:18:00.02:vBTdEgh5 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2018/01/22(月) 00:18:15.29:vBTdEgh5 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2018/01/22(月) 00:18:31.27:vBTdEgh5 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2018/01/22(月) 00:18:48.82:vBTdEgh5 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2018/01/22(月) 00:19:05.96:vBTdEgh5 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2018/01/22(月) 00:19:23.27:vBTdEgh5 ¥ : ¥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2018/01/22(月) 00:19:46.95:vBTdEgh5 ¥ : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/22(月) 17:38:25.78:EFMpeTLH M距離の和を最小にするなら、、 y =(1/4)x + 1 のとき M距離の和 = 11/2 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/24(水) 04:13:19.14:9ooAixL8 補足 a ≡ a+3 ≡ ±1 (mod 3) とすると、 aa +(a+3)^2 ≡ 1 + 1 ≡ 2 (mod 3) 一方、 cc ≡ 0,1 (mod 3) となるので不成立。 a ≡ a+3 ≡ c ≡ 0 (mod 3)に限る。 : 132人目の素数さん [] 2018/01/26(金) 12:03:24.53:8Tf4BNki 作用素Hについて、固有値E_k(E_0<E_1<E_2<…)と対応する固有関数ψ_kが存在するとする であるとする ここで、固有値Eをもつ関数Ψが存在するとき、NE≧E_0となることを示せ。 ただしN=√(1/(∫|Ψ|^2 dx)) : 132人目の素数さん [] 2018/01/26(金) 12:06:35.17:8Tf4BNki ↑訂正 作用素Hについて、固有値E_k(E_0<E_1<E_2<…)と対応する固有関数ψ_k(∫|ψ|^2 dx=1)が存在するとする ここで固有値Eをもつ関数Ψが存在するとき、NE≧E_0となることを示せ。 ただしN=√(1/(∫|Ψ|^2 dx)) : 132人目の素数さん [] 2018/01/27(土) 13:45:49.81:51dP2oKU 中学生でも解ける問題を一つ 半径rの円が3つあり、残り二つの円と互いに外接している。 それぞれの円の周上にP,Q,Rを取る時、三角形PQRの重心Gの動きうる範囲の面積を求めよ。 : 132人目の素数さん [] 2018/01/27(土) 15:06:08.09:MA43eYRM HP0=E0P0 P=2P0 N=1/4 E=E0 1/4E0≧E0 ?? : 132人目の素数さん [] 2018/01/27(土) 15:07:06.83:MA43eYRM N=1/2 : 132人目の素数さん [] 2018/01/27(土) 18:09:12.75:me3DxH9X P=2(p_0)だと固有値Eは2(E_0) NE=(1/2)2(E_0)=(E_0) : 132人目の素数さん [] 2018/01/27(土) 21:36:02.22:Mtp4B3bf >P=2(p_0)だと固有値Eは2(E_0) なんで? : 132人目の素数さん [] 2018/01/27(土) 21:41:45.04:me3DxH9X H(2(p_0))=2H(p_0)=2(E_0)(p_0) : 132人目の素数さん [] 2018/01/27(土) 21:43:11.21:me3DxH9X ちょっと問題文のほうに問題があったね 撤回 : 132人目の素数さん [] 2018/01/27(土) 21:47:10.38:me3DxH9X E≧E_0となることを示せ : 132人目の素数さん [] 2018/01/27(土) 21:59:09.92:me3DxH9X あとHはエルミート : 132人目の素数さん [] 2018/01/27(土) 22:07:23.69:WDfOMKEo 2の倍数または3の倍数または5の倍数でない自然数について 50番目の数字は何? : 132人目の素数さん [] 2018/01/27(土) 22:21:48.51:ExPNLsIw 1-100 100-(50+33+20-16-6-10+3)=100-74=26 1-200 200-(100+66+40-33-13-20+6)=200-146=54 187,191,193,197,199 187? : 132人目の素数さん [] 2018/01/27(土) 22:25:35.16:WDfOMKEo 正解 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/27(土) 22:31:46.23:gbbm6MqT どうやって解いたものかと思ったが 点P、Q、Rの属する円の中心をそれぞれ点A、B、Cとする。 三角形ABCの重心をFとする ベクトルF→A、F→B、F→Cの和は 1/3(F→A+F→B+F→C)=F→Fとなるので零ベクトル。 一方、ベクトルF→Gを考えると F→G=1/3(F→P+F→Q+F→R) =1/3((F→A+A→P)+(F→B+B→Q)+(F→C+C→R)) =1/3(A→P+B→Q+C→R) ベクトルA→P、B→Q、C→RとF→P'、F→Q'、F→R'がそれぞれ等しくなるように点P'、Q'、R'をとると、 それらは点Fを中心とする半径rの円(以下円Fとする)の周にある。 F→G=1/3(F→P'+F→Q'+F→R')なので、点Gは円Fに内接する三角形P'Q'R'の重心であり、円Fの内部または周にある。(周にあるのは点P'、Q'、R'が一致するとき) 次に、 円Fの内部に任意の点Hをとるとき、線分FHのH側の延長と円Fの交点に点P'をとり、 H'→H=1/2(H→P')となるような点H'をとると、点H'は円Fの内部にあるので点H'における直線FHとの垂線は円Fと2箇所で交わり、 各々の交点に点Q'、R'をとると、三角形P'Q'R'の重心である点Gは F→G=1/3(F→P'+F→Q'+F→R')=1/3(2(F→H')+F→R')=1/3((F→H+H→P')+2(F→H-H'→H))=F→Hとなるため 点Hと点Gが一致するように点P、Q、Rを取ることができることがわかる。 同様に円Fの周に点Gをとるには、ベクトルA→P、B→Q、C→RのすべてがF→Gと等しくなるように点P、Q、Rをとればよい。これらの点は各円の周にある。 以上のことから、点Gの存在範囲は円F、すなわち三角形ABCの重心を中心とする半径rの円の周および内部の全域と一致する。 面積はπr^2 : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/27(土) 23:28:57.71:io9lIhrc という数列の一般項を求めるような問題が昔数検にあったかな : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/28(日) 01:55:15.75:ru4HDAPy kは非負整数とする。 a_{8k}= 30k -1, a_{8k+1}= 30k + 1, a_{8k+2}= 30k + 7, a_{8k+3}= 30k + 11, a_{8k+4}= 30k + 13. a_{8k+5}= 30k + 17, a_{8k+6}= 30k + 19, a_{8k+7}= 30k + 23, : 132人目の素数さん [] 2018/01/28(日) 02:25:15.18:QQEABl6G 周期30(8個) 1,7,11,13,17,19,23,29 : 132人目の素数さん [] 2018/01/28(日) 10:41:35.47:MjDW5aU2 なら当たり前じゃんw 固有値の中でE0が最小って 最初に書いてる : 132人目の素数さん [] 2018/01/29(月) 15:15:53.94:Nr3Pwzrb 正三角形ABCの中に点Dをとる 三辺の長さがAD,BD,CDである三角形を作ったとき、その3つの角度はどうなるか? 元のA,B,C,Dで表せ : 132人目の素数さん [] 2018/01/30(火) 06:28:00.94:xcx/0UYn 2円が2点で交わっているとき、2円に引いた接線の長さが等しいような点の軌跡を求めよ。(1行問題) : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/30(火) 18:33:19.75:fE9anC+i 直線 2ax+2by=a^2+b^2+r^2-R^2 : 132人目の素数さん [] 2018/01/30(火) 22:47:20.84:kRiBvn5X 田舎だから、ろくな高校なくて県内トップの高校だが高校偏差値60、俺の数学の偏差値は進研模試70、駿台模試68な俺。数学に割と自信あって来てみたらレベル高すぎて挫折。みんなは大数とか解いてるのかな( ´・ω・` ) : 132人目の素数さん [sage] 2018/01/31(水) 01:58:00.18:UkP0goc8 中心o、半径rの円と、中心O、半径Rの円があり、2点 A,B で交わるとする。 中心間の距離oO = d とおく。 oOとABは点Cで直交する。 oC =(dd+rr-RR)/2d, OC =(dd+RR-rr)/2d, AB = 4(r,R,d)/d, 直線AB上の点Pから 円oへの接線の長さは √(Po^2 - r^2)= √(PC^2 + Co^2 - r^2)= √{PC^2 -(AB/2)^2}, 円Oへの接線の長さは √(PO^2 - R^2)= √(PC^2 + CO^2 - R^2)= √{PC^2 -(AB/2)^2}, ゆえ一致する。 答え 直線ABのうち、線分ABを除く部分。 : 132人目の素数さん [] 2018/01/31(水) 08:11:27.71:EIHOrY2u 差がnになるような立方数と平方数 みたいな問題に一般解ある? : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/01(木) 01:20:12.16:9NvJxwVa yy =(重根をもたない3〜4次多項式) 楕円曲線と云うらしい。(楕円ではない。) 数論の中心的課題の一つ。 有理数解についての構造定理(モーデルの定理)がある。 整数解は有限個しか存在しない。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/01(木) 01:22:06.92:9NvJxwVa 訂正 yy = f(x) (fは重根をもたない3〜4次多項式) : 132人目の素数さん [] 2018/02/01(木) 02:44:13.73:Igkrh3Kq nを3以上の自然数とする 円に内接するn角形で、面積が最大となるものは正n角形であることを示せ. : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/01(木) 04:12:29.84:ozAVSfgN 面積最大となる内接n角形が、大きさの異なる中心角(=外接円の中心における辺の両端のなす角度)を隣り合わせに持つと仮定すると、 それらに挟まれる頂点を「中心角の和の二等分線と円との交点」に置き換えた内接n角形は元の内接n角形より面積が大きいため、仮定と矛盾する よって面積最大の内接n角形はすべての中心角の大きさが等しい そのようなn角形は正n角形である : 132人目の素数さん [] 2018/02/01(木) 04:36:04.06:YQK7w38I なるほど イェンゼンの不等式を使う解法を想定してたけどこんなにシンプルに解けるのか : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/01(木) 05:09:27.60:WltzC0iH 続けたまえ : 132人目の素数さん [] 2018/02/01(木) 05:20:20.13:YQK7w38I n角形の中心角をθ_1,...,θ_nとすれば、 Σ(i=1,n)θ_i=2πで、 0≦x≦πのとき、f(x)=sinxは上に凸 したがってイェンゼンの不等式から n角形の面積=(1/2)Σ(i=1,n)sin(θ_i) =(n/2)*(1/n)Σ(i=1,n)sin(θ_i) ≦(n/2)sin((1/n)Σ(i=1,n)θ_i) =(n/2)sin(2π/n) で等号成立はθ_1=...=θ_nのとき みたいなのを想定してました : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/01(木) 10:30:28.47:ozAVSfgN その方法もありかな ただθiの取りうる範囲が0<θi<2πで、sinθiが上に凸でない区間を含むのでイェンゼンの不等式を使う前にもうひと工夫要る : 132人目の素数さん [] 2018/02/01(木) 10:52:13.85:4D0Z8f3F 中心角がθ_i>πとすると辺が反対側になるからθ_i<πとしても問題無いと思う : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/03(土) 06:00:26.28:ZbURmVBy この方法で言えることは、 「正n角形でないn角形は面積最大になり得ない」 ということに過ぎなくて、正n角形が面積最大なのかは、この方法からは分からない。 つまり、正n角形が他のn角形と比較して必ず大きくなっているのかは、 この方法からは分からない。 ただし、面積最大の多角形が「存在する」ことが別途証明してあるなら、 この方法と合わせることで、正n角形が面積最大だと分かる。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/03(土) 08:00:05.58:SRNC+iev 円周の1点P0と、点P0と中心角2πk/nをなす円周上の点Pk(1≦k<n)を順に結んでできるn角形は円に内接する正n角形となる(存在性) 円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。そのようなn角形はの主張により正n角形でなければならない 円に内接するn角形は、円の中心から頂点までの距離が円の半径に等しい 円の中心と内接正n角形の各辺の両端を頂点とする三角形は中心角2π/nとそれを挟む辺が等しいため互いに合同である この三角形の面積をS1とすると、同一の円に内接する正n角形はいずれも等しい面積nS1をもつこととなる。この性質は元の正n角形についても成立する 同一円に内接する正n角形の面積が互いに等しい事実は元の仮定と矛盾する(背理法) 円に内接する正n角形は存在し、正n角形より面積の大きいn角形は存在しない。よって正n角形は条件を満たす最大のn角形である : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/03(土) 09:12:03.68:ZbURmVBy 間違っている。 (1) 円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。 (2) そのようなn角形はの主張により正n角形でなければならない この2行について、(1)から(2)への推論の仕方が間違っている。 (1)では、正n角形より面積の大きいn角形(面積最大とは限らないn角形)を 仮定しているだけなので、そのn角形に対しては は適用できない。 を使って(2)を推論するためには、もともとの(1)を (1)' 円に内接する面積最大のn角形は正n角形でないと仮定する。 としなければならない。しかし、これでは面積が最大のn角形の「存在性」を 最初に仮定してしまっているので意味が無い。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/03(土) 09:18:00.24:ZbURmVBy 面積最大のn角形が「存在する」ことを証明するには、たとえば を拝借して、 A = { (θ_1,...,θ_n)|θ_i≧0, Σ(i=1,n)θ_i=2π } S:A → R S(θ_1,...,θ_n) = (1/2)Σ(i=1,n)sin(θ_i) として関数 S を定義すればよい。このとき、S は A 上の連続関数であり、 かつ A はコンパクトなので、S は最大値を持つことが分かる。 すなわち、面積最大のn角形は「存在する」ことが分かる。 ……というように、面積最大のn角形の「存在性」を言うには、 それなりの抽象論が必要になって、なかなか初等的にはいかない。 初等的に済むのは、 のように、ある種の不等式を使って、 直接的に「正n角形が面積最大」を示すことである。 そういう方法ではない、 のような方針を使う場合には、 面積最大のn角形の「存在性」を示す必要があって、 そうすると上記のように それなりの抽象論が必要になる。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/03(土) 09:27:16.78:SRNC+iev >としなければならない。しかし、これでは面積が最大のn角形の「存在性」を >最初に仮定してしまっている していませんよ : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/03(土) 09:31:23.85:ZbURmVBy もともとの(1)では仮定していないが、その(1)では(2)が推論できずに失敗するので、 (2)を推論したければ (1)' に修正しなければならない。しかし、(1)' では 面積が最大のn角形の「存在性」を仮定してしまっているので、これでは意味が無い。 結局、のやり方はいずれにしても失敗する、ということ。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/03(土) 09:45:17.33:SRNC+iev それじゃを引用せずにやりますかの 円周の1点P0と、点P0と中心角2πk/nをなす円周上の点Pk(1≦k<n)を順に結んでできるn角形は円に内接する正n角形となる(存在性) 円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。そのようなn角形は辺ごとに中心角が異なっていてはならないため正n角形でなければならない 円に内接するn角形は、円の中心から頂点までの距離が円の半径に等しい 円の中心と内接正n角形の各辺の両端を頂点とする三角形は中心角2π/nとそれを挟む辺が等しいため互いに合同である この三角形の面積をS1とすると、同一の円に内接する正n角形はいずれも等しい面積nS1をもつこととなる。この性質は元の正n角形についても成立する 同一円に内接する正n角形の面積が互いに等しい事実は元の仮定と矛盾する(背理法) 円に内接する正n角形は存在し、正n角形より面積の大きいn角形は存在しない。よって正n角形は条件を満たす最大のn角形である : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/03(土) 09:49:46.47:ZbURmVBy (1) 円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。 (2) そのようなn角形は辺ごとに中心角が異なっていてはならないため正n角形でなければならない (1)から(2)への推論が間違っている。(1)にと同じことをしても、(2)は出て来ない。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/03(土) 09:51:36.31:qEUwhi6H >円に内接するn角形で、正n角形より面積の大きいものが存在すると仮定する。そのようなn角形は辺ごとに中心角が異なっていてはならないため そうはならないね。中心角が異なるn角形よりさらに大きなn角形が存在することしかいえない : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/03(土) 10:02:10.08:SRNC+iev わかりました 結局はの論法を拝借しても証明できないということですね。残念 : 132人目の素数さん [] 2018/02/03(土) 10:21:37.36:NEmce2OD n角形の面積が頂点の位置の連続関数かつ有界 ってことが言えればのやり方でも良いの? : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/03(土) 10:33:56.24:ZbURmVBy 面積最大のn角形が「存在する」ことが別途証明できているなら、のやり方でよい。 で、面積最大のn角形が「存在する」ことの証明法の1つが。 > n角形の面積が頂点の位置の連続関数かつ有界 「連続かつ有界な関数」は最大値を持つとは限らないので、その条件ではダメ。 「コンパクト集合上の連続関数」は最大値を持つので、チェックすべきはこっち。 の設定だと、A はコンパクトで S:A → R は連続なので、S は最大値を持ち、 よって面積最大のn角形が存在することになる。 : 865 [] 2018/02/03(土) 13:22:15.84:bx+/cqz+ リッツの変分原理を回りくどく出題したんだよね… : 132人目の素数さん [] 2018/02/03(土) 20:34:33.26:vz2cYDpM の答え 新しい三角形の3つの角は ∠ADB-60° ∠BDC-60° ∠CDA-60° 元の正三角形を2つくっつけると容易に導ける ttps://youtu.be/dF67AJH9mjM : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/04(日) 01:13:03.83:1AYVpyrY 新旧リッツの変分は、ルヴァンに忠実に含まれている。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/05(月) 04:29:09.80:tjkCYLNc θ_i > πの辺があるとき ・n=3 のとき その辺の長さ <2,高さ <1 面積 <1 一方、正△の面積は(3/2)sin(2π/3)=(3√3)/4 > 1 ・n≧4 のとき n角形は半円の内部に収まるから、面積 < π/2 一方、正n角形の面積は(n/2)sin(2π/n)≧ 2 (←(sinθ)/θ ≧ 2/π) いずれの場合も面積最大ではない。 △ABCを頂点Aのまわりに60°回す。 B→C,C→E,D→F △ADFは正△ : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/06(火) 02:54:03.11:7rgGAmy4 (12371^56 + 34)^28 を 243 で割った余りを求めよ。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/06(火) 06:10:07.43:7rgGAmy4 自然数nの各位の数字の和をS(n)とおくとき、S(n^2) = S(n)-7をみたすnの最小値を求めよ。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/06(火) 16:49:32.36:Yc2MOlIU 番外編第2問 完全なるネタ問です。暇な時にでもどうぞ。 [2'](オリジナル) x,yを自然数とする。 x^2 - y^2 =(x+y)(x-y) を、「xy」を出現させずに示せ。 12371 ≡ -22 (mod 243) (-22)^56 ≡ -83 (mod 243) (-83+34)^28 ≡ (-49)^28 ≡ 130 (mod 243) (twitter.com/perfectly08641086/) : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/06(火) 17:11:52.86:Yc2MOlIU n=149, S(149)= 14, S(22201)= 7 : 132人目の素数さん [] 2018/02/06(火) 17:24:47.10:tIuHS797 x=(x+y)-y : 132人目の素数さん [] 2018/02/06(火) 22:22:11.96:5Qv839bR 遅くなったが○(必要性(AB上の点だけである)を言ってないが) 2交点を通る直線の、円の外部にある部分(1行解答) : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/07(水) 05:11:06.72:hJs29j8F [5] n,k を自然数とする。 次の条件を満たす k の値をすべて求めよ。 「n,n+k がともに平方数となるような n がただ一つに定まる。」 (日本ジュニア数学オリンピック2014年、予選 第6問 他 アレンジ) ( ttp://twitter.com/perfect08641086/ ) : 132人目の素数さん [] 2018/02/07(水) 07:11:10.59:N1eeF5xg 以下、自然数とは正整数のこととする。 n=NN,n+k=MMである自然数N,Mが存在する場合、k=(n+k)-n=MM-NN=(M+N)(M-N)となる よって、kに対してkがM+NとM-Nの積となるような自然数の組(M,N)が1通りに定まる場合を求める M+NとM-Nはともに異なる奇数であるか、ともに異なる偶数である 1)M+NとM-Nがともに異なる奇数である場合 kは奇数である。 kが3以上の異なる奇数K,L(K>L>1)の積KLである場合、 (M,N)=((KL+1)/2,(KL-1)/2),((K+L)/2,(K-L)/2)の少なくとも2通りの解がある k=1の場合、M+N=M-N=1のため題意を満たさない これらを除くとkが奇素数または奇素数の平方である場合のみ、単一解(M,N)=((k+1)/2,(k-1)/2)をもつ 2)M+NとM-Nがともに異なる偶数である場合 kは4の倍数である。 kが4以上の異なる偶数2K,2L(K>L>1)の積4KLである場合、 (M,N)=(KL+1,KL-1),(K+L,K-L)の少なくとも2通りの解がある k=4の場合、M+N=M-N=2のため題意を満たさない これらを除くとk/4が素数または素数の平方である場合のみ、単一解(M,N)=(k/4+1,k/4-1)をもつ 上記より、kは奇素数、奇素数の平方、素数の4倍、素数の平方の4倍のいずれかである。 : 268 [] 2018/02/07(水) 09:46:09.13:ToZYT75j の解答 (1) k=(aa+a+1)/(a+8)=a-7+57/(a+8) 57/(a+8)が整数になる自然数aはa=11,49 (2) kが自然数ならば2kも自然数 2k=2(2aa+a+2)/(4a+9)=a-1+(-3a+13)/(4a+9) a≧1で-1<(-3a+13)/(4a+9)<1かつaが整数のとき(-3a+13)/(4a+9)≠0だから、 aが自然数のとき2kが自然数になることはない。 よってkが自然数になることはない。 (3) (i) b(aab+a+b)=aabb+ab+bb≦aabb+ab+abb<aabb+ab+7a+abb+b+7=(a+1)(abb+b+7) ∴(aab+a+b)/(abb+b+7)<(a+1)/b (ii) (a-1)(abb+b+7)/b=aab+a+7a/b-ab-1-7/b=aab+a-a(b-7/b)-1-7/b<aab+a-1-7/b< =aab+a+b ∴(a-1)/b<(aab+a+b)/(abb+b+7) (iii) (a/b-1/b)<k<(a/b+1/b)より(a-1)<bk<(a+1) a-1,a+1,bkはいずれも整数だからbk=a (iv) 元の式よりk=(bbbkk+bk+b)/(bbbk+b+7) ∴bbbkk+bk+7k=bbbkk+bk+b⇔b=7k 確かに(a,b)=(11,1),(49,1),(7kk,7k)のときkは自然数である。 出典:IMO1998-4 誘導は勝手につけた : 268 [] 2018/02/07(水) 09:56:38.30:ToZYT75j で、本題なんだが、前スレで268を出題するつもりが、ミスにより (a^2+a+b)/(ab^2+b+7)が自然数となるような自然数の組を求めよ という問題文になってしまった(分子の第1項が違う)。 仕方なく解いてみたのだが、色々やってもa,bを上から抑えられずうまくいかなかった。 誰か挑戦してみてください。 ==================== 【途中経過】 あるbを与えられたとき、aは次のように求められる。 kを自然数として (a^2+a+b)/((b^2)a+b+7)=k ⇔a^2+(1-(b^2)k)a+b-bk-7k=0 …★ aが自然数解を持つための必要条件は判別式が平方数だから、mを非負整数として (1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2 ⇔… ⇔((b^4)k-b^2+2b+14+m)((b^4)k-b^2+2b+14-m)=4(b^5-b^3-6b^2+14b+49) 例えばb=1のとき、右辺は228 素因数分解して左辺の候補を絞ると(k,m)=(7,16),(43,56) ★にkを代入すると k=7のときa=11,-5 k=43のときa=49,-7 よって(a,b)=(11,1),(49,1)を得る。 これらは確かに与式を満たす。 この方法でb=10まで確認したところ、(a,b)=(11,1),(49,1),(17,2),(27,3)を得た。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/07(水) 11:24:10.23:RLIi/erX (1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2 ⇔… ⇔((b^4)k-b^2+2b+14+m)((b^4)k-b^2+2b+14-m)=4(b^5-b^3-6b^2+14b+49) のところがわからない (1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)≡((b^4)k-b^2+2b+14)^2-4(b^5-b^3-6b^2+14b+49) と言ってるように見えるけどそうなの? : 268 [] 2018/02/07(水) 11:32:06.68:/xZxX6e1 展開してみると一致するのがわかる : 268 [] 2018/02/07(水) 11:53:29.64:/xZxX6e1 いや 最初に両辺にb^4かけてM=(b^2)mで置き換えてた すまんな (b^4)((1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k))=M^2=((b^4)k-b^2+2b+14)^2-4(b^5-b^3-6b^2+14b+49) : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/07(水) 14:31:49.31:RLIi/erX わかりました (1-(b^2)k)^2-4(b-bk-7k)=m^2 を k の2次方程式と見たときの判別式が 4(b^5-b^3-6b^2+14b+49)+((b^2)m)^2 ですが、これが平方数であって、 ((b^4)k-b^2+2b+14)^2に等しいという言い方もできるわけですね : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/07(水) 16:18:34.01:RLIi/erX a,bを自然数として、k=f(a,b)=(a^2+a+b)/(ab^2+b+7)とする 1) bが一定のとき、a≧bの範囲でf(a,b)はaについて単調増加であることを示せ 2) b≧4、n≧1のとき、f(nb^2-1,b)<nを示せ 3) b≧4、n≧1のとき、f(nb^2,b)>nを示せ 4) a≧1、b≧4の自然数について、f(a,b)は自然数とならないことを示せ こんな感じですかね : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/08(木) 02:02:08.73:B/BL4khY 正解です! : 132人目の素数さん [] 2018/02/08(木) 10:16:48.21:FamPdXrc 球面上でランダムに選んだ4点からなる四面体が球面の中心を含む確率を求めよ。 厳密でなくてよい。エレガントな解答がある。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/08(木) 10:35:32.87:KjVcfdlC なんとなく15/16? : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/08(木) 11:19:12.25:DJohvmqw 1/8かな 四面体のどの2頂点を選んでも、その2頂点を通る大円で分けられたそれぞれの半球面に残りの2頂点が1つずつ含まれることが、四面体が中心を含むための必要充分条件となる 3つの頂点をランダムに選んだとき、4つ目の頂点はそれら3つの頂点から2つを選んでできる3通りの大円について、1/2の確率で頂点のない半球に置かれる 点の選び方がランダムなので、大円の取り方は互いに独立と考えてよく、結果、四面体が円の中心を含む確率は(1/2)^3=1/8となる : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/08(木) 11:45:16.91:Jvsagswg ベルトランの逆説と同じような事態にはならんのか? : 132人目の素数さん [] 2018/02/08(木) 12:03:21.48:kp9W/haN 当然球面上の一様分布で考えようから ならんよ : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/08(木) 16:31:09.97:O4Qrpcje >> 四面体のどの2頂点を選んでも、その2頂点を通る大円で分けられたそれぞれの半球面に残りの2頂点が >> 1つずつ含まれることが、四面体が中心を含むための必要充分条件となる 必要条件だけど、十分条件ではないよ : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/08(木) 18:04:27.66:YTD6ywQx 円と三角形の場合でまず考えたら? : 132人目の素数さん [] 2018/02/08(木) 21:47:07.53:oi+h1F3T 1/8正解 前半の必要十分条件については、特に反例は思い付かない 3本の直径と1個の点Pをランダムに選ぶ それぞれの直径の端点を1つずつ選ぶ方法は2^3=8通りあるが、出来上がった四面体が球面の中心を含むのは1つのみ(選ばれなかった端点からなる球面三角形上にPがあるとき) よって1/8 パトナム競争の問題 ttps://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol926.html この動画でも解説されている(円と三角形の場合から始めている) ttps://youtu.be/OkmNXy7er84 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/09(金) 07:37:01.95:17ymJrhU 互いに素なa、b∈Zと、任意のn∈Zに対して、ax+bとnが互いに素であるようなx∈Zが存在することを示せ。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/09(金) 10:13:24.55:a7Eou/Nb 任意のn∈Zというが、n=0は除く必要がある : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/09(金) 23:13:52.78:17ymJrhU オイラーのφ関数について、gcd(a,b) = d >1 ならば、φ(ab)φ(g) = φ(a)φ(b)・d を示せ。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/10(土) 00:37:34.68:JLwIa9Z8 gcd(a,b)= d > 1 というが、a,bの一方だけを割り切るような素数がある場合は除く必要がある : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/10(土) 01:56:05.67:p8fUG64o なぜ? : 132人目の素数さん [] 2018/02/10(土) 07:33:02.12:MY7c6GmE g=dと考えていい? 正整数a,bについてgcd(a,b)=dのときφ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)・dを示す。 正整数nについて、その素因数を{Pm}とするとき、φ(n)=n・Π{Pm}(1-1/Pm) bと素である最大のaの約数をa1とする。 aと素である最大のbの約数をb1とする。 a1の素因数を{Ax}、b1の素因数を{By}、dの素因数を{Dz}とすると、 aの素因数は{Ax}∪{Dz}、bの素因数は{By}∪{Dz}である。 a1,b1はそれぞれdと素である。つまり、{Ax}∩{Dz},{By}∩{Dz}はいずれも要素を持たない。 a1とb1は素である。つまり、{Ax}∩{By}は要素を持たない。 a2=a/a1、b2=b/b1となる整数a2,b2があり、それぞれはdの倍数であるから、 a3=a2/d、b3=b2/dとなる整数a3,b3がある。 a=a1・a3・d、b=b1・b3・dとなる。 以上のことから、n=d,a,b,abについてφ(n)は以下となる。 φ(d)=dΠ{Dz}(1-1/Dz) φ(a)=φ(a1・a3・d)=a1・a3・d・Π{Ax}(1-1/Ax)Π{Dz}(1-1/Dz)=a1・a3・φ(d)・Π{Ax}(1-1/Ax) φ(b)=φ(b1・b3・d)=b1・b3・d・Π{By}(1-1/By)Π{Dz}(1-1/Dz)=b1・b3・φ(d)・Π{By}(1-1/By) φ(ab)=φ(a1・a3・d・b1・b3・d)=a1・a3・d・b1・b3・d・Π{Ax}(1-1/Ax)Π{By}(1-1/By)Π{Dz}(1-1/Dz) =(φ(a)/φ(d))(φ(b)/φ(d))φ(d)・d=(φ(a)φ(b)・d)/φ(d) よって、φ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)・d : DJ学術 [] 2018/02/10(土) 08:37:19.43:63PiesU1 わからんのか。フィーリングで速読してみろ。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/10(土) 12:00:09.69:R1D7D1fh lim[n→+∞] (1+(1/n))^n ≡ e (★) lim[n→-∞] (1+(1/n))^n = e lim[n→+0] (1+(1/n))^n = 1 lim[n→-0] (1+(1/n))^n = 1 lim[n→+∞] (1-(1/n))^n = 1/e lim[n→-∞] (1-(1/n))^n = 1/e lim[n→+0] (1-(1/n))^n = 1 lim[n→-0] (1-(1/n))^n = 1 lim[n→+∞] (1+n)^(1/n) =1 lim[n→+0] (1+n)^(1/n) = e lim[n→-0] (1+n)^(1/n) = e lim[n→-∞] (1-n)^(1/n) =1 lim[n→+0] (1-n)^(1/n) = 1/e lim[n→-0] (1-n)^(1/n) = 1/e ★を定義として残りの式を示せ : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/10(土) 13:49:42.01:eO8qQVZO 面白いのか? : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/10(土) 14:39:29.12:JLwIa9Z8 オイラーのφ関数は乗法的だから、素数pごとに分けて考えてよい。 (ab/d)・d = a・b より φ(ab/d)・φ(d) = φ(a)・φ(b) φ(n) = n・Π{p_m|n} (1-1/p_m) を使う。 lim [n→+∞] (1 + 1/n)^(n + 1/2) ≡ e (☆) の方がカコイイ : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/10(土) 14:58:04.94:SG8Nnt8l 乗法的? φ(2)=φ(3)=1 φ(6)=2≠φ(2)φ(3) : 132人目の素数さん [] 2018/02/10(土) 15:03:18.71:VcDtRhPJ >φ(3)=1 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/10(土) 15:04:45.15:SG8Nnt8l 間違えた φ(2)=1 φ(4)=2≠φ(2)φ(2) : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/10(土) 15:07:41.85:SG8Nnt8l φ(3)=2ね φ(9)=6≠φ(3)φ(3) : 132人目の素数さん [] 2018/02/10(土) 15:28:50.93:VcDtRhPJ 数論的関数の乗法性の定義を知らないのか : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/10(土) 19:13:51.53:p8fUG64o 実に実に実に実に実にぃ〜怠惰デスネ! 一から、いえゼロから勉強し直してくるのです! : 132人目の素数さん [] 2018/02/11(日) 01:47:44.56:jr8eNYeJ 思いついた問題はあるんだけど 出題するタイミングが分かんないんだよね ここ2,3日に出た問題にレスが付かなそうだったら投下する : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/11(日) 01:58:52.82:oyQM1khy d|(ab/d) つまり、ab/d は d の素因数をすべて含んでいる。 φ(ab/d)= φ(ab)/d, にこれを使えば出るらしいよ。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/11(日) 12:51:57.50:zE0RtHGg 暇なときにでもどうぞ 例えば8だと転置しても基本変形後の行列が変わらない事、及びσが置換全体を走る時σ^(-1)が置換全体を走る事使えば良いんですかね? 13は固有値使うと早いのかな? 17は基本変形を施す行列が正則であることから示せるね ...のような感じで答えてくださって構わないです ttps://i.imgur.com/mMPwhK0.jpg : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/11(日) 13:12:04.08:T9JK+LpN 書名は? : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/11(日) 14:46:04.95:14fB0Cxv signature by the auther : 132人目の素数さん [] 2018/02/11(日) 14:48:26.10:lsbQUPFq φ(a)=a(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/q1)...(1-1/qj) φ(b)=b(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/r1)...(1-1/rk) φ(d)=d(1-1/p1)...(1-1/pi) φ(ab)=ab(1-1/p1)...(1-1/pi)(1-1/q1)...(1-1/qj)(1-1/r1)...(1-1/rk) φ(ab)φ(d)/φ(a)φ(b)=d : 132人目の素数さん [] 2018/02/11(日) 15:51:15.08:lsbQUPFq > (ab/d)・d = a・b >より > φ(ab/d)・φ(d) = φ(a)・φ(b) これってdがaやbとどういう関係の時に成り立つの? : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/11(日) 16:24:21.30:oyQM1khy gcd(a,b) = d のとき : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/11(日) 17:21:31.53:T9JK+LpN 問題文読めとしか言えんな。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/11(日) 18:09:51.25:lsbQUPFq d=gcd(a,b)のときだけじゃなく d=aやd=bのときもだけど? : 132人目の素数さん [] 2018/02/11(日) 18:12:20.27:lsbQUPFq それとその等式が d=gcd(a,b) のときに成り立つことの証明は 結局の所それを使わず φ(ab)φ(d)=φ(a)φ(b)d を証明するのと同じじゃないの? : 132人目の素数さん [] 2018/02/13(火) 04:44:01.92:nn3laMHF 【懸賞問題】 ab平面上の図形Aに対して、xy平面上の点の集合Bを B={(x,y) | ∀(a,b)∈A, |ax+by|≦1} と定義する。 Aが単位円のとき、Bはどのような図形になるか?(Aの面積)*(Bの面積)はいくつか?これより大きくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。 Aが{(a,b) | |x|≦1, |y|≦1}の正方形のとき、Bはどのような図形になるか?(Aの面積)*(Bの面積)はいくつか?これより小さくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/13(火) 05:17:38.32:nn3laMHF 訂正 下の設問はA={(a,b) | |a|≦1, |b|≦1} : 132人目の素数さん [] 2018/02/13(火) 05:22:30.15:nn3laMHF 【懸賞問題その2】 abc空間上の図形Aに対して、xyz空間上の点の集合Bを B={(x,y,z) | ∀(a,b,c)∈A, |ax+by+cz|≦1} と定義する。 Aが単位球のとき、Bはどのような図形になるか?(Aの体積)*(Bの体積)はいくつか?これより大きくなる例を見つけた場合1億円差し上げます。 Aが{(a,b,c) | |a|≦1, |b|≦1, |c|≦1}の立方体のとき、Bはどのような図形になるか?(Aの体積)*(Bの体積)はいくつか?これより小さくなる例を見つけた場合は教えてください。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/13(火) 08:16:24.16:BwPDiADw A={(1,0),(0,1)} (Aの面積)*(Bの面積)=0 : 132人目の素数さん [] 2018/02/13(火) 16:29:32.11:MRRgZbNg それは面積を持たないし、平面図形じゃないですね。 Aは中身のつまった面積のある図形です。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/13(火) 17:22:04.99:BwPDiADw 頭の悪い奴だな そんな条件はないし面積0を持ってる 面積0とかが嫌なら少し膨らませて長方形とかにすればいい : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/13(火) 17:25:27.30:NuFkq5VM 一億円ホントに持ってんだろうな? : 132人目の素数さん [] 2018/02/13(火) 17:28:26.39:gxVfB1/i 試しにその少し膨らませた長方形で計算してみてください。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/13(火) 17:50:37.35:BwPDiADw A={(a,b)|1≦a+b≦1+t,-1≦a-b≦1} B⊂{(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}={(x,y)||x|≦1,|y|≦1} Aの面積=t Bの面積≦4 (Aの面積)*(Bの面積)≦4t : 132人目の素数さん [] 2018/02/13(火) 17:57:58.05:gxVfB1/i Bのほうは誤りですね : 132人目の素数さん [] 2018/02/13(火) 18:09:17.70:BwPDiADw どれが間違い (1) B⊂{(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1} (2) {(x,y)||1x+0y|≦1,|0x+1y|≦1}={(x,y)||x|≦1,|y|≦1} (3) {(x,y)||x|≦1,|y|≦1}の面積は4 (4) Bの面積≦4 : 132人目の素数さん [] 2018/02/13(火) 18:38:24.47:gxVfB1/i (1)です。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/13(火) 19:53:14.08:6niM5lNE やはりこのスレのレベルでは手に終えないようですね。 有効な回答が出ないようなので、懸賞問題は締切とさせていただきます。 次回にご期待ください。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/14(水) 01:32:03.09:ZgrnGGF4 gcd(a,b)=1 をみたす a、b∈Z と、任意の n∈Z (n≠0) に対して、gcd(ax+b,n)=1 をみたす x∈Z が存在することを示せ。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/15(木) 04:49:41.27:tNBf7zgk n≠0 の約数のうち、bと素な最大の約数をxとする。(*) gcd(ax+b,x)=gcd(b,x)= 1 … (1) また、題意より gcd(a,b)= 1, gcd(ax+b,b)= gcd(ax,b)= 1, n/x の素因数はすべてbの素因数だから ←(*) gcd(ax+b,n/x)= 1 … (2) (1)(2)より、 gcd(ax+b,n)= 1. : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/15(木) 10:50:44.52:BNcyv0HF 検算において、九去法よりも11去法の方が誤りの検出力が強いのは何故か? : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/15(木) 12:22:29.92:9GXVdFDs 九去法は数字の入れ換えを検出できない : 132人目の素数さん [] 2018/02/16(金) 04:00:17.83:XBulL9Eh 簡単に解ける幾何の問題を一つ作ってみた 問.点Oを中心とする半径1の円と、点Aがあり、OA=2とする。 円周上に点P,Q,Rをとり、Oから直線APへの距離は1/2とする。 また、AP上P側に点XをAX=5となるように取り、 さらに、AQ上、AR上それぞれQ,R側に点Y,Zを取ると、 四角形PQYX,及び四角形QRZYはそれぞれ円に内接するという。 ∠XYZ=120°の時、XZの長さを求めよ。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/18(日) 05:13:40.49:3SEy6oaf (1) 0<θ<πで、2-2cosθと(sinθ)^2の大小を比較せよ。 (2) πを下から抑えるとき、円に内接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。 (3) πを上から抑えるとき、円に外接する正多角形の周長と面積のどちらを用いるのがよいか。 (参考) 一般の平面図形で、与えられた周長で面積が最大となるものは円である(等周問題)。 従って、ある平面図形の周長が2πより短いとき、(周長の半分の数値)>(面積の数値)である。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/18(日) 06:31:15.01:3BoN6Yxt (1) (2-2cosθ)-(sinθ)^2=(1-cosθ)^2 0<θ<πで、cosθ<1なので2-2cosθ>(sinθ)^2 : 132人目の素数さん [] 2018/02/18(日) 07:36:49.45:ThRmH7UL は面白くない? : 132人目の素数さん [] 2018/02/18(日) 07:52:11.70:cwS1ZbkW レスがつかなかったということは? : DJ学術 [] 2018/02/18(日) 08:32:28.36:qgnnmKYh あほなもんだなあ。数学は。我ながら。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/18(日) 10:36:49.37:qShdtbzi 平面上にn個の異なる点を配置する。何の2点間の距離も、必ず或る2つの実数値の何方かを取るようにn個の点を配置することを考える。n=3の時は、二等辺三角形をなす様に配置する例がある。 1) n=4の時、点の配置を全て求めよ。 2) n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。 3) n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/18(日) 13:49:43.04:e4NqLH6n 1) ・正3角形+その中心 (√3) ・正方形 (√2) ・正5角形−1頂点 (√5 -1) ・60°の菱形:合同な2つの正3角形を辺で張り合わせた形 (√3) : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/18(日) 14:34:58.79:3BoN6Yxt 正三角形の頂点3つと、その1つから対向する辺へ垂線を下ろしたとき、その垂線の延長線上に4つ目の点の候補があと2つある : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/18(日) 15:06:38.42:3BoN6Yxt こう言い変えてみる 平面上の円に対して ・中心角30度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心 ・中心角60度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心(の4番目の解) ・中心角72度をなして等間隔に並ぶ円周上の4点(の3番目の解) ・中心角90度をなして等間隔に並ぶ円周上の4点(の2番目の解) ・中心角120度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心(の1番目の解) ・中心角165度をなして等間隔に並ぶ円周上の3点および円の中心 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/18(日) 15:08:45.21:3BoN6Yxt アンカー間違えた宛ね : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/18(日) 15:35:21.76:e4NqLH6n 1) ・正三角形(辺長=L)と、1頂点から対辺の方向に±Lだけずれた点。((√3 干1)/√2 = 2sin(45゚干30゚) : 132人目の素数さん [] 2018/02/18(日) 15:40:09.07:qShdtbzi 我ながら素敵な問題なので皆さん頑張って下さい エレガントな解を待っています : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/18(日) 16:28:14.33:3BoN6Yxt 3次元でやるとどうなるかってのが興味深い ところで次スレたてられる人いますか? : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/18(日) 21:24:15.16:i8Ar5mh5 974 そんな難しいかね。簡単にとける思うんだけど。 : 132人目の素数さん [] 2018/02/18(日) 23:04:15.61:gINNEtP1 このスレで解かれずに残ってる問題一覧: : 132人目の素数さん [] 2018/02/19(月) 00:15:11.67:uzLAXv/z 各自で次スレに転載すればよし : 132人目の素数さん [] 2018/02/19(月) 00:22:02.99:uzLAXv/z このスレは実質25スレ目だから 次スレ 面白い問題おしえて〜な 26問目 ttp://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/ : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/19(月) 01:08:01.47:/8jC6j7+ (2) 5点のうちの1点を取り去れば、(1)のどれかになるはず。 スレ立て乙 : 132人目の素数さん [sage] 2018/02/19(月) 15:24:25.97:sUgpud4p 三次元で点4つの場合 ・四面すべてが合同な二等辺三角形である四面体の各頂点 ・少なくとも2枚の面が正三角形である四面体の各頂点 ・正三角形を底面に持ち、残りの頂点から底面に下ろした垂線の足が底面の重心と一致する四面体の各頂点 ・正三角形を底面に持ち、少なくとも1つの斜辺の長さが正三角形の一辺に等しく、かつその斜辺を含む底面との垂面で面対称となる四面体の各頂点 ・斜辺a底辺bの二等辺三角形と斜辺b底辺aの二等辺三角形を2枚ずつ組み合わせてできる四面体の各頂点
凡例:
レス番
100 (赤) → 2つ以上レスが付いている
100 (紫) → 1つ以上レスが付いている
名前
名無しさん (青) → sage のレス
名無しさん (緑) → age のレス
ID
ID:xxxxxxx (赤) → 発言が3つ以上のID
ID:xxxxxxx (青) → 発言が2つ以上のID
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