【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011．2】
ttp://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/
|;:;:_:;:_:;:_:;:_;:;_:;:l:;_;:_:;:_:;:_:;:_;:| か 日 |
|＿＿＿＿＿_|＿＿＿＿_| な l
|::::| ｀｀｀｀｀｀｀´´´´ : : : :｜ か !
|::::| く三) (三ｼ : : :|'. っ /
r=Y:f :.ﾍ'， た /
|ｆト|:| tｰｔ:ﾃﾐヽ .ｨチｔ:ｧ‐r : |∧ ら /
{{ ｰ:l ｀￣ '´ |::.ヾ￣´ . : :|_,ハ、 ／
ヾ ｰ! |::、 : : j_／ ＞ー‐一'´
｀¨', -､_;:- : :/
l'. ,r===== 、 :/ｈ
. ,. -―‐- ＜. /!:.ヽ ヾ====='′.／: j l＼
／ ＼|: : . ＼.｀""""´／ : / .|:.:.:.:',、
＼ ｀ ｰ一'´: :/ |:.:.:.:.:',｀:.ー- 、
ヽ }: : .／ .|:.:.:.:.:.:',:.:.:.:.:.:.:.:.:｀:.ｰ- 、
'.ｰ- j: :/ |:.:.:.:.:.:.:',:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.｀
必 も 明. '. 入 |:.:.:.:.:.:.:.:',:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
要 っ 日 ', / / ＼ !＼:.:.:／.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
に と は ｉ j./ ＼|:.:.:.｀:ー‐┐:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
な 大 | j′ .!:.:.:
る き
ぞ な
努
力
が
加奈陀にはCrux
洪牙利にはKomal
日本には数蝉
比較する雑誌のレベルが違いすぎるか？
他の国にはないの？
大学院への数学って感じだけど。
恒例の問題講評(16年10月号)を書かせていただきます。
ここは数セミのエレ解スレなので遠慮なく行きます。
-------
10月号の問題を一言で表すと『2問ともハードでキッツいわ』です。
■問1のレベルは？？（解いた方、補完を頼みます）
伊藤J先生といえばハードな空間図形を出題することで有名。
14年は立方体表面を鋭角三角形で分割（正解者16名）。
15年は立方体と正四面体を畳みました（正解者6名）。
本年は立方体の表面を蟻が歩きます。
前スレで白状したように私は解けませんでした。
ギブアップほど悔しいものはありませんね。
14,15年のときほど難しくなさそうだっただけになおさらです。
というのも答えらしきものがネットに出ているのである。
じゃあ一体なにが難しいのか？
2点を結ぶ経路はいくつもあるが、経路の候補をうまく絞り込まないと
場合分けが爆発するのである。この絞り込みを厳密かつ簡便に行う方法を
見つけることができなかった。
正しいアプローチはなんだったのか？
スレ住人のエレガントな解答をもとめます。
■問2のレベルは7～9（常連正解率10～40%）
時弘T先生といえばハードな力学系を出題することで有名。
彼の問題は『できるだけエレガントに解こう』というぬるい考えを寄せ付けない。
『解き方は問わん。お前の脳力を見せてみろ！』という男塾的な問題が多い。
彼の問題でA10神経が活性化してしまう方は私と同じエレ解中毒者です。
それはさておき14,15年は有理式。ともに完答者はたったの2名（レベル9～10）。
本年の出題は離散力学系より。14,15年のときほど難しくなさそうである。
というのも方針がある程度はっきりしているからだ。
操作Tで"10"の個数が非減少であることを示せばよい。
問題内容からしてエレガントな手法もありそうだ。
しかし、言うは易し。工夫なしに厳密に示すのは大変だし、
エレガントな手法も私には見つけられなかった。
なお時弘先生は厳密でない解答には容赦なくバッテンをつけるので要注意（15年が好例）。
甘い読者を切って捨てるような硬派な態度がまた良しである。
（大円→円と勝手に修正しました）
平面までの距離が円の半径の2乗に比例することは解答編にも
書かれていますが厳密には示されてませんよね。
この補題をエレガントに示せれば全体的にもエレガントです。
賢い方、エレガントなコメントをよろしくです。
-----------
>>前スレ933
球の問題の解答編読んだ。
なるほどなあ、積分は本当にゴリゴリやる方法だと無理っぽいね。自分が考えたのはこんな感じ。
ランダムに選んだ3点が成す円と球の中心との距離（解答編で言うd）の確率密度関数は、
その円の半径の2乗に比例する（※後述）。円の半径の2乗は1-d^2だから、確率密度関数は
1-d^2を「1-d^2を0から1まで積分した値」で割って3(1-d^2)/2となる。
解答編にあるようにdに対するA^2+B^2の値は
((1+d)^2+(1-d)^2)/4
だから、これに3(1-d^2)/2を掛けた3(1-d^4)/4を0から1まで積分した3/5が解となる。
さて問題は※だが、私の力では厳密性をかなり欠いた議論となる。ランダムに選んだ1点が、ある特定の
円の上に乗る「確率」は、その円の周の長さに比例すると言って良いだろう。従って、ランダムに選んだ
3点がすべてその円の上に乗る「確率」は、長さの3乗、つまり半径の3乗に比例する。
あれ？2乗じゃなかったのか？と思うかもしれないが、球上に存在する円の「個数」は、
半径が小さいほどたくさんだということを考えなくてはならない。野球ボールの上に半径1cm
の円を100個描いた場合と2cmの円を100個描いた場合では、前者の方が薄く見える
はずだ。何個描けば同じぐらいの濃度に見えるかといえば、これは円の周の長さ、つまり
半径に反比例するだろう。
そういうわけで、特定の円上に3点が乗る「確率」は半径の3乗に比例するが、円の
「個数」は半径に反比例するため、確率密度関数は半径の2乗に比例する。
こういう風に考えたけど、如何せん議論に厳密性を欠くし、これでも5点で考える方法の
方がエレガントなので、そっちで応募した。※は数値実験でも確認しているので、誰か
もう少し厳密な証明を考えてくれないかなと思う。
ルーマニアには、Gazeta Matematicaという数学雑誌がある。
中国？なら、香港科学技術大学のも有名だな
平面幾何 パーフェクト・マスターいいよな。
￥
このスレで言えるのは、問題が難しいときは沈黙し、
問題が簡単なときはよく喋るニンゲンが多いということです
このクニで言えるのは、周囲が厳しいときは屈服し、
状況が簡単なときはよく走るニンゲンが殆どということです
￥
￥
そうだよ
独り言は書く必要ない。お前の日記帳じゃないんだから。ｶｰｯ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ﾍﾟｯ
ついにごめんなさいが出たねｗ
でもどうせ謝るなら誤答に回された人間全員の名誉を回復せいよという気も。
そして今月の解答編を読んでまたしても唖然。
俺は前スレでこう書いた：
> ■問1はレベル3～4（常連正解率95%以上）
>
> T内氏の問題としては珍しく（失礼）曖昧なところがない。
> （数列規則の曖昧さは見逃してあげてほしい。素直に考えることにしましょう・・）
>
> 取り立てて難しくはないが、だからといってありふれた問題でもない。
> 方針はすぐに思いつけるが、厳密に論じるにはまずを何を示すべきか、
> それなりの考察は必要である。易しいがエレ解らしい良問と言える。
まずみなさんに謝りたい。上の寸評はデタラメだった。
自分が素直に考えた数列規則はちっとも素直ではなかったらしい。
素直に考えたらコレだろ？という思い込みが強かったようです。すみません。
4～7歳児が考えない数列規則は不正解扱いというのもすごいｗ（数学者のやることか？）
（もうすでにごめんなさいしてますか？俺が訂正文を見逃している可能性もあります）
特に残念だったのは、この大穴解答を投稿した方が解答者が多かったこと。
みなさん虎の巻（ネタ元の論文）をネットで検索して読んだのだ。
この奇抜な（エレファントかつ一見してスジの悪い、そして実際に穴の開いた）
解答を投稿したきっかけはネットで論文を見つけたこと。それ以外に説明がつかない。
その論文に大穴が開いているとは夢にも思わなかったか、『おかしいな』と
思っていても引用多数の論文だけに真偽を疑わなかったか。
どちらかだと俺は思う。
俺のレスを読みたくない人間のために付けています。
> 特に残念だったのは、この大穴解答を投稿した方が解答者が多かったこと。
→訂正：
特に残念だったのは、この大穴解答を投稿した解答者が多かったこと。
訂正ついでに補足：
何がそんなに残念だったかというと、実際に論文の方法で手を動かしてみれば
この論文が間違いだらけ穴だらけなのがすぐに分かるからだ。
■問1はレベル1（常連でない方の正解率も95%以上）
ここは素直に合同式の威力に感動しておくのが大人の振る舞い。
■問2はレベル3（常連正解率95%以上）
大学の理数系に通う（通った）者なら、
・除法の原理（部分分数分解）
・ローラン多項式の係数求値法
を用いた標準的な解答ステップに迷うとは思えない。
迷うとしたら、
1. 知識をどこまで証明なしで使うか？
2. 答えをどこまで簡単に書くか？
である。
2については問題文にf=c0+c1*x^1+...cd*x^dと具体的に書かれていることがヒントになる。
すなわち、f(x)を用いた一般式ではなくc_kとdで具体的に表せ、と読める（気がする）。
そこで少し調べてみるとたしかに簡単な形に書ける。
ちょっと約束事をしてやれば、もっと簡単な形に書ける。
で、まあ十分簡単だからこの辺でやめよか、となる。
所感としては2問とも面白みも骨もない外れ月でした。
よく分からんけどその論文はまともなジャーナルに掲載されたものなの？
だとしたらレフリーのミス？
Yes
"Journal of Recreational Mathematics"
Recreational mathematicsの分野では一番知られた雑誌だった（過去形）。
もちろん査読付き。AutherはBallew&Weger。
論文はN山先生のホームページから辿れるので気が向いたら読んでみてほしい。
ちなみに当該論文の訂正記事は見つかっていない。
もし見つかっていたら教えてほしい。
なおrepdigitがあの3通りに限られる事実自体は、
2013年に楕円曲線の整数点問題に持ち込む力技でも示されている。
ttp://jump.5ch.net/?http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1571065313002138 問題は事実の成否ではなくBallew&Wegerが採用した初等的アプローチにある。
さらに大きな問題はBallew&Wegerの論文がrepdigitの古典として
後続する論文や書籍に数多く引用されてしまったこと。
楕円曲線の論文でもしっかり引用されている。
Ballew&Wegerはとても簡単に読める。
必要な知識は合同式くらい。
ぜひ間違い探しを楽しんでください。
ヒント：間違いは１つではありません。
詳細有り難う
時間ができたら辿ってみるよ
N＝1^n＋2^n＋3^n＋4^n
が5で割り切れるための、ｎに対する条件を問う問題があった。
これを一般化して
〔問題〕
S_n(m)＝1^n+2^n+…+m^n がｍで割り切れるための（ｍ，ｎ）に対する条件は？
・ｎ=1、ｍ＝奇数
・ｎ=奇数(>1)、ｍ={奇数または4の倍数}
・ｎ=偶数、ｍ={ｍのどの素因数pについても、(p-1)はｎを割り切らない}？
→ ｍが2や3を因数にもつ場合はｍで割り切れない。
(p-1)がｎを割り切ると、フェルマーの小定理のせいか、ｍで割り切れなくなる…
nが奇数のときは a^n＋(m-a)^n ≡ 0（mod m）なので
m:奇数 S_n(m) ≡ 0 （mod m)
m:偶数 S_n(m) ≡ (m/2)^n （mod m)だ
で簡単だが
チンコ弄ってる間に片付いたぜ。
感想どうも。難度の情報はありがたい。
いつから取り掛かればいいかスケジュールできるからね。
数列の問題はOEISで検索が基本。
まあ半分カンニングみたいなものだが、今回は規則を見つけるのが本題じゃないし、良いだろう。
そんなの全然カンニングじゃない。
ネットで調べないと解けない問題もあるよね。
たとえばH田女史のルービックキューブの問題。
キューブの操作手順を知らないとまず解けない。
教科書にないッ。だったぞ俺の世代は
『任意の四角形』なのか
『任意の凸四角形』なのか
『任意の台形』なのか
ネットでも定義がばらばらで分からんよ。
こういうときはどうするかっつーと
『（不等辺四辺形を～とみなして以下解答する）』と
但し書きしておきゃいいんだが。
毎度毎度毎度、あいまいな記述で出題するのは勘弁せいよと。
出題の意図を解釈するのに時間を使わされちゃかなわん。
> 『任意の四角形』なのか …（１）
> 『任意の凸四角形』なのか …（２）
> 『任意の台形』なのか …（３）
まあ普通に解釈したら（１）だ。
ユークリッド原論の訳にも、特殊な四角形以外を不等辺四辺形と呼ぶ、とある。。。
しかしそうだとすると番外問題は簡単すぎる。
（１）ではないのでは？と勘繰ってしまう。
（２）であるなら出題ミスに近い。
いまの小学校の教科書には凹四角形がないのかも？？
だとすると今の時代は
『不等辺四辺形』＝『（等辺をもたない）任意の凸四角形』
の意かもしれんが、そんなの知らん。
（３）はかなり穿った見方だ。
英語と米語で台形と不等辺四辺形の呼び名が逆転していることから
出題者がもしかしたら台形のことを不等辺四辺形と呼んだのかもしれないと。
前問で等脚台形が現れなければこんなことは考えないんだが・・。
とっくに締め切り過ぎてますよ
■問1：レベル6～8？（常連正解率90%～50%？)
射影幾何の問題。
自分には難しめ。みなさんはいかがでしたか？
でチ○コをいじっている間に解けるという発言もありました。
この問題の講評はさんにお願いしたいところです。
■問2：レベル5～6（常連正解率95～85%）
y(x)方向に拡大縮小、そのあと微分で増減を調べて評価、
という正攻法で解けるので難度は低めだと思います
唯一の考えどころは「どの変数で微分すべきか？」でした。
部分的にスレスレの不等式なので粗い評価では正答を得られないと思う。
面白い問題かといわれると全然面白くはなかったｗ
エレガントな解法を見つけた方は楽しめたのでは？
是非コメントをお寄せください。
一読したけど、たしかに難しいね。
本当にそうなのか？と考えながら読まないといけない。
そしてこの問題は厳密な証明がなくても良かったみたいだね。
ζ氏もM谷氏も正答できていない。
難度はすごく高かった、ということだ。
> ■問1のレベルは？？（解いた方、補完を頼みます）
>
> 伊藤J先生といえばハードな空間図形を出題することで有名。
> 14年は立方体表面を鋭角三角形で分割（正解者16名）。
> 15年は立方体と正四面体を畳みました（正解者6名）。
> 本年は立方体の表面を蟻が歩きます。
>
> 前スレで白状したように私は解けませんでした。
> ギブアップほど悔しいものはありませんね。
> 14,15年のときほど難しくなさそうだっただけになおさらです。
>
> というのも答えらしきものがネットに出ているのである。
> じゃあ一体なにが難しいのか？
> 2点を結ぶ経路はいくつもあるが、経路の候補をうまく絞り込まないと
> 場合分けが爆発するのである。この絞り込みを厳密かつ簡便に行う方法を
> 見つけることができなかった。
>
> 正しいアプローチはなんだったのか？
> スレ住人のエレガントな解答をもとめます。
すみません、これは誤読だったかも
> この絞り込みを厳密かつ簡便に行う方法を見つけることができなかった。
同感です。
平面に展開するためには、どこかに切込みを入れないといけない。
まず、始点から４つの頂点に線分を曳き、頂点で左右に45ﾟ折れる方向に切込みを入れる。
次に、この切込みが稜（辺）に交わった点から初めて同様に切込みを入れる。
次に、…
（→ 短い経路を選んだことになる。）
平面に展開して、始点から外縁の各頂点までの距離を比べ、
最も長いものをとる。
この中で一番難しいってどれ？
東大後期数学、京大特色入試数学、Z会超高校数学、大数学コン、大数宿題、数セミのエレ解、数オリ、単科医大の数学。
また難易度順に並べるとどうなるかな？
断然、数オリ
コイツは定期的に沸いてくる最強厨だぞ。スレが腐る。
まだ解答編を熟読してないので分からないんだけど、
厳密な絞込みはパワーで押し切るしかない、ってことなんでしょうか。
今月の問題に取り掛かり始めました。
問2からやってます。
「これと似たような形の和」とあります。
「似たような形」とはどんな形と解釈しますか？
毎回毎回同じ文句を飛ばしてるが、問題文の曖昧さを
読者の想像で補完させるようなやり方はやめてほしい。
問題文くらい明確にしてくれたっていいじゃないの・・・
間違えた想像で正解になるならいいけど、そうじゃないことも多々あるんだから・・。
> 毎回毎回同じ文句を飛ばしてるが、問題文の曖昧さを
> 読者の想像で補完させるようなやり方はやめてほしい。
同感。問題が曖昧だったんで、今月号は取り組む気がしない。
だよね。今月は2問とも曖昧。
正月は時間があるのでじっくり楽しもうと思ってたのに。これじゃガッカリです。
いま問2の解釈問題に取り組んでいますｗ
少し考えたら出題者の意図が見えてくるかと思ったけど、まだ見えてきません。
何か思いついたら情報共有しましょう
> いま問2の解釈問題に取り組んでいますｗ
p＝Σ(c/10^m)^k［kに関する無限和］を満たすm,c∈Nが存在するようなp∈Qの条件を求めよ
と解釈していいんだろうか。これじゃ簡単すぎるか？
とりあえずいいやこれでｗ
次、問1やってみます。
「厳密な証明は不要」「エレガントならおっけー」ってもう何なの今月は。
おめでてー問題だな。正月だけに。
私はこのまま投函します。
特に問1、エレガントな解を見つけた方はコメントください。
ではまた締め切り後に。
出すのが早いと紛失するのかな？
締め切りギリギリのほうがいいかもねｗ
紛失するとしたら編集部かな？
■問1：レベル3～？（常連正解率30～98%）
三角格子上に位置する特定の三角形Xを2つの"検知器"で見つけ出す問題。
エレガントな方法で移動距離を短くせよ。厳密な証明は不要。という問題でした。
・「証明不要。エレガントなら正解」という曖昧な判定基準、
・面倒な試行錯誤が不可避、
・答案記述も面倒、
等々の理由から手をつけなかった方も多いのではないでしょうか。
『移動距離y未満』などの条件をつけてもよかったかな？と思います。
自分の答案が正解なのか分からずレベル判定が難しいです。
エレガントな方法とは到底思えないので間違いなんだろうなーきっと。
頑張ってはみたが解いた爽快感が皆無な問題でした。
そんなんではこのコーナーの問題としては失敗なんじゃないでしょか。
そんなことはない！面白かった！というコメントをお待ちしています。
■問2：レベル3～6?（常連正解率90～95%）
循環小数を特定の形の級数で表せるか？を考えさせる問題。
『循環小数は必ずこれと似たような形の和に表すことができるのか？』
と問われても『似たような形』が何を指すのか曖昧。
これもまた手を付けようという意欲を失わせるのでありました。
解釈の仕方によってはレベル3。難しく解釈すればレベル6以上でしょうか。
そんなに暇じゃないのでレベル3に解釈してさっさと投函してしまいました。
『似たような形』を具体的に示して『証明せよ』という問題だと何がダメなのか。
夏休みの宿題的な『自由に考えてみよう！』という呼びかけに私は応えられません。
このコーナーの問題をきっかけに数学を研究しようなどとは全然考えてないからです。
（そもそも大した問題じゃないと思われ。）
研究が好きな解答者も一定数いらっしゃるので、
そのような方々は楽しまれたのかもしれませんね。
///
講評というか愚痴になってますね。すみませんｗ
面白い問題のときはもうちょっとちゃんと書けるはずですｗ
紛失したのは、これで２回目。
前回は行列の簡単な問題のとき。
紛失した2回とも、発売日の翌々日に投稿したことから、編集部の問題のような気がする。
> 夏休みの宿題的な『自由に考えてみよう！』という呼びかけに私は応えられません。
同感。そこまで暇じゃない。
それは早すぎじゃないですか？ｗ
前月号の締め切りを過ぎた答案と勘違いされてゴミ箱に捨てられたとかｗ
手を抜いた出題に対しては、手を掛けずに投稿することにしている。
> 手を抜いた出題に対しては、手を掛けずに投稿することにしている。
どうすれば問題の質を上げられるか？と考えると、やはりこんな掲示板でも
きっちり出題者を逆評価して、衆人の目にさらすことが重要なんじゃないかと。
それが結果的に数学セミナーの読者数向上につながるんじゃないかと。
（俺は宣伝員じゃありませんよ。念のためｗ）
今月の記事で面白かったもの、つまらなかったものなどのアンケート用紙をつけておいて、エレガントの投稿時に同封するとか。
過去ログに、数学セミナー巻末のおすすめの本紹介に、絵本を紹介していて、定期購読を打ち切った人の話もあったし。
206 ：１３２人目の素数さん：04/03/14 23:07
お薦めの本に、絵本の紹介をした数学者はだれですか？
その絵本の名前は？
212 ：１３２人目の素数さん：04/03/15 09:45
『ちいさいしょうぼうじどうしゃ』
関沢正躬［セキザワマサミ］
１９４４年長野県飯田市生まれ。
１９６７年東京理科大学理学部卒業。
現在、東京学芸大学教授。専門は微分幾何学
著書
「微分幾何学入門」（日本評論社）
「算数があぶない」（岩波ブックレット〈ＮＯ．５１３〉）
訳書
「リーマン幾何学入門」（日本評論社）
「問題解決への数学」（丸善）
それはグッドアイデアかも。
どういう記事が好まれてるのか把握できてよいだろうね。
数セミを支えてる中心って今の50～60代なんじゃなかろうか。
エレガント解答者の年代から単純に推測するとそうなるんだけど。
たまに『線形代数が分からないっ！』みたいな初級レベルの記事がでるけど
数学セミナーに金を出す人がそんな記事を好んで読むと本気で思ってるんだろうか。
それとも購買層の主体はエレガント解答に投稿しない学部生の年代なんだろうか？
そうであれば大学生協で上のような初級レベルのタイトルに目にとまって
手に取ってみる人も多いかもね。
一方で難しすぎる記事も多い。
専門分野への導入としてかいつまんで記事を書く意図はわかるんだけど、
もう少しだけ詳しく書いてくれたらもっと惹きつけられるかもしれないのに
・・・という惜しい記事が沢山あるような気がする。
こう考えてみると、レベル的に中途半端な内容になるのは仕方ないけど、
雑誌の半分がしょーもない内容だったりすると毎回半額500円くらい
損をしてるような気になるんだよねｗ
酷いときには、２ページの解説で終わって、拡張については難しいので省くとか、何も説明しないで終わったりする。
それを見たいんだろうが！と小一時間説教したい。
あれは、大学院への数学って感じだし
数理科学ゼミはクソだけど
競技数学への道 … 内容が薄いし、問題集やったほうがマシ。早く打ち切れ。
俺の数学 … いいかげん打ち切れよ。どんだけしゃぶられてんだ？
Dr.Hongo の数理科学ゼミ … 問題が高校レベルなのは、出題者の学力のせい。
精神の帰郷 … 普通につまらん。
これら以外は良し。
数理科学ゼミは数オリみたいな出題にすればいいのにな
簡単な問題を解説しているだけで、しかも同じタイプの問題を何問もやってる。
深みがないんよ。
たぶん覆面レスラーの知識量の問題だろう。
やっぱ一松信レベルに書かせないと、読み甲斐がない。
書いてお呉れよんsinちゃん
矢ヶ部巌 1930.2.25生 86歳
深いところまで数学知ってるんじゃないの？
数理鉄人とタッグ組んでるけど、教え子だからか？
あれだと、大学への数学の学コンや宿題のが面白いし
まあ、日本評論社があるから厳しいか
あと、梶原節の書籍化されていない記事も本にしてくれ。息抜きに読むのに丁度いい。
その発言は、中学生が塾講師を崇めるようなもの。
あれま。今月はやさしめでしたよ
■問1：レベル3～5（常連正解率90%以上）
シンプルな良問。これで骨があり、かつエレガントな解答まで
用意されていたら殿堂入りとなるわけですが、難度は低めでした。
nの奇偶で変化する性質にはすぐに気付けると思う。
そしてその性質自体が解答方針を教えてくれる。
記述は難しくなく、結果的に難度は低くなる。
エレ解の難問にはいろんな種類があるが、典型的な難問は
ゴールに至るまでのステップ数が多いタイプ
補題1→補題2→補題3→補題4→...のような問題は
ちょっと考えたくらいではゴールの明かりが見えてこない。
本問題の出題の仕方は明らかに（意図的に）問題の難度を下げている。
偶数と奇数で出題を分けずに『どんな着色についてもよい三角形が存在する
nの必要十分条件を求めよ』とすれば1個ハードルが増えていた。
そのように出題されていたら奇数と偶数の違いにすぐに注目できたかどうか。
よしんばその違いに気付けたとしても、本当にそれだけでいいのか？と
次のステップに進むのに躊躇したと思う。
そのような試行錯誤の行きつ戻りつが問題を難しいと感じさせるのである。
ゴタクはともかく、難しい知識を必要としないエレガントな難問を
出題するのはなかなか難しいよなぁと思った次第です。
個人的にはもうちょっとだけ難しくしてくれるとちょうどいい感じです。
■問2：レベル2～4（常連正解率95%以上）
パズル的に考えれば易しく、背後にある数学を捉えようとすると難しい？
というなかなかクセのある問題でした。
パズルだと思えば小学生でも解けちゃうのではないでしょうか。
というわけで、かなり低めのレベル判定となりました。
■出題１
n辺形におけるよい△ ⇔ 頂点の間の辺の数がいずれも［(n-1)/2］以下である△
補題１
n=3,n=5 のとき成立。
（n=5 のとき aaabc，aabac，aabbc，ababc，abbac の５種を考察）
補題２
nが7以上の奇数のとき成立。
（適当な５角形を作って補題１を適用）
nが7以上の奇数のとき
頂点の番号を順に1,2,…,nとする。
必ず3色を含むので、頂点1,2,mは3色とする。（3≦m≦n)
・m=(n+3)/2 のとき
明らかに成立する。
・3≦m≦(n+1)/2 のとき
５角形｛1, 2, m, (n+3)/2, m+(n-1)/2｝を考える。
・(n+5)/2≦m≦n のとき
５角形｛1, 2, m-(n-1)/2, (n+3)/2, m｝を考える。
頂点1,2,mは3色であるから、補題１より、
５辺形における良い△（頂点の間の辺の数≦２）がある。
がそれは
ｎ辺形における良い△（頂点の間の辺の数≦(n-1)/2）でもある。(終)
■出題１
背理法で。
良い△はすべて2色以下だったと仮定する。
2点｛1,m｝を固定する（3≦m≦(n+1)/2）と、
第3点として（n+3)/2 ～ m+(n-1)/2 の（m-1）個が可能。
∴ {1，m，（n+3)/2～m+(n-1)/2} の（m+1）個の頂点はすべて2色以下。
同様のことを3つの頂点について繰り返す。
最終的にn個の頂点がすべて2色以下となり、題意に反する。
∴初めにした仮定は誤り。
真っ先に思いつくのはこの方針でしょうね
問2も強烈にアレ
もしかしたら『アレ』の意味合いが違うかもｗ
出題は縫○氏。手抜き感がすごい。
"エレガントな解答をもとむ"を字義通りに解釈したら
こういう問題になるけど、なんか文句ある？
嫌なら数セミやめれば？
・・・とでも言われているようだ（←ちょびっと被害妄想）
いや、あの問題は実を言うとそれほど嫌いじゃなかったのだけど、今回のはあかん。
ああ、通じるねぇｗ
誰か問2に特攻してください。
『この問題やってみたら意外と面白いよ！』
という感想を期待します。説明も添えてもらえるとうれしいです。
ttp://jump.5ch.net/?http://researchmap.jp/nuida/ (0) 任意の数nに対して、1、2、n、5、4 となる数列が存在することを証明 （オマケ問題で証明不要と書いてある）
(1) □の中に入る数字を自由に決めて、数式で証明。
(2) □の中に入る数字を自由に決めて、小学生のパズルみたいな証明。
あ、問2がそれか。じゃあ俺が言っていたのも問2だわ。
で、0番は存在の証明で、1番はその中で最もエレガント()な式を見つけろってことじゃないの？
もっとも、証明するまでもなく0番が成り立つのは当たり前だけど。
食わず嫌いな方もぜひ
問１(2)はこれから考える。
問1と問2を取り違えてませんか？
無差別級はテキトウにやっつけようと。
問題は数式編。
拘り方によってはおもしろくなるかも、と思った。少しだけ。
どういうこと？
(1)が偶数で(2)が奇数だろ？偶数のときは簡単すぎじゃん！問題を読み終わるまでに思い浮かんだぞ！
まさか、奇数のときも簡単なのか？ ｺﾞｸﾘ…
なるほどw
ボケ防止でエレ解をやってますが、ひと月前の問題となるともう思い出せません
まあ奇数のときも簡単でしたよ
このスレは締切厳守ぢゃないので、過去問もOKですね...
過去問の話題はノープロブレムです。
むしろ進行中の問題はネタバレになるのであまり深く話せないですね。
あまり深く話せませんが、一般項を与えるとき、場合分けするんぢゃね？
うーん、ごめんまだ分からん。
だって数式をバンって出せば場合分けもクソもない気がするんだけど。
■問1：レベル6～7（常連正解率70～90%）
縦・横・右下斜めの和がそれぞれ一定値となるm行n列の『三方陣』の問題。
出題者のオリジナル問題でしょうか？
縦横の和が一定で各数がユニークなmagic rectangleなら知っていますが、これは知りませんでした。
問いは『三方陣の簡単な作り方を教えてください』。
作り方を書くだけなら3翻ですが、三方陣になることを証明するのは跳満レベルです。
問題文にある3xnの例示は適切な誘導と言えるでしょう。
1xnからmxnを構成する方法が存在し、さらに突き詰めるとmxnの一般項が得られる。
この一般項の証明が面倒です。
初級者には程よいレベルに見せ、常連には難しいところまで考えさせる。
ナイスな問い方だと思います。
・作り方を見つけたときのAha体験
・二項係数を絡めた込み入った証明を切り抜けたときの爽快感
・万人が楽しめるレベル設定
・三方陣自体の面白さ
これらの点をふまえまして、本年の栄えある最優秀エレ解賞（今作った）にノミネートします。
■問2：レベル？（常連正解率？）
1,2,□,5,4,...の□に入る数字とそのエレガントな理由付けを問う問題。
【無差別級】はノーコメント。好きなことを書けばよいでしょう。
問題は【数式部門】。
ぱっと浮かぶのはラグランジュの補間公式ですが、そこからヒネリを加えるのは難しい。
自分はその方針を諦め、まったく違う角度から考えてお茶を濁しました。
こう書くとこの問題を楽しんだかのように聞こえるかもしれませんがそうではありません。
敢えてキツ過ぎる言い方をすれば読者の求めるものを勘違いした自己陶酔的悪問です。
> 2017年1月号の講評です：
>
> ■問1：レベル3～？（常連正解率30～98%）
>
> 三角格子上に位置する特定の三角形Xを2つの"検知器"で見つけ出す問題。
> エレガントな方法で移動距離を短くせよ。厳密な証明は不要。という問題でした。
>
> ・「証明不要。エレガントなら正解」という曖昧な判定基準、
> ・面倒な試行錯誤が不可避、
> ・答案記述も面倒、
> 等々の理由から手をつけなかった方も多いのではないでしょうか。
> 『移動距離y未満』などの条件をつけてもよかったかな？と思います。
>
> 自分の答案が正解なのか分からずレベル判定が難しいです。
> エレガントな方法とは到底思えないので間違いなんだろうなーきっと。
> 頑張ってはみたが解いた爽快感が皆無な問題でした。
> そんなんではこのコーナーの問題としては失敗なんじゃないでしょか。
>
> そんなことはない！面白かった！というコメントをお待ちしています。
と書いた17年1月号の解答が4月号に載っています。
『エレガントなら正解』と言われれば当然、エレガントな解答が1つや2つあるんだろう。
そう考えるのが自然です。
やってみた人は分かると思いますが、この問題はどうしたって
メンドクサすぎる試行錯誤が不可避のように見える。
エレガントな解答は一体どんなものなのか、
この4月号を首をありったけ長くして待っていたはずです。
ところがどっこい出題者いわく
『（ある事項を全員がうまく活用しているので）応募者全員を正答としました』
『結局のところ場合分けによるシラミツブシをするしかないようです』
『図を通じて、残りの進め方は想像してください』
っておいおいおいおいおいおいおい！！！
どうしたって簡潔にはまとめられず、5ページを使って泣きながらクダらん解答を書き上げたぞ俺は。
（最小ステップ数を考えるにはワンステップずつ状態を記述する以外にないんだから。）
もうやめてくれ・・こんなやり方で解答号を買わせるエレガントな商法を・・
ちなみに1月号の問2の解答編も、はぁ？と思わざるをえないシロモノです。
いわく、
今回の問題は「中学生」の質問なのだから、中学生でも分かるように
等比級数の定義やら無限級数の定義やら性質やら、果ては既約分数が循環小数に
表せることなどを丁寧に書くことが大切でしょう。
だそうです。
ふ ざ け る な ！！！！！
数セミ読者は教育委員会の発展的教育カ育成課の中学課程の実務担当じゃねえぞ。
口が悪くて申し訳ございません。しかし、何とかなりませんか？編集者さん。
お願いですから出題者と問題をきっちり選定してください。
出題も解答も右から左へ何も考えずに掲載するのはやめてください。
> この一般項の証明が面倒です。
は間違いで、面倒なのはこの一般項で作られたnxmが三方陣になっていることの証明です。
> 口が悪くて申し訳ございません。しかし、何とかなりませんか？編集者さん。
> お願いですから出題者と問題をきっちり選定してください。
> 出題も解答も右から左へ何も考えずに掲載するのはやめてください。
編集部にメール送ったらいいぞ。
俺も以前、問題文が曖昧なときにメールしたら、一週間以内に編集部から返事が来た。
出題者に問い合わせて、出題者の苦し紛れの言い訳がコピペされていた。
君がエレガントの常連出題者の手抜き問題について投書すれば、ちゃんと読んでくれて
今後の出題傾向が変わるかもしれないぞ。
余談だが、以前このスレで書籍紹介に絵本が紹介されていたことが話題になっていたが、
そういうのも編集部に不満のメールを出したほうがよいと思う。
年２回だったNOTEを数年間さぼっていた黒川についても、もっと早く文句をいうべきだったな。
リアルが忙しくて記事をサボる前に。とっとと後任に委任しろよな。ケロッグめ！
> 君がエレガントの常連出題者の手抜き問題について投書すれば、ちゃんと読んでくれて
> 今後の出題傾向が変わるかもしれないぞ。
そうですね。ところで俺の意見は多数派なんだろうか？
問題や判定が曖昧ゆえに研究ができて楽しいんだ！そういう人が多かったりするんでしょうか。
編集部にとってエレガントな解答欄は読者を惹き付ける名物コーナー。
じゃあ読者は、俺以外の常連さんは、ここに何を求めているのか？
そこがよう分からんですね。
俺は
1. ボケ診断とその予防
2. 数学的思考力の訓練
3. 没頭して考える現実逃避的な楽しさ
4. 困難を乗り越えて解き終えたときのカタルシス
5. 知識欲の充足（未知の数学領域、美しい定理に触れられる等）
6. 正解した時に名前が載るささやかな功名心
こんなところでしょうか。
問題や判定基準が曖昧だと最も大事な項目4が損なわれ、1,2,3を得るのも難しくなる。
（数学に没頭するのではなく、問題文の解釈や解答基準の推測に時間を費やすハメになる。）
手抜き問題では5が得られず、正解したところで6の功名心は得られない。
問題はこのコーナーの趣旨ですな。
そもそも俺のような凡人的欲求を満たすための記事じゃないのかもしれん。
3月号の問2のような問題が本来のエレ解問題なんですよ！そういうことならぐうの音も出ないね。
以前の連載「こどもの眼・おとなの頭」は白眉でしたね。
www.dpmms.cam.ac.uk/~tokieda/Tokieda_publications.html
'17年3月号
■出題2
一般項としては、たとえば下記が考えられます。
・場合分けしない例
a_n = 3 -｛(□-4)/2}(-1)^[(n-1)/3］-｛(□-2)/2}(-1)^[n/3］-（1/2)(-1)^[(n+1)/3]
a_n = 3 - 2cos((n-1)π/3) （□=4）
・場合分けする例
a_n = 3 +（-1)^((n+1)/3) (n=3m-1)
= 3 -（□-3)(-1)^(n/3) (n=3m)
= 3 - 2(-1)^((n-1)/3) (n=3m+1)
訂正ｽﾏｿ
a_n = 3 -｛(5-□)/2}(-1)^[(n-1)/3］-｛(□-2)/2}(-1)^[n/3］-（1/2)(-1)^[(n+1)/3]
[x］はx以下の最大の整数
おーなるほど。cosは良いですね。
思いつきませんでした。
ところでこの問題楽しかったですか？
やっぱりたった5項しかないのに数式を場合分けするなんて
エレガントの欠片もない気がするんです。
（さんはただ例を出してくれただけってのは分かってます。）
なんで問題文に"場合分け"というワードが出てくるのかやはり解せないです。
□ → 四角 → ４
↓
a_n = a_(n-1) - a_(n-2) + 3
↓
a_n = 6 - a_(n-3),
↓
周期６で振動する。
↓
cos
だとすると、俺が考えた「Γ(3/4)を少数点以下並べたもの」が最強かね。（Γはガンマ関数）
いや、これ無差別部門か。結局出さなかったけど。
あと数列なのでOEISを検索したが、複雑でなく面白そうなのはこれぐらいだった。
ttp://jump.5ch.net/?https://oeis.org/A035490 ttp://jump.5ch.net/?https://oeis.org/A085790 ttp://jump.5ch.net/?https://oeis.org/A249064 ttp://jump.5ch.net/?https://oeis.org/A265888 整数列ときたらOEIS。基本ですね。
Γ(3/4)ですか。マニアックだなぁｗ
ガンマと(と)も1字と数えると、単純な分数の小数表示とかも面白そうですね。
あいや、面白くない。駄問だ駄問。
対して問1はなかなかエレガントな問題だと思ったんですけど賛同者はいませんねｗ
Chara 「きえる」"Kiss"
ttp://jump.5ch.net/?http://www.youtube.com/watch?v=px3tbqU5pjs (グロ注意) な に ？
情報サンクス
そりゃ困った
難しいのは発展問題だけ？
受験雑誌を買う気にはなれないな
解くための必要知識も限定されすぎてるし
,'ヽ,',' カッパえびせんやるから落ち着けよ
,'ヽ,','
,'ヽ,','
,'ヽ,','
／)、,,','ヽ
／／ } |`i､
l `ー‐'" ／ l }
| ／
| ／
n=3の例で、分母が1・(1+2)(1+2+3)になるのは何故？
もう手に入れてるんですか？
定期購読なんだけど今月は届くのが遅いのかな
■問1：レベル5（常連正解率90%）
出題者は『老いても平面幾何』の○松氏。問題は数オリちっくな平面幾何でした。
程よい難易度で中学生から老人まで楽しめる。良問といってよいと思います。
ところで自分は平面幾何が嫌いです。
こういう問題を見るとうえぇぇ・・やりたくねーと思ってしまいます。
平面幾何は地味で面倒という印象が強いのです。
この問題もただひたすら角度を追う！追う！追う！
シメシメ同一円周上に乗ってるぞ！
そして再び角度を追う！追う！追う！
あ、また同一円周上に乗ってるぞ！
みたび追え！追え！追えーー！
で解けます。やってることが単調で地味でしょう？
でも結果は美しいですね。
■問2：レベル4（常連正解率95%）
3種類のおもりを組み合わせて1kg未満でなるべく重い組み合わせを考える問題。
題材としては面白いですがエレ解としては簡単で骨の無い部類に入る。
(2)の必要条件が問題。
厳密な議論を展開するには少々気をつけなければいけない部分があります。
特に技巧を要するわけではありませんが、互いに素な数が出てきたときに使う
定番の事実は使います。その意味で並の高校生では厳しいかな？
----
今月は2問とも難しくないですが、易しすぎてクレームがくるということもないでしょう。
4月号の問題として日本評論社の営業的にマッチしたものといえるでしょう。
・3≦m≦(n+1)/2 のとき
５角形｛1, 2, m, (n+3)/2, (n+5)/2｝を考える。
・(n+5)/2≦m≦n のとき
５角形｛1, 2, (n+1)/2, (n+3)/2, m｝を考える。
でもいいか...
（斬新かなぁ？）
内心は傍心△の垂心。
内心・傍心の中点はぜんぶ外接円周上に乗ってるぞ！
ですね。
> 内心・傍心の中点はぜんぶ外接円周上に乗ってるぞ！
そうですね。そしてまた各中点を中心とする円を考える。
何がどの円周に乗っているかをきちんと押さえるのがポイント。
それができれば簡単な問題でした。
発展問題は何を示せば十分なのかを考える必要がある。
対称性を考えればたった2つの事実を示せばよいと気付く。
16個の点を考えろと言われて面食らい、諦めてしまった人もいるかもしれませんね。
たくさんの内心と傍心を綺麗に描くのは頭の中でも紙の上でも大変ですしねｗ
一見難しいが実はそうでもないという問題で、○松さんの出題はさすがよく考えておられる。
（でも平面幾何の出題は○松さんくらいにしてほしいと思わないでもない）
今回の問題はセンスがよければ高校生でもすっと解ける。
運悪くポイントを押さえられなければ難問に感じてしまう。
そういう問題だったように思いますが、どうでしたかね。
それをそのまま出すとは○松さんちょっと手抜きじゃね？って思ったんだけどな。
オイラー、ガウスは数百あるけれども、大抵はひとつか２つ
大半がゼロかローカルである。
殆どは無名である。
オイラー、ガウスは数百あるけれども、大抵はひとつか２つ
大半がゼロかローカルである。
殆どは無名である。
当然無料ですし、大人も子どもも夢中になって楽しめますよ。
いい年した私も気付いたら2時間もそこにいました。
ttp://jump.5ch.net/?https://oae.tus.ac.jp/mse/taikenkan/ 秋山氏の離散幾何はたびたびエレ解に出されてますよね
幾何センスのない自分でもなんとか解けるくらいのほどほどの難易度がうれしいです
そして今月5月号の問1も離散幾何。
岡本吉○氏の出題ですが、氏の2015年5月号の問題は珠玉でしたね。
2次元平面に青い点n個と赤い点n個があるとき
『同色間のユークリッド距離の総和≦異色間のユークリッド距離の総和』
が成り立つことを示せ、という問題でした。
問題もエレガントなら解答もエレガント。
世に知られた問題ではなくズルはできない。
それもあって難易度は抜群に高く、正解者は1名のみ。
解答がエレガントでなければ『ああめんどくさい難問だったな』で終わってしまうところですが、
ここまで解答がエレガントだと素直に『参りました』です。
今月の岡本氏の問題はどうか。話の続きは締め切り後に・・・。
■問１：レベル3～7（常連正解率60～95％）
正三角形6つを組み合わせた「スフィンクス」を使って1辺9の正六角形を作れるか？を問う問題。
どの方針に時間を使うか？気付くか気付かないか？で難易度が割れる問題です。
数オリの練習問題としてこの問題が出されていたら即答できるかもしれません。
時間と前提知識に制限があるので、たぶんこうだろうなぁと察しをつけることができます。
そして誰もがよく知る「ありふれてはいるがエレガントな方法」を試すことになります。
実際にそれで解けてしまうので、簡単だというわけです。
しかしエレ解の問題として出されるとちょっと話が変わります。
中にはとんでもなく面倒な、エレガントな解答がない
"エレガント風な問題"が出されることがありますからねｗ
あまつさえエレガントな解答がないのに「なるべくエレガントに」と
条件をつけてくることさえある。フザケルナ（←まだ怒ってるｗ）
しかし重要なヒントがあります。それはこれが岡本氏の問題だということです。
彼は決して、中身の無い、くだらない、面倒なだけの問題を出したりしません。
本誌で解答を間違えて正答した解答者を「勘違い」に付してしまったり、
分散は何乗するのか？などと金返せとつぶやきたくなる問題を出したりもしませんｗ
つまりで私が岡本氏をベタ褒めしたことがヒントだったというわけです。
気付きましたか。気付くわけがないですね。
■問２：レベル4（常連正解率95％)
全単射という単語は大学から学ぶのでしたっけ？
数式も用語も大学初年度的な趣があります。
問題の難易度も大学初年度の巻末問題的です。
帰納法を使うのが正攻法だと思いますが、
この方針を採るとレベルも大学初年度的です。）
結果は綺麗ですが、背景にある数学をエレガントに捉えないと
問題を解く過程を全然楽しめないかもしれません。
解くだけなら簡単な問題でした。
■問2
σ∈S_n のとき
σ^(-1) = Cyc(k_n…n) ・・・・・・Cyc(k_3…3)Cyc(k_2…2)
ただし 1≦k_j≦j
のように巡回置換Cycの「積」で一意的に表わせたらいいんだが。
与式に適用してみる....
うまい方法を思いつきましたか？
自分は漫然と解いて終わりにしてしまいました。
（与式)*（Πx_j) = Π[1≦j≦n] x_σ(j)／{x_σ(1) + x_σ(2)+…+x_σ(j)}
に作用してみる....
参考文献
山田裕史：「色つきフック公式」数セミ、４７(12)，p.72-77（2008/Dec)
仲田研登 "Colored hook formula for a generalized Young diagram"，Osaka J. Math (2009?)
まちがえた。与式ぢゃなくて
（与式)*（Πx_j) = Π[1≦j≦n] x_j／(x_1 + x_2 + … + x_j)
に作用してみる....
x_j／(x_1 + x_2 + … + x_j）は
Cyc(k_j' .... j'）（1≦j'<j）により不変で
Σ[k_j=1～j] Cyc(k_j ....j）により１となる。
K. Nakada: "Colored Hook formula for a generalized Young diagram"
Osaka J. Math, ４５(4), p.1085-1120 (2008)
日本語版(?)
ttp://jump.5ch.net/?http://siva.cc.hirosaki-u.ac.jp/usr/ueyama/wakate/2008/wakate13_rep/nakada_rep.pdf まだ読みきれていませんが。
問題の背景はそこにありましたか。
ご紹介感謝です。
■問２
それぞれの段階に応じてそれなりに解ける
という意味で良問
高校生と、高校の数学で止まっている人向けだろが、ｶｰｯ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ﾍﾟｯ
受験板に帰れよ坊や ｶｰｯ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ﾍﾟｯ
いま慌ててやっておりますｗ
解いた方いますか？気味が悪いというか、なんというか。
サイコロBの確率qについて、q2, q4, q6がいずれも正と解釈しました？
どう解釈したところで中学生の教科書のような難易度ときた。
本当にこれは一体何なんだ。
俺が読み違えているのか？
気持ちが悪くて投函を一時中止してますw
チェックした方が良いかと思う。
ありがとう。そこまで簡単ではないはず、ということね。
いや、簡単なのは間違いないが、自分が解いたあとに見直したら
穴があることを見つけたので・・・
偶数の目の出る確率が「2または4または6が出る確率」という意味なら、
そんなん1に決まってるんだしわざわざ書かないだろうと。
367じゃなくて でした。
その穴がポイントなのかな？考え直してみるよ
どうもありがとう。
いまだに俺には中学生の方程式の問題にしか見えない。
こんなのを最終問題に付け加えた意図もまったく分からん。
何の解釈も付かないと気味が悪くて仕方ない。
俺の解釈では問題が単純すぎて穴なんか見つけようもない。
じゃあ、おれと解き方が違うのだろうな。そうか、そっちの方向でも解けるのか・・・
大数の宿題のが難しいよな
> じゃあ、おれと解き方が違うのだろうな。そうか、そっちの方向でも解けるのか・・・
え！？ちょいまった。
これを聞いて不安MAXになったよ。
だって解き方なんて一通りしかなくない？
消去して評価して矛盾して終わりじゃない？
マジで俺は何を勘違いしてるの？？俺は一体何者？
錯乱一歩手前（笑）
おまえの見ているものはすべて幻
> おまえは仮想現実の中にいるんだよ
> おまえの見ているものはすべて幻
そ、そうか。そういうことか。
すべてがまぼろしだというなら理解できる。
俺は狂っているというわけだ。
安心した。ありがとう。
だが明日投函しないと間に合わない。
郵便局員に確認したからな。
これだけは現実だ。
その者が神なんだろ
神はきっと数学者なんだろうな
￥
／ ｀ヽ. 次の患者さん、どうぞ
__/ ┃)) ＿_i |
／ ヽ,,⌒)＿__（,,ノ＼
内心・傍心の中点はぜんぶ外接円周上に乗ってるぞ！
(略証)
題意より、A～DはOを中心とする円周上にある。
△ABCの内心 ： I = M+N-x,
△ABDの内心： J = N+P-y,
△ACDの内心： K = P+Q+x,
△BCDの内心： L = Q+M+y,
x は∠AOCの2等分線と円周の交点。
y は ∠BODの2等分線と円周の交点。
△ABCの3傍心： M-N+x, -M+N+x, -M-N-x,
△ABDの3傍心： N-P+y, -N+P+y, -N-P-y,
△ACDの3傍心： P-Q-x, -P+Q-x, -P-Q+x,
△BCDの3傍心： Q-M-y, -Q+M-y, -Q-M+y,
これらの中点は M,N,P,Q,x,y のいずれかだから外接円周上にある。
なお、
IJKLの中心： (M+N+P+Q)/4,
IJ // KL // MP
JK // LI // NQ
らしい。
IJKLの中心： (M+N+P+Q)/2,
x+y // M+P ⊥ MP
x-y // N+Q ⊥ NQ
△ABCの内心 I = M+N-x,
と3傍心 M-N+x, -M+N+x, -M-N-x
の中点は ±M, ±N, ±x だから、外接円周上にある。
ただし、原点は外接円の中心O
￥
↑IJ =↑MP + (x-y) =↑LK // MP
↑JK =↑NQ+ (x+y) =↑IL // NQ
∴IJKLは平行四辺形
一方、|x|=|y| ⇒ (x+y)⊥(x-y) より、MP⊥NQ
∴IJKLは長方形
内心は
I = {sin(A)*A + sin(B)*B + sin(C)*C}/{sin(A)+sin(B)+sin(C)},
sin(A)/{sin(A)+sin(B)+sin(C)} = 1/{2cos(B)} + 1/{2cos(C)} - σ{tan(B)+tan(C)}/2,
等を入れて
I = {1/cos(C) - σtan(C)}*(A+B)/2 + ･･･
= {1-σsin(C)}*M + {1-σsin(A)}*N + {1-σsin(B)}*(-x),
ここに、(A+B)/2=cos(C)*M、(B+C)/2=cos(A)*N、(C+A)/2=cos(B)*(-x),
σ = {tan(A/2)+tan(B/2)+tan(C/2)+tan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)}/2.
一方、外心は
O = {sin(2A)*A + sin(2B)*B +sin(2C)*C}/{sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)}
= {tan(C)*(A+B)/2 + tan(A)*(B+C)/2 + tan(B)*(C+A)/2}/{tan(A)+tan(B)+tan(C)}
= {sin(C)*M + sin(A)*N +sin(B)*(-x)}/{tan(A)+tan(B)+tan(C)}
= 0,
∴ σの項は消えて
I = M + N + (-x),
3傍心も同様。
ぬるぽ
すみません、先月の講評を書いていませんでした。
今月分と併せて書くことにします。
ところでこの前大きめの書店に行ったら数学セミナーが教職関係の棚にありましたよ。
そんなとこに置いたら売れませんよ。
ターゲットを間違えています。
基本は大数の隣。
またはNHK英語テキストの隣に山積みすべし。
今は数学ブームだから興味を持ってくれる人もいるでしょう。
山積してるのは雑誌の拡販問題の方。
エレ解だけで数十万人もいるとはとても思えぬ。
せいぜい平積みでご勘弁を…
> エレ解だけで数十万人もいるとはとても思えぬ。
だけどさ、1000人に1人はエレ解を考えたことがありそうじゃない？
そうすると日本人口1億として10万人はエレ解に縁があるということになるよ。
全国の書店数は1万のオーダーですから、１店舗あたり10冊はドサッと積む必要がありますよ。
・・・という営業トークで置いてもらうのはどうか。
拡販策の正道は品質向上であろうが、現状は長岡京の御老公に頼っている有様である。
しかるに、御老公は相も変わらずの御忙氏である。
そのうえ、来年退位された両陛下が平安御所の辺に御隠居？の際は、
長岡京から馳せ参じて高等数学を御進講せねばなるまい…
（そうなればいよいよ副将軍ですな。印籠の準備を）
というわけで、ますます頼りない拡販策なのである。
> 拡販策の正道は品質向上であろうが、
そりゃそうですよね。
でも、あまりに売れないようなら方針をがらりと変えるしかないでしょう。
"親しもうAKB"というテーマでアイドルオタクどもを取り込んでしまうのはどうか。
表紙はAKB。思わず雑誌を手に取ってしまう。
オタクなら表紙で買いでしょう。なんなら投票権を与えたっていい。
でも中身は"Approximation of WKB"。近似法です。
とにかく誰もやったことをないことをやる。それが数学でしょう。知らんけど。
> しかるに、御老公は相も変わらずの御忙氏である。
コンスタントにエレ解に問題を出してもらえるのはうれしいですね。
以前に"エレガントな仲間達"にも出席してくださったようで。
あのお年で数学ができるというのはすごいというか、うらやましいですね。
> そのうえ、来年退位された両陛下が平安御所の辺に御隠居？の際は、
> 長岡京から馳せ参じて高等数学を御進講せねばなるまい…
> （そうなればいよいよ副将軍ですな。印籠の準備を）
いまさら将軍位は要らんでしょう（笑
たぶん数ある著作の印税も要らんでしょう。
なるほどそのオコボレをもらおうっていうのか日本評○社は。
けしからんですね。
というわけで、本日は締め切り日でした。
いかがでしたか？自分は苦労させられました。
レビューは近日中に。
2017年10月より、BS-TBSで『水戸黄門』の新作をレギュラー放送（予定）
黄門さま役は武田鉄矢らしい。（チョトｰ熱血すぎるんぢゃね？）
などと、要らぬこと言うとるうちに2問目の解答まとめそびれてしもうた。
さいきん多いパターンだ、トホホ。
読む価値のないこと書くなら、ブログでやれ
> 黄門さま役は武田鉄矢らしい。（チョトｰ熱血すぎるんぢゃね？）
漢字ネタで説教されたくはないですね
ちょっと我の強い黄門さまになりそうで心配です
さてそろそろ講評でも書くかな・・
問１：レベル3～4（常連でない人の正解率80％）
エレ解では格子点問題は頻出です。
ピックの定理を知っていれば年間24問中1問は解けます（とある常連調べ）。
本問はこれを使えば一気にショートカットできますので簡単に感じた方が多いはずです。
問２：レベル3～4［質問3はレベル？］（常連正解率95％～？）
質問1は単なる計算問題なので特にコメントなし。
質問2ではピックの定理の次くらいに頻出と言えるヴァンデルモンド行列が現れますが、
そこにいたるまでの道は一直線。やさしい問題です。
質問3は一体なんなんでしょうか？？？？
意図がまったくわかりません。簡単すぎるし脈絡もない。
この問題は難しいんですか？勘違いを誘発するポイントがありますか？
まったくわからず気持ちが悪いです。誰かコメントください。
6月とは打って変わりかなり苦労させられました。
問１：レベル8（常連正解率30％くらいか）
この問題が厄介なのは、一般項を帰納法で予想できるように見えるが、
己を信じてその道をずんずん進んでいくと最後には遭難するという点です。
（※この方法でゴールに辿り着けた方は教えてください）
実は登山ルートから外れてるんじゃないか？と薄々気付き始めたときにはもう
締め切りが数日後に迫っている。このときの気持ちを形容するのは難しいですが、
マークシート式試験の解答をテスト終了1分前に見直しているとき、すべて1問ずれて
記入していたことに気付いたときの『やっちまった感』と言ったら伝わるでしょうか。
それはともかくついには目の前の岩にルート間違いを知らせる赤い×印を見たような気がして、
諦めの悪い私もさすがに観念して登山口まですごすご戻りました。
結局締め切りギリギリまで考えて別方針の解答を書いたのですが、
解けた爽快感よりも遭難しかけたときの辛さが強く印象に残りました。
苦労させられたことも含めて当分のあいだ記憶に残りそうな良問です。
最近軽めの問題が続いてげんなりしていたので、こういう問題は大歓迎です。
簡単な解き方があるのかは気になります。
気付いた方はぜひ教えてください。
問２：レベル5～7（常連正解率50～85％）
こちらも良問だと思うのですが、いかんせん問1に時間を取られて
じっくり考える時間が取れませんでした。
ある定理を証明なしに使えば高校レベルの問題になりますが、
使わなければレベル7程度になるんじゃないでしょうか。
こちらの問題もどなたかコメントいただければと思います。
問１：
上からn段目、端からk列目にかかる荷重の 2^(n-1)倍を W_(n,k) とおきます。
両端はすぐに解けて
W_(n,1) = W_(n,n) = 2^(n-1) -1,
中間の漸化式は
W_(n,k) = W_(n-1,k) + W_(n-1,k-1) + 2^(n-1)
右辺の最後の項を残しておくと、いつまでも同所徘徊→遭難の恐れが…
そこで、横方向の階差数列（差分）を取ります。
Pascal型になります。
本問の場合、２階階差まで考えれば
2W_(n,k) - W_(n,k-1) - W_(n,k+1) = C_(n+1,k)
となって出口が見えます。
両端の条件（上記）を考えつつ和分すると、
W_(n,k) = (2k-1){2^(n-1) -1} -(k-1)n -納L=2,k-1] C(n+1,L)
nが奇素数pの場合は
2≦L≦k-1 ⇒ p｜C_(p+1,L)
最後に、フェルマーの小定理 2^(p-1) -1 ≡0（mod p）でトドメです。
W_(n,k）=（2k-1){2^(n-1) -1｝-（k-1)n - Σ_[L=2,k-1］（k-L）C(n+1,L)
でした。
参りましたm(_ _)m お見事です。
2階階差の一手でこんなに見通しがよくなるんですね。
そうであるなら
> 問１：レベル8（常連正解率30％くらいか）
は過大評価でしたか。私のスジが悪かっただけですね。
自分の初手は分母分子を具体的に予想して帰納法というものでしたが、
段数kに関する多項式部分が掴めそうで掴めず、最後は諦めて引き返しました。
後に別解法で解いたときに一般項が閉形式で表せないことを知り、
引き返した自分が正しかった（＝方針がまずかった）ことを認識したのでした。
問2はどうでしょう？
問題
ttp://jump.5ch.net/?http://math.a.la9.jp/cn.htm 回答
ttp://jump.5ch.net/?http://math.a.la9.jp/acn.htm まあ大きく違っている様なことはないと思うが
ご紹介ありがとう。
こんなサイトがあるんですね。
△ABCの内心： I = △MN(-x）の垂心,
△ABDの内心： J = △NP(-y）の垂心,
△ACDの内心： K = △PQx の垂心,
△BCDの内心： L = △QMy の垂心,
傍心も同様
ていうことだな。
【補題１】
a,m,q が自然数で a≡1 (mod q）のとき、
a^(m-1）+ a^(m-2）+ …… + a + 1 ≡ m (mod q)
(略証)
a≡1 (mod q) より a=kq+1 (k≧0 は整数）とかける。
a^L =（kq+1)^L =（kq)^L +…… + L(kq）+ 1 ≡ 1 (mod q)
L=0 から L=m-1 までたすと
a^(m-1）+ a^(m-2) + …… + a + 1 ≡ m (mod q) (終)
（ネタバレ御勘弁）
q が奇数で a≡1（mod q）のとき、
a^(q-1）+ a^(q-2) + …… + a + 1 ≡ q （mod qq)
(略証)
a^L = （kq+1)^L ≡ L(kq) + 1 (mod qq）
L=0 から L=q-1 までたすと
a^(q-1）+ a^(q-2) + …… + q + 1
≡｛(q-1)+(q-2)+……+2+1}kq + q
≡｛(q-1)q/2}kq+ q
≡ q （mod qq)
∵ q は奇数だから 2 |(q-1) (終)
m,n を2以上の自然数、b を3以上の奇数とする。
2^m - b^n = 1 を満たす (m,n,2,b) は存在しない。
(略証)
m,n,b が
(1） 2^m - b^n = 1
を満たすとする。
m≧2 より
b^n = 2^m - 1 ≡ -1 （mod 4)
∴ b≡-1（mod 4）かつ nは奇数。
∴ b≧3、n≧3
b^n + 1 = (b+1){b^(n-1）- b^(n-2）+ …… - b +1}
右辺の { ････ ｝内は１より大きく、奇数の奇数個の和と差だから奇数。
一方（1）より偶数または１となるから矛盾する。 (終)
m,n,a を 2以上の自然数、pを素数とする。
a^m - p^n = 1 を満たす（m,n,a,p）は（2,3,3,2）のみである。
(略証)
補題3により a=2 の解は無い。a≧3 としてよい。
(m,n,a,p) が
(2） a^m - p^n = 1 を満たすとする。
(2）より
p^n = a^m -1 =（a-1){a^(m-1）+ …… + a + 1}
1 < a-1 < a^(m-1）+ …… + a + 1 だから
(3） a-1 ≡ 0 （mod p)
(4） a^(m-1）+ …… + a + 1 ≡ 0（mod pp)
(3）と補題１より
a^(m-1）+ …… + a + 1 ≡ m (mod p) だから
(4）より m ≡ 0 （mod p)
つまり m=k･p とかける。
(2）より（a^p =A とおくと）
p^n = A^k - 1 =（A-1){A^(k-1）+ …… + A + 1｝だから
1 < A-1 なので
(5) p^n' = A-1 = (a-1){a^(p-1）+ …… + a + 1｝とかける。
（0 < n' < n)
1 < a-1 < a^(p-1）+ …… + a + 1 なので（5）より
(6） a-1 ≡ 0 （mod p)
(7） a^(p-1）+ …… + a + 1 ≡ 0 （mod pp)
・pが奇素数の場合
(6）と補題２より
a^(p-1）+ …… + a + 1 ≡ p（mod pp）だから
(7）より p≡0（mod pp）で矛盾。
・p=2の場合
(5）より
2^n' = (a-1)(a+1）
2ベキで差が2となるものは（2,4）に限る。
a=3
（m,n,a,p）=（2,3,3,2）
いや～素数って、ほんとに強力ですね。それではまたお会いしましょう。
詳細どうもです。
問2はそこそこ難易度が高いんじゃなかろうかと。
> 問２：レベル5～7（常連正解率50～85％）
は間違っていないでしょう。
心配すべきはネットにそのものずばりの問題と解答が上がっていた点ですな。
こういう出題はよく見かけますが、金を取る著作物であればオリジナルにこだわってほしいものです。
ところで8月号の岡本氏のコメントにちょっとがっかりしてしまいました。
子曰く、
『以前に何度か出題したが正答者が少なくて残念だった』
『今回は多くの方に正解いただけてホッとしている』
ちがうちがう、そうじゃ、そうじゃな～い、だろ岡本さん
オレは超ムズなアンタが好きだったんだ
正解者1名の2015年5月号の問題、アレ最高だったぜ
49人があっさり答えちゃう問題なんか求めちゃいないんだ
・・・というのがとある常連の所感です。
> そして今月5月号の問1も離散幾何。
> 岡本吉○氏の出題ですが、氏の2015年5月号の問題は珠玉でしたね。
> 2次元平面に青い点n個と赤い点n個があるとき
> 『同色間のユークリッド距離の総和≦異色間のユークリッド距離の総和』
> が成り立つことを示せ、という問題でした。
>
> 問題もエレガントなら解答もエレガント。
> 世に知られた問題ではなくズルはできない。
> それもあって難易度は抜群に高く、正解者は1名のみ。
> 解答がエレガントでなければ『ああめんどくさい難問だったな』で終わってしまうところですが、
> ここまで解答がエレガントだと素直に『参りました』です。
￥
△ABCの等角共役点PとQから3辺に垂線を下します。その足6点は、PQの中点を中心とする円周上にあります。
｛外心O、垂心H｝は等角共役点の１例です。（9点円）
点Pと3頂点A、B、Cを結んだ3本の直線はそれぞれの対辺と交わります。点Qについても同様です。
これら6点が、同一円周上にあるとき、｛P、Q｝は木戸共役点であると言いましょう。
｛重心G、垂心H｝は木戸共役点の１例です。(9点円）
ところで、木戸共役点｛P、Q｝の間にどんな関係があるでしょうか？
数セミ、Vol.50、No.3、p.66 NOTE （2011/3)
2次元平面に 青い点m個と赤い点n個があるとき、
m=n ならば
Σ（同色の2点の距離） ≦ Σ（異色の2点の距離）
これは｜m-n｜= 1 のときも成り立つんでせうか？
（1，2）は△不等式
（2，3）は Kurschak-1981
10th JMO-2000、本選 第3問
不等式スレの［初代スレ.811(2)，827，870]
（m，n）が大きいときは…
(1) W氏の解
xよりも左側にある青点の数を B(x)、赤点の数を R(x) とおく。
S, Dのうち、点xを通る線分の本数を S(x), D(x）とおく。
S(x) = B(x){m-B(x)} + R(x){n-R(x)},
D(x) = B(x){n-R(x)} + R(x){m-B(x)},
∴ S(x) - D(x) = -{B(x)-R(x)}{B(x)-R(x)+n-m} ≦ 0, (← |m-n|≦1)
これを -∞ < x < ∞ で積分すると
S - D ≦ 0,
(2) 出題者解
青点、赤点の数を (n+1,n) とする。
m=nのときは端から順に見ていくのだが、ここでは両端から探す。
青点のうちで最小・最大のものを b_n, b_(n+1) とする。
b_n ≦ x ≦ b_(n+1) ⇒ d(b_n, x) + d(b_(n+1), x) = d(b_n, b_(n+1)) = d_o,
それ以外 ⇒ d(b_n, x) + d(b_(n+1), x) > d(b_n, b_(n+1)) = d_o,
b_n, b_(n+1) を追加した際の S, D の増加分⊿S, ⊿D は
⊿S = d(b_n, b_(n+1)) + Σ[i=1,n-1] {d(b_i, b_n) + d(b_i, b_(n+1))}
= d_o + Σ[i=1,n-1] d_o = n d_o,
⊿D = Σ[j=1,n] {d(b_n, r_j）+ d(b_(n+1), r_j)｝
≧ Σ[j=1,n] d_o = n d_o,
⊿S - ⊿D ≦ 0,
帰納法の仮定より、b_n と b_(n+1) を除去した（n-1,n）の場合には成立つ。
∴ S - D ≦ 0.
恐ろしく難解な問題をだせ！
ttp://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/631-640">ttp://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/631-640 ttp://jump.5ch.net/?http://mimizun.com/log/2ch/math/1049652059/631-640 恐ろしく難解な問題をだせ！
ttp://science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/651-660">ttp://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/651-660 ttp://jump.5ch.net/?http://mimizun.com/log/2ch/math/1049652059/651-660 今月号を解き終わったらコメントします。
いま慌ててやっております
だれかヒントくださいｗ
教えてもらって投稿して満足なのか？
「とあるエレ解常連」氏って、そういう類だったのか。過大評価していたようだな。
コメントありがとう。
私なんか貴方の評価に値しませんよ
なにせ今月の問1はホントに詰まり気味。
もっと早くやってりゃよかった
なんて何年同じこと言ってんだか、な有様です。
あと数日あります。
諦めないのが私の唯一の取り柄です。
で、あなた問1解けました？
問1にはだいぶ悩まされましたがなんとかカントカ答案を仕上げました
後日講評にて
そして私の手元には９月号が届きました
問2の解答文の出だしに思わず笑っちゃいましたよ
> 簡単すぎたと感じたのなら、本当にそれで証明に穴がないかを
> チェックした方が良いかと思う。
さん！思わせぶったことを私に謝ってください(笑)
> いまだに俺には中学生の方程式の問題にしか見えない。
> こんなのを最終問題に付け加えた意図もまったく分からん。
> 何の解釈も付かないと気味が悪くて仕方ない。
何の裏もない中学生の問題だったというオチ(笑)
> 問2の解答文の出だしに思わず笑っちゃいましたよ
気になる！ 田舎だから読めるのは14日以降になるから。
まさか、出題者のブラックリストに加わりそうな解答でしたか？
> 気になる！ 田舎だから読めるのは14日以降になるから。
1行にまとめると次のようになります：
編集者の良心と出題者の独善
> まさか、出題者のブラックリストに加わりそうな解答でしたか？
ハナからブラックですｗ
2014年2月『砲丸投げ問題』という前科を持っています。
> 問2の解答文の出だしに思わず笑っちゃいましたよ
ここでいう笑いは『ハハ・・、馬鹿言ってんじゃねーぞオイ』な笑いです。
決して楽しかったり面白かったりしたわけじゃないですので。
編集部の良心を知れたのは個人的にうれしかったですが。
彼には時弘塾長の爪の垢を煎じて飲ませてやりたいです。
エレ解を毎月解くサレオツな趣味を持つ大のオトナが大勢、
こんなクソ問題の解答を書かされたと思うと。ホント罪重いです。
あ、中学レベルだ！やったーラッキー！とは絶対思いませんから。
ナニコレ？なんかおれ問題読み違えてる？
こんな簡単な問題なわけないよね？
エレ解で中学期末試験レベルはありえないでしょ？
何がオカシイ？オレの頭がオカシクなってるの？
となってのように錯乱するわけです。ホント罪重いです。
> 編集部の良心を知れたのは個人的にうれしかったですが。
ココがよく分からん。
エレ解に、中学生レベルの糞問を出題する常習者の解答文の出だしと、編集部とどういう関係があるのか？
エレ解の問題はどうあるべきか
編集部がそれをどう考えているかが窺い知れるコメントがあるんですわ
さらには編集部の立場の弱さ、出題者の手抜き＆思慮不足も垣間見えますわ
９月号は必読！(笑)
回答者の答案に面白い考察があるが紙面の都合で略ってのも、なんとかならんのかな？
> 回答者の答案に面白い考察があるが紙面の都合で略ってのも、なんとかならんのかな？
まあたしかに残念ですよね。
紙面が余ってるのか知りませんが、
「筋が悪い」 「イマイチ」、
と書かれるのも嫌なものですけどね(笑)
流行りモノですからねえｗ
拡販には良い試みじゃないですかね。
自分が将棋好きなのでちょっとバイアスかかった意見ですけど。
まあ前連載のパズルと一緒で、息抜きみたいなもんじゃないですかね。
私はパズルを一回もやったことなかったですけど
■問1：難易度6～?（常連正解率 数%～70%）
とても面白い問題だったので掘り下げたいと思います。
本問題を考えた方はお付き合いください。
小問１：≡924（mod n)となるnはどのような数か？
小問２：n≦5000の範囲で≡924となる数のおおよその個数を求めよ
小問３：二項係数(2n n)≡924 (mod n)となるnが筋をなす理由を答えよ
本問題はこのような小問に分けられます。
実際のところ、題意を満たすnは100個強あります。
そのうち90%以上は特有の性質Aをもちます。
Aは最初の数例から発見できますが、
「A ⇒ ≡924」ではないのが本問の難しいところ。
Aに加え、ある条件Bも満たさなければいけません。
[1] Aを満たすnがある条件Bを満たせば≡924となること
[2] Aを満たすnのうち条件Bを満たすものが大多数であること
[3] Aを満たすnがおおよそ100個強であること
[4] [2][3]より筋をなすこと（これは簡単に示せる）
これらを示せば小問1～3に答えたことになりますね。
「数値計算により示される. QED」で済めば[1][4]を示すだけで
よいのですがそれでハナマルをくれることはないでしょうね。
[1]～[4]が示せたとしましょう。ここで終わりにしてもよいですが、
上級者はAの性質を持たない例外についても言及したくなるでしょう。
凡人の私はそこまで深入りできませんが。
所感として本問題は
・ヒントが適切適量
・ネットに解答が落ちてない（たぶん）
・難易度は高め
・解答者の力量に合わせてレベルが変わる
稀に見るエレガントな問題です。
エレ解の常連としては本問に熱中できただけでも
お金を払った価値があるというものです。
別アプローチであっさり解けた方はいますか？
本スレではよくあるパターン。心配です（笑)
■問2：難易度2（高校生正解率90％くらい）
「方法はどうあれ解けば勝者」
このようなマインドを持つ私に対して
「エレガントな解答を期待します」
という要求は意味をもちません。
問1のエレガントな出題に対し何たる手抜き問題か。
対比の不運もありますが、晴れて堂々、
ブラックリスト入りが決定でございます(笑)
2015年5月号の問題
m=n+1 の場合はネットに上がっていますね。
それで m=n に変えたものを出題したんでしょうね。
尤も、そのものずばり（m=n）の問題と解答がどこかに上がってないとは言えませんが…
解き方のヒントがネットにあったのですね。
2chおそるべし(笑)
> それで m=n に変えたものを出題したんでしょうね。
岡本氏いわく、別の問題を考える過程で証明が必要になった問題。
検索をかけたが世に知られた問題ではなさそうだったので、
エレ解に良いと思い出題した、ということでした。
(2,2）は例外的に△不等式だけで出ますが、”距離”を１つ追加して「Hlawka型」にすると無理ですね。（Euclid性が必要)
（ベクトルｄとしては異色間ベクトルを取ります。たとえば、
d_1 = b1 - r1，d_2 = r1 - b2，d_3 = b2-r2，d1+d2+d3 = b1 - r2,
同色間ベクトル： d1+d2 = b1-b2，d2+d3 = r1-r2, 追加ベクトル：d3+d1）
Hlawkaの不等式も射影して１次元で考えた方が簡単かも知れません。１次元の問題が↓にあります。
佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店(2013)、演習問題1.6
大関「不等式への招待」近代科学社(1987）、例題8 p.33-34
ttp://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1498378859/388 ,450
では式の変形で出していますが、うまいものと感心するばかりです。
>このようなマインドを持つ私に対して
>「エレガントな解答を期待します」
>という要求は意味をもちません。
だったら「エレガントな解答をもとむ」という趣旨のコーナーに立ち入るなよアホか
こんな当たり屋みたいなチンピラ風情に「手抜き問題」とか言われてたら
さすがに作問者が不憫だわ。
もちろん（大数の）宿題です。
ttp://jump.5ch.net/?https://ameblo.jp/syoichi2/ そのリンク先の方はエレ解の常連ですね。
エレ解以外でも活躍していて、その手広さに感心してます。
> だったら「エレガントな解答をもとむ」という趣旨のコーナーに立ち入るなよアホか
> こんな当たり屋みたいなチンピラ風情に「手抜き問題」とか言われてたら
> さすがに作問者が不憫だわ。
私は実際に解いた。
そして手抜きだと思った。
こんな問題なら私でも出せる。
この傾向が続くなら私は本誌の継続購入を止める。
それだけのことです。
簡単すぎる問題の解答にエレガントさを要求する出題者を私は好まない。
そもそも自分の解答がエレガントなのかどうかさえ分からない状況で、
こんな低レベルの問題の別解を根詰めて考えようなんて気は起きない。
エレガントな解答がないのにエレガントさを要求する出題者よりはマシですがね。
個人的意見ですよ。あまり深刻に捉えて憤らないように！
そういうあなたは問2を楽しめたのですか？
どうぞ感想をお書きになってください。
大数の宿題が一番難しいの？
数オリよりも？
個人的意見ですよ。あまり深刻に捉えないように！
後ry)
ハンガリーのkomalは難しいのでしょうか？
メールアドレスの枠に「sage」と入れてもらわんと、そりゃ...
KoMaL
> とても面白い問題だったので掘り下げたいと思います。
> 本問題を考えた方はお付き合いください。
どなたかいませんかね。お待ちしてます。
9月号の問1はピーターフランクルですね。
よく見かける分割問題のようにも思いますが、そう単純ではないのかな？
彼自身は2000年ごろ渋谷の交差点でよく見かけましたが、いまはどうなんでしょう。
まだ現役のジャグラーなんでしょうか。
問2は満を持して竹内氏登場！
警戒モードで問題を読んだ諸氏も多いでしょうが、
今回は採点ミスが起こりづらい問題を選んできましたね（笑）
良い問題かというと、違うのですが（自分にはもうちょっと数学ちっくなほうが良い）
またまた…、（無許可リンク、失敬）
（2,3）の解答例
case1: {AC,AD,AE} のいづれかと {BC,BD,BE} のいづれかが（端点以外で）交わる場合
たとえば 線分ACとBDが点Xで交わるとき、△不等式で
AB + CD ≦（AX+XB）+（CX+XD）=（AX+XC）+（BX+XD）= AC + BD.
これに△不等式 DE ≦ AD+AE，EC ≦ BE+BC を加える。
case2: {AC,AD,AE,BC,BD,BE} のいづれも(端点以外は)交わらない場合
A,Bの一方は△CDEの１つの頂角の対頂角の中にある。（←平面CDE内にある。)
たとえば A が∠CDE の対頂角の中にあるときは、△CAE ⊇ △CDE。
CDの延長とAEの交点をZとすると、△不等式で
∴ CD + DE < CD+（DZ+ZE）= CZ + ZE <（CA+AZ）+ ZE = CA + AE.
これに△不等式 EC ≦ BE+BC，AB ≦ AD+BD を加える。
[不等式スレ(初代).870］ ぬるぽ解
△不等式だけのように見えるが、（平行でない）直線は必ず交わる、というEuclid空間の特性も必要らしい。
ピーター・フランクルの問題は、自分的には過去最短解答になるかも。
平太氏の問題は問いかけをわざと曖昧にしてますね。
門戸は広く、しかし常連もうならせるにはこうするしかないか。
■問題１：レベル3～？（高校生レベル～？）
整数42を異なる3正整数の和で表示する問題。
問いは『同じ数を使わずに、式の個数がなるべく多くなる組み合わせを作れ』
(1)
式の個数の最大値Nは簡単に評価できる。
総和を考えるのがもっともエレガントだが、3整数の範囲を地道に絞る方法もある。
(2)
そのようなN個の式を捻り出すのも簡単である。
この(1),(2)ができれば解答者欄に名前が載るでしょう。
ここまでの難易度はレベル3程度である。しかし、
(3)N個の式をエレガントに網羅する
のは簡単ではない。
ここを深く考察してくるのが常連のトップレベル。
果たして分かりやすい表示があるでしょうか？
考え過ぎ！と思う向きがあるかもしれませんが、
平田氏がこの考察の準備なしに出題したとは思えません。
■問題２：レベル2～3（新聞のクロスワードレベル）
本スレのアイドルT内氏。素数クロスワードなるものを考案したようです。
プログラミング関連の雑誌読者なら楽しめたかもしれませんが。
私なんぞは可逆素数の表を片手にエクセルをチマチマ埋めてハイ終了。
たぶん新聞のクロスワード、詰め将棋コーナーの問題のほうが難しくて面白いです。
３数は全て２７以下）の数は８５。
これらの各式を頂点として、共通の数字を持つもの同士を辺で結ぶと、こんなグラフになる。
ttp://i.imgur.com/fHicYex.png 結局この問題は、上のグラフから「どの２頂点間にも辺が存在しない」ようにできるだけ多くの頂点の組み合わせを
求めることに等しくなる。これは最大独立集合問題というやつで、一般のグラフではNP困難。この
問題ではどうかは分からないが。
Mathematicaによれば、条件を満たす組み合わせの数は１２９６個。これらを簡単に表す方法なんて
あるのかなあ。
候補となる式
01) 1+14+27,
02) 1+15+26,
03) 1+16+25,
04) 1+17+24,
05) 1+18+23,
06) 1+19+22,
07) 1+20+21,
08) 2+13+27,
09) 2+14+26,
10) 2+15+25,
11) 2+16+24,
12) 2+17+23,
13) 2+18+22,
14) 2+19+21,
15) 3+12+27,
16) 3+13+26,
17) 3+14+25,
18) 3+15+24,
19) 3+16+23,
20) 3+17+22,
21) 3+18+21,
22) 3+19+20,
23) 4+11+27,
24) 4+12+26,
25) 4+13+25,
26) 4+14+24,
27) 4+15+23,
28) 4+16+22,
29) 4+17+21,
30) 4+18+19,
31) 5+10+27,
32) 5+11+26,
33) 5+12+25,
34) 5+13+24,
35) 5+14+23,
36) 5+15+22,
37) 5+16+21,
38) 5+17+20,
39) 5+18+19,
40) 6+9+27,
41) 6+10+26,
42) 6+11+25,
43) 6+12+24,
44) 6+13+23,
45) 6+14+22,
46) 6+15+21,
47) 6+16+20,
48) 6+17+19,
49) 7+8+27,
50) 7+9+26,
51) 7+10+25,
52) 7+11+24,
53) 7+12+23,
54) 7+13+22,
55) 7+14+21,
56) 7+15+20,
57) 7+16+19,
58) 7+17+18,
59) 8+9+25,
60) 8+10+24,
61) 8+11+23,
62) 8+12+22,
63) 8+13+21,
64) 8+14+20,
65) 8+15+19,
66) 8+16+18,
67) 9+10+23,
68) 9+11+22,
69) 9+12+21,
70) 9+13+20,
71) 9+14+19,
72) 9+15+18,
73) 9+16+17,
74) 10+11+21,
75) 10+12+20,
76) 10+13+19,
77) 10+14+18,
78) 10+15+17,
79) 11+12+19,
80) 11+13+18,
81) 11+14+17,
82) 11+15+16,
83) 12+13+17,
84) 12+14+16,
85) 13+14+15,
以上85個
30) 4+18+２０,
> Mathematicaによれば、条件を満たす組み合わせの数は１２９６個。
1～27を用いた9個の3つ組のセットで、和がすべて42となる組み合わせが1296ということですか？
となると自分は数え間違えたらしい。
です。で、まさかと思ってOEISを調べたら、一般の場合が載っているという・・・
ttp://jump.5ch.net/?https://oeis.org/A104185 まさかクヌースまで絡んでいるとはね。
深い。平田氏の問題はこうでなきゃ。
対してT内氏の問２は・・・。いや何も言うまい。
「詰め将棋コーナーの問題の方が面白い」って言う読者がいるなら、詰め将棋を連載する･･･
というのは、正しい拡販策だろうね。
エレ解の解説ページを増やしても売上げは一定だろうし…
数学板にもありますた。（過疎ってまつが）
ttp://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1309970174/
10月号の問題は、面白そうですか？
日本名は富蘭 平太（ふらん へいた）らしいです。
が正解。
途中からまんまと間違えてました。
ご指摘どうも！
自分も問1はダメ。問2はなんとかかんとか。
粘りましょうぞ。
今月は問1も問2も良問なので食わず嫌いの人も是非チャレンジしてください。
よほど腕の立つ人でないと、今更取り掛かっても間に合わないと思いますが。
■第１話：「初めての旅立ち（水戸～いわき）」 10/4（水）放送
御老公が八戸を目指し世直しの旅を開始！
第一話は武田鉄矢さんの代表作「３年Ｂ組金八先生」の共演者、佐野泰臣さんやあ直江喜一さんがゲスト出演！
さらには、物語の舞台、東北の出身、宮路オサムさん、あばれる君なども登場します！
■第２話：「想い繋いだ左馬茶碗（浪江）」 10/11（水）放送
舞台は福島県浪江町辺りの大堀村。
劇中に出てくる『相馬駒焼』は茶器の多くに走馬が絵付けされている江戸時代からの名産品。
若き焼き物名手の思いを利用した悪党退治に御老公一行が挑む！
ttp://jump.5ch.net/?http://www.bs-tbs.co.jp/mitokomon/index.html 水戸黄門の話題で盛り上がるも良しです（笑）
〔問１〕
a>0 とする。任意の x>0 に対して、
a^x + a^(1/x) ≦ a^(x + 1/x）
が成り立つための a の条件を求めよ。（1991年11月）
〔問２〕
自然数 n≧2、Ｃ[n，k] は二項係数とするとき、次を示せ。
(1) Σ[k=1～n］（-1)^(k+1）Ｃ[n，k］（1/n)^(2k） < 1/n,
(2) Σ[k=1～n］Ｃ[n，k］｛1/(nn-1)}^k > 1/n,
(3) Σ[k=1～2n］Ｃ[2n，k］｛1/(nn-1)}^k > 2/(n-1).
（2013年10月）
不等式スレから丸写しかよ！ 手抜きも甚だしい
> 11月号が届くまでの数日間、つかの間の平和を楽しみましょう。
と言ったその日に届く11月号
エレ解戦士に休息なし
■問１：レベル6～7（常連正解率60～75％）
ある多項式関数fの合成冪に関する問題。
時弘先生の問題は例年難しく、正解者1～2名なんてときもありました。
解答がエレガントかどうかなんてどうでもいい。補題の5個6個は当たり前。
論理を正確に紡いでゴールにたどり着け。こじゃれた解答は求めない。
そんな硬派な問題が多いことから本スレでは男塾長という別名で親しまれています（？）
本問も一見そびえ立つ山のように見えます。
アタックしようにも登山口が一向に見つからない。
苦しい状況が数日続いた方も多いと思いますが、ひとたび手がかりを
見つけるとスムーズに解けてしまうのが本問の面白いところです。
解答を書き上げた後にその内容のシンプルさを見て「なぜ当初あんなにも
紆余曲折してしまったのか」と自分のセンスの無さにがっかりしました。
取り掛かってからどのくらい短時間で手がかりを見つけるか？
数学的洞察力を測るのに最適な問題です。
汗だらだらの例年の問題とは趣が異なりますが、これはこれで時弘先生らしい、
解いている時も解いた後も唸らされる良問でした。
■問２：レベル6～7（常連正解率60～75％）
F1方式でn＝3人が点数を争ったとき、特定の2人が引き分けになる確率を評価する問題。
本問は準備問題がなければかなりの難問だったと思います。
準備問題(1)ではn＝2のケースで確率と多項式の関係に気付かせ、
(2)で確率を上から押さえる方法に気付かせる。
この準備問題(1),(2）だけでもレベル5（常連正解率90％)の難度があります。
この(1),(2)を理解してから問題に挑むわけですが、(2)を用いる前に一工夫が必要です。
自分はこの一工夫に気付かず長時間ハマッてしまいました。
本問も問1と同様に数学感覚を問われる良問です。
(1)も(2)も大学初年度の知識が必要で、この点もエレ解らしくて良いと思いました。
■出題１
ラグランジュの補間多項式を知っている人には、問題の式が
f(j）= j+1，（j=1,2,…,k-1）
f(k）= 1,
という巡回置換を意味することは明らかでしょう。
しかし、知らない人にはそびえ立つ山のようなもので、登山口が一向に見つからない…
巡回置換から不動点を出すだけだと見え見え（？）なので隠れ蓑を付けた感じですが、
ここで「足切り」されては面白くないので何かヒントがほしいかも？
■出題２は煩雑そうなのでパス（"＾ω＾）・・・
> 巡回置換から不動点を出すだけだと見え見え（？）なので隠れ蓑を付けた感じですが、
> ここで「足切り」されては面白くないので何かヒントがほしいかも？
むむ。隠れ蓑・・・？見え見え？？
> f(j）= j+1，（j=1,2,…,k-1）
> f(k）= 1,
> という巡回置換
これ自体は登山口ではなく山に向かう麓のバス停みたいなものです。
この巡回置換に気付けば、さんにとっては解法は見え見えだったということですか？
解法を知った今は、何でもっと早く気付けなかったのかとも思うのですが・・。
この巡回置換でぱっと察することができるのはかなりのツワモノとお見受けしました。
> ■出題２は煩雑そうなのでパス（"＾ω＾）・・・
たしかに煩雑ではあるのですが、最後の不等式にいたるまでの各ステップが技巧的で面白かったです。
> ■問1：難易度6～?（常連正解率 数%～70%）
8月号の解答編が11月号に掲載されています。
二項係数の中央項をnで割った余りが筋をなす理由を問う問題でした。
正答者数からレベルを再評価すると難易度8（常連正解率 30％）というところでしょうか。
> 所感として本問題は
> ・ヒントが適切適量
> ・ネットに解答が落ちてない（たぶん）
> ・難易度は高め
> ・解答者の力量に合わせてレベルが変わる
> 稀に見るエレガントな問題です。
と書きましたが、私の想像以上に「解答者の力量に合わせてレベルが変わる」問題でした。
各人がどこまで証明できたか○と※でマーキングされています。
そして個数評価については全員が出題者の要求レベルに及ばなかったようです。
この意味では難易度10（正解率0％）ともいえます。
これほど深みのある問題は滅多にありません。
エレガントな問題を出してくれた山田修司氏を本スレはこれからも応援していきます。
（2chに応援されても困るかｗ）
> ■問2：難易度2（高校生正解率90％くらい）
>
> 問1のエレガントな出題に対し何たる手抜き問題か。
> 対比の不運もありますが、晴れて堂々、
> ブラックリスト入りが決定でございます(笑)
こちらも再評価しましたがやはりレベルは2です。
10代4名、20代4名が全員正解。
「高校生くらいからチャレンジできるレベルに設定していた」
とありますが、本当に高校の期末試験のような問題を出してくるとは。
「高校生でも解ける」のは構いませんが、期末試験や入学試験レベルの問題なら
期末試験や入学試験の対策本に掲載したらいいんじゃないでしょうか。
こういうショボイ問題を出した人の多くが
「沢山の方々に挑戦していただけて嬉しく思います」
的なコメントを吐いて自分を正当化します。
それが嬉しいなら中学の期末試験問題を出すとよいでしょう。
応募者が200名を超えるかもしれません。
後に残るのは「エレ解は期末試験レベルの難易度である」という評判です。
これを投函して何が得られるのか、82円切手を見ながら考えに沈むことがたまにあります。
ブラックリスト入りのT中R太郎氏。その名前忘るまじ。
のあと
g = f ^(k-1）は連続で、
g(1）= k，g(2）= 1,
だから、中間値の定理を使えば
g(a_j）= j （j=1，2，…，k）
をみたす減少列
2 = a_1 > a_2 > … > a_{k-1｝> a_k = 1
が（芋蔓式に）出ます。
（この辺が登山口でしょうか？）
あとは
h(x）= f^n(x） - x とおいて、
h(a_j）h(a_{j+1}）< 0
から
h(x）=0，a_{j+1｝<x<a_j
をみたすxを出す方針で…
どうもです。
> g = f ^(k-1）は連続で、
> g(1）= k，g(2）= 1,
> （この辺が登山口でしょうか？）
そこは登山口ではなく、登山口の先の高速リフトに座って動き出したあたりです。
巡回置換なのでk-1でこうなることは当たり前ですが、
いきなりここに着目できるのは貴方が切れ者だからでしょう。
もう解答バレしてることだし、恥ずかしながら努力型一般人の私の思考プロセスを公開しましょうか。
１）登山口が見つからず紆余曲折
「・・・（ぶつぶつ）f(i)＝i+1か。これをどう使えばいいのやら」
「・・・（ぶつぶつ）中間値の定理をどこで使うのか？まずは関数を調べにゃ」
「・・・（ぶつぶつ）分からないときはビブンで微分せよ・・、あら不思議、もっと分からなくなった」
「・・・（ぶつぶつ）合成を反復するとどんどん複雑になる。これまともにやったらあかんやつや」
「・・・（ぶつぶつ）f(x)＝xの不動点を発見！でもまったく役に立たないYO」
「・・・（ぶつぶつ）帰納法で示すにしてもf^kで既に複雑だし。参ったな、全然分からん」
２）登山口を発見したとき
「・・・（ぶつぶつ）f(k-1)＝k，f(k)＝1だからk-1≦x≦kから1≦y≦kへは全射。・・・あっ！」
３）登山口から高速リフトで頂上へ
「・・・（ぶつぶつ）要はf^nが1≦x≦2で1≦f^n≦kを渡るならf^{n+1}＝f(f^n)も然りってわけだ・・・」
「・・・（ぶつぶつ）f^{k-1}を考えれば・・なんだ簡単じゃんこの問題」
（以下略）
> 解答を書き上げた後にその内容のシンプルさを見て「なぜ当初あんなにも
> 紆余曲折してしまったのか」と自分のセンスの無さにがっかりしました。
> 取り掛かってからどのくらい短時間で手がかりを見つけるか？
> 数学的洞察力を測るのに最適な問題です。
と書きました。のプロセスを見れば理解いただけると思いますが、
さんのように一瞬で
> g = f ^(k-1）は連続で、
> g(1）= k，g(2）= 1,
に着目できる人には意味が分からなかったかもしれませんね。
（１）で私が右往左往したのは注目すべき点が見えていなかったからです。
ここにたどり着くスピードは人によって違いますが、何に起因しているのか？と考えてしまいました。
頭の良し悪しといってしまえばそれまでですが。
> ２）登山口を発見したとき
> 「・・・（ぶつぶつ）f(k-1)＝k，f(k)＝1だからk-1≦x≦kから1≦y≦kへは全射。・・・あっ！」
これが登山口であることに気付けたのは、の（１）のプロセスを経た結果
「たぶん帰納法でしか示せない」ことが頭のどこかにあったからです（実際はそうでなかったにしても）。
巡回置換であることが分かった時点でf(k-1)＝k，f(k)＝1は知っていたわけで、
一度目はこのポイントを素通りしてしまっています。
一度素通りしてしまうと往々にして再び着目するまで時間がかかります。
そんなこんなで手がかりの発見まで時間を要してしまいました。
分かれば簡単な問題なのに、注目すべきポイントを素通りしている限り難問に見える。
そのような問題の典型例だと思いました。
さんはどんな思考プロセスで高速リフトにたどり着いたのでしょうか。
頭の良い人はどのように考えたのか、頭をかち割って公開してほしいです（笑）
・nがkの倍数でないとき
n≡k-j （mod k)
1≦ j ≦k-1,
として
f ^n ～ f ^(2k-j）= f^(k-j+1）・g,
f ^n(a_j）= f ^(k-j+1)(g(a_j)）= f ^(k-j+1)(j）= 1,
f ^n(a_{j+1}）= f ^(k-j+1)(g(a_{j+1})）= f ^(k-j+1)(j+1）= 2,
より
h(a_j）= 1-a_j < 0,
h(a_{j+1}）= 2 - a_{j+1｝> 0,
ゆえ
h(x）= f^n(x） - x = 0,
a_{j+1｝< x < a_j
となる x= x_n がある。
・nがkの倍数のときは
f ^n(1）= 1，f ^n(2）=2.
1辺の長さが１の正三角形ABCがある。
AP=a，BP=b，CP=c がすべて有理数である点Pを全有理距離点とよぶ。
（初級問題） 正三角形の辺上および外接円の周上に
全有理距離点が無限個あることを証明してください。
（上級問題） 正三角形の内部にある全有理距離点
（3個の距離）を挙げてください。
（2009年5月）
［Vol6．440-442］
リマソン（2a-b=1）上に無限個にある。
(M先生のメモ）
a =（n^4 +10n^2 +9)/L,
b =（n^4 -4n^3 +10n^2 +12n+9)/L,
c =（8n^3 +24n)/L,
L = n^4 +4n^3 +10n^2 -12n+9,
ただし，nは自然数で n≧5 とする。
［Vol6．449-450]
ttp://jump.5ch.net/?http://www.geocities.jp/elegantnakama/mizutani.html 数セミ増刊 （日本評論社）
「数学の問題 第１集」（1977/Feb） 1404円
「数学の問題 第２集」（1978/May） 1728円
「数学の問題 第３集」（1988/Sep） 1728円
ttp://jump.5ch.net/?http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1589.html 「エレガントな解答をもとむ selections」（2001/June） 2052円
ttp://jump.5ch.net/?http://www.nippyo.co.jp/shop/book/1721.html 矢野健太郎「エレガントな解答」ちくま学芸文庫（2007/Nov） 1080円
ttp://jump.5ch.net/?http://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480091178 このスレには誰も居らぬでござるな。
されば天井裏に忍んで、今月の水戸黄門でも思い出すでござるよ。
■第３話：「旅籠で格さん瓜二つ（福島)」 10/18（水)
第３話では、渥美格之進役の荒井敦史が２役に挑戦！旅籠の主人、多一郎と格さんを演じる。
御老公一行の悪党退治の末に感動のラストシーンが！？
さらに、福島県北部で親しまれている郷土料理・いかニンジンも劇中に登場。
■第４話：「悪を糺した弥治郎こけし（白石)」 10/25（水)
第４話では、舞台となる白石市の伝統工芸品「弥治郎こけし」が登場。
宮城県伝統こけしの一つとして、素朴で童のあどけない面立ちが特色。
劇中でも、色とりどりのこけしが立ち並ぶ。
■第５話：「硯の里の仇討ち（雄勝)」 11/01（水)
第５話の劇中では、宮城県石巻市の伝統工芸品「雄勝硯」が登場。
雄勝硯の歴史はとても古く、室町時代から伝わるとも言われている。
程よい固さとなめらかさを併せ持ち、墨の発色が良いのが特徴。
さらに今回は東北出身ゲストとして、大船渡市出身の歌手・新沼謙治さんが登場。
■第６話：「愛しき妻は里隠れ（志津川)」 11/08（水)
第６話からは、新キャストが登場！
元AKB・篠田麻里子さんが、里隠れのくの一として御老公一行の前に立ちはだかります。
さらに、敵役として忍びの頭目・蛇骨の升六を中村嘉葎雄さんが演じます。
後半に向けてますます悪党退治の旅が盛り上がりを見せます！
■第７話：「時の太鼓とじゃじゃ馬姫（一関)」 11/15（水)
第７話の劇中に出てくる「時の太鼓」は、実際に江戸期幕府から一関藩が特別待遇を受けて許されていたもの。
民に昼夜12時を知らせる役目を果たしていたといいます。
そして、今回のゲストには子役としてドラマ、CMなどで活躍中の鈴木梨央ちゃんが登場！
ttp://jump.5ch.net/?http://www.bs-tbs.co.jp/mitokomon/index.html 9月号問題１の解答で、立方陣が可能（冨永氏）なのは驚きでした。
具体的には手前から
［10，26， 6］［23， 3，16］［ 9，13，20］
［24， 1，17］［ 7，14，21］［11，27， 4］
［ 8，15，19］［12，25， 5］［22， 2，18］
のように並べたものです。
各要素から１を引いて、3進数で表わすと、
［100，221，012］［211，002，120］［022，110，201］
［212，000，121］［020，111，202］［101，222，010］
［021，112，200］［102，220，011］［210，001，122］
となり、各桁が（3次元の）ラテン方格になっています。すなわち、
上の桁の数は mod(i+j+k-2，3)
中の桁の数は mod(-i+j+k，3)
下の桁の数は mod(i-j+k，3)
ここでｉは左から右へ、ｊは上から下へ、ｋは手前から奥へ増加する座標で｛0,1,2｝の値をとります。
この種の立方陣は何通りできるんでしょう？
ｋ
↗
・→ｉ
↓
ｊ
上の桁の数は … mod(i+j+k-2，3)
［1，2，0］ ［2，0，1］ ［0，1，2］
［2，0，1］ ［0，1，2］ ［1，2，0］
［0，1，2］ ［1，2，0］ ［2，0，1］
中の桁の数は … mod(-i+j+k，3)
［0，2，1］ ［1，0，2］ ［2，1，0］
［1，0，2］ ［2，1，0］ ［0，2，1］
［2，1，0］ ［0，2，1］ ［1，0，2］
下の桁の数は … mod(i-j+k，3)
［0，1，2］ ［1，2，0］ ［2，0，1］
［2，0，1］ ［0，1，2］ ［1，2，0］
［1，2，0］ ［2，0，1］ ［0，1，2］
となり、それぞれ（3次元の）ラテン方格になっています。
立方体の中心を「１」と決めると
その上下、左右、前後 はそれぞれ｛0,2｝か｛2，0｝の 2とおり、全部で 8とおり です。
中心をとおる断面は
［ 1，a，b ］ ［ b，a，1 ］
［ b，1，a ］ ［ a，1，b ］
［ a，b，1 ］ ［ 1，b，a ］
となるので、いずれか１つに決まります。
8頂点の要素も１とおりに決まります。
∴ １つの桁について、8とおりです。
なお、この8つは、１つを（上下、前後、左右に）鏡映したものです。
上下方向に 0→1→2→0 となるか、 0←1←2←0 となるか は
中心をとおる3つにより決まります。
左右方向、前後方向でも同様ですね。
中心を通って 0→1→2 となるような向きを i '軸（左右），j '軸（上下），k '軸（前後）とします。
数字は mod（i '+j '+k '-2，3）と表わせます。
対応する体対角線に垂直な平面上に、同じ数字が並びます。
■出題１： (1)はレベル4 （常連正解率95％），(2)はレベル8～？（常連正解率20％以下）
加古先生出題の良問。
周期関数を要素とする行列の正則性を問う問題でした。
(1)は正攻法で解けるので余裕でしょう。
場合分けが出てきますがこれで手こずるようでは修行が足りません。
(2)は七転八倒必至の難問に感じました（正攻法で突っ込みすぎたか。）
あっさり解けた人がいるなら手を挙げてください。
栄えある『とあるエレ解常連』の称号を譲ります。
その代わり来月から講評をお願いします。
■出題２： 問題1, 2はレベル3（常連正解率100％），番外問題はレベル4？（常連正解率90～95％？）
岩I先生の問題。
ビギナー向け教科書のcoffee breakコーナーにあるような軽めの問題。
「滑らか」の定義を知らないとポカーンとなってしまいそうですが
よもや数セミ読者で困ってしまう人はいないでしょう。
番外問題がちょっとだけ面白かったかな？程度の印象。
決して悪い問題ではないのですが、私は時弘先生や加古先生が出題するような
骨も心もバッキバキに折れそうな難問が好みです。
税込1177円で何日何時間も我を忘れて熱中できるのですから安いものでしょう。
難しすぎて絶対解けないというならストレスフルで嫌にもなりますが、
諦めなければいつかは解ける（解けないときもあるが）という絶妙な按配。
ファンは私以外にも多いはずです。絶対。知らんけど。
9月号の解答編について：
> (3)N個の式をエレガントに網羅する
>
> のは簡単ではない。
> ここを深く考察してくるのが常連のトップレベル。
> 果たして分かりやすい表示があるでしょうか？
>
> 考え過ぎ！と思う向きがあるかもしれませんが、
> 平太氏がこの考察の準備なしに出題したとは思えません。
えっとまあ考えすぎでしたねｗ
平太氏も準備がなかったと。そういうことでした。
一番深い考察は一般の場合まで調べたさんです。
の三次元構造を考察するところはさすが本物の常連ですね。
とある名無しの常連とはレベルが違います。
>
> 9月号の解答編について：
リンク間違えとる。でなく です。
出題2はT内氏の素数クロスワード。
（最初にはっきり言っておきますが私はアンチです。ファンの方ごめんなさいｗ）
設計図が重要とおっしゃるが阿呆の直感でスっと出来ましたよ。
ただただ可逆素数表とにらめっこ。
0を意識しないといけない？そんなの当たりまえでしょう。
誰だってわかりますよ。そういう人為的ルールなんだから。
ここにはめてやれ、どうだ！いけた！やったーなんて調子。
408点がすごい？まあ確かにすごいですよ。
こんな問題にエレガントな解答をひねくりだすK原氏は文句なくすごいですよ。
逆にK原氏の解答がなければ3ページも記事書けてませんよあなた。
数学知識を盛り込んだエレガントなプログラムが用意されてるんだろう。
誰しもそう思いましたよ。
設計図をベースに乱数でテキトウに割り当てていくといういい加減なプログラム
やっぱりそうかそうきたかと。正直なT内氏に逆に好感を抱いちゃったり。
数学を解いているというより単なる作業。家内制手工業。
3ヶ月後に待っていた報酬がこれかと。
やりきれませんが誰でも出来る仕事に報酬が少ないのは仕方ない。
注目すべきは31名しか投稿がなかったことです。
単純簡単な問題なのになぜ投稿が少ないのか？
ネットで可逆素数表を見れる環境なら誰でもアプローチできるのになぜ？
その意味を雑誌関係者はよく考えていただきたい。
本問も解いてきたのはほとんど常連ばかりでしたよね。
彼らは悪く言えば惰性で毎月投稿してくるんですよ。
問題がつまらなくてもきちんと解答を書いて投稿します。
自分のライフワーク、ずっと続けてきた習慣を崩したくないからです。
習慣を崩したくないという動機だけで私は解きましたよ。
最後に。フォローするわけではないが、問題と解答が間違ってないだけ
T内氏の出題としてはマシだったと思います。
これだけ言ってやればT内氏のファンは黙ってないだろう。
異論反論オブジェクションをどうぞｗ
まあエレ解に出すのはどうよって意見もあるだろうが、あくまで「もとむ」だから良いんじゃない？
今回の問題だって、誰かがエレガントな方法で最大値を証明する可能性だってあったわけで。
楽しめたなら何よりです。私はダメでした。
408点を目指せ、という問題だったら良かったのかな。
ルールもなんだか人為的すぎて思い入れがなく。
れっきとした数学でしょうけど、この問題の研究に時間を使うんだったら別の本でも読みたいなとｗ
研究派の常連さんには良問だったかもしれませんね。
■出題２： 番外問題ですが、小生は
４つの側面を
⌒
⌒
⌒
⌒
にするのと、ねじって
～
～
～
～
にするのを出しました
（天面と底面はほとんど自動的に決まりました。）
> ■出題２： 番外問題ですが、小生は
> ４つの側面を
> ⌒
> ⌒
> ⌒
> ⌒
> にするのと、ねじって
> ～
> ～
> ～
> ～
> にするのを出しました
> （天面と底面はほとんど自動的に決まりました。）
番外問題は1個見つけて終わりにしてしまいました
何通りあるかを考えるのも面白い？？
拙者の出番でござるな。
…と、天井裏から降りてきて水戸黄門のみどころを
■第８話「盗まれた印籠（花巻）」 11/22（水）
第８話は、花巻石鳥谷の酒蔵が舞台。石鳥谷は、日本三大杜氏の一つに謳われる”南部杜氏”発祥の地と言われている。
長い歴史を持つ”南部杜氏”は現在も全国にその技術を伝えています。
そして、今回のゲストには「3年B組 金八先生」で生徒役として武田鉄矢さんと共演した川上麻衣子さんが登場！
第９話の舞台は岩手県の北端、二戸市。
劇中にも登場する「浄法寺塗」は二戸市の伝統工芸品。
国内で採れる漆のおよそ７割が二戸地域のもの。
生産量だけでなく質の高さにも定評があり、使うほどに艶や輝きが増していくのが特徴。
さらには、日本最古の盆踊りと言われる「ナニャトヤラ」という伝統芸能も劇中に登場。
古くから二戸に伝わる太鼓のリズムと歌に合わせて繰り広げられる踊り。
村人を集めた盆踊りのシーンでは、ドラマではあまり見かけない人が登場するかも！？
スレチですがエレ解常連の年齢層を考えるとずっぽしというw
しかも何だか観たくなります
番宣屋さんと呼ばせてもらいます
いよいよ最終回！
ゲストには、女優。松坂慶子さんが登場。役どころはなんと、黄門様の初恋相手！
また、劇中で松坂さんが作っている「南部姫毬」は、八戸に伝わる名産品の一つ。
平安時代に子どもたちの遊び道具として生まれた手毬を観賞用にしたもの。
糸を幾重にも巻き上げ、菱型や三角形を組み合わせた色鮮やかな模様を施している「南部毛毬」は、飾られた家の邪気を払いながら色あせていく、その家のお守り。
結婚や出産のお祝い品としても重宝されている。
最後に出演者全員で「贈ることば」を合唱？（「金八先生」1st シリーズの主題歌だったなぁ…）
ttp://jump.5ch.net/?http://www.bs-tbs.co.jp/mitokomon/index.html （長い間ご愛読ありがとうございました。）
気付かなかった
■出題１：レベル5（常連正解率90％）
やや易しめの良問。
隣り合う数字が連続する条件下では魔方陣が成立しないこと示す問題。
一見すると整数問題だが、グラフを考えることがエレガントに解く鍵となる。
■出題２：n＝４，５はレベル2～3（高校生正解率90％），n＝6はレベル5（常連正解率90％）
n＝４，５はとても易しい。問題なのはn＝６でかなり悩まされた。
長時間悩んだ結果めでたく解答の道筋が立ち、
論理を整理しつつB5用紙に解答を清書していったところ
出来上がった答案は当初書くはずだった結論の逆を証明していた、という珍しい体験をした（←アホ）
■出題２ （と言っても蛇足だが）
・n≧3、奇数の場合の１例
単色点M（他のn-1点と同色の辺でつながる点）が１つある。
他の n-1点も、同色の辺でつながる対をなす。
M－A(2k-1)－A(2k)－M 色1
それ以外の辺はすべて違う色とする。
（多数の三角形が１点を共有するイメージ。）
・n≧8、偶数の場合の１例
上記の n-1点の例に、点Bと次の辺を追加する。
B－A1 色1
B－A3－A1 色2
B－A(k+2)－Ak 色k
B－A2－A(n-3) 色n-3
B－A4－A(n-2) 色n-2
これ以外の辺はすべて違う色とする。
k = 3，…，n-4 です。
我ながら、何ともセコい解だ。。。
で、本題の n=6 の方でござるが、
長時間悩んだが解答の道筋も立たず、でござった。
修行が足りぬ。。。
> 長時間悩んだが解答の道筋も立たず、でござった。
n＝6にエレガントな解法があるのか疑問です。
解答編を楽しみに待ちましょう。
は凄いですねえ。よく一般のケースを考えようと思いましたね。
n≧8が簡単なんて想像してませんでしたよ。
n＝6が特異なんですね。面白いです。
２０１１年８＋９月号なんて手元にないよ(；´Д｀)
内容知ってる人教えてもらえませんか
ttp://jump.5ch.net/?https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5621.html 電力不足だから8月の発売はしないことにしたのかな
そう。停電というよりこの頃は製紙工場が被災して、とにかく紙が足りなかった。実質9月号を飛ばしたことになる。
じゃあこの年はエレ解が11ヶ月分しか出なかったかというとそうではなくて、9月号分はネットで出題された。
> 問１が手がかりすら掴めん・・・
というコメントを読んで問2から手をつけましたが、(2)は無茶苦茶骨が折れます
これから問1を考えます。間に合うだろうか・・・
数学セミナー，2011年 8/9月号，p.65-71 (2011)
岩沢宏和：「とっておきの」確率パズル
（「確率パズルの迷宮」連載●第５回）
次の本の紹介記事
ピーター・ウィンクラー「とっておきの数学パズル」日本評論社（2011/July)
坂井・岩沢・小副川（訳） 2592円
最後の問題27 ＝ 本書の§4．9 ＝ 出題1（n=500，k=1）
「同書に収められている解答は、なかなか秀逸な着想に基づき、難しい計算をいっさい使わずに、2/3が答えであることの証明を行なっている。
だが、その内容自体は、そう簡単ではなく、数ページに及ぶ長いものである。
やはりこの問題は相当に難しいようだ。」
がんばれ
つまりクロスチェックには成功したと
ttp://jump.5ch.net/?http://www.nippyo.co.jp/shop/book/5638.html ttp://jump.5ch.net/?http://www.nippyo.co.jp/shop/book/5955.html 数学基礎論の特集
「今は昔の竹内物語」に
竹内外史先生（1926/01/25～2017/05/10）の思い出話があって、
６．辻先生が「竹の内君」と云った話（p.20）がある。
竹内端三先生（東大、1887/06/～1945/08/07）のことだったようですが…
今の人ならきっと
竹之内脩先生（阪大・基礎工、函数解析）
と思うでしょうね。
「関 孝和の数学」共立出版(2008/June）
174p．4104円
ttp://jump.5ch.net/?http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320018624 「函数解析」朝倉 近代数学講座７（2004/Apr)
「函数解析演習」朝倉 近代数学講座 演習編６（2008/Jan)
■出題１：レベル6～7（常連正解率50～70％）
［ノーヒントならレベル9～10（常連正解率0～10％）］
2n個の点からランダムにn個の区間を選ぶとき、
すべての区間と交わる『支配区間』がk個以上できる確率を問う問題。
親切にもヒント付きなので苦労しつつも解けた人が多いのではないでしょうか。
果たしてこの問題をノーヒントで解ける読者がいるんだろうかと思いますね。
あんな解法は100年かかっても思いつけない自信が私にはあります。
世の中には恐ろしく頭の良い人がいるものです。
良い問題、良い解法、凄い数学者、いろんな出会いのある良問でした。
エレガントな別解があるのか、解答編も楽しみです。
■出題２：レベル7～8（常連正解率20～40％）
［ノーヒントならレベル9～10（常連正解率0～5％）］
『強正則グラフ』というワードを知っている人はヒントにたどり着けたでしょう。
しかしヒント付きでもグラフの数え上げ、もっといえばuniquenessの証明は決して簡単ではないです。
そんなわけでレベルは7～8程度と高めです。
ノーヒントなら限りなくレベル10（正解者0～1人レベル）です。
特にn＝9, n＝10の一部のグラフを自力で探すのは無理ゲーではないか。
仮に探せたとしてもその唯一性を示すのがまた無理ゲー。
ヒント付きでも解答をきちんと記述するのは大変です。
一見とっつきやすそうな問題だけにノーヒントで突き進んだ人も多いと思いますが、
早めに情報収集して武装するのが吉という問題でした。
ノーヒントで解けた人は大いに自慢してよいと思います。
はっきりいってイチ数学ファンのレベルを超えていますから。
あるいは武装せずともエレガントに解けるんでしょうか？
----
２問とも
・オリジナリティがなく他所で情報を拾えてしまう
・ヒントがなければ超難問である
・ヒント付きでもそこそこの難問である
という共通項がありました。
ある意味悪問と言えなくもないですが、
両問とも我を忘れて熱中できる面白さがありました。
ゆっくり時間を取れる冬休みの宿題としては良いレベルだったと思います。
岩澤理論の特集 …… 代数的整数論の中心的なテーマ
（岩澤加群・セルマー群 と p進ζ関数・p進L関数 とが本質的に一致する？）
それはさて置き、出題１はのちのち、支配区間論における岩沢理論とでも呼ばれるでしょうか？
ジャステイツ氏の秀逸な着想に基づき、難しい計算を使わずに解けるらしいですが…
Justiczの論文の『秀逸な着想』は２ページにまとまってますね。
any k＜nは"With slightly more care"で解けるとあります。
Justiczにとってのslightは私にとってのslightではないので困ります。
最後の4数（a～d）もA(n-1)，B(n-1)，A(n)，B(n）で表わしましょう。
本書の解は
支配区間が１つある ⇔ 最後の2つの区間（n-1とn）が「左側～右側」
（初めのn-2の区間は無関係）というものですね。
これを slight 拡張すると、
支配区間がｋ個ある ⇔ 最後のk+1の区間が「左側～右側」
（初めのn-k-1の区間は無関係）
となり、証明もほとんど同様にできそう。
・補足
定義により、A（j）とB（j）とが
「左側～右側」 ⇔ 「右向き」あるいは「左向き」の区間が継続する。
「同じ側」 ⇔ 「右向き」と「左向き」が反転する。このとき区間１～区間ｊはいずれも支配区間でなくなる。（頓死）
「支配区間」が（１つ以上）ある ⇔ 最後の2つの区間（n-1とn）が「左側～右側」
「支配区間」がｋ個以上ある ⇔ 最後のk+1の区間（n-k～n）が「左側～右側」
> となり、証明もほとんど同様にできそう。
必要性をきっちり証明するのは自分には面倒でslight careでは済まなかったです。
細心のcareをしました。
> 「支配区間」がｋ個以上ある ⇔ 最後のk+1の区間（n-k～n）が「左側～右側」
これって正確ですか？
any k＜n では…
なお、n-1個あるなら当然n個ありますが、これは「n-1個」と云うことにしました。
今月はどうでしょうか？
古代の間諜。敵の様子を探る者。「うかがい見る」の略であろう、ですって
ttp://jump.5ch.net/?https://kotobank.jp/word/%E6%96%A5%E5%80%99-34328 ・最後のk+1個の区間がすべて「左側～右側」なら、最後のk個が支配区間になる。
ことを示せばOK
右側が左側より2個多いケースがあります。
確かにそうですね。
区間jが左向き B(j）> A(j）のケースでは、右側の未定数が左側より２個多く、
次の区間の「同じ側」と「反対側」が入れ替わるので面倒ですね。
というわけで、 「右向き」と「左向き」に戻しましょう^^
j=n-2 の例で考えると、a<b<c<d としたので
A(n-2）< B(n-2）：右向きのとき、b <｛n，A(j)｝< c
A(n-2）> B(n-2）：左向きのとき、a <｛n，A(j)｝< b
（j≦n-2）
このとき A(n-1）= b で、最後の区間nはつねに右向きになります。
・B(n-1）= a なら区間n-1 は左向き、区間nは右向き となります。向きが変わったので支配区間はありません。（頓死）
・B(n-1）= c または d なら区間n-1 ～ 区間n で右向きが継続し、支配区間が（１つ以上）あります。
区間jが左向き B(j）< A(j）のケースでは…
ttp://jump.5ch.net/?https://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Ford/Joyce-Scheinerman881-889.pdf そうですね。「右向き区間の連続」が必要十分です。
論文ではそのような書き方はされていないのでany kではちょっと悩みました。
まずここに気付けるかどうかが第一関門です。
十分性は明らかで必要性が問題ですね。
示すべきは「連続しなければ支配区間は高々k-1個となる」ことです。
これを証明できるかが第二関門です。
n-k番目から始めてn-k+a番目(0≦a≦k-1）で右向きの連続が途絶えたとすれば
[1] n-k+a ～ n番目が支配区間となりうるのは高々k-1-a個
[2] 1 ～ n-k+a-1 番目は支配区間にならない
が成り立ちます。[1]と[2]の両方を、
■case1：左側と右側の点が同数の場合
■case2：左側よりも右側の方が2点多い場合
の2ケースで示せばOKということになります。
証明は論文の方法と同様なので"With slightly more care"なんでしょうね。
私のようなチキンはこの補足を読んですぐに「自力では無理」と悟りました（笑）
結果として論文を読んでもなお難しいと感じたので、ネット情報で武装したのは正解でした。
論文の方法を自力で編み出すのは私の能力の遥か遠方を飛び越えます。
氏は自力で3通りの方法を試したようです。
結果が不正解だったにせよ3通りも編み出すのは凄いと思いますね。
> 1は3通りの方法で解いてみたが、互いに微妙に違う上に、正解とも異るという
３ヶ月後の解答編が楽しみです。
１）論文にあるエレガントな方法
２）論文にある積分の方法（この方針で解けるのか私は知りません）
２通り以上の解答を期待。
逆に辿る方が簡単？
for any k＜n,
最後のk+1区間（n-k～n）が右向き、区間n-k-1が左向きとすると
最後のk区間（n-k+1 ～ n）が支配区間で、初めのn-k区間（1～n-k）は支配区間でない。
（区間n-k-1 と区間n-kは重ならない。）
区間j-1 と区間j が同じ向き ⇔ A(j)，B(j）が反対側
区間j-1 と区間j が逆向き ⇔ A(j)，B(j）が同じ側
なので、
最後のk+1区間（n-k～n）が同じ向き ⇔ 最後のk区間（n-k+1 ～n）でA(j）とB(j）が反対側
（区間nが右向きということを使えば、まだ改良できるけど…）
なるほど・・
「向きが左（右）へ変わったら、その左向き（右向き）区間と、そこまでに連続した右（左）区間たちはすべて支配区間でない」
これは直感的に理解できますね。これを押さえれば必要条件も見通しよく書けそうです。
n個の区間を 「向きが連続した区間列」の列 と捉え、最後の区間が左向きでないことに注意すれば、必要十分条件は容易に導けそうです。
難問が易問に変わりました。
それもこれもエレガントな手法のおかげです。
組み合わせ論おそるべし。
支配区間がｋ個以上あるかどうかは、最後のk+1区間の向きで決まり、それより前の向きに依らない。
k+1区間のすべてが支配区間になる確率の問題に帰着するから、難しい計算を使わずに解ける。
これはｎに依らない。（解決）
それはそうと、今月の問題もナニだ・・･･
> それはそうと、今月の問題もナニだ・・･･
そうですかナニですか・・
出題2の問題2で手が止まってます。
出題1は問題文だけは読みましたが、難しそうなので後回しに・・
出題１は、n+3 を n で表わして、出てきた末項たちをまとめると、
末項 ｖｓ 総和、つまり「末項勝負」になる？
（1）の（1+x)^n はΣの隣項比から末項率が押さえられるか？
（2）の（1+x+xx)^n は準・末項がズラズラ… 一体どうするんでしょうね？
もちろん、当てにはなりませんが。
> 末項 ｖｓ 総和、つまり「末項勝負」になる？
朝方に読んで吹き出しましたわ
今月は締め切りが9日でした。
問題の難易度が高く間に合わなかった方も多かったのでは。
■出題1：問題1はレベル6（常連正解率70～80％）、問題2はレベル8（常連正解率20％）
徳重典英先生の出題。
n個の整数x_k∈{0,1}［{0,1,2}］の和がfloor(n/3)［floor(2n/3)］以下となる組み合わせの総数がc^n（c＜2）［d^n（d＜3］で押さえられるかを問う問題。
問題文はsimpleですが、simpleな問題は往々にして難しいという典型例。
良問ですが良く知られた有名問題の匂いがします。
上のレベルは正攻法で解いた場合です。
おそらくエレガントな解答が用意されています。
正攻法では知識と多少面倒な計算が必要です。
問題文には『根拠を示して答えよ』とあります。
これは裏を返せば『厳密でなくてもよい』という意味かもしれません。
正攻法で厳密な議論を展開するのはなかなか面倒です。
阿呆のコメントはひとまずこれくらいに。
ぬるぽさんか早解きさんか水戸黄門さんか、どなたかのコメントを待って議論したいと思います。
■出題2：問題1はレベル2～3（高校生正解率80％）、問題2はレベル7～8（常連正解率20～30％）
丹下基生先生の出題。
凸多角形の隣接3点を使った等積変形（I-変形と名付けられている）で凸性を保ちながら正多角形にできるかを問う問題。
n角形（n≧4）では対角線を底辺とするI-変形のみが許される。
こちらも良問と言ってよいと思います。
ウォーミングアップ問題、問題1は瞬殺ですが、問題2の凸5角形のケースは簡単ではないです。
スジさえ通っていればマルがもらえるかもしれませんが、『どんな点配置でもこの変形が可能か？』を厳密に考えると結構大変です。
それを解答として記述するのもまた大変。
先月に続き、今月も本誌名物コーナー『エレガントな解答をもとむ』の醍醐味が存分に味わえる美味しい月でした。
2問とも良問なのはうれしいですね。
5chで愚問悪問排除運動を推し進めた成果が出始めているのかｗ
・nが奇数のとき
正n角形の任意の2頂点p,qに対して、それから等距離な頂点がちょうど１つある。
↓
辺と対角線を長さごとに彩色すれば、題意を満たす。
美しく、かつエレガントな結果です。（なかなか出て来ない…）
・n≧8、偶数の場合
これも おkでしたね^^（清水氏）
（えっ！まだ出たばかりぢゃ？）
といっても NOTE の、ですが。
（なーんだ）
■長岡京の公式
1+2+……+k = T_k
とおくと「図」から
k = T_k - T_{k-1},
kk = Ｔ_k + T_{k-1}
辺々掛けてたす。
Σ[k=1,n］ k^3 = Σ[k=1,n］（T_k - T_{k-1}）（T_k + T_{k
-1}）
= Σ[k=1,n］（(T_k)^2 -（T_{k-1})^2）
=（T_n)^2, （← T_0=0）
なんともエレガント。
クスコ副将軍の墳墓は立方体を重ねた形にしてほしい、という程でござる。
■宇都宮の不等式
単調減少な正数列 x_1 > x_2 > …… > x_n > 0 について
Σ[j=1,n］（x_j)^x_{j-1｝＞ Σ[k=1,n］（x_j)^x_{j+1}
ただし、x_0 = x_n，x_{n+1}= x_1 とする。
これも美しい不等式。
名著「不等式への招待」の著者も今や古希でござる。
> ・n≧8、偶数の場合
>
> これも おkでしたね^^（清水氏）
そう簡単に思いつけないと思うんですけどね。
で気付かれていたのはさすがの一言です。
解答編で
> n＝４，５はとても易しい。問題なのはn＝６でかなり悩まされた。
> 長時間悩んだ結果めでたく解答の道筋が立ち、
> 論理を整理しつつB5用紙に解答を清書していったところ
> 出来上がった答案は当初書くはずだった結論の逆を証明していた、という珍しい体験をした（←アホ）
と書きましたが、まったく同じことを答案にコメントした人が居たみたいですね。
私のドッペルゲンガーかと。ビックリしました。
本誌に『苦労の時間は至福のときだったのではないでしょうか？』とありますが、
さすがにこの苦労は至福とはいえなかったですね・・ｗ
方針がまったく定まらず、題意を満たすグラフがあるのかないのか分からず。
いよいよどうしようもなくなり非存在をシラミツブシで調べることにしたという経緯なわけで。
絵に描いたようなエレファントロードです。
オレは才能ないんだなーと悲しみを抱えつつ虱を潰してました。
そして最後には『グラフあるんかーい！』でずっこけて大団円というオチ。
> 今月は両方解けそうだ。エレガントかどうかは別として。
斥候ご苦労！
今月はゆったりできそうですね
■出題1
問題（1）
x_1 + x_2 + …… + x_n = k となる解（x_1，x_2，……，x_n）の個数はＣ[n，k］
求めるものは
f_n = Σ(k=0，m）Ｃ(n，k)， m =［n/3]
ところで、k < n/3 のとき
Ｃ(n，k）=｛(k+1)/(n-k)}Ｃ(n，k+1）<（1/2)Ｃ(n，k+1)
< … <（1/2)^(m-k）Ｃ(n，m).
f_n = Σ(k=0，m）Ｃ(n，k)
< Ｃ(n，m）（1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …）
< Ｃ(n，m）* 2
〔補題〕
n≧2 のとき Ｃ(n，m）≦（4/9)c^n,
ただし、c = 3/4^(1/3）= 1.889881575
(略証)
Ｃ(2，0）= 1 < 4^(1/3）=（4/9)c^2,
Ｃ(3，1）= 3 =（4/9)c^3,
Ｃ(4，1）= 4 < 9/4^(1/3）=（4/9)c^4,
これと
Ｃ(n+3，m+1）=｛(n+3)(n+2)(n+1)/[(m+1)(n-m+2)(n-m+1)]}Ｃ(n,m)
<（27/4)Ｃ(n,m)
から出る。(終)
∴ f_n < c^n,
> Ｃ(n+3，m+1） = ｛(n+3)(n+2)(n+1)/[(m+1)(n-m+2)(n-m+1)]}Ｃ(n,m) < （27/4)Ｃ(n,m)
この漸化式で帰納法ですか。
さらっと書いてますけど思い付かんでしょうねフツーはｗ
微妙な差はありますが、
f_n＜A x Ｃ(n，m）＜B x c^n
というステップを踏むところは私と同じです
やはりこれが本筋ですね
ttp://jump.5ch.net/?http://mixi.jp/view_community.pl?id=11469 
ttp://blog-imgs-41.fc2.com/t/o/m/tomotaroukun/b6f63b2a62a9480c4c14d678970cd202.jpg 「その他、漸化式から証明した人が多数いました」の「多数」の一員でよければどうぞ。
東大の入試問題としても丁度よさそうなレベル。
漸化式を使って解くのが普通だし、それなら20分もあればちゃんと完答できる。
その回答で満足できるのならそれでいい。ケチをつける気はないよ。
〔掛谷の定理〕
正係数のn次多項式
F（x）= a_0･x^n + a_1･x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝･x + a_n,
について
・a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1｝> a_n > 0 ならば
F（x）= 0 の解の絶対値は１より小さい。
・0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1｝< a_n ならば
F（x）= 0 の解の絶対値は１より大きい。
n次方程式 F(x）= 0 の根｛r_k｝がすべて実数のとき、
F(x）が極値・停留値をとる点b｛F '(x）= 0 の実数解｝は次をみたす。
r_min ≦ b ≦ r_max
(2)
n次多項式 F(x）が停留値をとる点β｛F '(x）= 0 の解｝は、
F(x）= 0 のすべての根を含む凸領域内にある。
例） すべて単根｛α_k｝のときは
β = Σ[k=1,n］ｔ_k α_k
重み t_k = |β-α_k|＾(-2)／{Σ[ｊ=1,n］｜β-α_ｊ|＾(-2)}
(1-λ)f(a) + λf(b) ＞ f((1-λ)a+λb)
が成り立つこととする。
〔補題〕
f(x）が 0≦x≦1 で下に凸ならば
1） （1/n）Σ[k=1，n］f(k/(n+1)）＞｛1/(n-1)｝Σ[k=1，n-1］f(k/n),
2） ｛1/(n+1)｝Σ[k=0，n］f(k/n）＞｛1/(n+2)｝Σ[k=0，n+1］f(k/(n+1)),
(1-λ)f(a) + λf(b) ＞ f((1-λ)a+λb)
が成り立つこととする。
〔Popoviciuの不等式〕
f(x) が下に凸ならば、 (a+b+c)/3 = m に対して、
f(a) + f(b) + f(c) + 3f(m) ≧ 2f((a+b)/2) + 2f((a+c)/2) + 2f((b+c)/2),
佐藤淳郎（訳）「美しい不等式の世界」 朝倉書店(2013) p.41 演習問題1.89
一身上の都合により明日1日で終わらせないといけません
これで簡単でなかったら激オコですよ
2017年12月号 ■出題2
n=6 の解答を残しておく。
A1-A2-A3-A1
A1-B1
A2-B2
A3-B3
以上を色1で
B2-A1-B3-B1 色2
B3-A2-B1-B2 色3
B1-A3-B2-B3 色4
3回（120ﾟ）対称らしい
まとめてみる。
・nが奇数（n≧3）のとき
((n-1)/2回対称) (n回対称)
・nが偶数（n≧8）のとき
(非対称)
・n=6 のとき
(3回対称)
・n=2，4 のとき
なし
> 一身上の都合により明日1日で終わらせないといけません
> これで簡単でなかったら激オコですよ
激オコしかけましたがなんとか大丈夫でした（笑
よい週末を。
> ■出題１：レベル6～7（常連正解率50～70％）
> ［ノーヒントならレベル9～10（常連正解率0～10％）］
>
> 2n個の点からランダムにn個の区間を選ぶとき、
> すべての区間と交わる『支配区間』がk個以上できる確率を問う問題。
>
>
> ■出題２：レベル7～8（常連正解率20～40％）
> ［ノーヒントならレベル9～10（常連正解率0～5％）］
>
> 『強正則グラフ』
2問ともノーヒントでレベル9～10という超難問だった1月号の解答がもうすぐ来ます。
待ち遠しいですね。果たして何人解けているのか。
特に出題２をノーヒントで解くのは、とあるエレ解常連レベルでは3ヶ月時間をもらっても無理です。
両問ともヒントを使ったかどうかは解き方を見ればすぐに分かります。
ヒントなしで解いた人間がいたら本スレで崇め奉りたいと思ってます。
〔掛谷の定理〕
不等式スレ９.453 459 465
不等式スレ９.463
〔Popoviciuの不等式〕
(i) a, b ≦ m ≦ c のとき
f(m) + f((m+c)/2) ≧ f((a+c)/2) + f((b+c)/2),
(ii) a ≦ m ≦ b，c のとき
f((a+m)/2) + f(m) ≧ f((a+b)/2) + f((a+c)/2),
は次から出る。
〔補題471〕
f(x) は m，nを含む区間で下に凸
m+d，n-d が m と n の中間にあるとき
f(m) + f(n) ＞ f(m+d) + f(n-d)
不等式スレ９.465 471
激オコしなかったんですか^^
ぱっと見、難易度がぜんぜん掴めません。
不等式スレの住人に斥候を頼みたいところです。
出題2は岡本吉央先生。
いつも通りエレガントな問題。安心安定のハイクオリティ。
たぶん相当な難問です。（１）、（２）、（３）までありますよ。気合入れないといかんです。
早めに取り掛かるのが吉。私のように組み合わせ論が苦手な人はなおさらです。
組み合わせ論も不等式も苦手な私は今月覚悟して取り組みます
でも良問だと思う。
は、早い・・・もう見通したんですか。
心強いお言葉ですねぇ
出題1もよろしくです。
コメントを聞いてから春旅行のスケジュールを立てますｗ
4月号 出題１は…
（1) 通分して多項式で考えるのがシュアーか？
（2) も同様。Ω条件を消したいので○○変換してみる？
（3) 因数分解できるが、対称性は自発的に破れる？
どれも当てにならぬが…
出題1は微妙ですね。警戒しておこう・・
穴がないかチェックしよう。。
あの問題は歴史に残る名作でありました
> どれも当てにならぬが…
どれも解いた人にしか書けないコメントですがｗ
不等式スレの住人には屁の河童かもしれませんね。
は意外にシュールな解き方するかもよ？
ネタバレ厳禁でよろしくｗ
> 2は気づけばなーんだという問題。(3)まで含めてB5の半分程度で行けるかな。
コレそんなに簡単ですかね・・？
気づけばね。答えの式を見たら、すぐに解法が分かると思う。
感嘆。やっと思いつきましたよエレガントな解法を。
これを一瞬で思いつけるのは頭良すぎですよ
おそえて下さい
(3)は3分割して同じことをやる。
1<=i<=mにおいて
f1(i)=f(i)
f2(i)=f1(i)+f(i+m)-f(m)
と置くと、f1, f2の組み合わせとf（つまり経路）が1対1で対応する。
f2(i) - f1(i) = f(i+m) - f(m) が 1≦i≦m で単調非減少の経路はそうですね。
非負でOKなら、部分的に減少する経路も有り得る希ガス
C(m+n-1，m) = C(m+n-1，n-1)
= Π[j=1，m] Π[k=1，n-1] (j+k)/(j+k-1)
= Π[(j，k)∈B1] (j+k)/(j+k-1)
ここに、B1 = {(j，k) | 1≦j≦m，1≦k≦n-1} は m×(n-1) の長方形ブロック
そだね～
f(m)は固定値でf(i+m)が単調非減少なんだから、やはり単調非減少なんじゃね？
> (1,1)から(2m+1,n)までの経路で、(i,j)から東に進む場合にf(i)=jと定義。
> 1<=i<=mにおいて
> f1(i)=f(i)
> f2(i)=f1(i)+f(i+m)-f(m)
> と置くと、f1, f2の組み合わせとf（つまり経路）が1対1で対応する。
たとえばf(1)<n, f(m)=nなる経路fを取るとf2(i)=f1(i)に限定されます。
任意のiに対しf(i+m)=f(m)=nなので。
しかし実際には別のf2が取れます。
読み違っていたらご指摘ください。
それにしてもいい問題ですねこれ。
翌月号が届くまで暇しなさそうだ。
あー！！！確かにその通り。
は ブロックB1 に収まるヤング図形を数えたのでござるな。
では、L個の関数 f_1 ≦ f_2 ≦ … ≦ f_L に対しては
ブロックBに収まる３次元ヤング図形の数にならぬか？
Π[i=1，L] Π[j=1，m] Π[k=1，n-1] (i+j+k-1)/(i+j+k-2)
= Π[ (i，j，k) ∈ B] (i+j+k-1)/(i+j+k-2),
ここに、B =｛ (i，j，k) | 1≦i≦L，1≦j≦m，1≦k≦n-1｝は L×m×(n-1) の直方体ブロック
P.A.MacMahon："Combinatory Analysis" Vol.2, Cambridge (1916)
にあるらしい。
今月は良質で軽めの問題が1問、エレガントな難問が1問です。
■出題1：レベル4～5 （常連正解率90％）
生ける伝説一松先生の出題。
変数を正としてf(a,b,c;t)≡(a^2+b^2+c^2)-t(ab+bc+ca)+9(t-1)abc/(a+b+c)が
すべてのa,b,cに対して≧0、あるいは≦0となるtの範囲を考えさせる問題。
≦0のときはa,b,cが三角形成立条件を満たすように動く。
一見して数オリの練習問題のようですが実際にそんな感じです。
必要性と十分性をきちんと押さえて議論する必要があり基礎力が問われます。
大学入学を控えた18歳がエレ解の世界へ足を踏み入れる導入問題として
4月号に似つかわしい優れた問題と言えるでしょう。
■出題2：レベル8～？（常連正解率15％～？）
単調非減少な関数f:{1,2,3,...,m}→{1,2,3,...,n}の総数を求める岡本先生の問題。
小問(1)は上記のとおり。(2)は任意のiでf1(i)≦f2(i)を満たす組の総数を求める。
(3)はf1(i)≦f2(i)≦f3(i)を満たす3つ組の総数を求める。
シンプルで難しく、しかし美しい組み合わせ論の問題です。
組み合わせ論はエレガントな問題の宝庫ですね。
私は苦手としているのであんまり出さないでほしいのですがｗ
高校生以下でもチャレンジできますので題材としてはうってつけでしょう。
組み合わせ論はアイデア一発でエレガントな解答が書けることが多いです。
逆にアイデアが浮かばなければ路頭に迷いまくるという困った性質を持ちます。
(1)は重複組み合わせを考えれば終わりなので簡単です。
問題は(2)です。あるf1に対してf2が何通りあるか(*)は論文が出ています。
しかし(f1,f2)の組み合わせの総数については参考文献が見当たりません。
(*)より簡単なのだろうと思いますがエレ解レベルの数学ファンには難しいです。
なんてあたかも私がエレ解ファンの代表かのように語ってますが、
組み合わせ論は『こう解けば簡単じゃん、バカなの？』というコメントで
落ち込まされることが経験上多いので怖いですｗ
■出題１
〔シューア不等式〕の拡張版
p,q,r≧0 かつ (a,b,c) と (p,q,r) が同順または逆順のとき
F(a,b,c) = p(a-b)(a-c) + q(b-c)(b-a) + r(c-a)(c-b) ≧ 0
をまづ示しましょう。
bとqがそれぞれ中間にあるとして、p-q+r≧0, (a-b)(b-c)≧0,
F(a,b,c) = p(a-b)^2 + (p-q+r)(a-b)(b-c) + r(b-c)^2 ≧ 0,
(1)
(a+b+c) f(a,b,c；2) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) ≧ 0,
t≦2 ⇒ f(a,b,c；t) ≧ 0,
t>2 に対して f(a,b,c；t) < 0 となるような (a,b,c) の例を探す。
(2)
(a,b,c)∈△ のとき
(a+b+c) f(a,b,c；3) = -(b+c-a)(a-b)(a-c) -(c+a-b)(b-c)(b-a) -(a+b-c)(c-a)(c-b) ≦ 0,
t≧3 ⇒ f(a,b,c；t) ≦ 0,
0<t<3 に対して f(a,b,c；t) >0 となるような (a,b,c)∈△ の例を探す。
(3)
t_3 = (t_1 + t_2)/2 = 5/2,
(a+b+c) f(a,b,c；5/2) = (2a-b-c)(2b-c-a)(2c-a-b)/2 = 0,
∴ (a,b,c) は等間隔に並ぶ。
これは (a,b,c) = (1,3,5) のような、△をなさない例も含む。
> では、L個の関数 f_1 ≦ f_2 ≦ … ≦ f_L に対しては
> ブロックBに収まる３次元ヤング図形の数にならぬか？
3軸の斜交格子を使って非交差経路の組を数え上げようというわけですか。
f1,f2,f3の経路のスタート、ゴールはある軸方向に1ずつ離れていると。
それは3次元ヤング図形に対応すると。
統一された手法で解けるんですね。エレガントです。
> t≧3 ⇒ f(a,b,c；t) ≦ 0,
すべてのt≧3で成り立つのは自明ですかね？
tの1次式で、係数が負。
（a,b,cを固定すれば）tについて単調減少。
問題文にもあった希ガス…
あのヒントというかお膳立ては必要ない気もしたんですが。
一松センセのあらゆる読者への配慮みたいなものを感じます
正三角形を除き、tの係数は負の定数。
tを増大すれば、とこかで負になる。
(a,b,c)∈△ についての上限が t_2 = 3
非△ついては上限なさそう。
(a+1+1) f(a,1,1；ｔ) = (a-1)^2 (a+4-2t)
零点 t = (a+4)/2.
エレガントな解答をもとむが一番難しいわ
■出題1：レベル2～3（数学好きの高校生正解率85％）
整数係数n次多項式Pの0≦x≦1における最大値Max(|P|)が
1/sqrt(LCM(1,...,2n+1))以上であることを示す問題。
2n+1はどこから出てくるのでしょうか？
このヒントでピンと来なければ超難問、ピンと来れば超易問。
常連ソルバーには物足りないでしょうが、LCMとの意外な繋がりが美しい良問。
■出題2：レベル1～2（中学受験生正解率50％）
『チェスのナイトが矩形盤のマスを一度ずつ通り元に戻る経路（ナイトツアー）』
が存在しないことを示す問題。
(1)は『ダメなマスの集合Sが存在⇒ナイトツアーが存在しない』を示す問題。
さすがに小学生には無理か？？しかし大した論証ではないと思います。
(2)は大した試行錯誤もせず見つかります。
5月号は新入生歓迎号なのは分かりますがさすがに簡単過ぎではないかと。
出題1はともかく出題2は明らかにヒント過多。
"ダメなマスの集合S"の存在をうまく隠せれば良問になっただけに残念です。
Sを使ったエレガントな解法を自分で見つけたかった人は多かったはず。
{P(x)}^2 を展開したとき、x^{奇数｝の係数は偶数だから
√(2/L）以上であることを示すのかとオモタ。
■出題２
(2) 4×n は 2列ジグザグのSが作れるので存在しない
6×6，8×8，10×10 には存在するらしい。
ttp://jump.5ch.net/?http://www.geocities.jp/m_hiroi/puzzle/index.html → パズルの解法 → ・チェスのパズル → 騎士の周遊
ワーンスドロフの規則については
秋山 仁・中村義作 共著「ゲームにひそむ数理」森北出版 (1998/Apr) 2376円
の p.72
ttp://jump.5ch.net/?http://www.morikita.co.jp/books/book/117 リンク先のページではダメ集合Sへの言及はないですね。
ダメ集合Sの効率的な探索法は？という問いはプログラミング的に面白いかもしれない。
ナイトツアーは有名問題なんですね
多項式P(x) の一例
・nが奇数のとき
P(x) = {x(1-x)}^{(n-1)/2}･(2x-1),
Max{ |P(x)| } = (1/2)^(n-1) √{(n-1)^(n-1) / (n^n)}， x = 1/2 ± 1/(2√n),
・nが偶数（n≧4)のとき
P(x) = {x(1-x)}^(n/2 -1)･(2x-1)^2,
Max{ P(x) }= (1/2)^(n-3) √{(n-2)^(n-2) / (n^n)}， x = 1/2 ± 1/√(2n),
・nが偶数(n≦4)のとき
P(x) = {x(1-x)}^(n/2),
Max{ P(x) } = (1/2)^n， x = 1/2,
どれも √(2/L) よりかなり大きい…orz
分かスレ443 - 004
8×8 （チェス盤）はオイラーの時代からあったらしい…
集合Sが探索効率を上げるんですかね
未解決部分があるようですが最近の研究はどうなっているのか
多項式の問題すんなりイケました？
実のところそのx(1-x)の形に捕らわれて時間を食いましたわ
積分を使ったので粗い評価になったようです。（エレガントかどうか？）
ちゃんと読んでませんけど
積分以外の別解法でmax≧1/f≧1/sqrtLCMと押さえられるんでしょうか？
本問のエレガント賞は積分使わなかった人かもw
3月号の出題2
定義
"number of permutations of n elements with no fixed points"
に基づいて
d_n = (n-1)(d_{n-1} + d_{n-2}),
を出すのに手間取った。これから
d_n - n･d_{n-1} = - (d_{n-1} - (n-1)･d_{n-2})
= ……
= (-1)^n (d_2 - 2･d_1)
= (-1)^n,
これを3回使うと「エレガントな漸化式」
d_n = n(n-1)(n-2) d_{n-3} + (-1)^n (n-1)^2,
が出る。
ttp://jump.5ch.net/?http://oeis.org/A000166 なお、6月号の締切は 6月8日（消印）
> なお、6月号の締切は 6月8日（消印）
消印締め切りのおかげで投函時に祈らなくてもよくなりました
ご老公も大昔に出題されてますね^^
数セミ増刊「数学の問題」第(2)集、日本評論社（1978)
の No. 46
現在は、6×6の盤でも周遊可能のようです。
6×6 ナイト周遊の例（4回対称）
1 8 23 16 31 10
22 15 2 9 24 17
7 36 21 30 11 32
14 29 12 3 18 25
35 6 27 20 33 4
28 13 34 5 26 19
なんと過去に出題済みでしたか
昔の出題分かります？
今より難しかったんじゃなかろうか。
時代への迎合度を測りたい。
●４６
西洋のチェスのナイト（騎士）は、四方八方に桂馬と
びをします。3×4の長方形の盤の各目に 1～12の番号
をふります。このときつぎの2命題を証明してください：
(i) 適当な位置から出発して、つぎつ
ぎにナイトを動かしてゆき、すべての目
をただ一度だけ通ることは可能である。
(ii) しかし全部を通過して、最後の目
からふたたびナイトの飛び方で出発点に
戻ることは不可能である。
注意 (ii)はもちろんあらゆる可能性をためせば、証
明にはなりますが、もっと＜エレガントな数学的な＞不
可能の証明を期待します。
n×n (nは偶数)の正方形盤について
n が4で割り切れない偶数 (n≧6) のとき、4回対称な解がある。
n が4の倍数 (n≧8) のとき、2回対称な解はあるが、4回対称な解は無い。
I. J. Dejter： Ars. Combin. １６, p.285-295 (1983)
"Equivalent conditions for Euler's problem on Z_4-Hamilton cycles"
例)
I. Parberry: Discrete Applied Mathematics, ７３, p.251-260 (1997)
"An efficient algorithm for the Knight's tour problem"
ttp://jump.5ch.net/?http://larc.unt.edu/ian/pubs/algoknight.pdf ttp://jump.5ch.net/?http://larc.unt.edu/ian/research/puzzles/knightstour/ 10×10 ナイト周遊の例（4回対称）
1, 92, 87, 6, 3, 74, 69, 66, 61, 76,
86, 5, 2, 97, 88, 65, 60, 75, 80, 67,
91, 100, 93, 4, 7, 70, 73, 68, 77, 62,
94, 85, 98, 89, 96, 59, 64, 79, 72, 81,
99, 90, 95, 84, 33, 8, 71, 82, 63, 78,
28, 13, 32, 21, 58, 83, 34, 45, 40, 49,
31, 22, 29, 14, 9, 46, 39, 48, 35, 44,
12, 27, 18, 23, 20, 57, 54, 43, 50, 41,
17, 30, 25, 10, 15, 38, 47, 52, 55, 36,
26, 11, 16, 19, 24, 53, 56, 37, 42, 51,
これも と同様、分かりづらい…
6×6 ナイト周遊（4回対称） の別解
1, 26, 13, 24, 3, 28,
12, 23, 2, 27, 14, 17,
33, 36, 25, 16, 29, 4,
22, 11, 34, 7, 18, 15,
35, 32, 9, 20, 5, 30,
10, 21, 6, 31, 8, 19,
4つの「結び目」を除いて考えると、外周を3周するだけ…
・n×n (正方形盤)
nが奇数または5以下 → 不可能。
nが偶数 (n≧6) → 可能、2回対称な解もある。
nが4で割り切れない偶数 (n≧6) → 4回対称な解もある。
n 合 計 4回対称 2回対称 非対称
------------------------------------------------------------------
4 0 0 0 0
6 1,245 5 17 1,223
8 1,658,420,855,433 0 608,233 1,658,420,247,200
10 ? 415,902 ? ?
・3×偶数 (n≦8) → 不可能。
・3×偶数 (n≧10) → 可能。n=12を除き、2回対称な解がある。
n 合 計 2回対称 非対称
------------------------------
8 0 0 0
10 6 4 2
12 44 0 44
14 396 24 372
16 3868 24 3844
18 37078 292 36786
20 362192 176 362016
・3×(4k+2) → 2回対称な解と面対称な解は同数ある。
・4×n → 不可能 … Sainte-Marie (1887)
"Knight's tour notes"
ttp://jump.5ch.net/?http://www.mayhematics.com/t/t.htm > 注意 (ii)はもちろんあらゆる可能性をためせば、証
> 明にはなりますが、もっと＜エレガントな数学的な＞不
> 可能の証明を期待します。
いいじゃないですか。エレ解らしくて。
エレファント解も用意されているのがgood.
集合S以外の解き方はぱっと浮かばず、考えさせられます
対して先月の問題はぜんぜん面白くない。
『問題文に提示されたエレガントな解答の"説明"をもとむ』という名のコーナーじゃないんだが
エレガントな"解答"を求まれたい。
> 出題1はともかく出題2は明らかにヒント過多。
> "ダメなマスの集合S"の存在をうまく隠せれば良問になっただけに残念です。
> Sを使ったエレガントな解法を自分で見つけたかった人は多かったはず。
6×6 4回対称解 の続き
(L)
1, 26, 13, 16, 3, 28,
12, 15, 2, 27, 6, 17,
25, 36, 23, 14, 29, 4,
22, 11, 32, 5, 18, 7,
35, 24, 9, 20, 33, 30,
10, 21, 34, 31, 8, 19,
これは (g) とよく似ている。
(a)
1, 26, 13, 16, 3, 28,
12, 15, 2, 27, 6, 17,
25, 36, 23, 14, 29, 4,
22, 11, 32, 5, 18, 7,
35, 24, 9, 20, 33, 30,
10, 21, 34, 31, 8, 19,
形は似ているが「結び目」でＵターンするので、結局外周を1回りするだけ。
(i)
1, 8, 31, 16, 3, 10,
30, 23, 2, 9, 32, 17,
7, 36, 15, 24, 11, 4,
22, 29, 6, 33, 18, 25,
35, 14, 27, 20, 5, 12,
28, 21, 34, 13, 26, 19,
これは反転を含んでいる(4回)点で (e) に似ている。
以上が 6x6 の4回対称解 (a，e，g，i，L)
2回対称解は17種もあるらしい。
訂正ｽﾏｿ
(a)
1, 14, 35, 6, 3, 28,
12, 7, 2, 27, 34, 5,
15, 36, 13, 4, 29, 26,
8, 11, 22, 31, 18, 33,
23, 16, 9, 20, 25, 30,
10, 21, 24, 17, 32, 19,
> "Knight's tour notes"
>
ttp://jump.5ch.net/?http://www.mayhematics.com/t/t.htm マニアックだなこりゃｗ
芸術にも見えてくるから不思議。
ナイトツアー閉路アート
・ 2回対称解 (Bergholt) 2つ
"NSI"
4, 7, 10, 19, 16, 1, 14, 23, 28, 25,
9, 18, 5, 2, 11, 20, 29, 26, 13, 22,
6, 3, 8, 17, 30, 15, 12, 21, 24, 27,
"NSU”
6, 3, 8, 19, 16, 1, 14, 21, 24, 27,
9, 18, 5, 2, 11, 20, 29, 26, 13, 22,
4, 7, 10, 17, 30, 15, 12, 23, 28, 25,
・ 鏡面対称解 (Sulian) 2つ
"NSI"
4, 7, 10, 29, 16, 1, 14, 25, 22, 19,
9, 28, 5, 2, 11, 26, 17, 20, 13, 24,
6, 3, 8, 27, 30, 15, 12, 23, 18, 21,
"NSU"
6, 3, 8, 29, 16, 1, 14, 23, 18, 21,
9, 28, 5, 2, 11, 26, 17, 20, 13, 24,
4, 7, 10, 27, 30, 15, 12, 25, 22, 19,
（中央で180°ひねったような…）
・非対称解 2つ
の下表では 対称解（2回対称または鏡面対称） とすべきでござった。
■出題1：レベル7～？（常連正解率50％以下）
三角形ABCの3辺を両方向に等距離延長し、各頂点から伸びた2点を結んでできる3直線の交点をA'B'C'とする。
このときAA',BB',CC'が1点に交わることを示す問題。
幾何センスを問われる良難問。
数オリが得意な若い頭脳には簡単なことでしょう。
何度メネラウスを計算したことか。
明けても暮れてもメネラウス。
もう当分のあいだ三角形と直線のなす比は考えたくありません。
締め切り日に気付いたことは相似形とメネラウスだけではダメということです。
延長距離ゼロなら内心で交わることに気付いたPCの前のキミ！
それが何かの役に立ちましたか？
■出題2：レベル7（常連正解率50％）
a_i+b_j＝c_{i,j}（{a_i},{b_j} i,j=1～10は0以上の整数列）
が0から99を渡るような{a_i},{b_j}の組を列挙する問題。
本質的な組み合わせが「～通りに限られる」ことを示すのが難しい。
考えやすいように{a_i},{b_j}に適切な制限を加えることがまず必要。
そのうえで0～99まで数字がどのように増えていくかを考えると、
題意を満たす数列のパターンはそう多くないことに気付くでしょう。
厳密に示すのはやはり並の高校生レベルでは厳しいといえます。
解くのが難しいのではなく本質を突く補題を自分で設定して解くところが難しい。
本誌エレ解をもとむコーナーの腕の見せ所はこういうところにあります。
>延長距離ゼロなら内心で交わることに気付いたPCの前のキミ！
>それが何かの役に立ちましたか？
役に立ちそうで立たなかった
平面幾何にはベクトルで一刀両断。
エレガンスなんて糞食らえ。同感です。
> 役に立ちそうで立たなかった
ですよね
■出題2 は
(ア) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = { 0,10,20,30,40,50,60,70,80,90}
(イ) A = { 0, 1,20,21,40,41,60,61,80,81}
B = { 0, 2, 4, 6, 8,10,12,14,16,18}
(ウ) A = { 0, 1, 2, 3, 4,50,51,52,53,54}
B = { 0, 5,10,15,20,25,30,35,40,45}
(エ) A = { 0, 1, 4, 5, 8, 9,12,13,16,17}
B = { 0, 2,20,22,40,42,60,62,80,82}
(オ) A = { 0, 1,10,11,20,21,30,31,40,41}
B = { 0, 2, 4, 6, 8,50,52,54,56,58}
(カ) A = { 0, 1, 2, 3, 4,10,11,12,13,14}
B = { 0, 5,20,25,40,45,60,65,80,85}
(キ) A = { 0, 1, 2, 3, 4,25,26,27,28,29}
B = { 0, 5,10,15,20,50,55,60,65,70}
の７とおり（A，Bを入れ替えれば14とおり）かな。。。
Aの等差部分列A’、Bの等差部分列B’とすると、A’(＋)B’は穴のないブロックをなす筈。
間違いなく、ここ数年で一番易しい問題だと思う｡
今月は実質1問ですか
二問目はどうですか
a，b，c>0 のとき、
a/(bb+bc+cc) + b/(cc+ca+aa) + c/(aa+ab+bb) ≧ (a+b+c)/(ab+bc+ca) ≧ 3/(a+b+c),
2018年7月号NOTE
(略証)
a' = bb + bc + cc,
b' = cc + ca + aa,
c' = aa + ab + bb,
とおくと
aa' + bb' + cc' = (a+b+c) (ab+bc+ca), … これがミソ（?）
(1) コーシーにより
(左辺) = a/a' + b/b' + c/c' ≧ (a+b+c)^2 /(aa' + bb' + cc') = (a+b+c)/(ab+bc+ca),
(2) f(x) = 1/x は下に凸だから、Jensenにより
(左辺) = a f(a') + b f(b') + c f(c')
≧ (a+b+c) f((aa'+bb'+cc')/(a+b+c))
= (a+b+c) f(ab+bc+ca)
= (a+b+c)/(ab+bc+ca),
不等式スレ９ - 620～623
「
整数mが4の倍数のとき(m=4h) 4h=(h+1)^2 -(h-1)^2
整数mを4で割ったときの余りが1のとき(m=4h+1) 4h+1=(2h+1)^2 -(2h)^2
整数mを4で割ったときの余りが3のとき(m=4h+3) 4h+3=(2h+2)^2 -(2h+1)^2
よって、mを4で割ったときの余りが2ではないとき、mは平方数の差であることが分かる。
したがって、nが奇数のとき、x(n)≡0 (mod 4)、nが偶数のとき、x(n)≡1 (mod 4)が言えれば題意は言える。
x(0)≡x(2)≡1、x(1)≡0 (mod 4)だから、帰納的に
x(2k+1)≡x(2k)+x(2k-1)ｰx(2k-2)≡1+0-1≡0 (mod 4)
x(2k+2)≡x(2k+1)+x(2k)ｰx(2k-1)≡0+1-0≡1 (mod 4)
がいえるから、題意は言えた。
」
お見事でござる。
小生はまづ、
特性多項式 t^3 -5t^2 -5t +1 = (t+1)(tt-6t+1) の根が
α^2，αγ=-1，γ^2 となることに注意する。
（α=1-√2，γ=1+√2)
もし x_n = (y_n)^2 - (z_n)^2 の形に表わせるなら、
{y_n}，{z_n} の特性値は α，γと予想されるから、
特性方程式： (t-α)(t-γ) = tt-2t-1,
∴ b_{n+1} = 2b_n +b_{n-1}
y_n = (γ^n + α^n)/2,
z_n = (γ^n - α^n)/(2√2),
を求めたのであった。
y_0 = 1，z_0 = 0,
y_{n+1} = y_n + 2z_n,
z_{n+1} = y_n + z_n,
ゆえ、{y_n}，{z_n} は自然数である。
なお、これらは「ペル方程式」
(y_n)^2 - 2(z_n)^2 = (-1)^n
も満たす。
一般項を求めたかったんですが自分は諦めました
さすがの一言です
3以上のnについてx(n)の下2桁が周期的にあるパターンを繰り返すことに着目し、すべてのx(n)が奇数×奇数、または偶数×偶数で表されることを示しました。
これをpq(=x(n))と表すと、a+b=p, a-b=qとおいたとき、a, bはともに整数解をもつことが分かります。したがってx(n)=pq=a^2-b^2と表せるので題意は示された。
なんとなく氏の考え方に似ている気がしましたが、氏の解法のほうが洗練されていていいですね。
■出題１：レベル3（数学好きな高校生正解率60％）
a_{n＋3}＝5a_{n＋2}＋5a_{n＋1}－a_n
a_0＝1, a_1＝0，a_2＝5
で定まるa_nが平方数の差で表せることを示す問題。
「補題：mod4で2と合同でないなら平方数の差で表せる」
を運悪く知っている人には合同式の初歩的な練習問題でしかない。
は運が悪かった一人ですが、解法は簡潔でエレガントです。
（もこれに似た解法）
しかし、合同式で解いたら問題自体に何も面白さが感じられない。
一般項が求められるからこそ面白い。
はさすがエレ解常連という感じ。
（もう一人のとあるエレ解常連はあっさりギブアップｗ）
いろんな解法があり、簡単過ぎてつまらないとは言い切れない良問でしたが、
もうちょっと難しくても良いかも？
ただ出題2のおかげでバランスは取れていました。
■出題２：レベル8～10（常連正解率20％以下）
正四面体、正八面体の各面に、隣接する2面が
同じ数字にならないように1,2,3,4の番号を振る。
同じ値が連続しない有限数列a0,a1,...,am∈{1,2,3,4}が与えられ、
その数字の面が下になるように平面状で転がしていくとき、
最後に①位置が最初と同じ、②向きが最初と同じ
になる数列の条件を求める問題
山田修司先生の良難問。
エレガントな解法は不明（コメント求む）
正四面体の場合、展開図を平面上に1通りで敷き詰めることができる。
結果的に平面上の各正三角形にはひとつの数字が対応するため
条件①、②を見つけ出すのはそれほど苦労しない。
（論証はそれなりに面倒。レベル6～7）
正八面体の場合、平面上の1つの正三角形は複数の数字をとりうる。
正四面体の場合と違い平面から規則性を見出すアプローチは採りづらい。
予想はなんとなくできるが、有限列と対応させて論証するのは難しい。
正八面体で詰まってしまい正十二面体には手を伸ばせなかった人が多いと予想。
> その数字の面が下になるように平面状で転がしていくとき、
平面上で転がして です
微妙に日本語として意味が通ってしまうので修正
> 18年5月号の講評です。
>
> ■出題1：レベル2～3（数学好きの高校生正解率85％）
>
> 整数係数n次多項式Pの0≦x≦1における最大値Max(|P|)が
> 1/sqrt(LCM(1,...,2n+1))以上であることを示す問題。
>
> 2n+1はどこから出てくるのでしょうか？
> このヒントでピンと来なければ超難問、ピンと来れば超易問。
> 常連ソルバーには物足りないでしょうが、LCMとの意外な繋がりが美しい良問。
本誌8月号を見ましたが、意外に正解者が少ないです
正解率だけで言えばレベル6～7（常連正解率60％）くらい。
上に書いたように、解法にピンと来なければまず解けない問題です
こういう問題はレベル付けが難しい
私も実は気付くまでに時間がかかりました
2n+1だから気付けましたが、これが2n+1ではない数で
緩く抑えられていたら絶対に解けなかったと思います。
> ■出題2：レベル1～2（中学受験生正解率50％）
鳩ノ巣原理の練習問題ですが、なんと10代の応募がゼロでした
編集部としてはものすごく残念だったことでしょう
［数セミの適正な読者数に関する一考察]
数セミがメディアで紹介され、さらにAIブームに乗じて購読者数が一桁増えたとしよう。
解答にB5 2枚を要するレベル6程度の問題に対して、
これまで数十人の投稿者だったのが数百人になる計算。
果たして出題者はすべての答案にきちんと目を通せるだろうか？
いくら聡明な数学者と言えど心無い汚い文字を読むのに苦労し、
スジが明快でないアマチュアの記述を読むのにまた苦労し、
すべて読み終えるのに軽く丸3日はかかりそうである。
10万程度の謝礼だったらお断りしたいレベル。
よって投稿者が高々数十に収まるよう難問はより難化するのである。
仮に易問を出したとしよう。
100を超えていた投稿者数が一桁増により1000のオーダーに達する計算。
こうなると「最終的な結論が合っているならOK」という問題に限定しておかないと
答案を見る時間はいくらあっても足りず、出題者は悲惨なことになる。
思いもよらない解法が出てくるのは本コーナーの醍醐味であるが、
そんなのがあったら大変であり、出題者は気を抜くことができない。
よって一目で正誤が判定できる問題に限定され、易問はより易化するのである。
よって問題を難しくしても簡単にしても読者はエレ解から離れ、ひいては数セミから離れていくのである。
ところで購読者が一桁減ったとすると、もはや豊島区大塚の駅近に事務所を構えるのは無理であり、
「数セミ？エレ解？何それトレンド」は加速し、エレ解常連が多けれ少なかれ感じてきた
わずかながらの功名心も失われ、コア層を失う危機がいよいよ到来、雑誌存続は不可となる。
以上を総合すると、現在の読者数は多くも少なくもなく、良い平衡状態にあると言えるのではなかろうか・・・
編集者の給料が上がらないのはとても残念なことだが・・・
lim[n→∞] (Max|P|)^(1/n) = C とおくと 1/e < C < 1/√5,
文献によれば
0.4213 < C < 0.4232
らしい。
I.E.Pritsker: J. d'Analyse Math.，９６，p.151-190 (2005)
"Small polynomials with integer coefficients"
解けって言われれば解けるけど、
エレガンスを追求しようと思うと
遠慮しちゃう部分はあるのよねー。
だから、易しい問題のほうが、
本来の趣旨には合ってると思ふ。
その意見は理解できます
自分はエレガンスを追求しないので、遠慮なんかしませんけどね。
そもそもエレガントな模範解答が用意されてないことのほうが多いので注意です。
> エレガントでなくても正解扱いしてくれる出題者がほとんどだから、
それもありますね。
XXさんは緻密な計算で解答までたどり着いていました。
他の解答者はほぼ全員、～変換を施すことで計算量を減らしていました。
って書かれると俺アホなんだな・・と落ち込みますがね
出題者は、「（背理法とかを使って）正しいことは証明してるんだけど、
もっと小わかりのする直接的な（たとえば幾何学的な）証明」を求めて
いるから出題してるんじゃないかと思うので、
そのあたりのツボを押さえるかどうかという話なんじゃないだろうか。
出題者が本当の意味でエレガントな解答を求めているケースですか。たしかに、たまにみかけますね。
正解発表号で解答（出題者のも含めて）が掲載されなかったこともありますね。
大昔、竹内郁雄先生（８月号第１問出題）が「たらい回し関数」（計算機学の世界で「竹内関数」とも呼ばれる）の問題を出題されましたが
"エレガントな"解答がなかったためか、解答が掲載されなかった記憶があります。
ttp://jump.5ch.net/?https://www.nue.org/nue/nue-essays/nue-essays/2005-summer-prosym-houkoku.pdf > 正解発表号で解答（出題者のも含めて）が掲載されなかったこともありますね。
私見ですがT内センセの問題は『この問題捨ててもいいや』と思ってしまう何かがある
共立出版の『bit』が休刊する前の、
『ナノピコ教室』の最終回に、
「芸術的なプログラムを求む」で
「Tarai 関数」のプログラムが掲載されてた。
（チョコレートが入ったケーキではなく、直方体のケーキの表面を
一様な厚さで覆ったケーキ）の表面のチョコと中身のケーキを
含めて三等分しろ。ただし、三つのパーツは（回転・鏡像も含めて）
違う形にすること」というのが思い浮かぶ。
「これは幾何学的に解いてなんぼだ」と思って、最初に中心点から任意の向きに
直線（正確には半線分）で切ったときに、そこから三等分するという条件を
つけて解いて、「いや、これはまだエレガントじゃない」と思って
後から別解答を送った、という記憶がある。
今月の問１は、エレガントかどうかの違いが ほとんど出ないのではと思われます。
エレガントにもいろいろありますが
簡明で普通の高校生でも理解できる。
一般的である。
逆に問の条件の特殊性を活用。など
> 今月の問１は、エレガントかどうかの違いが ほとんど出ないのではと思われます。
きっとあなたは解けたのですな？？すばらしい。
話題のT内さんですが、今月の出題1（2）は面白い、と今まさに書き込もうとしていました。
エレガント（＝シンプル）な式を見つけ、これから証明しようというところ。
で、ふと思ったんだが、この問題は証明を求められているんだろうか？
普通はエレ解で証明ナシはありえんのだがT内さんの場合は分からんｗ
厳密な数学的証明を求めるヒトではなさそうだし、
失礼だが書いたところできちんと読んでくれるのか疑わしい。
n＝１００００００００まで計算機回して一致してりゃ正解、とかじゃないだろうな
14年9月号ニッコリ賢者問題をまだ根に持っておりますｗ
水も漏らさない厳密な証明をがんばって書いたのに誤答扱いしやがってチクシヨウｗ
ニッコリ問題こそプログラムで検証すりゃ良かったのに、まったくもう。
前スレ参照
ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1295154182/241 その問題はいかにもエレ解の匂いぷんぷんですな
すぐにはいい方法が浮かびませぬ
> n＝１００００００００まで計算機回して一致してりゃ正解、とかじゃないだろうな
T内さん はハッカー（最j高級計算機屋）ですから、その可能性は完全には否定できませんが、
今回のは一応無限の問題なのでそれはないと思います。
他の出題者だったと思いますが2017年9月問１（有限の問題）で 計算機ですべての場合を求めてプログラムまでつけたけど
模範解答にはなりませんでした。Ｔ内さんなら模範解答だったかも。
> 今回のは一応無限の問題なのでそれはないと思います。
ですよねぇ。
けどニッコリ問題（有限問題）の前科が鮮烈過ぎて信用ならんです
> 他の出題者だったと思いますが2017年9月問１（有限の問題）で 計算機ですべての場合を求めてプログラムまでつけたけど
> 模範解答にはなりませんでした。Ｔ内さんなら模範解答だったかも。
ですね。
この問題は色々解法ありましたね。
これを計算機もちだして解くという発想は出てこないですが、
プログラミングのいい練習問題ではあります。
> 今月の問１は、エレガントかどうかの違いが ほとんど出ないのではと思われます。
私も証明含めて解き終わりました
さんのように解答のバリエーションまで考察することはできませんでしたが
今月の消印締め切りは8/8。
まだ手を付けていない方、今月は今からでも何とかなります
がんばってくださいまし
知った風に書きましたが、単に私が１とおりの証明しか思いつかなかっただけかも知れません。
どないなるんやねん、とかいう話には
なるんスけどね。『ナノピコ教室』がなくなっちゃったんで、
鬱憤が溜まってるんじゃないっスか？
> 知った風に書きましたが、単に私が１とおりの証明しか思いつかなかっただけかも知れません。
証明の方法は1通りだとして、解答のバリエーションはどうでしょうか？
複数あるように思いますが、私は1通り思いついて終わりにしちゃいました。
追求すると面白いぞ？
「面積の自乗」とかいうと、「何なんだこれは」と
頭を抱えることになる。
>証明の方法は1通りだとして、解答のバリエーションはどうでしょうか？
(2) の式を思いつく過程（実はここが肝心かも知れません）が いくつかあると思いますが、
明には解答に出てこない可能性があります。
締め切りすぎたらレスしますね
今夜24時が締め切り（消印有効）でしたっけ？
(1)数列を{a(n)} とすると、
「増加数列で,各自然数kについてa((k-1)k+1)=a(k(k+1))=k」であればよい。これを（条件）という。
n=(k-1)k+1のときk=(1+√(4n-3))/2
a(n)=[(1+√(4n-3))/2] とおくと(条件)を満たす。[ ]はガウス記号
(2)√{((1)の答え)^2} から推測してa(n)=√(n+√n)とすると(条件)を満たす。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(1)(2)ともに証明は定義にしたがって計算するだけですので容易です。
例えば(2)で
k≧2のとき
√((k-1)k+1)=k-1 なので、
a((k-1)k+1)=√((k-1)k+1+(k-1))=√(k^2)=k
√(k(k+1))=k なので
a(k(k+1))=√(k(k+1)+k)=√(k^2+2k)=k
など。
いや、問題を見てないからよくわかんないけどさ、
> √(k^2+2k)=k
っておかしくねぇ？
「√(k^2) = k」とか、
「√(k^2+2k + 1)=k + 1」とか謂うんなら
「だよなー」と思うんだけど。
問題1の(2)では√の定義が「平方根（正）にガウス記号を適用したもの」になってる。
（問題の略記）
k=1,2,3,...が順に2k個ずつ並んだ数列について
(1)第n項をnを１回だけ使って書け
(2)√xを越えない最大の整数を√xと書く
第n項をn,√,四則演算、カッコのみを使って書け。
（数値定数は使えない）
問題には書いてないですが (n+n)/nなどもダメと推定されます。
了解した。ありがとう。
2018年7月号
■出題１
関連情報(？)
一つの整数を二つの平方数の差で表わす方法
ttp://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1463594522/ 「一つの整数を二つの平方数の差で表わす方法 」っていうと、
「偶奇の異なる互いに素な自然数 m,n で原始ピタゴラス数を
表したときの、偶数でも最大数でもない数」っちゅーのが
真っ先に思いうかぶなぁ。
…と言っても のですが。
小生は2次元で考えました。
長方形を (0,0) (a,0) (a,b) (0,b) とする。a≧b>0
外周上に「等間隔に」3点 P1，P2，P3 をとる。すなわち
P1 (0，0)
P2 (a，(2b-a)/3) … (2b≧a≧b のとき)
P2 (2(a+b)/3，0) … (a≧2b のとき)
P3 ((2a-b)/3，b)
(解1)
長方形の内部に1点Qをとり、線分 P1-Q，P2-Q，P3-Q で切る。
周長と面積とを同時に3等分するので、題意を満たす。
・2b≧a≧b のとき
P1(0，0) P2(a，(2b-a)/3) P3((2a-b)/3，b)
Q(a(2aa-ab+3bb)/[2(a+b)^2]，b(3aa-ab+2bb)/[2(a+b)^2])
・a≧2b のとき
P1(0，0) P2(2(a+b)/3，0) P3((2a-b)/3，b)
Q((2aa+bb)/[3(a+b)]，ab/(a+b))
(解2)
短辺の2等分線上に2点Q1，Q2をとり、線分 P1-Q1-P3-Q2-P2 で切る。
周長と面積とを同時に3等分するので、題意を満たす。
・a≧2b のとき
P1(0，0) P2(2(a+b)/3，0) P3((2a-b)/3，b)
Q1((2a+b)/6，b/2) Q2((4a-b)/6，b/2)
おー、やったやった。おれは五日じゃ解けなかった。
たしか一九九三年あたりの号で出題・解答されてたはずなので、
ちょっとバックナンバー漁ってみる。
■出題１：レベル3（数学好きな高校生正解率60％）
k＝1,2,3,...が2k個ずつ並んだ数列の一般項を
(1) nを一回だけ使う
(2) √x≡floor(sqrt(x))と再定義された√,n,四則,括弧のみを使う（数値定数は使用不可）
の2通りの条件で表す問題。
(1)は等差数列と二次方程式が分かれば解けるのでレベル2くらい。
問題は(2)だが、数値定数が使えないという厳しすぎる条件下で、
なるべく(1)に似せようと思ったときに最初に浮かぶ式が正解となる。
のようにfloor(sqrt())が綺麗に外せることに気付けば証明は簡単。
外せることに気付かなかったとあるエレ解常連は
『数値計算で正解を確認した後、証明方法に悩んだあげく泥臭い方法で式を評価』
していました。
は『なんか証明難しそうだなぁ』と悩んでいるさなかのアホコメント。
こんな阿呆でも解けるんだからエレ解の間口は広いんです。
まだ投稿したことのない人は9月号からLet'sチャレンジ。
> エレガント（＝シンプル）な式を見つけ、これから証明しようというところ。
> で、ふと思ったんだが、この問題は証明を求められているんだろうか？
さて小問(3)を追加します：
(3) (2)の条件を満たす式は幾つあるか？
■出題２：レベル6（常連正解率75％)
エレ解頻出の二項係数です。[n,k]=n!/(k!(n-k)!)、F_nをフィボナッチ数として
(1) Σ_{k=0 to floor(n/2)} (-1)^k [n-k,k]
(2) Σ_{k=0 to floor(n/2)} (-1)^k [n-k+1,k] F_{n-2k+1}
を求める問題。
floor関数がある時点でげんなりするが、実は2問とも長手数だが
[n+1,k+1]＝[n,k+1]+[n,k]
F_{n+2}＝F_{n+1}+F_n
を使うだけで解けてしまう
（エレガント解答は不明。コメントもとむ）
１．最初の数項を調べる
２．和の規則性を発見する
３．証明すべき漸化式を見出す
４．漸化式を証明する
という至ってオーソドックスな方法で解けるが、
この問題は１に手数がかかるので諦めてしまった人が多いかもしれない。
> ８月号問１の(2)の式を(1)からの何となくの推測ではなくて 必然的な定め方をした方おられますか？
必然的ではなく、なんとなくの推測もほどほどに、そもそも使用できる記号とその組み合わせが少なすぎるので
こういう組み合わせしかないよねーと1個式を作ってみたらそれが正解でした。
この式で全域一致するのは面白いなあと思いました。
必然的に導けた人がいたら私も聞いてみたいです。
割り算が使えるので、√を重ねがけした関数を互いに割り算すれば無かったこと（＝0）に出来ますかね・・
の小問(3)は愚問でしたか。
■出題２
(1) はパスカルの公式(?)
C[n+1,k+1] = C[n,k+1] + C[n,k] { ただし C[n,n+1] = C[n,-1] = 0 とする.}
から漸化式
a_{n+1} = a_n - a_{n-1} = -a_{n-2},
が出る。 周期6
(2) n次の整係数多項式を
u_n(x) = Σ_{k=0 ～ floor(n/2)} (-1)^k C[n-k,k] (2x)^(n-2k)
とおくと、漸化式は (1)と同様にして
u_{n+1}(x) + u_{n-1}(x) = 2x･u_n(x)
これと u_0 = 1，u_1(x) = 2x，u_2(x) = 4xx -1 から
u_n(x) = U_n(x) … 第二種チェビシェフ多項式
これとフィボナッチ数の「ビネの式」
F_m = {φ^m - (-1/φ)^m}/√5， φ = (1+√5)/2 = 1.618034
を使いましたが…
U_n(cos(t)) = sin((n+1)t) / sin(t),
U_n(cosh(t)) = sinh((n+1)t) / sinh(t),
によって定まる n次の整係数多項式。
最新装備＆最短時間で目標を破壊するかのような米軍的解法ですね。
一方私が示した漸化式はa_{n+4}－a_{n+3}－a_{n+2}－a_{n+1}－a_n＝0というものです。
貧弱装備で苦しい行軍だが戦陣訓の精神で乗り切ろうという帝国陸軍的解法です。
季節柄不謹慎な例えですみません。
思い切り間違えたｗ
正しくは
a_{n+4}－a_{n+3}＋a_{n+2}－a_{n+1}＋a_n＝0
です
整数x,y,zについて関数f(x,y,z) （竹内のたらい回し関数）
を
x≦yのときf(x,y,z)=y
x＞yのときf(x,y,z)=f(f((x-1),y,z),f(y-1,z,x),f(z-1,x,y))で定める。
f(x,y,z)をfを使わず表せ。
10段階ならレベル10
『数セミ』が なかなか買えねぇんだよなぁ ……
定期購読したらいいんだろうと思うんだけど、
おまいらどうしてる？
自慢しちゃうけど、おれは『bit』の『ナノピコ教室』の
『芸術的なプログラムを求む』で、竹内先生の Tarai 関数
プログラムと一緒に掲載されたことがある。
『エレガントな解答を求む』と『ナノピコ教室』は
学生の頃から憧れだったんだよ（二冠達成）。
最近はなんかねぇのかなぁ ……
こんな記述も
ttp://jump.5ch.net/?https://www.wdic.org/w/SCI/bit%20%28%E9%9B%91%E8%AA%8C%29 1969(昭和44)年に創刊し、2001(平成13)年4月号で休刊、すなわち事実上の廃刊となった。
研究者の間では、この雑誌に載るのがステータスとなっていた。本当なら電気通信学会誌などの方が上なのだが、学会誌は一般向きでは無いため、一般技術者の間ではこの雑誌の人気が高かった。
毎月エレ解に投稿するなら定期購読ですよ
なるべく早めに問題を見て、頭のなかで転がせておくべし
そうそう。円周率の世界記録も、『ナノピコ教室』で
「円周率への収束が速い公式を探せ」というので
「マーチンの公式」が着目されたことから、
金田さんが挑戦したんで達成された、っていうのが
あるんだよな。
あと、入山徳夫さんの「入山のアルゴリズム」とかな。
「入選」で名前が出るだけで嬉しかったなぁ。
出題２ （2)
その式から
a_{n+5} = a_{n+4} - a_{n+3} + a_{n+2} - a_{n+1} = - a_n
が出ますね。 周期10
また a_{6-n} = a_n
ttp://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492348752/028">ttp://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492348752/028 ttp://jump.5ch.net/?http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1270807732 ttp://jump.5ch.net/?http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1472769074 そうそう。これこれ。
Fが掛かるとこの漸化式が現れるのは不思議。
(2)はグラフ的な解き方があるんだろうか。
この和は一体どこからやってきたのかとか、
色々分からないことが多い。
> (2)はグラフ的な解き方があるんだろうか。
グラフというか組み合わせ論。
出てくる値が1, 0, -1で、何かを判定しているかのようです。
『試脳賞』として「エレガントな問題をもとむ」
（一九九二年四月号）という企画があったのをご存じでしょうか？
「試脳賞」の受賞者は、宇和島市の国村史子さんで、問題は
「凸五角形の面積を S、対角線でつくられる小五角形の面積を
S' とするとき、S'/S の最大値を求めてください。」です。
解答者は、東京工業大学理学部数学科の増田一男・宍倉充広両氏。
四月号・七月号・八月号・十一月号と、四回にわたって悪戦苦闘の
記録が遺されているので一読されるとよろしいかと思います。
なお、一松信先生のコメントによれば、「このような問題が今日まで
残っていた（？）のは、たぶん誰しも思いついて答の見当はつくものの、
容易には解けなかったせいだろう。この種の幾何学的な問題は、
おそらくまだ多数埋もれているものと思う。」だそうです。
このスレでも、解答だけじゃなくって問題も募集するのも面白いかもしれません。
だけど『５ちゃんねる』だと図も HTML5 の数式も入れられないしなー、
なんかそういうサイトとかあったらいいなー、とも思いますけど。
NOTE コーナーは、いつごろから出来て現在どのくらいの累積件数になっているのでしょうか？
当時、病気療養中だったので詳しいことは分かりませんが、
一九九五年にはまだなかったらしくて、一九九八年には
確実にあったということは、バックナンバーで確認できました。
もしかしていきなり a_{n+5} = - a_n を示すこともできたのかな。分かりませんが。
> 自分で発見した定理みたいな感じでしょ。ちょっと敷居が高い。
学問の世界は、「発表しない奴はどっか逝け（Publish or perish）」だから、
「それは××年にダレソレが証明してる。この先がんばれ」って
返事が返ってくるだけマシじゃねぇの？
そんなん、研究者だったら「恥掻いてなんぼ」の世界じゃん。
おまえ、一生「ヘタレ」って呼ばれたいの？
「独立に証明したんだから、俺様スゲェ！」って胸張れよ。
ttp://jump.5ch.net/?https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/4711.html ttp://jump.5ch.net/?https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/backnumber/4.html 一九八〇年っていうと、現在の「雪より白い」って
云われる表紙になる前ですよね？
そっちの方は見てませんでした。ちょっと探して
みます。
ごめん、ちょっと何言ってるのか分からない。そういうことを言ってるわけじゃないんだ。
私もNOTEは敷居が高いですｗ
毎月エレ解を考えるのに精一杯で自由研究するには力不足です
でもこのスレには非常に優れた人もいらっしゃってるので
のような取り組みは面白いんじゃないかと思います
> このスレでも、解答だけじゃなくって問題も募集するのも面白いかもしれません。
ttp://jump.5ch.net/?http://animaleconomicus.blog106.fc２.com/?m&no=481 に書かれている方でしょうか。
（NGワード回避テスト ２）
まぁ、怖気（おじけ）づくのはしょうがないよね。
だって、うちらからしてみれば、「雲の上の人」みたいな
ひとが、本気で見てるんだもん。
だけど、「数学が好き」っていう気持はいっしょだよね？
「振られるのは覚悟してるけど、アタックしなかったら後悔する！」
みたいな感じで突撃するのが正解だと思うのよ。
だって、『エレガントな解答をもとむ』だって、高校生でも
解けるような（って言っちゃあ、高校生に申し訳ないけど）
レベルの問題があるじゃない！
一松先生と細矢治夫先生が、「これが解けないのは、癪に障る」と
仰ってた問題を、行列を使わないで幾何学的に解いた、っていうのが
あたしらの自慢なのよ（そうよ。ここで自慢しなかったら、他で
自慢できないじゃない！）。
「こんなことを考えてみました」って言って怒る数学好きは
いないと思う（もっとも、数学嫌いの数学教師みたいなのは
いたりするんですけどね）ので、まずは『数セミ』編集部に
ファンレターを出すあたりから始めてみれば？
いかにも私らでございます m(_ _)m
所長、わたくしこと Mr.Moto 、Maria と三人で
お邪魔しております（なんか、うちのメンバーの一員である
M.B. っちゅーのも出没してて、そっちでも評判を落としております）。
あっちゃこっちゃの板で、スレッドを荒らしまくっておりますので、
かなり評判が悪いのは存じておりますが、なにとぞ
ご容赦のほどお願い申し上げます。
そうでしたか。なかなかマニアックな方達とお見受けしました
出題2の岩沢氏も手強い問題を出すに決まってます（問題文長いのでまだ読んでないw）
8月9月は観光シーズンです。
予定調整のため、斥候部隊の早目の報告をお待ちしてます。
> なかなかマニアックな方達とお見受けしました
だろうなぁ（笑）
もともとは東京都立日比谷高校全日制普通科の
天文部 OB 会（『星和会』）が、『bit』の『ナノピコ教室』で、
常勝軍団のだった東大の「TULIPS」とか早稲田の「WINKS」
とかに対抗して作ったプログラマ集団だったんだけどね。
その後、所長が『発達障礙者相互支援ネットワーク』っちゅーのに
関わってから、なんかしら連合して、『秘密結社A』っつー名前で
地下に潜伏したのが発祥だから。
ワクワクがとまりません
今月の出題1はプログラミング問題としても楽しめそうですよ
■出題２
C(n+1,k+1) = C(n,k+1) + C(n,k) … パスカルの公式
F_{m+2} = F_{m+1} + F_m
から
F_{m+1} = Σ(j=0 ～ floor(m/2)) C(m-j,j)
が出る。
これを使えば組み合せ論っぽくなる。（？)
そんな関係があるんですか。
なにやらエレガント解の匂いが。
うん。その嗅覚は大事な要素だ。
既知かどうかの判断は難しいですね。（今はネットで検索するとかなり情報が得られますが）
投稿する価値があるかどうかはさらにむつかしいです。
そこはNOTEの講評と解説者のZZZ氏（大学教授？）にお任せするしかないですね。
特集 = 間違いから発展した数学
「コーシーの筆の誤り」 p.18～22
「解析教程」(1812) における 一様収束 と 各点収束
フーリエ級数におけるギブスの現象
ttp://jump.5ch.net/?http://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html F_m = Π[j=1 ～ floor(m/2)] {1 + 4cos(jπ/m)^2}
F_{m+1} = Σ[j=0 ～ floor(m/2)] C(m-j, j)
ttp://jump.5ch.net/?http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1592_f.htm (大意)
解析学の名人であるコーシー大師にも書き損じはある、の意で、その道にすぐれている人でも、時には失敗することがあるという譬え。
猿も木から落ちる。
河童(かつぱ)の川流れ。
ギブスの相律も、厳密には成り立たないらしい。
と、いうわけで、「ギブスも木から落ちる」。
だれか、「河童の川流れ」で創作してくれんか。
・天狗の飛び損ない
・釈迦も経の読み違い
・千慮の一失 または 智者の一失
・上手の手から水が漏る
もあります。。。
これとフィボナッチ数の「ビネの公式」
F_m = {(2cos36ﾟ)^m - (2cos108ﾟ)^m} /√5,
を使いました…
>出題2の岩沢氏も手強い問題を出すに決まってます（問題文長いのでまだ読んでないw）
２，３回読んだけど読解できてないです。
ラッキーナンバー0なら全員不正解ってことは、全員正解と同じことになりそう。
確率の問題ではないよね。何度も読んでみます。
おまえ、いい奴だな。
あとはガウスとかヒルベルトとかの予想が
否定的に解決された例を探して例示してくれると、
後進の育成に役立つと思う。
もちろん出題者が間違えていることもあり得ますが。
高添沼田の親父「関東連合文句があったらいつでも孫を金属バットで殴り殺しに来やがれっ!! 関東連合の糞野郎どもは俺様がぶちのめしてやるぜっ!! 賞金をやるからいつでもかかって来いっ!!糞バエ関東連合どもっ!! 待ってるぜっ!!」 (挑戦状)
確実に「全員正解 または 全員不正解」となる作戦は存在します。
たとえば、
Pが真なら全員正解
Pが偽なら全員不正解
となるような命題Pを探せば…
(prisoners) hat puzzle の本はあるけど。。。
C.S.Hardin & A.D.Taylor "The mathematics of coordinated inference：
A study of generalized hat problems"
(Developments in mathematics) Springer Verlag (2013/Oct)
109p．12181円 $29.95
ttp://jump.5ch.net/?http://www.springer.com/la/book/9783319013329 なるほど
全員正解 、 全員不正解どちらかで良いんですね。
大きなヒント頂いてしまいました。
私は正解へは遠いですが。
・フェルマーの川流れ
フェルマー数 F_n = 2^(2^n) + 1 は素数であろうという予想は誤り。
F_5 = 2^32 + 1 = 641 × 6700417（オイラーが発見）
・オイラーの飛び損ない
n≧4 のとき
(x_1)^n + (x_2)^n + … + (x_{n-1})^n = (x_n)^n,
となる自然数 {x_1,x_2,…,x_n} は存在しないだろうというオイラーの予想は誤り。
n=5, {27,84,110,133,144}
山田くん、座布団二枚やっとくれ。
エレ解の出題で、「60÷２=15」っていう間違いがあったのは笑った。
・ケルビンも立体の読み違い
同じ体積の泡の集合体で境界面が最小となる泡、つまり最も効率よく空間を充填する立体の形はケルビンの14面体だろう、という予想は誤り。現時点で未解決。
切頂正8面体（正方形×6、正6角形×8）
反例：ウィア・フェランの極小多面体(1994)
同じ体積の2種類の多面体による空間充填であって，不等辺5角形の面をもつ歪12面体（5角形×12）と歪14面体（5角形×12、6角形×2）が 1:3 の割合で並んだものである。
・阿竹の一失(?)
すべての多面体は、一つの面からスタートし、辺を介して隣り合う面を辿って一筆書き状に展開できるだろう、という多面体の「皮むき可能予想」は誤り。
皮むき不可能な多面体の例：
立方8面体（正8面体の各頂点を、各辺の中点まで切り落とした14面体）(正方形×6、正3角形×8)
ttp://jump.5ch.net/?http://blog.atake-i.com/?day=20130609 ttp://jump.5ch.net/?http://blog.atake-i.com/?day=20140108 ttp://jump.5ch.net/?http://blog.atake-i.com/?day=20140114 座布団はどうしようかなぁ …… どうする？
2(1) は
2(2) は 3組に分け、各々の命題Q1、Q2、Q3を探す。
3つ全部または１つだけが真になるように（相関を持たせるため）捻ってある。
そのへんにしといてね
ヒントだされちゃつまらない人もいるから
ヒントのようでいて、じつは引っかけかも知れませんよ？
そういうチラリズムも数エレの愉しみだと思えば
ご趣向ではありませんこと？
書いて？
そんなこと訊かれちゃ KöMaL なぁ。
ラストスパートがんばりましょう
そうです。あと4時間半もあります
誰も正解をしらない現象を世界で初めて発表するんだからな。
エレガント、宿題、学コン、IMOも出題者は解答を知ってるわけさ。
黒川大先生も高校時代から自分で問題発見されてたろう？
当然、NOTE掲載者はエレガントも宿題も学コンもIMOも解けるわな。
予想を提唱する人が一番独創的と思う。
■出題２
(1) の例
P 「全員(15人)中、赤帽が偶数で白帽が奇数」
（赤/白を入れ替えても同様）
(2) の例
5人づつ3組（G1、G2、G3）に分ける。
Q1 「G1+G2 の10人中、赤も白も偶数」
Q2 「G2+G3 の10人中、赤も白も偶数」
Q3 「G3+G1 の10人中、赤も白も偶数」
#{G1+G2中の赤} + #{G2+G3中の赤} + #{G3+G1中の赤} = 2 #{全員中の赤} = (偶数)
左辺は、3つ全部 または １つだけが偶数。
Q1～Q3は、3つ全部 または １つだけが真。
今月は2問とも良問でした。
■出題１ レベル5 常連正解率90%（完答はレベル8～9 常連正解率10～30%）
ピーター氏出題。数オリに出てきそうな良問。
数字和が2020、かつ2020を約数にもつ出来るだけ小さな数（→ハーシャッド数）を求める問題。
余力ある方は2020を2018, 2019に変えたバージョンにトライせよとある。
計算機による網羅探索は基本的に認められない（前回実績より）
どのバージョンでもまず必要桁数を押さえることから始まる。
2020については、
・下二桁目までが限定されること
・10^i（mod2020）の周期性が見やすいこと
などを利用して絞り込んでいく。
力技による絞りこみをどれだけ減らせるかが本問のポイント。
2020, 2019はまあなんとか。
2018も含め全て計算機を使わずに解いた方はかなりの数学力の持ち主。
■出題２ (2)までレベル5（常連正解率90%), (3)はレベル6～7（同60～80%）, (4)の完答はレベル8以上(30%以下）
定番のhat pazzle。既知の問題と思いきやそこは流石の岩沢先生、極上の新作を持ってきました。
15人が赤or白の帽子を被らされ、他人の帽子の色は見える。
事前にどんな相談をしてもよいが、帽子を被らされてゲームスタートした後は一切の情報交換が許されない。
各人は他人の帽子の色を見て、一斉に赤or白と答える。
答えた色が自身の帽子の色と一致している正解者の数が15人
もしくはn人(ラッキーナンバー）であれば全員解放、
そうでなければ全員処刑されるという残酷なゲーム。
特定のラッキーナンバーに対して全員解放が約束される「確実作戦」を見出す。
(1)はn＝0, (2)はn＝5, (3)はn＝7, (4)はそれ以外のnについて確実作戦を示すか、または非存在を証明する。
解いた方は分かると思うがまず小問の構成がすばらしい。
(2)は(1)を応用し、(3)は(2)を応用することで確実作戦を見出せる。
(4)はシンプルな議論で非存在を示せる。ただしn＝3を除いて。
n＝3の存在/非存在の証明が本問の完答を斥ける最大の山場。
小問(3)n＝7の作戦がトリッキーというか気付きづらいために
(4)まで手が回らない解答者が多かったのではと予想する。
いけねパズルのスペル間違えてらw
訊き方が (・A・) イクナイ。
「 ∫[-∞，∞] exp(-xx) dx = √π と 2x2=4 はどちらが簡単ですか？」
と訊けばすぐ分かるよ。
高橋「可換Banach環を知ろう」
ttp://jump.5ch.net/?http://www.jstage.jst.go.jp/article/emath1996/2008/Spring-Meeting/2008_Spring-Meeting_72/_pdf/-char/ja ドイツ語で言うと、
"Ein Mathematiker ist jemand, fuer den dieses (∫=√π) genau so selbstverstaendlich ist wie fuer Sie 2･2=4.
Liouville war ein Mathematiker." (Lord Kelvin)
----- Hans Triebel: "Analysis und mathematische Physik" Springer Basel AG (1982)
よって発売日に問題確認＋本編記事確認し、本編記事が面白い→購入。
エレガントだけ面白い→問題暗記自宅でチャレンジみたいな
効率的購買が不可能。困ってるんだ。
8日（消印有効）
ttp://jump.5ch.net/?https://m.facebook.com/masaoki.iwasaki.9 ttp://jump.5ch.net/?https://twitter.com/mas20285 ttp://jump.5ch.net/?https://twitter.com/keepmathtop ttp://jump.5ch.net/?https://twitter.com/kyuuchan_ ttp://jump.5ch.net/?https://twitter.com/xPuGPq8Tn9GWCJb 
ttps://i.imgur.com/EuqD4Nf.png 
ttps://i.imgur.com/AcRxZW4.jpg 
ttps://i.imgur.com/4Dk16V9.jpg 
ttps://i.imgur.com/JHemyAu.jpg 
ttps://i.imgur.com/L463soq.jpg 
ttps://i.imgur.com/jpf8lOd.jpg ttp://jump.5ch.net/?https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) amazonみたいにチラ見ができればいいわけですね
本編はチラ見希望です。
そういえば、詰将棋もフェアリー詰（協力詰etc.）に入りました。
いよいよ佳境？
雑誌を買ってくれないのにエレガントだけ投稿されるのは出版社視点では損ですよね。
雑誌の一部を切り取って応募券代わりにするとかはどうですかね。
あるいは出版社がそうしないのは、買ってくれなくても投稿してくれるだけで良し、と考えているのでしょうか。
本編も数ページで一遍の記事を構成していることが多く、見せるとしても1ページがせいぜいかもしれませんね。
ジュンク堂クラスでないと置かんのか？
本編は体特集じゃからおもろそうなんだけど。
有限体なんかgood。
数セミなし。あれ？って思って店員に聞いて探してもらったら教育関連の棚に置いてあった。
問題確認しましたぜよ。
全ての実数が0であることの証明
全ての実数をkと置く
k=0と仮定する
両辺を0で割ると
k/0=0/0
0=0
∴全ての実数は0である
＼(＾q＾)／く反論してみろや
その本屋三省堂ですか？
ジャンルを周知徹底すべし。
私も全く同じ体験しました。
誰もアクセスしない教職者用の棚に置かれててガクッとなりました。
デキる書店員がいるかいないかで天と地の差が出ますね
数セミの存在を知ってる我々でも
・大学への数学
・ニュートン
・NHKテキスト棚
の近くを探して無ければ大抵諦めるわけですが、
こんな大きい本屋（三省堂）にないわけなかろうと端末使って探したら、地価の低い教育関係の棚にあったという。
こんなんじゃ読者の裾野は広がりませんやね
塾の先生で利用されている方はそこそこいるみたいですが、中高の教職員は…どうなんでしょうね。
セミナーなんて名前だから趣味本が実務本として扱われちゃったんじゃないかなと。
とここまで書いて思ったんですが、そもそも数学セミナーの図書分類コードは幾つなのか。
裏表紙に書いてありますかね。いま出先で見れませんが。
三省堂はそれに従って機械的に配置しただけかもしれませんね
【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
ttp://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537116043/ 図書分類コードはないようです。
図書ではなく雑誌だからでしょうか
図書と雑誌
ttp://jump.5ch.net/?https://www.google.com/url?q=http://www.lib.iwate-med.ac.jp/mm/mm22.pdf&sa=U&ved=2ahUKEwj0n8vr1MDdAhUKvbwKHa8pC3QQFjAEegQICRAC&usg=AOvVaw31tETJKXP7R9wUkaDTraRQ 雑誌コード
ttp://jump.5ch.net/?https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%91%E8%AA%8C%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%89 図書コード
ttp://jump.5ch.net/?https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E5%9B%B3%E6%9B%B8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%89 成立学園に勤めるのは3年目。
担当科目は数学。
女子テニス部の顧問をしている。
何がヤバイというと、2013年4月から2015年3月まで宮前平中に働いていたらしく、女子中学生とsexしたことがバレて、飛ばされたから。
今でも教師を続けているのがすごく不思議な感じだよ。
岩崎先生って、ツイッターとFacebookをやってるみたいだから、覗いてみては？
ttps://i.imgur.com/Ud1jZNX.jpg 
ttps://i.imgur.com/60632W5.jpg 
ttps://i.imgur.com/KSq9IwZ.gif 
ttps://i.imgur.com/IPzxlcC.jpg 
ttps://i.imgur.com/dinudEs.jpg 
ttps://i.imgur.com/P5W6E3f.jpg 
ttps://i.imgur.com/VxKaGoO.jpg 
ttps://i.imgur.com/sQKEW3o.jpg ？
新しいスレッドを立ててください。
life time: 699日 18時間 51分 46秒
運営にご協力お願いいたします。
───────────────────
《プレミアム会員の主な特典》
★ 5ちゃんねる専用ブラウザからの広告除去
★ 5ちゃんねるの過去ログを取得
★ 書き込み規制の緩和
───────────────────
会員登録には個人情報は一切必要ありません。
月300円から匿名でご購入いただけます。
▼ プレミアム会員登録はこちら ▼
ttps://premium.5ch.net/ ▼ 浪人ログインはこちら ▼
ttps://login.5ch.net/login.php 