Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日
Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
語るスレです。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
part 1
ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1319476638/
part 2
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/
part 3
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/
C、D、E、F を圏とする。
T：C×D×E → F、S：C×D×E → F を関手とする。
任意の (X、M、A) ∈ C×D×E に対して
射 τ(X、M、A)：T(X、M、A) → S(X、M、A) が存在するとする。
C の任意の射 X → Y と任意の (M、A) ∈ D×E に対して次の図式が可換であるとする。
T(X、M、A) → S(X、M、A)
↓ ↓
T(Y、M、A) → S(Y、M、A)
このとき τ は第１変数に関して自然であるという。
τ(X、M、A)：T(X、M、A) → S(X、M、A) は X に関して自然であるとも言う。
同様に第２変数、第３変数に関して自然であることが定義される。
過去スレpart2の707より τ が各変数に関して自然なとき
τ は自然変換（代数的整数論017の370）である。
C、D、E をそれぞれ圏とする。
このとき、Func(C×D, E) (過去スレpart2の597) と Func(C, Func(D, E)) は圏として同型である。
証明
F：C×D → E と G：C×D → E を関手とする。
各 X ∈ C に対して関手 F(X, －)：D → E （過去スレpart2の686）が得られる。
対応 X → F(X, －) は関手 F’：C → Func(D, E) を定める。
τ：F → G を自然変換（代数的整数論017の370）とする。
各 X ∈ C に対して τ は自然変換 τ(X, －)：F(X, －) → G(X, －) を定める。
対応 X → τ(X, －) は自然変換 τ’：F’→ G’を定める。
F ∈ Func(C×D, E) に F’∈ Func(C, Func(D, E)) を対応させ
自然変換 τ：F → G に自然変換 τ’：F’→ G’を対応させることにより
関手 ψ：Func(C×D, E) → Func(C, Func(D, E)) が得られる。
この関手は明らかに逆関手を持つ。
証明終
C と D と E を圏とする。
F：C → D、G：C → D、H：D → E を関手とする。
H は充満忠実（代数的整数論017の403）であるとする。
τ：HF → HG を自然変換とする。
このとき自然変換 σ：F → G あり τ = Hσ（代数的整数論018の119）となる。
証明
各 X ∈ C に対して射 τ_X：HF(X) → HG(X) がある。
H は充満忠実だから τ_X = H(σ_X) となる射 σ_X：F(X) → G(X) が一意に存在する。
X → Y を C の射とする。
τ：HF → HG は自然変換だから次の図式は可換である。
HF(X) → HG(X)
↓ ↓
HF(Y) → HG(Y)
H は充満忠実だから次の図式は可換である。
F(X) → G(X)
↓ ↓
F(Y) → G(Y)
よって、σ：F → G は自然変換である。
各 X ∈ C に対して τ_X = H(σ_X) であるから τ = Hσ である。
証明終
Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。
C を圏とする。
D を局所的に小さい圏（代数的整数論017の343）とする。
F：C → D、G：C → D を関手とする。
次の２変数の関手がある。
Hom(F(－), －)：C^o×D → Set
Hom(G(－), －)：C^o×D → Set
τ：Hom(F(－), －) → Hom(G(－), －) を自然同型とする。
このとき自然同型 σ：G → F あり
各 (X, T) ∈ C×D に対して τ(X, T) = Hom(σ_X, 1_T) となる。
証明
h’: D^o → Func(D, Set) を米田関手（代数的整数論017の722）とする。
米田の埋め込み定理（代数的整数論017の725）より h’は充満忠実（代数的整数論017の403）である。
F^o：C^o → D^o と G^o：C^o → D^o をそれぞれ F と G の双対関手()とする。
より Hom(F(－), －) と Hom(G(－), －) は Func(C^o, Func(D, Set)) の対象と同一視される。
このとき、合成関手 h’F^o：C^o → Func(D, Set) は Hom(F(－), －) と同一視される。
同様に 合成関手 h’G^o：C^o → Func(D, Set) は Hom(G(－), －) と同一視される。
よって、τ は自然同型 τ：h’F^o → h’G^o と見なされる。
よって、本命題の主張はから直ちに得られる。
証明終
C、D、E をそれぞれ前加法圏（過去スレpart2の589）とする。
C×D から E への関手で各変数について加法的な関手（過去スレpart2の687）全体を
Add’(C×D, E) と書く。
Add’(C×D, E) は自然変換（代数的整数論017の370）を射とすることにより
広義の圏 (過去スレpart3の749) となる。
C、D、E をそれぞれ前加法圏（過去スレpart2の589）とする。
C×D は前加法圏である。
よって、Add(C×D, E)（過去スレpart2の605）が定義される。
一般に Add(C×D, E) と Add’(C×D, E)（）は異なる（過去スレpart2の688）。
F、G ∈ Add’(C×D, E) とする。
τ、σ ∈ Hom(F, G) とする。
各 (X, Y) ∈ C×D に対して (τ + σ)(X, Y) = τ(X, Y) + σ(X, Y) と定義することにより
Hom(F, G) はアーベル群になる。
よって、Add’(C×D, E) は広義の前加法圏（過去スレpart3の751）となる。
C、D、E をそれぞれ前加法圏（過去スレpart2の589）とする。
Add(D, E)（過去スレpart2の605）は広義の前加法圏（過去スレpart3の751）である。
よって、Add(C, Add(D, E)) が意味を持つ。
このとき、Add’(C×D, E)（）から Add(C, Add(D, E))（過去スレpart2の605）への
加法的な関手で同型であるものが存在する。
証明
F、G ∈ Add’(C×D, E) とする。
各 X ∈ C に対して加法的関手 F(X, －)：D → E （過去スレpart2の686）が得られる。
対応 X → F(X, －) は加法的関手 F’：C → Add(D, E) を定める。
τ：F → G を自然変換（代数的整数論017の370）とする。
各 X ∈ C に対して τ は自然変換 τ(X, －)：F(X, －) → G(X, －) を定める。
対応 X → τ(X, －) は自然変換 τ’：F’→ G’を定める。
F ∈ Add(C×D, E) に F’∈ Add(C, Add(D, E)) を対応させ
自然変換 τ：F → G に自然変換 τ’：F’→ G’を対応させることにより
関手 ψ：Add’(C×D, E) → Add(C, Add(D, E)) が得られる。
この関手は加法的であり明らかに逆関手を持つ。
証明終
>同型 Hom(ρ^(E※F), T) ≡ Hom(ρ^(E)※ρ^(F), T) は３変数の関手としての自然同型だから
>上記の同型は２変数（E, F）の関手としての自然同型である。
これはから得られる。
次も同様である。
過去スレpart3の912
>同型 Hom_Z(F※ρ^(E), T) ≡ Hom_Z(ρ_*(F)※E, T) は３変数 (E, F, T) の関手としての
>自然同型だから φ_(F, E) は２変数（E, F）の関手としての自然同型である。
A と B を可換環とする。
ρ：A → B を準同型とする。
より随伴状況 (ρ^, ρ_*, ψ)（代数的整数論019の362）が存在する。
A と B は可換環であるから E ∈ Mod(A)、F ∈ Mod(B)（過去スレpart2の685）に対して
ρ_*(F)※E ∈ Mod(A)、F※ρ^(E) ∈ Mod(B) である。
このとき、A-同型 φ_(F, E)：ρ_*(F)※E → ρ_*(F※ρ^(E)) で
F と E に関してそれぞれ自然（）なものが存在する。
証明
過去スレpart3の912より
Z-同型 φ_(F, E)：ρ_*(F)※E → F※ρ^(E) で
F と E に関してそれぞれ自然なものが存在する。
φ_(F, E) を略して φ と書くことにする。
過去スレpart3の914より x ∈ F、y ∈ E のとき
φ(x※y) = x※(1※y) である。
a ∈ A のとき
φ(a(x※y)) = φ((ρ(a)x)※y) = (ρ(a)x)※(1※y) = ρ(a)(x※(1※y)) = ρ(a)φ(x※y)
よって、φ_(F, E)：ρ_*(F)※E → ρ_*(F※ρ^(E)) は A-同型である。
証明終
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：A → B を準同型とする。
E ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
a ∈ A、x ∈ B のとき ax = ρ(a)x と定義することにより B ∈ Mod(A, B^o) と見なせる。
Hom(－, E)：Mod(A) → Mod(Z) を過去スレpart2の730で定義した関手とする。
Hom(－, E) は加法的関手（過去スレpart2の589）であるから
過去スレpart2の638より Hom(B, E) ∈ Mod(B) と見なせる。
このとき Hom(B, E) を ρ~(E) とも書く。
対応 E → ρ~(E) により加法的関手 ρ~：Mod(A) → Mod(B) が得られる。
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：A → B を準同型とする。
ρ~：Mod(A) → Mod(B)（）は ρ_*：Mod(B) → Mod(A)（過去スレpart3の871）の
右随伴関手（代数的整数論019の362）である。
証明
E ∈ Mod(A)、F ∈ Mod(B) とする。
a ∈ A、x ∈ B のとき ax = ρ(a)x と定義することにより B ∈ Mod(A, B^o) と見なせる。
B※F を B 上のテンソル積（過去スレpart2の651）とする。
B※F ∈ Mod(A) と見なせる。
一方、過去スレpart2の801より B※F は F と B-加群として自然（）に同型である。
よって、B※F ∈ Mod(A) と見なした場合 B※F は ρ_*(F) と自然（）に同型である。
一方、過去スレpart2の748より
アーベル群の同型 φ(F, E)：Hom_A(B※F, E) → Hom_B(F, Hom_A(B, E)) が存在する。
上記より B※F を ρ_*(F) と同一視すれば
アーベル群の同型 φ(F, E)：Hom(ρ_*(F), E) → Hom(F, ρ~(E)) が存在する。
過去スレpart2の748より、この同型は F と E に関してそれぞれ自然である。
よって、（ρ_*、ρ~、φ) は随伴状況である。
証明終
ρ：A → B を準同型とする。
E ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
ρ~(E) = Hom(B, E) の各元 u に u(1) を対応させる写像 τ：ρ~(E) → E を考える。
a ∈ A、u ∈ ρ~(E) のとき (ρ(a)u)(1) = u(ρ(a)) = au(1)
よって、τ(ρ(a)u) = aτ(u)
よって τ：ρ_*(ρ~(E)) → E は A-準同型である。
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/716
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/718
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/720
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/308
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/309
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/311
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ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/449
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/452
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クマの犯罪告白レスです 警察さんよろしく
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/317
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追加
間違いみつけたけど指摘してほしい？
ちょい誤植上等！なのは前からだよ
絶望的なギャップは見つけたことないけど
お前、Kummerだな
許さん
違うよ、クマーのエロリグロ雑文のファンｗ
単なるコピペ
あれをフィクション化して支持するのはkummerだけ
お前はKummerだ
ばればれなんだよ
雑文なだけで、別にフィクション扱い前提でもないよｗ
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/324
それを言うならほとんどの教科書は全部とは言わないがほとんど単なるコピぺ
例えば松村の可換環論だって永田の可換体論だって全部とは言わないがほとんど単なるコピぺ
ほとんどの内容がオリジナルな教科書というのは例外的
thanks
特に最後ｗ
このすれハ、ナンノこぴぺナノカ
（このすれガ教科書ト、ドウレベルデアレバ）
関手 ρ_*、ρ^、ρ~ に関するものは Cartan-Eilenberg, Bourbaki を
圏論的に再構成したもの
のエレマンのどれなのでしょうか
フォスター梶原君のためにフェルマーを証明してやる
つもりなの？
これが
Galois理論の革新につながる処とは何でしょうか
塵も積もれば山となる
Algebre, Chapitre II
→ Ｇａｌｏｉｓ ？
awateruna
hito-yasumi hito-yasumi
Algebre, Chapitre III も登場する
従って数学的にトリビアルなことを馬鹿にすることは数学の命題の証明を馬鹿にすることに他ならない
等式
０＝０
を馬鹿にすることは数学の命題の証明を馬鹿にする
ことに他ならない
おまえさあ、読解力無いねw
書いてあることを、ここに転載せんでええっていう話だよw
たとえば arXiv にこんなもんを載せたら、ID含めて削除だよw
不安であった
許さん。監視中だ。
今から見ると圏論的に不十分な扱いをしている。
例えばBourbakiは過去スレpart2の748の同型が自然同型であることを述べていない。
テンソル積が右完全なのはそれが Hom の左随伴関手であるからであるが
彼等はそれについて述べていない。
当時は随伴関手という概念がまだ普及していない頃だから無理もないが。
lim と colim は圏論的に扱って始めてその本質が理解出来るが彼らは当然ながら不十分な扱いをしている。
etc.
教科書を書いて出版したら良い
低脳クマはただの１本も数学の論文をパブリッシュしてないし、
学位もないからw まったくの妄想ですw
って大声で話している３０歳ぐらいのおっさんがいた
学生風だが年齢はおっさん、しかし無職
どうやらどこかの大学を出た人で、数学コンプで
数学本を買い込んでいると聞いた
彼の連れが後に数理研の研究生かなんかになって
生涯に論文１本で、どこだかの非常勤講師までなったが
クビになったそうだ
どちらも「言葉だけ」だった
やたらコホモロジーとか言っておったw
こういった数学者憧れ組は数学者にはなれないw
まあ、クマのようにネットでナルスレを書き続けるくらいかw
ブログだとカウンターが本人のアクセス１のみでめげたのだろうw
２ちゃんにクマは生き甲斐を見出したw
しかし逮捕が近いw
>それを言うならほとんどの教科書は全部とは言わないがほとんど単なるコピぺ
お前の落書きの目的は、教科書書くことなのか？
真実は一つだけ
怒りは自然な感情
戦争・テロは無くならない
死刑には殺人の抑止力がある
虐められる側にも虐めの原因がある
自己チューな人間ほど自己愛が強い
などの命題の間違いを解説しています
感情自己責任論
>lim と colim は圏論的に扱って始めてその本質が理解出来るが彼らは当然ながら不十分な扱いをしている。
lim と colim の概念が、「Galois理論とそれに関連する話題」と
ドウ関連するのでしょうか
f ∈ Hom(ρ_*(F), E)、b ∈ B、x ∈ F のとき φ(f)(x)(b) = f(b※x) = f(bx) である。
特に φ(f)(x)(1) = f(x) である。
τ：ρ~(E) → E をで定義した写像とする。
τ・φ(f)(x) = f(x)
よって、τ・φ(f) = f
u = φ(f) とおけば τu = φ^(-)(u)
Cartan-Eilenberg, は､homological algebra の著者、
Bourbaki Algebre, Chapitre II は、線形代数の章
Bourbaki Algebre, Chapitre III とは、テンソル代数の章
これらと、ガロア理論がどのように、つながって行くのか？
>>命題
>>A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
ガロア理論は､拡大体の理論ですが､｢可換とは限らない環｣の命題が
どう関連するのですか?
本題に入ってから必要になった時点で参照すれば十分です。
同型 φ：Hom(ρ_*(ρ~(E)), E) → Hom(ρ~(E), ρ~(E)) が得られる。
u ∈ Hom(ρ~(E), ρ~(E)) を恒等射とする。
より τ = τu = φ^(-)(u)
よって、τ：ρ_*(ρ~(E)) → E は随伴状況 (ρ_*, ρ~, φ) の余単位（代数的整数論019の425）である。
よって、代数的整数論019の424より τ は自然（）である。
同型 φ：Hom(ρ_*(F), ρ_*(F)) → Hom(F, ρ~(ρ_*(F))) が得られる。
f ∈ Hom(ρ_*(F), ρ_*(F)) を恒等射とする。
σ = φ(f) とおく。
より b ∈ B、x ∈ F のとき σ(x)(b) = bx である。
σ：F → ρ~(ρ_*(F)) は随伴状況 (ρ_*, ρ~, φ) の単位（代数的整数論019の413）である。
代数的整数論019の411より σ は自然（）である。
（homological algebra）と
ガロア理論がどのように、つながって行くのか？
>>数学の命題の証明とはその命題がトリビアルな事実の積み重ねであることを示すことに他ならない
＞トリビアルな事実
?
ガロア理論でもなんでもよいけど
数学の本をみると、どれもトリビアルな事実の積み重ね、ではない
のが分かると思う。どの命題が欠けただけでも、以後の理論の叙述は
不可能になる。
>>今は準備だから無理して読む必要はないです。
「準備」なら、タイトルと書き込む内容が異なるので、
タイトルを代えたほうが良いと思います
そのうち分かります。
必ずしも可換とは限らないということは可換でもいいということです。
それはそれとして G をGalois群として群環 Z[G] を考える場合がある。
H を G の部分群とすると Z[H] は Z[G] の部分環となる。
よって、単射準同型 Z[H] → Z[G] が得られる。
これに例えばが適用出来る。
例えば整数論の教科書の一部で準備としてホモロジー代数をやろうとしたら
教科書のタイトルを整数論以外に変えたほうが良いのか？
教科書レベルのこのスレですが、
ガロア理論の本で、「G をGalois群として群環 Z[G] を考える」箇所を教えてください
>数学の本をみると、どれもトリビアルな事実の積み重ね、ではない
>のが分かると思う。
例をあげてもらえます？
Galois cohomologyの本に普通に書いてあるでしょ
Galois cohomologyの本に普通に書いてある
Galois cohomologyは、「ガロア理論の本」ですか
見てればそのうちわかりますよ
因みにGalois理論だけやるわけじゃないのでよろしく
>Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
>語るスレです。
前スレにも書いたけど予定は
無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論
>Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
>語るスレです。
円分多項式の既約性
それはトリビアルな事実の積み重ねで得られますよ
それもトリビアルな事実の積み重ねで得られけど
やる予定はないです
>トリビアルな事実
例をあげてもらえます？
>それもトリビアルな事実の積み重ねで得られけど
証明がトリビアルな事実の積み重ねで成り立っているという意味
証明の方法の発見とか定理の発見がトリビアルな事実の積み重ねで得られるという意味ではない
>>無限次Galois理論 →
次の方が実際に近い?
圏論→線形代数→ホモロジー代数→無限次Galois理論 ･･･
円分多項式の既約性は代数的整数論003の162で証明されている。
その証明は勿論トリビアルな事実の積み重ねから成っている。
その他何でもいいけど例えばこのスレのpart1の451のGalois理論の基本定理の証明も同様。
全部細かいとこまで計画してるわけじゃないんで
準備といいつつ後で使わない命題もあるかもしれないｗ
だから今は適当に読み流して必要になった時点で参照したほうがいい
？
クマーじゃなくKummerな
勿論そう
数学本体と区別するため名無しにしてる
くまー
なのか
クンメル
なのか～
クマーとはオレじゃないとKummer言い
どうも、おあとが宜しい様で
検索しやすくなるように､索引を適宜つくってほしい
そうしないと､書き込んだ本人しか分からない(事態になってしまうように…)
（杞憂？）
ほんとに、Kummerさん？
別スレで、数学以外の発言で、Kummerだったが
大山鳴動して鼠一匹みたいなことになるんじゃないのかい
俺も書いたもの全部覚えてるわけじゃない
というか忘れてるものの方が多い
俺のやり方は前にも書いたが例えば代数的整数論スレだったら各スレをテキストファイルに
コピーし一個のフォルダーに格納する。
何かを検索したい場合、例えば円分多項式の既約性だったらキーワード円分多項式で
秀丸エディターのgrepで検索する。
すると検索結果がいくつか出てくる。
その中かから目的のものがあったらタグジャンプでそれをクリックする。
するとそのファイルが開いて目的の所にカーソルが行く。
別スレは俺主体のスレじゃないからｗ
索引が出来るのは無理か～ ショボーン
類体論の証明だけが目標なら高木のようにやればほとんど準備いらないで出来る
今やってる準備も不要かもしれないがほとんど自分の趣味でやってるんでｗ
だから俺の趣味につきあいたくない人は本題に入るまで待って必要になった時にここを参照すればいい。
本質的なことを訊いていい？
なぜ既存の知識の整理ばかりに夢中になって
新しいことの研究をしない？あなたならできるはずなのに
その質問はこのスレに関係ないのでノーコメントです
プークスクスw
でおまえさんは論文をパブリッシュしたことあるのw？
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/716
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/718
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/720
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/308
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/309
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/311
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/312
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ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/327
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/445
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Kummer ◆SgHZJkrsn08e の犯罪告白レスです 警察さんよろしく
107 名前：１３２人目の素数さん ：2012/01/08(日) 12:56:41.49
本質的なことを訊いていい？
なぜ既存の知識の整理ばかりに夢中になって
新しいことの研究をしない？あなたならできるはずなのに
それは俺の自演かもしれないわけだが
このスレでは自演をやりたいわけだな。どこまでせこいんだかｗ
少しの知識と熱意と時間さえあればできることだよ
むしろ研究することが「数学する」という行為そのもと言える
彼のように知識の整理ばかりしているのが逆に不思議な感じだ
深く理解したいという欲求がある
ならばこそ研究だろ。深く理解するために研究せずして
何をするんだ？
監視中。
学生にこれを読んで学んで勉強してもらいたいとか、
目立ちたいとかの理由でこれを書いてるわけじゃない。
自分が好きだから書いてる。
個人ノートに書いてもいいがそれだとフィードバックがない。
ここだと数は少ないがたまに有益な情報が貰える場合がある。
それに公開してるから緊張感が持てる。
証明にも気が入る。
これを読んで面白いと思う人や何かを学ぶ人がいるかも知れないが、
それは副次的結果であって俺の主目的ではない。
>個人ノートに書いてもいいがそれだとフィードバックがない。
学会や研究会には参加しないの？できないの？
スレの本題とそれ以外を区別したいだけ
この単純かつ至極最もな理由が何故理解出来ないのか理解に苦しむ
学会や研究会には参加しないとも出来ないとも言ってない。
それはそれとして、学会や研究会に行けばこのスレのフィードバックが得られるのか？
しかし、仮に俺が研究してないとしてこれを書くより研究したほうが良いと思うかどうかは俺の勝手
その判断は俺個人の好みの問題であって他人には関係ない
俺が沢尻エリカが好きか綾瀬はるかが好きかは俺個人の好みの問題であって他人には関係ないのと同様
いやあなたは深く理解することが目的だと言ったのだよ
ならば研究するのがその目的に最も資するのではないかな
WittenはSeiberg-Witten論文を書き上げた時にBottに対し
「先生やっと私はMorse理論がわかりました」といったことを
思い出して欲しい
俺はWittenじゃないんでｗ
しかしあんたの言ってることは一理あるんでしょう、多分
だけどこれは乗り掛かった船なんでとりあえず俺の好きにやらせてよ
OK,no problem.
自演以外のフィードバックはあったの？
信じないかもしれないが基本的に俺は自演しない
フィードバックはこのスレには今のところないが代数的整数論スレにはあった
査読雑誌に論文を載せることとはまったく意味が違う
査読雑誌に論文を何本か載せてから、ようやく研究者の卵となるわけだw
だからクマには無理なんだよw 屑にはねw
人生の大部分の時間を浪費しているアホクンマーなのであったw
ともあれ、逮捕はまだ？w
低脳が低脳に話しかけているみたいだがw
見苦しいからやめてほしいw
フィードバック＝「他のヒトからの返答(数学的な)」
と解釈して以下の文を書きます｡
フィードバックしようにも、過去にどのような内容だったのかが
分からないのでフィードバック出来ない｡
「過去にどのような内容だったのかが 分からない」
ので、下の様にいちいち断らなくて行けない。
参照性が低い。
＞＞
94 ：１３２人目の素数さん：2012/01/08(日) 11:39:58.39
円分多項式の既約性は代数的整数論003の162で証明されている。
代数的整数論は現在のところ001から024まであります
例えば代数的整数論 006 を読みたかったら「代数的整数論 006」でぐぐればよい
ガロア生誕200周年記念スレの過去スレも同様
各スレをテキストファイルにコピーし一個のフォルダーに格納する。
代数的整数論003の162だったら代数的整数論003のファイルを
秀丸エディターのようなテキストエディターで開いてレス番号162を検索すればよい。
なお、も参照
俺は秀丸エディターで代数的整数論スレもこのスレも書いてるよ
001から024 の どれですか
俺はテフ打ちはTeXShopでやっておる
それはまだ書いてない
だから俺のスレを読みたかったらテキストエディター使えばいいだろうということ
因みに、ここはTeX関係ないから
だから検索すればいいだろ
>>
(省略)
>> だけどこれは乗り掛かった船なんでとりあえず俺の好きにやらせてよ
船は、どこから始めて、目的がどれであり、今はどのへんなの？
いわゆる「工程表」は？
Neetubot さん最近会ってないけど元気かな？
あんたが読みたくなくても別いいよｗ
工程表：
無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論
熊っておもしろいよねw 馬鹿の上にナルちゃんなんだからw
からかうと滑稽 おだてると嬉しそうだしw
あなたなら研究が出来ます と言ってあげると嬉しそうだったねw
悔しいのうｗ
楽しみにしています。
今は、工程表の、どのへんなの？
それ聞きたい
はようこたえてやれよw
遠大な計画ですね。いまだかつてそのような試みはなかったのではと思います。
無限次Galois理論や類体論への準備中
何を準備しているのですか
出来れば、数学の分野や、用語を用いて答えていただけると
ありがたい
76 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/08(日)
例えば整数論の教科書の一部で準備としてホモロジー代数をやろうとしたら
教科書のタイトルを整数論以外に変えたほうが良いのか？
これは、「復刊 代数的整数論 河田 敬義」のことをアンに指している？
今は線型代数
岩波の数論て本もある
Cassels-FroehlichもSerreのlocal fieldsもそうだろ
>>今は線型代数
出来れば､先の工程表に 「線型代数」を付け加え、よりわかりやすい
ものに改良していただけますか？
線型代数 → 無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論
ttp://beebee2see.appspot.com/i/azuYvYzBBQw.jpg 決めてない
42 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/07(土) 13:53:21.12
Algebre, Chapitre III も登場する
工程表を､｢Algebre, Chapitre III ｣ を取り込んで更新した方がよいと
おもいます。
なんでそこまで細かくこだわる？
（これまで､沢山､数学的叙述をしてきたのに）
なんで、圏論の再構成とガロア理論にそこまで、こだわるのか？
>なんで、きちんとした工程表が書けないのか？
細かいとこまで決めてないから
>>今は線型代数
いまやっていること（線型代数）を工程表に載せないのが
誠実でない
ほかの人に指摘されて訂正。
… これから１人でできるのかなぁ
誠実でない
今やってること
→ 線形代数とは、私、わかりませんでした 。。。
義務で書いたわけじゃない
そこを誤解しないように
ここは金を貰って書いてるわけじゃないんで
名前はどうでもよくて中身がわかればよい
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：A → B を準同型とする。
より随伴状況 （ρ_*、ρ~、φ)（代数的整数論019の362）が存在する。
F ∈ Mod(B) に対して σ_F：F → ρ~(ρ_*(F)) をで定義した射とする。
E ∈ Mod(A) に対して τ_E：ρ_*(ρ~(E)) → E をで定義した射とする。
E ∈ Mod(A)、F ∈ Mod(B) とする。
φ = φ(F, E)：Hom(ρ_*(F), E) → Hom(F, ρ~(E)) をの同型とする。
このとき次の公式が成り立つ。
(ⅰ) u ∈ Hom(ρ_*(F), E) のとき φ(u) = ρ~(u)(σ_F)
(ⅱ) f ∈ Hom(F, ρ~(E)) のとき φ^(-1)(f) = (τ_E)ρ_*(f)
証明
より σ：1_Mod(B) → ρ~ρ_* は（ρ_*、ρ~、φ) の単位である。
より τ：ρ_*ρ~ → 1_Mod(A) は （ρ_*、ρ~、φ) の余単位である。
よって、本命題は代数的整数論019の431で証明されている。
証明終
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：A → B を準同型とする。
より随伴状況 （ρ_*、ρ~、φ)（代数的整数論019の362）が存在する。
F ∈ Mod(B) に対して σ_F：F → ρ~ρ_*(F) をで定義した射とする。
E ∈ Mod(A) に対して τ_E：ρ_*ρ~(E) → E をで定義した射とする。
σ_F：F → ρ~ρ_*(F) より ρ_*(σ_F)：ρ_*(F) → ρ_*ρ~ρ_*(F) が得られる。
ρ_*(σ_F) と τ_ρ_*(F)：ρ_*ρ~ρ_*(F) → ρ_*(F) の合成
τ_ρ_*(F)ρ_*(σ_F)：ρ_*(F) → ρ_*(F) は恒等射 1_ρ_*(F) である。
証明
より σ：1_Mod(B) → ρ~ρ_* は（ρ_*、ρ~、φ) の単位である。
より τ：ρ_*ρ~ → 1_Mod(A) は （ρ_*、ρ~、φ) の余単位である。
よって、本命題は代数的整数論019の432で証明されている。
証明終
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：A → B を準同型とする。
より随伴状況 （ρ_*、ρ~、φ)（代数的整数論019の362）が存在する。
F ∈ Mod(B) に対して σ_F：F → ρ~ρ_*(F) をで定義した射とする。
E ∈ Mod(A) に対して τ_E：ρ_*ρ~(E) → E をで定義した射とする。
τ_E：ρ_*ρ~(E) → E より ρ~(τ_E)：ρ~ρ_*ρ~(E) → ρ~(E) が得られる。
σ_ρ~(E)：ρ~(E) → ρ~ρ_*ρ~(E) と ρ~(τ_E) の合成
ρ~(τ_E)σ_ρ~(E)：ρ~(E) → ρ~(E) は恒等射 1_ρ~(E) である。
証明
より σ：1_Mod(B) → ρ~ρ_* は（ρ_*、ρ~、φ) の単位である。
より τ：ρ_*ρ~ → 1_Mod(A) は （ρ_*、ρ~、φ) の余単位である。
よって、本命題は代数的整数論019の432で証明されている。
証明終
A と B を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：A → B を準同型とする。
E ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
E が単射的（代数的整数論019の759）なら ρ~(E)（）も単射的である。
証明
代数的整数論019の762より Hom(－, ρ~(E)) が完全（代数的整数論019の661）であることを
示せば良い。
0 → F’→ F → F”→ 0 を Mod(B) の完全列（代数的整数論019の651）とする。
より関手 ρ_* は完全であるから
0 → ρ_*(F’) → ρ_*(F) → ρ_*(F”) → 0 は完全である。
E は単射的であるから代数的整数論019の762より Hom(－, E) は完全である。
よって、
0 → Hom(ρ_*(F”), E) → Hom(ρ_*(F), E) → Hom(ρ_*(F’), E) → 0 は完全である。
よって、より
0 → Hom(F”, ρ~(E)) → Hom(F, ρ~(E)) → Hom(F’, ρ~(E)) → 0 は完全である。
よって、Hom(－, ρ~(E)) は完全である。
証明終
>信じないかもしれないが基本的に俺は自演しない
基本的とは、コテ付けてるときということかｗｗ
>フィードバックはこのスレには今のところないが代数的整数論スレにはあった
例えば？
>基本的とは、コテ付けてるときということかｗｗ
>例えば？
質問するなら礼儀をわきまえれよ
何がコピペ状態？
A と B と C を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：A → B と σ：B → C を準同型とする。
ρ~：Mod(A) → Mod(B) と σ~：Mod(B) → Mod(C) をで定義した関手とする。
このとき、(σρ)~ と (σ~)(ρ~) は自然同型（代数的整数論018の144）である。
証明
より (ρ_*, ρ~) と (σ_*, σ~) は随伴状況（代数的整数論019の362）である。
よって、代数的整数論019の466より ((ρ_*)(σ_*), (σ~)(ρ~)) は随伴状況である。
一方、より (σρ)_* = (ρ_*)(σ_*) である。
より ((σρ)_*, (σρ)~) は随伴状況である。
よって、(σρ)~ と (σ~)(ρ~) はともに (σρ)_* の右随伴関手（代数的整数論019の362）である。
よって、代数的整数論019の444の双対より (σρ)~ と (σ~)(ρ~) は自然同型である。
証明終
クマーは踊るわいw 思った通りに踊るから、かまってやるとおもしろいw
E ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
E と過去スレpart3の871の関手 ρ_*：Mod(B) → Mod(A) から圏 (ρ_*↓E)（代数的整数論017の478）が
得られる。
より τ：ρ~ρ_* → 1_Mod(A) は (ρ_*, ρ~) の余単位（代数的整数論019の425）である。
よって、代数的整数論019の423より τ_E：ρ_*(ρ~(E)) → E は (ρ_*↓E) の
終対象（代数的整数論017の288）である。
工程表：
無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論
169 ：１３２人目の素数さん：2012/01/08(日) 19:32:27.99
類体論の第２不等式の証明は、どの手法で行うの？
踊れクマー
逮捕されるまで踊れw
>まあ、おれが質問してやったら、うれしそうだったなw
妄想乙
>類体論の第２不等式の証明は、どの手法で行うの？
決めてない
おだてりゃあ、踊るw
悔しいのおw 悔しいのおw
低脳無職のクマー 悔しいのおw
このスレに関係する質問だから答えただけ
おだてりゃあ、踊るw
悔しいのおw 悔しいのおw
低脳無職のクマー 悔しいのおw
名無しで反論 悔しいのおw 悔しいのおw
失業して悔しいのおw
＞＞質問するなら礼儀をわきまえれよ
礼儀をわきまえて、質問に答えて欲しい
スレの本題とそれ以外を区別したいだけ
結局自演以外のレスはなかったということか。
前にも書いたが悔しいと思うのはお前が自惚れているからだよ
言っておくけど俺が今までに代数的整数論スレとこのスレに書いたことはほんの序の口
ほとんどがトリビアルに毛の生えた程度のことしかやってない
本論にまだ入っていないのにこの程度で俺に悔しい思いしてるのは笑える
本論に入ったらひっくり返るんじゃないかｗ
とはおめでたいねえ
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/716
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/718
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ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/308
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ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/327
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/445
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/449
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/452
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/711
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ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/311
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ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/327
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ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/449
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いつごろに逮捕？
アホな質問だろうと質問は質問だからな
答えないとうるさいし
拘置所に持って行く荷物まとめた？＞クマ
いつまでガキみたいなこと書いてるんだか
>拘置所に持って行く荷物まとめた？＞クマ
> スレの本題とそれ以外を区別したいだけ
これがスレの本題とは本物のキチガイだなｗ
716 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e [] 投稿日：2011/12/04(日) 18:03:01.33
今日の午後、久しぶりに渋谷に出てナンパした。
ちょっとなまいきな女だったのでレイプしてやった。
そしたらドＭだったらしくえらく喜ばれて白けた
さすがにコテハンをいれないと俺だとわからないだろｗ
ここ数学のスレだよな。
そもそも、自演以外の読者なんている？ の質問にも答えてないだろ。
>そもそも、自演以外の読者なんている？
俺以外に読者いないと？
頭大丈夫？
読者サービスの意味分かってるのか
お前等大喜びしてたじゃん
>頭大丈夫？
ごめん
愚問だったｗ
>読者サービスの意味分かってるのか
どこがサービスなのか理解できん。あんた別の言い訳を延々としていたはずだ。
結局、肝心のお勉強ノートの方には読者はいないわけだ。
>お前等大喜びしてたじゃん
俺は不愉快に感じたが。喜ばすのが大事なら、この糞スレを終わらせるのが一番だと思う。
>どこがサービスなのか理解できん。
それはあんたの理解力不足
>結局、肝心のお勉強ノートの方には読者はいないわけだ。
悔しいのう
違う
てかなんでそう思うの？
> の質問にも答えてないだろ。
だから質問に答えて欲しかったそれなりの礼儀を弁えろよ
ヒントをやろう：過去スレ全部読めばわかるｗ
かわいそうだからマジレスすると検索すればわかる
>喜ばすのが大事なら、この糞スレを終わらせるのが一番だと思う。
悔しいのうｗ
「数学愛好家」と「数学者」の区別のついていない奴が詰む。
こいつらは、ただ野球ができてもプロ野球選手になれるとは限らない、という風な自然な発想ができない。
しかも、やっていることが専門的だから、一通りの知識を得ることに躍起になり出すと、この傾向がよりいっそう顕著になる。
たとえるならば、ルールを覚えるのに10年かかる野球をしているようなもの。プロになれなかったら、ルールを覚えるのに費やした10年が無駄になるだけ。
クマって、大学院行っていたの？
37 名前：１３２人目の素数さん ：2012/01/09(月) 13:56:25.27
俺の両親は俺が子供の頃に交通事故で亡くなった
その後、養護施設に入れられた
中学の頃そこを出て以来全国を放浪
だから学歴は中卒（実際は卒業もしていない）
俺の祖父は少しは名の知れた数学者だった
隔世遺伝なのか小学生の頃に数学に異常に興味をもった
女にも異常に興味をもったがｗ
中学中退の頃までには微積分とGalois理論を独学でマスター
悔しいのうｗ
レス番号つけて
何が？
ｗ
自演の仕方変えたのか？ さんざん自演の指摘されたせいか？ｗ
>>結局、肝心のお勉強ノートの方には読者はいないわけだ。
回答まだ？ やっぱいないんじゃん。できないなら糞スレ閉鎖しろよ。
クマが無職の見栄っ張りと思ってからかってるんだろ。
悪いが全然うらやましくない
なんでそんなに働きたいのか不思議だ
サラリーマンが働いてる平日の昼間に都心のホテルの近くのしゃれたイタリアンで
昨夜ベッドを共にした女の子と食う朝食を兼ねたランチがうまいことといったら
やみつきになるｗ
お前はガキか
いつまでも同じネタを飽きずに
と思ってるとしたら噴飯もの
ヒマがあって金があるのがそんなに珍しいのかね
いくら働いても金がないやつ等ばかりだから無理もないかｗ
クマにはそんなことも分からないの？w
わかってるがそれがどうした？
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逮捕はいつになりますか？
無職のクマは、数学者に憧れるのであったw
こんなスレを書いていても、アカポスにつける可能性はゼロw
わかるように書いてるわけだが
あんたするどい勘をしてると褒めてもらいたいのかｗ
なんせ、あのアホが数万のレスを２ちゃんねるで書き続ける原動力は
アカポスについている数学者に対する劣等感だからねw
悔しいのかいw？
自分のことだろｗ
なんせ、あのアホが数万のレスを２ちゃんねるで書き続ける原動力は
アカポスについている数学者に対する劣等感だからねw
悔しいのかいw？
なるほど、そういうことだったんですね
頭悪いな
悔しいのはお前だろ
何年も俺に粘着しちゃって
言っておくがこれからはもっと難易度が高くなるから腰を抜かすなよｗ
今まではトリビアルに毛が生えた程度の準備に過ぎない
この程度で俺に悔しい思いをしてるお前って何なのｗ
読者サービス乙 誰も信じないってｗ
むしろ、その対極がクマの現状と思ったがどうだ？
>誰も信じないってｗ
逮捕って騒いでいたがｗ
君だけは許さない。
永遠にね
何を許さない？
ρ：A → B を準同型とする。
より随伴状況 （ρ_*、ρ~、φ)（代数的整数論019の362）が存在する。
E ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
Set を小さい集合（代数的整数論017の321）全体の圏とする。
Hom(ρ_*(－), E): Mod(B)^o → Set を T ∈ Mod(B) に Hom(ρ_*(T), E) を対応させる関手とする。
随伴状況 （ρ_*、ρ~、φ) より Hom(ρ_*(－), E) と Hom(－, ρ~(E)) は自然同型である。
τ：ρ_*(ρ~(E)) → E をで定義された射とする。
Hom(ρ_*(－), E) は (ρ~(E), τ) で表現される（代数的整数論017の653）。
T ∈ Mod(B) とする。
アーベル群の同型 φ = φ(T, E)：Hom(ρ_*(T), E) → Hom(T, ρ~(E)) がある。
f：ρ_*(T) → E を任意の A-射とする。
このとき B-射 g：T → ρ~(E) で f = τρ_*(g) となるものが一意に存在する。
このとき φ(f) = g である。
より b ∈ B、t ∈ T のとき g(t)(b) = f(bt) である。
この野郎、監視中だ。
ρ：A → B と σ：B → C を準同型とする。
の自然同型 (σρ)~ → (σ~)(ρ~) を具体的に求めてみよう。
E ∈ Mod(A) とする。
τ：ρ_*(Hom(B, E)) → E をで定義した射とする。
即ち u ∈ Hom(B, E) に対して τ(u) = u(1) である。
λ：Hom(C, E) = (σρ)_*(Hom(C, E)) → E をで定義した射とする。
即ち u ∈ Hom(C, E) に対して λ(u) = u(1) である。
(σρ)_*(Hom(C, E)) = ρ_*(σ_*(Hom(C, E))) であるからより
α：σ_*(Hom(C, E)) → Hom(B, E) で τρ_*(α) = λ となるものが一意に存在する。
u ∈ Hom(C, E)、b ∈ B のときより α(u)(b) = λ(bu) = bu(1) = u(σ(b)) である。
γ：σ_*(Hom(C, Hom(B, E))) → Hom(B, E) をで定義した射とする。
即ち u ∈ Hom(C, Hom(B, E)) に対して γ(u) = u(1) である。
より C-射 β：Hom(C, E) → Hom(C, Hom(B, E)) で
α = γσ_*(β) となるものが一意に存在する。
u ∈ Hom(C, E)、c ∈ C のときより β(u)(c) = α(cu)
よって、b ∈ B、c ∈ C のとき β(u)(c)(b) = α(cu)(b) = cu(σ(b)) = u(σ(b)c)
この β：Hom(C, E) → Hom(C, Hom(B, E)) が自然同型 (σρ)~(E) → (σ~)(ρ~)(E) を与える。
ヘェ～
障害のために仕事に支障をきたし、ひきこもってしまう人も少なくない。
発達障害者支援法の成立から７年。行政の取り組みは遅れがちだが、
障害を持つ人たちが自助努力で立ち向かう動きも出てきた。
「イージーミスが多すぎる。君に営業はできない」。
都内に住む２０代の男性は昨年夏、上司にこう指摘され、しばらくして会社を辞めた。
旅行会社の営業マン。まじめで人当たりもいいが、段取りや整理が下手。
細かい連絡を忘れてしまう。添乗員として随行した先で、用意する弁当の数が変更になったのに
業者への連絡を忘れてしまい、トラブルになったこともあった。
まだ、きちんとした診断は出ていない。再就職への意欲もあるが、「サービス業はもう無理だと思う」という。
発達障害は従来、子供のものとされてきた。だが近年、ひきこもりや鬱病、
子供への虐待などの２次障害が表れ、初めて受診する大人の患者が多い。
計３１万部のベストセラー『発達障害に気づかない大人たち』シリーズ（祥伝社新書）の著者、
心療内科医で福島学院大の星野仁彦（よしひこ）教授は「私のクリニックに来る患者さんは２次障害が深刻な状態。
復帰するのは容易ではない」と話す。
星野教授の調査では、外来を受診した成人のＡＤＨＤとＡＳの患者１３０人のうち、
２次障害がない人はわずか１３人。専門医が少ないため、発達障害を見抜けず、
２次障害だけの治療を受けた結果、再発、長期化する傾向にある。
冒頭の男性のようなケースでも、「まずは自分で発達障害を認識し、診断を受ける。
そのうえで長所と短所を把握し、サポートしてくれる人を見つけることが大切」と星野教授は言う。
ttp://sankei.jp.msn.com/life/news/120110/bdy12011008220005-n1.htm ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/716
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/718
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/720
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/308
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/309
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/311
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/312
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/324
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/327
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/445
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/449
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/452
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/711
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/716
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/718
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/720
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/308
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/309
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ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/312
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/324
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/327
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/445
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/449
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/452
これはどうよ？
Kummerさんのファンでしたが…
こんなことを書いていたのですか ショックです 絶対に許せません
なんで帝大数学科の教授になれないの？
なんで論文が１本もないの？
お し え て
って、類体論でどう用いられる？
0 → N → M → L → 0 を Mod(A)（過去スレpart2の685）における
完全列（代数的整数論019の651）とする。
N → M の像が M の直和因子となるとき、
この完全列は分解(split) すると言った（代数的整数論001の648）。
A を可換環とする。
0 → N → M → L → 0 を A加群のなす
完全列とする。
N → M の像が M の直和因子となるとき、
この完全列は分解(split) すると定義する
（ホモロジー代数 完全列の分解）
射 h: Y → X で fh = 1_Y となるものがあるとき
h を f の断面(section)と言った（代数的整数論017の346）。
射 g: Y → X で gf = 1_X となるものがあるとき
g を f の引き込み(retraction)と言った（代数的整数論017の346）。
f がある射 g：Y → X の断面（）のとき、即ち f が引き込み（）g を持つとき
f を断面という。
f がある射 g：Y → X の引き込み（）のとき、即ち f が断面（）g を持つとき
f を引き込みという。
C を前加法圏（過去スレpart2の589）とする。
I を小さい集合とする。
(X_i), i ∈ I を I を添字集合とする C の対象の族とする。
Z = ΣX_i を余積（代数的整数論017の837）とする。
このとき Z を (X_i), i ∈ I の和または直和とも言う。
C を前加法圏（過去スレpart2の589）とする。
I を小さい集合とする。
(X_i), i ∈ I を I を添字集合とする C の対象の族とする。
Z = ΠX_i を積（代数的整数論017の747）とする。
このとき Z を (X_i), i ∈ I の直積とも言う。
C を前加法圏（過去スレpart2の589）とする。
X と Y を C の対象とする。
Z = X＋Y を直和（）とする。
f：X → Z、g：Y → Z をそれぞれ標準射とする。
このとき f および g は断面（）である。
よって、より両者とも単射である。
証明
1_X：X → X と 0：Y → X により p：Z → X で 1_X = pf、0 = pg となるものがある。
よって、f は断面である。
g が断面であることも同様である。
証明終
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このスレはあなたにとって役に立ちましたか？
○ 人生を変えた
○ 非常に役にたった
○ 役にたった
○ どちらともいえない
○ 役に立たなかった
○ 全く役にたたなかった
● むしろ見てくれた連中に謝罪と賠償が必要
● スレ主は逮捕されるべき
○ 死んで詫びろ
なんで帝大数学科の教授になれないの？
なんで論文が１本もないの？
お し え て
C を前加法圏（過去スレpart2の589）とする。
X と Y を C の対象とする。
Z = X＋Y を直和（）とする。
f：X → Z、g：Y → Z をそれぞれ標準射とする。
1_X：X → X と 0：Y → X により p：Z → X で 1_X = pf、0 = pg となるものが一意にある。
0：X → Y と 1_Y：Y → Y と により q：Z → Y で 1_Y = qg、0 = qf となるものが一意にある。
このとき fp + gq = 1_Z である。
さらに (Z, p, q) は X と Y の直積（）である。
証明
代数的整数論019の519より fp + gq = 1_Z である。
代数的整数論019の521より (Z, p, q) は X と Y の直積である。
証明終
C を前加法圏（過去スレpart2の589）とする。
Z を C の対象とする。
(X, f) と (Y, g) を Z の部分対象（代数的整数論018の646）とする。
(Z, f, g) が X と Y の直和（）のとき (X, f) または X を Z の直和因子という。
同様に (Y, g) または Y を Z の直和因子という。
(Y, g) または Y を (X, f) または X の直和補因子という。
工程表：
無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論
単射包絡(injective envelope）
これは、類体論でどう用いられる？
単射包絡について書いているのも、上記工程表（の項目）の
準備のためなんですよね？
Z を 環R上の加群とする。
XとYを Z の部分加群とする。
Z が X と Y の直和のとき X を Z の直和因子という。
Y を Z の直和因子という。
Y を X の直和補因子という。
では具体例で考えてみよう｡
準備したものが将来どのように使われるかという質問は原則的にはノーコメントにさせてください。
待ってればいずれ分かりますよ。
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
C の射 f：X → Y が断面（）であるためには
f が単射で (X, f) が Y の直和因子（）であることが必要十分である。
証明
必要性：
f：X → Y が断面であるとする。
より f は単射である。
pf = 1_X となる射 p：Y → X がある。
K = Ker(p) とおく。
g：K → Y を標準射とする。
h = 1 - fp とおく。
h：Y → Y である。
ph = p(1 - fp) = p - p = 0 である。
よって、q:Y → K で gq = h となるものが一意に存在する。
1 = fp + (1 - fp) = fp + h = fp + gq
gqg = hg = (1 - fp)g = g - fpg = g
即ち gqg = g
g は単射だから qg = 1_K である。
以上から代数的整数論019の523より (f, g、Y) は X と K の直和（）である。
よって、(X, f) は Y の直和因子である。
十分性：
(X, f) が Y の直和因子であるとする。
より f：X → Y は断面である
証明終
？？ なぜ、ノーコメントなのか。理解に苦しむ。
一方で、「準備」といい、他方、工程表がでてくる。
工程表があるのなら、「将来どのように使われるか」という質問には
答えられると思う（のだけれど…）
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
0 → N → M → L → 0 を C における完全列（代数的整数論019の651）とする。
N → M が M の直和因子（）であるとき、 この完全列は分解(split) すると言う。
なんで知りたいの？
このスレが｢準備｣でナイのなら､スレタイを代えたほうが
良いと思う｡
なんで知りたいの？
環R上の加群X、Yについて
その射 f：X → Y が section (断面、切断)であるためには
f が単射で 加群 Xが Y の直和因子であることが必要十分である。
具体例としては､（環R上の加群の代わりに）有限次元の線形空間について
考えてみよう。
類体論で
単射包絡(injective envelope）
がどう用いられる？
のかを知りたいので
316
３２１ さん ＝ Kumaa さん？
いちいち答えてたらきりがないじゃん
それに昔準備したものは計画変更で将来使わないかもしれない
だからなんでそれを知りたいの？
類体論は代数的整数論の一部だけど全部ではない。
だから必ずしも類体論で使われるとは限らない、
が準備されるが､単射包絡の記述は無い｡
他方､ホモロジー代数では､単射包絡まで記されている
場合もあるので｡ これでよいですか｡
>質問してください。
質問したら､しつこく理由を聞かれた｡
名前：１３２人目の素数さん ：2012/01/10(火) 16:49:26.34
>>
>だからなんでそれを知りたいの？
ですか？
>類体論を記述するために､群(有限群)のコホモロジー
>が準備されるが､単射包絡の記述は無い｡
もしかしたら間違っていたら御教示よろしく
ノーコメントと言ってるじゃん
過去に書いたものをいちいち何使われるか説明したらきりがない
どのように使われるかはいずれ分かる
･･･との理由で説明を拒否された｡
｢きりがない｣ほど､質問されているのか?
一度答えたら同じような質問に答えなければならなくなるだろ
>｢きりがない｣ほど､質問されているのか?
過去のことを言ってるんじゃない
将来の可能性の話をしている
あれもこれもと質問が来る可能性があるだろ？
使わないモノを､｢準備｣とは言わない｡
よって､
｢準備したもの｣は､徒然のままに書かれたモノではないか(との
印象を持たざるを得ない)
計画変更すると徒然のままに書かれたモノになるのか？
「計画変更」がありうるなら、スレのタイトルを代えたほうが良いと
思う。「Galois理論とそれに関連する話題」を扱うとは限らないからね。
現在は、このスレ、加群の話しに終始しているし。
＞323 ：１３２人目の素数さん：2012/01/10(火) 16:48:17.60
＞それに昔準備したものは計画変更で将来使わないかもしれない
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
0 → N → M → L → 0 を C における完全列（代数的整数論019の651）とする。
この完全列が分解（）するためには N → M が断面（）であることが必要十分である。
証明
より明らかである。
許さん。人を人とも思わない君にね。
詳しく言えよ
俺が何をした？
答えられないのか？
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
f：X → Z、g：Y → Z を C の射とする。
(f、g、Z) が直和（）であるとする。
1_Y：Y → Y と 0：X → Y により q：Z → Y で 1_Y = qg、0 = qf となるものがある。
このとき次の列は完全（代数的整数論019の651）である。
f q
0 → X → Z → Y → 0
証明
1_X：X → X と 0：Y → X により p：Z → X で 1_X = pf、0 = pg となるものがある。
代数的整数論019の638より fp + gq = 1_Z である。
1_Y = qg より q は引き込み（）である。
よって、より q は全射である。
よって、f：X → Z が q：Z → Y の核（代数的整数論017の794）であることを証明すればよい。
1_X = pf より f は断面であるからより単射である。
0 = qf に注意する。
h：T → Z を qh = 0 となる射とする。
fp + gq = 1_Z より h = (fp + gq)h = fph + gqh = fph
s = ph とおく。
s：T → X であり、h = fs である。
f は単射であるから h = fs となる s：T → X は一意に決まる。
よって、f：X → Z は q：Z → Y の核である。
証明終
監視中
お前たちは、定職に就くのが、先決だろがあああああああ！！！！！！！
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
次の列を分解（）する完全列（代数的整数論019の651）とする。
f q
0 → X → Z → Y → 0
このとき p：Z → X と g：Y → Z があり fp + gq = 1_Z となる。
証明
より f は断面（）である。
よって、pf = 1_X となる p：Z → X がある。
h：K → Z を p の核（代数的整数論017の794）とする。
の証明より r:Z → K があり
rh = 1_K、1_Z = fp + hr となり、(f, h、Z) は X と K の直和（）である。
代数的整数論019の520より rf = 0 である。
よって、より次の列は完全である。
f r
0 → X → Z → K → 0
よって、r：Z → K は f：X → Z の余核（代数的整数論019の506）である。
q：Z → Y も f：X → Z の余核であるから同型 s：Y → K で r = sq となるものが一意に存在する。
g = hs とおく。
g：Y → Z である。
1_Z = fp + hr = fp + hsq = fp + gq
証明終
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
次の列を分解（）する完全列（代数的整数論019の651）とする。
f q
0 → X → Z → Y → 0
このとき p：Z → X と g：Y → Z があり
pf = 1_X
qg = 1_Y
fp + gq = 1_Z となる。
証明
より f は断面（）である。
よって、pf = 1_X となる p：Z → X がある。
h：K → Z を p の核（代数的整数論017の794）とする。
の証明より r:Z → K があり
rh = 1_K、1_Z = fp + hr となり、(f, h、Z) は X と K の直和（）である。
代数的整数論019の520より rf = 0 である。
よって、より次の列は完全である。
f r
0 → X → Z → K → 0
よって、r：Z → K は f：X → Z の余核（代数的整数論019の506）である。
q：Z → Y も f：X → Z の余核であるから同型 s：Y → K で r = sq となるものが一意に存在する。
g = hs とおく。 g：Y → Z である。
1_Z = fp + hr = fp + hsq = fp + gq
g = fpg + gqg = fphs + gqg = gqg
s は同型で h は単射だから g は単射である。
よって g = gqg より qg = 1_Y である。
証明終
よく飽きねえねえなｗ
お前のことだよ
読者サービスのためコテをつけろｗ
C と D をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を加法的関手（過去スレpart2の589）とする。
0 → X → Z → Y → 0 を C における分解（）する完全列（代数的整数論019の651）とする。
このとき 0 → F(X) → F(Z) → F(Y) → 0 は分解する完全列である。
証明
上の列において、f：X → Z、q：Z → Y とする。
より p：Z → X と g：Y → Z があり
pf = 1_X
qg = 1_Y
fp + gq = 1_Z
となる。
F は加法的関手であるから
F(p)F(f) = 1_F(X)
F(q)F(g) = 1_F(Y)
F(f)F(p) + F(g)F(q) = 1_F(Z)
代数的整数論019の523より (F(f), F(g)、F(Z)) は直和（）である。
よって、より 0 → F(X) → F(Z) → F(Y) → 0 は完全である。
F(p)F(f) = 1_F(X) だからよりこの列は分解する。
証明終
C を前加法圏（過去スレpart2の589）とする。
Z を C の対象とする。
(f, X) と (g, Y) を Z の商対象（代数的整数論018の653）とする。
(Z, f, g) が X と Y の直積（）のとき (f, X) または X を Z の直積因子という。
同様に (g, Y) または Y を Z の直積因子という。
(g, Y) または Y を (f, X) または X の直積補因子という。
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
C の射 f：X → Y が引き込み（）であるためには
f が全射で (f, Y) が X の直積因子（）であることが必要十分である。
証明
の双対である。
命題（の双対）
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
C の射 f：X → Y が引き込み（）であるためには
f が全射で (f, Y) が X の直積因子（）であることが必要十分である。
証明
の双対である。
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
p：Z → X、q：Z → Y を C の射とする。
(Z, p、q) が直積（）であるとする。
1_Y：Y → Y と 0：Y → X により g：Y → Z で 1_Y = qg、0 = pg となるものがある。
このとき次の列は完全（代数的整数論019の651）である。
g p
0 → Y → Z → X → 0
証明
の双対である。
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
C の射 f：X → Z が断面（）であるとする。
このとき p：Z → X と q：Z → Y と g：Y → Z があり
pf = 1
qg = 1
fp + gq = 1 となる。
証明（参照）
f：X → Z は断面だから pf = 1 となる射 p：Z → X がある。
p：Z → X の核（代数的整数論017の794）を g：Y → Z とする。
h = 1 - fp とおく。
h：Z → Z である。
ph = p(1 - fp) = p - pfp = p - p = 0
よって、q:Z → Y で gq = h となるものが一意に存在する。
1 = fp + (1 - fp) = fp + h = fp + gq
gqg = hg = (1 - fp)g = g - fpg = g
即ち gqg = g
g は単射だから qg = 1 である。
証明終
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
C の射 p：Z → X が引き込み（）であるとする。
このとき f：X → Z と g：Y → Z と q:Z → Y があり
pf = 1
qg = 1
fp + gq = 1 となる。
証明（の双対だが一応証明する）
p：Z → X は引き込みだから pf = 1 となる射 f：X → Z がある。
q：Z → Y を f：X → Z の余核（代数的整数論019の506）とする。
h = 1 - fp とおく。
h：Z → Z である。
hf = (1 - fp)f = f - fpf = f - f = 0
よって、g:Y → Z で gq = h となるものが一意に存在する。
1 = fp + (1 - fp) = fp + h = fp + gq
qgq = qh = q(1 - fp) = q - qfp = q
即ち qgq = q
q は全射だから qg = 1 である。
C をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
0 → X → Z → Y → 0 を C における完全列（代数的整数論019の651）とする。
この完全列が分解（）するためには Z → Y が引き込み（）であることが必要十分である。
証明
必要性：
より明らかである。
十分性：
f：X → Z と q：Z → Y を完全列 0 → X → Z → Y → 0 の射とする。
q：Z → Y が引き込みであるとする。
より f’：X’→ Z と p’:Z → X’と g：Y → Z があり
p’f’= 1
qg = 1
f’p’+ gq = 1 となる。
代数的整数論019の523より (f’、g、Z) は直和（）である。
よって、より次の列は完全（代数的整数論019の651）である。
f’ q
0 → X’→ Z → Y → 0
即ち f’：X’→ Z は q：Z → Y の核（代数的整数論017の794）である。
f：X → Z も q：Z → Y の核であるから
同型 s：X’→ X で fs = f’となるものが一意に存在する。
p = sp’とおく。
pfs = sp’f’= s
よって、pf = 1
fp + gq = fsp’+ gq = f’p’+ gq = 1
よって、代数的整数論019の523より (f、g、Z) は直和（）である。
証明終
A を必ずしも可換とは限らない環とする。
A^o を A の双対環（過去スレpart2の592）とする。
0 → N → M → L → 0 を Mod(A^o)（過去スレpart2の685）における
分解（）する完全列（代数的整数論019の651）とする。
F ∈ Mod(A) とする。
N※F、M※F、L※F をそれぞれ A 上のテンソル積（過去スレpart2の651）とする。
このとき 0 → N※F → M※F → L※F → 0 は分解する完全列である。
証明
の特殊な場合である。
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
A ≠ 0 を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：K → A を任意の準同型とする。
このとき ρ は単射である。
証明
ρ の核を I とする。
I は K の両側イデアルである。
K は体だから I = 0 または I = K である。
ρ(1) = 1 であり A ≠ 0 であるから ρ(1) ≠ 0 である。
よって、I = 0 である。
よって、ρ は単射である。
証明終
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
A ≠ 0 を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：K → A を準同型とする。
E ∈ Mod(K)（過去スレpart2の685）とする。
ψ：E → ρ^(E)（過去スレpart3の877）を
x ∈ E に 1※x ∈ A※E = ρ^(E) を対応させる写像とする。
このとき ψ は単射である。
証明
より ρ は単射である。
K は体だから E は K 上自由である。
過去スレpart3の903より ψ は単射である。
証明終
名無しに言われてもねw
くまぁがんばってぇ＞＜
C と D をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を完全な関手（代数的整数論019の661）とする。
f：X → Y を C における射とする。
h：I → Y を Im(f)（代数的整数論019の572）とする。
このとき F(h)：F(I) → F(Y) は Im(F(f)) である。
証明
K = Ker(f)
K’= Ker(f)
とする。
次の完全列がある。
0 → K → X → I → 0
0 → I → Y → K’→ 0
ここで、X → I と I → Y の合成は f：X → Y である。
F は完全だから代数的整数論019の760より次の列は完全である。
0 → F(K) → F(X) → F(I) → 0
0 → F(I) → F(Y) → F(K’) → 0
ここで、F(X) → F(I) と F(I) → F(Y) の合成は F(f)：F(X) → F(Y) である。
よって、F(h)：F(I) → F(Y) は Im(F(f)) である。
証明終
命題
C と D をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を完全な関手（代数的整数論019の661）とする。
f：X → Y を C における射とする。
h：I → Y を Im(f)（代数的整数論019の572）とする。
このとき F(h)：F(I) → F(Y) は Im(F(f)) である。
証明
K = Ker(f)
K’= Coker(f)
とする。
次の完全列がある。
0 → K → X → I → 0
0 → I → Y → K’→ 0
ここで、X → I と I → Y の合成は f：X → Y である。
F は完全だから代数的整数論019の760より次の列は完全である。
0 → F(K) → F(X) → F(I) → 0
0 → F(I) → F(Y) → F(K’) → 0
ここで、F(X) → F(I) と F(I) → F(Y) の合成は F(f)：F(X) → F(Y) である。
よって、F(h)：F(I) → F(Y) は Im(F(f)) である。
証明終
C と D を前加法圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を関手とする。
K → X → Y を C における任意の射の列とする。
F(K) → F(X) が F(X) → F(Y) の核（代数的整数論019の506）なら
常に K → X も X → Y の核であるとき F は核を反映する(F reflects kernel)という。
定義
C と D を前加法圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を関手とする。
g：K → X と f：X → Y を fg = 0 となる C における射とする。
F(g)：F(K) → F(X) が F(f)：F(X) → F(Y) の核（代数的整数論019の506）なら
常に g：K → X も f：X → Y の核であるとき F は核を反映する(F reflects kernel)という。
C と D を前加法圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を関手とする。
f：X → Y と g：Y → K を gf = 0 となる C における射とする。
F(g)：F(Y) → F(K) が F(f)：F(X) → F(Y) の余核（代数的整数論019の506）なら
常に g：Y → K も f：X → Y の余核であるとき F は余核を反映する(F reflects cokernel)という。
C と D を前加法圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を関手とする。
f：X → Y を C における射とする。
F(f) = 0 なら常に f = 0 となるとき F は零射を反映する(F reflects zero morphism)という。
C と D を前加法圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を加法的関手（過去スレpart2の589）で核を反映する（）とする。
このとき F は差核を反映（代数的整数論019の324）する。
証明
f：X → Y と g：X → Y を C における射とする。
h：K → X を fh = gh となる射とする。
F(h) = Ker(F(f), F(g)) とする。
代数的整数論019の516より Ker(F(f), F(g)) = Ker(F(f) - F(g)) である。
F は加法的であるから F(h) = Ker(F(f) - F(g)) = Ker(F(f - g))
一方、fh - gh = (f - g)h = 0 である。
F は核を反映するから h = Ker(f - g) = Ker(f, g)
よって、F は差核を反映する。
証明終
C と D を前加法圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を加法的関手（過去スレpart2の589）で余核を反映する（）とする。
このとき F は差余核（代数的整数論017の850）を反映（代数的整数論019の324）する。
証明
の双対である。
C と D を前加法圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を加法的関手（過去スレpart2の589）で余核を反映する（）とする。
このとき F は差余核（代数的整数論017の850）を反映（代数的整数論019の324）する。
証明
の双対である。
C と D を前加法圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を加法的関手（過去スレpart2の589）で余核を反映する（）とする。
このとき F は差余核（代数的整数論017の850）を反映（代数的整数論019の324）する。
証明
の双対である。
の双対である。
C と D を前加法圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を加法的関手（過去スレpart2の589）で核を反映する（）とする。
このとき F は忠実（代数的整数論017の403）である。
証明
より F は差核を反映する。
代数的整数論019の337より F は忠実である。
証明終
C と D をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を関手とする。
X → Y → Z を C の射の列とする。
F(X) → F(Y) → F(Z) が完全（代数的整数論019の651）なら常に X → Y → Z が完全であるとする。
このとき F は完全列を反映するという。
C と D を零対象（代数的整数論017の791）を持つ圏とする。
F：C → D を関手とする。
X を C の対象とする。
F(X) = 0 なら常に X = 0 となるとき F は零対象を反映するという。
家の 母は 昔 ９０ ６０ ９０ だった。
ひかし 春日の壺ね
私は 昔 ８４ ５８ ８６
キャテンウルトラ を まろやかタウプ にした オジ さん
それに似た 白蛇 の様な おとうと
C と D をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を完全関手（代数的整数論019の661）とする。
このとき以下の条件は同値である。
(1) F は完全列を反映する（）。
(2) f：X → Y と g：Y → Z を C の射で gf = 0 とする。
このとき、F(X) → F(Y) → F(Z) が完全なら X → Y → Z も完全である。
(3) F は零対象を反映する（>383）。
(4) F は零射を反映する（）。
証明
(1) ⇒ (2)
自明である。
(2) ⇒ (3)
F(X) = 0 とする。
0 → F(X) → 0 は完全である。
仮定より 0 → X → 0 は完全である。
よって、X = 0 である。
（続く）
(3) ⇒ (4)
f：X → Y を C の射で T(f) = 0 とする。
I = Im(f) とする。
より T(I) = Im(T(f)) である。
よって、T(I) = 0 である。
よって、I = 0 である。
よって、f = 0 である。
(4) ⇒ (1)
f：X → Y と g：Y → Z を C の射とし F(X) → F(Y) → F(Z) が完全であるとする。
I = Im(f)、K = Ker(g) とおく。
F(gf) = F(g)F(f) = 0 だから gf = 0 である。
よって、標準単射 u：I → K がある。
L = Coker(u) とし、完全列 0 → I → K → L → 0 を考える。
F は完全だから 0 → F(I) → F(K) → F(L) → 0 は完全である。
より F(I) = Im(F(f)) である。
F は左完全だから核を保存する。
よって、F(K) = Ker(F(g)) である。
一方、F(X) → F(Y) → F(Z) は完全だから Im(F(f)) と Ker(F(g)) は同型である。
よって、F(I) と F(K) は同型である。
よって、F(L) = 0 である。
よって、F(K) → F(L) は零射である。
よって、仮定より K → L は零射である。
よって、u：I → K は同型である。
よって、X → Y → Z は完全である。
証明終
C と D を圏とする。
F：C → D を関手とする。
f：X → Y を C の射とする。
F(f) が単射（代数的整数論017の345）なら常に f が単射であるとき F は単射を反映するという。
C と D を圏とする。
F：C → D を関手とする。
f：X → Y を C の射とする。
F(f) が全射（代数的整数論017の345）なら常に f が全射であるとき F は全射を反映するという。
C と D をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を完全関手（代数的整数論019の661）で零射を反映する（）とする。
このとき、F は単射を反映する（）。
証明
より F は完全列を反映する。
f：X → Y を C の射とする。
F(f)：F(X) → F(Y) が単射（代数的整数論017の345）であるとする。
0 → F(X) → F(Y) は完全である。
よって、0 → X → Y は完全である。
よって、f は単射である。
証明終
C と D をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
F：C → D を完全関手（代数的整数論019の661）で零射を反映する（）とする。
このとき、F は全射を反映する（）。
証明
より F は完全列を反映する。
f：X → Y を C の射とする。
F(f)：F(X) → F(Y) が全射（代数的整数論017の345）であるとする。
F(X) → F(Y) → 0 は完全である。
よって、X → Y → 0 は完全である。
よって、f は全射である。
証明終
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
A ≠ 0 を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：K → A を準同型とする。
ρ^：Mod(K) → Mod(A) を過去スレpart2の877で定義した関手とする。
このとき ρ^ は完全（代数的整数論019の661）かつ零対象を反映する（）。
よって、ρ^ はの各条件を満たす。
証明
0 → X → Y → Z → 0 を Mod(K) における完全列とする。
K は体だからこの列は分解する（）。
よって、より 0 → ρ^(X) → ρ^(Y) → ρ^(Z) → 0 は分解する完全列である。
よって、ρ^ は完全である（代数的整数論019の760）。
次に ρ^ は零対象を反映することを証明する。
E を Mod(K) の対象とする。
より ψ：E → ρ^(E) は単射である。
よって、ρ^(E) = 0 なら E = 0 である。
証明終
命題
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
A ≠ 0 を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：K → A を準同型とする。
ρ^：Mod(K) → Mod(A) を過去スレpart3の877で定義した関手とする。
このとき ρ^ は完全（代数的整数論019の661）かつ零対象を反映する（）。
よって、ρ^ はの各条件を満たす。
証明
0 → X → Y → Z → 0 を Mod(K) における完全列とする。
K は体だからこの列は分解する（）。
よって、より 0 → ρ^(X) → ρ^(Y) → ρ^(Z) → 0 は分解する完全列である。
よって、ρ^ は完全である（代数的整数論019の760）。
次に ρ^ は零対象を反映することを証明する。
E を Mod(K) の対象とする。
より ψ：E → ρ^(E) は単射である。
よって、ρ^(E) = 0 なら E = 0 である。
証明終
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
A ≠ 0 を必ずしも可換とは限らない環とする。
ρ：K → A を任意の準同型とする。
ρ^：Mod(K) → Mod(A) を過去スレpart3の877で定義した関手とする。
E を Mod(K) の対象とする。
ψ：E → ρ^(E) をの写像とする。
F を E の K-部分加群とする。
より ρ^ は完全であるから ρ^(F) は ρ^(E) の K-部分加群と見なされる。
このとき ρ^(F) ∩ ψ(E) = ψ(F) である。
証明
K^o を K の双対環（過去スレpart2の592）とする。
A ∈ Mod(K^o) とみて A の K 上の基底を (a_i)、i ∈ I とする。
a_(i_0) = 1 と仮定してよい。
過去スレpart3の887より ρ^(E) の元 z は z = Σ(a_i)※(x_i)、x_i ∈ E と一意に書ける。
z ∈ ρ^(F) であるためには各 x_i ∈ F が必要十分である。
他方、z ∈ ψ(E) であるためには i ≠ i_0 のとき x_i = 0 が必要十分である。
よって、z ∈ ρ^(F) ∩ ψ(E) であるためには
i ≠ i_0 のとき x_i = 0 となり、x_(i_0) ∈ F であることが必要十分である。
よって、ρ^(F) ∩ ψ(E) = ψ(F) である。
証明終
C、D を圏とする。
F：C → D を関手とする。
f：X → Y を C における断面（）とする。
このとき F(f) は D における断面である。
証明
自明である。
C、D を圏とする。
f：X’→ X を C における断面（）とする。
g：Y’→ Y を D における断面とする。
このとき (f, g) は C×D の断面である。
証明
自明である。
C、D、E を圏とする。
F：C×D → E を関手とする。
f：X’→ X を C の射で断面（）とする。
g：Y’→ Y を D の射で断面とする。
このとき T(f, g) は E の断面である。
証明
より (f, g) は C×D の断面である。
よって、より T(f, g) は E の断面である。
証明終
命題
C、D、E を圏とする。
F：C×D → E を関手とする。
f：X’→ X を C の射で断面（）とする。
g：Y’→ Y を D の射で断面とする。
このとき F(f, g) は E の断面である。
証明
より (f, g) は C×D の断面である。
よって、より F(f, g) は E の断面である。
証明終
C と D を前加法圏とする。
E をアーベル圏（代数的整数論019の533）とする。
f：X’→ X を C の射で X の直和因子（）とする。
g：Y’→ Y を D の射で Y の直和因子とする。
F：C×D → E を関手とする。
このとき F(X’, Y’) は F(X, Y) の直和因子である。
証明
より f と g は断面である。
よって、より F(f, g)：F(X’, Y’) → F(X, Y) は E の断面である。
より F(X’, Y’) は F(X, Y) の直和因子である。
証明終
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象とする。
直積集合 E = (E_1)×．．．×(E_n) に対して A-自由加群 A^E (part1の709)を考える。
A^E の A-部分加群で次の形の元全体で生成されるものを H とする。
任意の x_i ∈ E_i、y_i ∈ E_i、a ∈ A に対して、
(ⅰ) (x_1、...、x_i + y_i、...、x_n) - (x_1、...、x_i、...、x_n) - (x_1、...、y_i、...、x_n)
(ⅱ) (x_1、...、ax_i、...、x_n) - a(x_1、...、x_i、...、x_n)
(A^E)/H を ((E_1)※．．．※(E_n))_A、(E_1)※．．．※(E_n)、(※E_i)_A、※E_i などと書き
E_1、．．．、E_n の A 上のテンソル積と言う。
(x_1、．．．、x_n) ∈ E のとき (x_1、．．．、x_n) ∈ A^E の mod H の像を x_1※．．．※x_n と書く。
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象とする。
直積集合 E = (E_1)×．．．×(E_n) に対して自由加群 A^E (part1の709)を考える。
A^E の部分群で次の形の元全体で生成されるものを H とする。
任意の x_i ∈ E_i、y_i ∈ E_i、a ∈ A に対して、
(ⅰ) (x_1、...、x_i + y_i、...、x_n) - (x_1、...、x_i、...、x_n) - (x_1、...、y_i、...、x_n)
(ⅱ) (x_1、...、ax_i、...、x_n) - a(x_1、...、x_i、...、x_n)
(A^E)/H を ((E_1)※．．．※(E_n))_A、(E_1)※．．．※(E_n)、(※E_i)_A、※E_i などと書き
E_1、．．．、E_n の A 上のテンソル積と言う。
(x_1、．．．、x_n) ∈ E のとき (x_1、．．．、x_n) ∈ A^E の mod H の像を x_1※．．．※x_n と書く。
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象とする。
F ∈ Mod(A)と A-多重線型写像 f: (E_1)×．．．×(E_n) → F の組 (f、F) 全体 Ψ を考える。
(f、F)、(g、G) ∈ Ψ のとき射 λ：(f、F) → (g、G) を A-線型写像 λ：F → G で
λf = g となるものと定義する。
明らかに Ψ は圏となる。
(x_1、．．．、x_n) ∈ (E_1)×．．．×(E_n) に
x_1※．．．※x_n ∈ (E_1)※．．．※(E_n) () を対応させる写像を h とする。
このとき (h、(E_1)※．．．※(E_n)) は Ψ の始対象(代数的整数論017の288)である。
即ち、(h、(E_1)※．．．※(E_n)) ∈ Ψ であり、任意の (f、F) ∈ Ψ に対して
射 λ：(h、(E_1)※．．．※(E_n)) → (f、F) が一意に存在する。
証明
E = (E_1)×．．．×(E_n) とおく。
明らかに (h、(E_1)※．．．※(E_n)) ∈ Ψ である。
(x_1、．．．、x_n) ∈ (E_1)×．．．×(E_n) に対して
ψ((x_1、．．．、x_n)) = f(x_1、．．．、x_n) となる準同型 ψ：A^E → F が
一意に定まる。
で定義した A^E の A-部分加群 H に対して ψ(H) = 0 である。
よって、ψ は A-準同型 λ：(E_1)※．．．※(E_n) → F を引き起こす。
λ(x_1※．．．※x_n) = f(x_1、．．．、x_n) であるから λh = f である。
即ち λ：(h、(E_1)※．．．※(E_n)) → (f、F) は Ψ における射である。
(E_1)※．．．※(E_n) は _1※．．．※x_n の形の元で生成されるから
射 λ：(h、(E_1)※．．．※(E_n)) → (f、F) は一意に定まる。
証明終
それよりも働け＞クンマー
コラ、監視中や
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n、F_1、．．．、F_n を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象とする。
f_i：E_i → F_i、i = 1、．．．，n を Mod(A) の射とする。
(x_1、．．．、x_n) ∈ (E_1)×．．．×(E_n) に
f(x_1)※．．．※f(x_n) ∈ (F_1)※．．．※(F_n) を対応させる写像を ψ とする。
ψ は A-多重線型であるからより λ：(E_1)※．．．※(E_n) → (F_1)※．．．※(F_n) で
任意の (x_1、．．．、x_n) ∈ (E_1)×．．．×(E_n) に対して
λ(x_1※．．．※x_n) = f_1(x_1)※．．．※f_n(x_n) となるものが一意に存在する。
λ を f_1※．．．※f_n と書く。
交渉に応じましょう
A を可換環とする。
（E_1、．．．、E_n）∈ Mod(A)^n に (E_1)※．．．※(E_n) ∈ Mod(A) を対応させ
Mod(A)^n の射（f_1、．．．、f_n）に Mod(A) の射 f_1※．．．※f_n（）を
対応させることにより関手 Mod(A)^n → Mod(A) が得られる。
証明
自明である。
交渉決裂や。絶対に許さん。
A を可換環とする。
E、F ∈ Mod(A) のとき過去スレpart2の651で定義したテンソル積 E※F を
で定義したテンソル積と区別するため一時的に (E※F)’と書くことにする。
(E※F)’は a ∈ A、x ∈ E、y ∈ F のとき a(x※y) = (ax)※y と定義することにより A-加群となる。
このとき A-同型 φ：E※F → (E※F)’で φ(x※y) = x※y となるものが一意に存在する。
さらに φ は E と F に関して自然（）である。
証明
(x, y) ∈ E×F に x※y ∈ (E※F)’を対応させる写像は A-双線型である。
よって、より A-準同型 φ：E※F → (E※F)’で φ(x※y) = x※y となるものが一意に存在する。
逆に (x, y) ∈ E×F に x※y ∈ E※Fを対応させる写像は A-双線型であるから
平衡写像（過去スレpart2の647）である。
よって、過去スレpart2の652より Z-準同型 ψ：(E※F)’→ E※F で
ψ(x※y) = x※y となるものが一意に存在する。
a ∈ A のとき ψ(a(x※y)) = ψ(ax※y) = ax※y = a(x※y)
よって、ψ は A-準同型である。
明らかに φ と ψ は互いに逆写像である。
よって、φ は A-同型 である。
φ が E と F に関して自然あることは明らかである。
証明終
A を可換環とする。
E、F、G ∈ Mod(A) とする。
このとき A-同型 φ：(E※F)※G → E※(F※G) で
φ((x※y)※z) = x※(y※z) となるものが一意に存在する。
さらに φ は E、F、G に関して自然（）である。
証明
>410と過去スレpart2の797により Z-同型 φ：(E※F)※G → E※(F※G) で
φ((x※y)※z) = x※(y※z) となるものが一意に存在する。
a ∈ A のとき
φ(a((x※y)※z)) = φ(a(x※y)※z) = φ((ax※y)※z) = ax※(y※z) = a(x※(y※z)) = aφ((x※y)※z)
よって、φ は A-同型である。
過去スレpart2の797により φ は E、F、G に関して自然（）である。
証明終
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を A 上の線型環とする。
D = (E_1)※．．．※(E_n)（）とおく。
このとき A-双線型写像 μ：D×D → D で
μ(x_1※．．．※x_n、y_1※．．．※y_n) = (x_1y_1)※．．．※(x_ny_n) となるものが一意に存在する。
証明
x = (x_1、．．．、x_n) ∈ (E_1)×．．．×(E_n) を固定する。
写像 f_(x_1、．．．、x_n)：(E_1)×．．．×(E_n) → D を
f_(x_1、．．．、x_n)(y_1、．．．、y_n) = (x_1y_1)※．．．※(x_ny_n) で定義する。
f_(x_1、．．．、x_n) は各変数に関して A-線型であるから
一意に定まる A-線型写像 λ_(x_1、．．．、x_n)：D → D があり、
λ_(x_1、．．．、x_n)(y_1※．．．※y_n) = f_(x_1、．．．、x_n)(y_1、．．．、y_n) となる。
即ち、λ_(x_1、．．．、x_n)(y_1※．．．※y_n) = (x_1y_1)※．．．※(x_ny_n)
対応 (x_1、．．．、x_n) → λ_(x_1、．．．、x_n) は写像
λ：(E_1)×．．．×(E_n) → Hom(D、D) を定める。
λ が各変数に関して A-線型であることは容易に分かる。
よって、一意に定まる A-線型写像 μ’：D → Hom(D、D) があり、
μ’(x_1※．．．※x_n) = λ_(x_1、．．．、x_n) となる。
写像 μ：D×D → D を μ(x、y) = μ’(x)(y) で定義する。
μ は A-双線型写像である。
μ(x_1※．．．※x_n、y_1※．．．※y_n)
= μ’(x_1※．．．※x_n)(y_1※．．．※y_n)
= λ_(x_1、．．．、x_n)(y_1※．．．※y_n) =(x_1y_1)※．．．※(x_ny_n)
D の各元は x_1※．．．※x_n の形の元の和であるから μ の一意性は明らかである。
証明終
よく飽きないな
それほどまでして俺に消えて欲しいのかｗ
写経
単なるコピペ
間違いだらけ（上と矛盾してるがｗ）
謝罪せよ（何を？）
許さない（何を？）
研究せよ
無職
逮捕まだ？
お勉強の誇示 ← new
ぜんぜん効果ないわけだが
荒らしてる人は何をしたいんだろうね？
許したらいけないんだよね、君のことを。
俺個人の意志でどうこう出来る問題ではない。
だから何を許さない？
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
D = (E_1)※．．．※(E_n)（）とおく。
より A-双線型写像 μ：D×D → D で
μ(x_1※．．．※x_n、y_1※．．．※y_n) = (x_1y_1)※．．．※(x_ny_n) となるものが一意に存在する。
このとき、μ を乗法とすることにより D は A-線型環となる。
証明
D は μ により A-代数（過去スレpart1の97）となる。
μ は明らかに結合律を満たす。
D は _1※．．．※1 を乗法の単位元としてもつ。
よって、D は A-線型環となる。
証明終
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
D = (E_1)※．．．※(E_n)（）とおく。
各 i に対して写像 μ_i：E_i → D を μ_i(x_i) = (y_1)※．．．※(y_n) で定義する。
ここで、y_i = x_i、k ≠ i のとき y_k = 1 である。
このとき以下が成り立つ。
（1）各 μ_i は A-線型環の準同型である。
（2）i ≠ k のとき μ_i(E_i) の各元と μ_k(E_k) の各元は可換である。
（3）D は μ_1(E_1) ∪．．．∪μ_n(E_n) により A-線型環として生成される。
（4）F を A-線型環とし、f_i：E_i → F を A-線型環の準同型で
i ≠ k のとき f_i(E_i) の各元と f_k(E_k) の各元は可換であるとする。
このとき A-線型環の準同型 λ：D → F で各 i に対して f_i = λμ_i となるものが一意に存在する。
証明
過去スレpart2の559と同様である。
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n、F_1、．．．、F_n を A-線型環（過去スレpart1の97）とする。
f_i：E_i → F_i、i = 1、．．．，n を A-線型環の準同型とする。
このとき、f_1※．．．※f_n（）は A-線型環の準同型である。
証明
自明である。
A-線型環と A-準同型のなす圏を A-Alg と書く。
A を可換環とする。
E、F、G ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
このとき A-同型 λ：(E※F)※G → E※F※G で
λ((x※y)※z) = x※y※z となるものが一意に存在する。
さらに λ は (E、F、G) に関して自然（）である。
証明
写像 h：E×F×G → E※F※G を h(x、y、z) = x※y※z で定義する。
z ∈ G を固定したとき (x、y) → h(x、y、z) は A-双線型写像である。
より A-準同型 λ_z：E※F → E※F※G で
各 (x、y) ∈ E×F に対して λ_z(x※y) = x※y※z となるものがある。
(w、z) ∈ (E※F)×G に対して λ_z(w) を g(w、z) と書く。
g(w、z) が A-双線型写像であることを示そう。
a ∈ A、x ∈ E、y ∈ F、z ∈ G とする。
λ_z は A-準同型だから g(a(x※y)、z) = λ_z(a(x※y)) = aλ_z(x※y) = ag(x※y、z)
他方、g(x※y、az) = λ_az(x※y) = x※y※az = a(x※y※z) = aλ_z(x※y) = ag(x※y、z)
E※F は x※y の形の元で生成されるから上記から g：(E※F)×G → E※F※G は A-双線型写像である。
よって、 より A-準同型 λ：(E※F)※G → E※F※G で
λ((x※y)※z) = g(x※y、z) = λ_z(x※y) = x※y※z となるものが一意に存在する。
他方、写像 f：E×F×G → (E※F)※G を f(x、y、z) = (x※y)※z で定義する。
明らかに f は A-多重線型写像である。
よって、より A-準同型 ρ：E※F※G → (E※F)※G で
ρ(x※y※z) = (x※y)※z となるものがある。
(E※F)※G は (x※y)※z の形の元で生成され、E※F※G は x※y※z の形の元で生成される。
よって、λ と ρ は互いに逆写像である。
(続く)
次に上記の同型が (E、F、G) に関して自然であることを証明する。
ψ：E → E’、φ：F → F’、σ：G → G’をそれぞれ Mod(A) における射とする。
λ：(E※F)※G → E※F※G と λ’：(E’※F’)※G’ → E’※F’※G’を上記の同型とする。
各 (x、y、z) ∈ E×F×G に対して
(ψ※φ※σ)(λ((x※y)※z)) = (ψ※φ※σ)(x※y※z) = ψ(x)※φ(y)※σ(z)
λ’((ψ※φ)※σ)((x※y)※z) = λ’((ψ(x)※φ(y))※σ(z)) = ψ(x)※φ(y)※σ(z)
よって、(ψ※φ※σ)λ = λ’((ψ※φ)※σ))
よって、本命題の同型は３変数の関手として自然である。
証明終
A を可換環とする。
E、F、G ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
このとき A-同型 ψ：E※(F※G) → E※F※G で
ψ(x※(y※z)) = x※y※z となるものが一意に存在する。
さらに ψ は (E、F、G) に関して自然（）である。
証明
と同様である。
A を可換環とする。
n ≧ 2 とし、E_1、．．．、E_n ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
このとき A-同型 ψ：(E_1)※((E_2)※．．．※(E_n)) → (E_1)※．．．※(E_n) で
ψ(x_1※(x_2※．．．※x_n)) = x_1※．．．※x_n となるものが一意に存在する。
さらに ψ は (E_1、．．．、E_n) に関して自然（）である。
証明
と同様である。
A を可換環とする。
I を有限全順序集合とし、I = {i_1、i_2、．．．、i_n} とする。
ここで i_1 ＜ i_2 ＜ ．．．＜ i_n である。
(E_i)、i ∈ I を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象の族とする。
このとき E_(i_1)※．．．※E_(i_n)（）を ※[i ∈ I] E_i と書く。
A を可換環とする。
I を有限全順序集合とし、I = {i_1、i_2、．．．、i_n} とする。
ここで i_1 ＜ i_2 ＜ ．．．＜ i_n である。
(E_i)、i ∈ I を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象の族とする。
x_i ∈ E_i、i ∈ I とする。
このとき ※[i ∈ I] E_i（）の元 x_(i_1)※．．．※x_(i_n) を ※[i ∈ I] x_i と書く
C を圏とする。
F：C×C → C を関手とする。
(X, Y) ∈ C×C のとき F(X, Y) = X□Y と書く。
各 (X, Y, Z) ∈ C×C×C に対して同型 α(X, Y, Z)：(X□Y)□Z → X□(Y□Z) があり、
α は X, Y, Z に関して自然（）であるとする。
このとき (C, □, α) を擬半群圏と言う。
(C, □, α) を擬半群圏（）とする。
X_1、．．．、X_n を C の対象とする。
n ≧ 3 のとき X_1□．．．□X_n を帰納的に
X_1□．．．□X_n = X_1□(X_2□．．．□X_n)
と定義する。
(C, □, α) を擬半群圏（）とする。
I を有限全順序集合とし、I = {i_1、i_2、．．．、i_n} とする。
ここで i_1 ＜ i_2 ＜ ．．．＜ i_n である。
(X_i)、i ∈ I を Cの対象の族とする。
このとき X_(i_1)□．．．□X_(i_n)（）を □[i ∈ I] X_i と書く。
(C, □, α) を擬半群圏（）とする。
n ≧ 1 を整数とし I = {1、．．．、n} とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
但し、i ＜ j のとき λ ∈ J_i、σ ∈ J_j なら常に λ ＜ σ とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(X_λ)、λ ∈ I を C の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = □[λ ∈ J_i] X_λ（）とおく。
このとき同型 □[i ∈ K] F_i → □[λ ∈ I] X_λ で
各 X_λ に関して自然（）であり、
I = {1、2, 3} で J_1 = {1, 2}、J_2 = {3} のときは α に一致するものが存在する。
証明
n に関する帰納法による。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
以下で ≡ は自然な同型を表す。
S = □[i ∈ K] F_i
T = □[λ ∈ I] X_λ
とおく。
（1）J_1 の要素の個数が 1 のとき：
J_1 = {1} である。
帰納法の仮定より
□[i ∈ K - {1}] F_i ≡ □[λ ∈ I - {1}] X_λ である。
定義（）より
S = X_1□(□[i ∈ K - {1}] F_i)
T = X_1□(□[λ ∈ I - {1}] X_λ)
よって、S ≡ T
（続く）
（2）J_1 の要素の個数が 2 以上のとき：
I - {1} = (J_1 - {1})∪．．．∪J_k は I - {1} の直和分割である。
G_1 = □[λ ∈ J_1 - {1}] X_λ
i ∈ K、i ≠ 1 のとき G_i = F_i とおく。
H = □[i ∈ K - {1}] F_i とおく。
定義（）より G_1□H = □[i ∈ K - {1}] G_i である。
帰納法の仮定より
□[i ∈ K - {1}] G_i ≡ □[λ ∈ I - {1}] X_λ
よって、E_1□(G_1□H) ≡ E_1□(□[λ ∈ I - {1}] X_λ) = T
一方、自然な同型 α により S = (E_1□G_1)□H ≡ E_1□(G_1□H)
よって、S ≡ T
証明終
(C, □, α) を擬半群圏（）とする。
このとき略して (C, □) または C を擬半群圏とも言う。
このような圏に既に名前がついているかどうか知らない。
(C, □, α) を擬半群圏（）とする。
X_1、．．．、X_n を C の対象とする。
n ≧ 3 のとき (X_1□．．．□X_(n-1)) □ X_n は X_1□．．．□X_n（）に自然に同型である。
n = 3 のとき、この同型は α に一致する。
証明
本命題はの特別な場合である。
野田内閣は、消費税を２０％にあげて、財政を立て直すべきだ
ヨーロッパでは消費税が２０％なんて、かなり当たり前のこと
日本の消費税は韓国や中国よりも低い
税収がわずか４０兆円なのに、
一般歳出だけでの社会保障費が３０兆円になろうとしている
消費税増税に反対している連中は、社会保障が誰のお金で
行われているか、考えるべきだ 将来世代からの借金だ
今年６０歳になる人の基礎年金分の積み立ては、４０年間でわずか５００万一寸
それで約８０万円の年金が平均年齢まででも合計１７５０万円もらえる
１２５０万円は誰が負担していると思っているのか？
全て現役世代と将来世代から搾取している こんなことが永久に出来るわけない
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ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/720
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/308
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どうなりました？
貴方は数学よりも、やるべきことがあるはずです
自覚しているはずでしょう
何の意味があるの？
思っているんだろうかw？ クンマーは相当なアレだなw
機関リポジトリにアップしたらいいんじゃね？
そうでなくても大学の先生は自分の講義録をアップしてるぜ
書き続けさせているんだろうね
その背景には数学者に対するルサンチマンがある
クンマーは大学院さえ入れず、単なる町の数学好きだった
そういうのがフェルマー予想を解いたとか言って数学科に書いたものを
送って来るが、クンマーはそういう勘違い研究も出来なかったんだねw
だから教科書をうつして自己満足に浸るしかなかった
ブログでそれをしない理由は
ブログだと誰も見に来ないからだw
自分以外の訪問者がずーっとゼロw
２ちゃんなら誰かが見てくれている
そう思ったアホなコンプ クンマーは
延々と２ちゃんにコピーを繰りかえすのだった
無職のニートで数学者に対する強烈な劣等感を持つ男
それがクンマーのプロフだ
それ以外は、自演の自画自賛かい？
だから俺は自演をしないと言ってるだろ
俺はこれを書くことによって有名になって後で名乗り出るとかなんて
まったく考えてない
名乗りでたら何されるか分からんだろｗ
逮捕の恐れもあるしｗ
だから自演の必要はない
警視庁は２ちゃんねるで書かれた悪戯であれ犯罪を許しませんね
まさか、数学ではないよねw
てか、そう思っていたら、超自意識過剰じゃん
頭みてもらったほうがいいよw
まったくその通り
自演の定義を述べよ
悔しければ踊りなさい
命題
(C, □, α) を擬半群圏（）とする。
n ≧ 1 を整数とし I = {1、．．．、n} とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
但し、i ＜ j のとき λ ∈ J_i、σ ∈ J_j なら常に λ ＜ σ とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(X_λ)、λ ∈ I を C の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = □[λ ∈ J_i] X_λ（）とおく。
このとき同型 □[i ∈ K] F_i → □[λ ∈ I] X_λ で
各 X_λ に関して自然（）であり、
I = {1、2, 3} で J_1 = {1, 2}、J_2 = {3} のときは α に一致するものが存在する。
証明
n に関する帰納法による。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
以下で ≡ は自然な同型を表す。
S = □[i ∈ K] F_i
T = □[λ ∈ I] X_λ
とおく。
（1）J_1 の要素の個数が 1 のとき：
J_1 = {1} である。
帰納法の仮定より
□[i ∈ K - {1}] F_i ≡ □[λ ∈ I - {1}] X_λ である。
定義（）より
S = X_1□(□[i ∈ K - {1}] F_i)
T = X_1□(□[λ ∈ I - {1}] X_λ)
よって、S ≡ T
（続く）
（2）J_1 の要素の個数が 2 以上のとき：
I - {1} = (J_1 - {1})∪．．．∪J_k は I - {1} の直和分割である。
G_1 = □[λ ∈ J_1 - {1}] X_λ
i ∈ K、i ≠ 1 のとき G_i = F_i とおく。
H = □[i ∈ K - {1}] F_i とおく。
定義（）より G_1□H = □[i ∈ K] G_i である。
帰納法の仮定より
G_1□H = □[i ∈ K] G_i ≡ □[λ ∈ I - {1}] X_λ
よって、E_1□(G_1□H) ≡ E_1□(□[λ ∈ I - {1}] X_λ) = T
一方、自然な同型 α により S = (E_1□G_1)□H ≡ E_1□(G_1□H) = T
よって、S ≡ T
証明終
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象の族とする。
E_1□．．．□E_n を帰納的に
E_1□．．．□E_n = E_1※(E_2□．．．□E_n)
と定義する。
よって、
E_1□E_2 = E_1※E_2
E_1□E_2□E_3 = E_1※(E_2※E_3)
などとなる。
x_i ∈ E_i、i = 1、．．．、n のとき
E_1□．．．□E_n の元 x_1□．．．□x_n を帰納的に
x_1□．．．□x_n = x_1※(x_2□．．．□x_n)
と定義する。
よって、
x_1□x_2 = x_1※x_2
x_1□x_2□x_3 = x_1※(x_2※x_3)
などとなる。
の証明はBourbakiの代数Ｉ章の半群に関する定理（定理１）の証明を
圏論的に拡張したものである。
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
このとき A-同型 ψ_n：E_1□．．．□E_n → (E_1)※．．．※(E_n) で
ψ_n(x_1□．．．□x_n) = x_1※．．．※x_n となるものが一意に存在する。
さらに ψ_n は (E_1、．．．、E_n) に関して自然（）である。
証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
定義（）より E_1□．．．□E_n = E_1※(E_2□．．．□E_n) である。
帰納法の仮定より A-同型 ψ_(n-1)：E_2□．．．□E_n → (E_21)※．．．※(E_n) で
ψ_(n-1)(x_2□．．．□x_n) = x_2※．．．※x_n となるものが一意に存在する。
さらに ψ_(n-1) は (E_2、．．．、E_n) に関して自然である。
よって、ψ_n = 1_(E_1)※ψ_(n-1)（）とおけば本命題の主張が成り立つ。
証明終
A を可換環とする。
I を有限全順序集合とし、I = {i_1、i_2、．．．、i_n} とする。
ここで i_1 ＜ i_2 ＜ ．．．＜ i_n である。
(E_i)、i ∈ I を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象の族とする。
このとき E_(i_1)□．．．□E_(i_n)（）を □[i ∈ I] E_i と書く。
各 i ∈ I に対して x_i ∈ E_i とする。
このとき □[i ∈ I] E_iの元 x_(i_1)□．．．□x_(i_n)（） を □[i ∈ I] x_i と書く。
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象の族とする。
E_1□．．．□E_n（）は x_1□．．．□x_n（）の形の元全体で生成される。
証明
(E_1)※．．．※(E_n)（）は x_1※．．．※x_n（）の形の元全体で生成される。
一方、>460よりA-同型 ψ_n：E_1□．．．□E_n → (E_1)※．．．※(E_n) で
ψ_n(x_1□．．．□x_n) = x_1※．．．※x_n となるものが存在する。
よって、E_1□．．．□E_n は x_1□．．．□x_n の形の元全体で生成される。
証明終
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とし I = {1、．．．、n} とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
但し、i ＜ j のとき α ∈ J_i、β ∈ J_j なら常に α ＜ β とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(E_α)、α ∈ I を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = □[α ∈ J_i] E_α（）とおく。
このとき、□[i ∈ K] F_i は □[i ∈ K](□[α ∈ J_i] x_α) の形の元全体で生成される。
ここで、各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α である。
証明
より各 F_i は □[α ∈ J_i] x_α の形の元全体で生成される。
よって、再び より □[i ∈ K] F_i は
□[i ∈ K](□[α ∈ J_i] x_α) の形の元全体で生成される。
証明終
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とし I = {1、．．．、n} とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
但し、i ＜ j のとき α ∈ J_i、β ∈ J_j なら常に α ＜ β とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(E_α)、α ∈ I を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = □[α ∈ J_i] E_α（）とおく。
このとき A-同型 ψ：□[i ∈ K] F_i → □[α ∈ I] E_α（）で
ψ(□[i ∈ K](□[α ∈ J_i] x_α)) = □[α ∈ I] x_α（）となるものが一意に存在する。
ここで各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α である。
さらに ψ は各 E_α に関して自然（）である。
証明
より (Mod(A), ※) は擬半群圏（）である。
よって、より A-同型 ψ：□[i ∈ K] F_i → □[α ∈ I] E_α で
各 E_α に関して自然なものが存在する。
各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α のとき
ψ(□[i ∈ K](□[α ∈ J_i] x_α)) = □[α ∈ I] x_α となることは
の証明から分かる。
ψ の一意性はより □[i ∈ K] F_i は □[i ∈ K](□[α ∈ J_i] x_α) の形の元全体で
生成されることから分かる。
証明終
補題
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とし I = {1、．．．、n} とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
但し、i ＜ j のとき α ∈ J_i、β ∈ J_j なら常に α ＜ β とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(E_α)、α ∈ I を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = □[α ∈ J_i] E_α（）とおく。
このとき A-同型 ψ：□[i ∈ K] F_i → □[α ∈ I] E_α で
ψ(□[i ∈ K](□[α ∈ J_i] x_α)) = □[α ∈ I] x_α（）となるものが一意に存在する。
ここで各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α である。
さらに ψ は各 E_α に関して自然（）である。
証明
より (Mod(A), ※) は擬半群圏（）である。
よって、より A-同型 ψ：□[i ∈ K] F_i → □[α ∈ I] E_α で
各 E_α に関して自然なものが存在する。
各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α のとき
ψ(□[i ∈ K](□[α ∈ J_i] x_α)) = □[α ∈ I] x_α となることは
の証明から分かる。
ψ の一意性はより □[i ∈ K] F_i は □[i ∈ K](□[α ∈ J_i] x_α) の形の元全体で
生成されることから分かる。
証明終
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とし I = {1、．．．、n} とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
但し、i ＜ j のとき α ∈ J_i、β ∈ J_j なら常に α ＜ β とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(E_α)、α ∈ I を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = ※[α ∈ J_i] E_α（）とおく。
このとき A-同型 ψ：※[i ∈ K] F_i → ※[α ∈ I] E_α で
ψ(※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α)) = ※[α ∈ I] x_α（）となるものが一意に存在する。
ここで各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α である。
さらに ψ は各 E_α に関して自然（）である。
証明
とより明らかである。
A を可換環とする。
E、F ∈ Mod(A)（過去スレpart2の685）とする。
このとき A-同型 σ：E※F → F※E で
任意の (x, y) ∈ E×F に対して σ(x※y) = y※x となるものが一意に存在する。
さらに σ は E、F に関して自然（）である。
証明
(x, y) ∈ E×F に y※x ∈ F※E を対応させる写像を h：E×F → F※E とする。
h は A-双線型であるからより A-準同型 σ：E※F → F※E で
任意の (x, y) ∈ E×F に対して σ(x※y) = y※x となるものが一意に存在する。
同様に A-準同型 τ：F※E → E※F で
任意の (y, x) ∈ F×E に対して τ(y※x) = x※y となるものが一意に存在する。
E※F は x※y の形の元で生成され、F※E は y※x の形の元で生成される。
よって、σ と τ は互いに逆写像である。
f：E → E’と g：F → F’を Mod(A) の射とする。
任意の (x, y) ∈ E×F に対して
(g※f)(σ(x※y)) = (g※f)(y※x) = g(y)※f(x)
σ(f※g)(x※y) = σ(f(x)※g(y)) = g(y)※f(x)
よって、(g※f)σ = σ(f※g)
よって、σ は E、F に関して自然である。
証明終
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象とする。
σ を {1、．．．、n} の置換とする。
このとき A-同型 ψ：(E_1)※．．．※(E_n) → ((E_σ(1))※．．．×(E_σ(n)) で
任意の (x_1、．．．、x_n) ∈ (E_1)※．．．※(E_n) に対して
ψ(x_1※．．．※x_n) = x_σ(1)※．．．※x_σ(n) となるものが一意に存在する。
さらに ψ は E_1、．．．、E_n に関して自然（）である。
証明
の証明と同様である。
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とし I を有限全順序集合とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
但し、i ＜ j のとき α ∈ J_i、β ∈ J_j なら常に α ＜ β とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(E_α)、α ∈ I を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = ※[α ∈ J_i] E_α（）とおく。
このとき A-同型 ψ：※[i ∈ K] F_i → ※[α ∈ I] E_α で
ψ(※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α)) = ※[α ∈ I] x_α（）となるものが一意に存在する。
ここで各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α である。
さらに ψ は各 E_α に関して自然（）である。
証明
本命題はにおいて I を有限全順序集合に変えただけであり、証明もまったく同じである。
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とし I = {1、．．．、n} とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(E_α)、α ∈ I を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = ※[α ∈ J_i] E_α（）とおく。
このとき A-同型 ψ：※[i ∈ K] F_i → ※[α ∈ I] E_α で
ψ(※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α)) = ※[α ∈ I] x_α（）となるものが一意に存在する。
ここで各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α である。
さらに ψ は各 E_α に関して自然（）である。
証明
I に次のように新しい順序関係 ≦ を定義する。
(x, y) ∈ I×I とする。
x, y ∈ J_i となる i ∈ K があるとき J_i において x ≦ y のとき x ≦ y とする。
x ∈ J_i、y ∈ J_j、i ≠ j のとき i ＜ j であれば x ＜ y とし、
j ＜ i なら y ＜ x とする。
この順序は全順序である。
よって、I のある置換 σ があり、この順序で σ(1) ＜．．．＜ σ(n) となる。
このとき、本命題はとから直ちに得られる。
証明終
A を可換環とする。
E, F, G, H を Mod(A)（過去スレpart2の685）の対象とする。
より (E※G)※(F※H) は E※G※F※H に自然同型である。
より E※G※F※H は E※F※G※H に自然同型である。
よって、(E※G)※(F※H) は E※F※G※H に自然同型である。
A を可換環とする。
（E_1、．．．、E_n）∈ (A-Alg)^n（） に (E_1)※．．．※(E_n)（）∈ A-Alg を対応させ
(A-Alg)^n の射（f_1、．．．、f_n）に (A-Alg)^n の射 f_1※．．．※f_n（）を
対応させることにより関手 (A-Alg)^n → A-Alg が得られる。
証明
自明である。
A を可換環とする。
E、F、G ∈ A-Alg（）とする。
このとき A-Alg の同型 φ：(E※F)※G → E※(F※G) で
φ((x※y)※z) = x※(y※z) となるものが一意に存在する。
さらに φ は E、F、G に関して自然（）である。
証明
(x, y, z) ∈ E×F×G、(x’, y’, z’) ∈ E×F×G とする。
より A-加群としての同型 φ：(E※F)※G → E※(F※G) で
φ((x※y)※z) = x※(y※z) となるものが一意に存在する。
((x※y)※z)((x’※y’)※z’) = ((x※y)(x’※y’))※zz’= (xx’※yy’)※zz’
(x※(y※z))(x’※(y’※z’)) = xx’※((y※z)(y’※z’)) = xx’※(yy’※zz’)
よって、
φ(((x※y)※z)((x’※y’)※z’)) = φ((xx’※yy’)※zz’) = xx’※(yy’※zz’)
φ((x※y)※z)φ((x’※y’)※z’) = (x※(y※z))(x’※(y’※z’)) = xx’※(yy’※zz’)
よって、
φ(((x※y)※z)((x’※y’)※z’)) = φ((x※y)※z)φ((x’※y’)※z’)
よって、φ は A-Alg の同型である。
とより φ は E、F、G に関して自然（）である。
証明終
A を可換環とする。
E、F ∈ A-Alg（）とする。
このとき A-Alg の同型 σ：E※F → F※E で
任意の (x, y) ∈ E×F に対して σ(x※y) = y※x となるものが一意に存在する。
さらに σ は E、F に関して自然（）である。
証明
より、 A-加群としての同型 σ：E※F → F※E で
任意の (x, y) ∈ E×F に対して σ(x※y) = y※x となるものが一意に存在する。
(x, y) ∈ E×F、(x’, y’) ∈ E×F とする。
σ((x※y)(x’※y’)) = σ(xx’※yy’) = yy’※xx’
σ(x※y)σ(x’※y’) = (y※x)(y’※x’) = yy’※xx’
よって、σ((x※y)(x’※y’)) = σ(x※y)σ(x’※y’)
よって、σ は A-Alg の同型である。
とより σ は E、F に関して自然である。
証明終
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を A-Alg（）の対象とする。
σ を {1、．．．、n} の置換とする。
このとき A-Alg の同型 ψ：(E_1)※．．．※(E_n) → ((E_σ(1))※．．．×(E_σ(n)) で
任意の (x_1、．．．、x_n) ∈ (E_1)※．．．※(E_n) に対して
ψ(x_1※．．．※x_n) = x_σ(1)※．．．※x_σ(n) となるものが一意に存在する。
さらに ψ は E_1、．．．、E_n に関して自然（）である。
証明
の代わりにを使うことによりの証明と同様に出来る。
数学者に対するルサンチマンの強さに感心するわw
kummerは謝罪しろ
A を可換環とする。
I を有限全順序集合とし、I = {i_1、i_2、．．．、i_n} とする。
ここで i_1 ＜ i_2 ＜ ．．．＜ i_n である。
(E_α)、α ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
このとき E_(i_1)※．．．※E_(i_n)（）を ※[α ∈ I] E_α と書く。
x_α ∈ E_α、α ∈ I とする。
このとき ※[α ∈ I] E_α の元 x_(i_1)※．．．※x_(i_n) を ※[α ∈ I] x_α と書く。
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とし I を有限全順序集合とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
但し、i ＜ j のとき α ∈ J_i、β ∈ J_j なら常に α ＜ β とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(E_α)、α ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = ※[α ∈ J_i] E_α（）とおく。
このとき A-Alg の同型 ψ：※[i ∈ K] F_i → ※[α ∈ I] E_α で
ψ(※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α)) = ※[α ∈ I] x_α（）となるものが一意に存在する。
ここで各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α である。
さらに ψ は各 E_α に関して自然（）である。
証明
より Mod(A) の同型 ψ：※[i ∈ K] F_i → ※[α ∈ I] E_α で
ψ(※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α)) = ※[α ∈ I] x_αとなるものが一意に存在する。
この ψ が A-Alg の射であることを証明すれば良い。
(x_α)、(y_α) を E_α の元の族とする。
x = ※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α)
y = ※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] y_α)
とおく。
xy
= ※[i ∈ K]((※[α ∈ J_i] x_α)(※[α ∈ J_i] y_α))
= ※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_αy_α)
よって、
ψ(xy) = ※[α ∈ I] x_αy_α = (※[α ∈ I] x_α)(※[α ∈ I] y_α) = ψ(x)ψ(y)
※[i ∈ K] F_i の任意の元は x = ※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α) の形の元の有限和で表される。
よって、上記より ψ は A-Alg の射である。
証明終
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とし I = {1、．．．、n} とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(E_α)、α ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = ※[α ∈ J_i] E_α（）とおく。
このとき A-Alg の同型 ψ：※[i ∈ K] F_i → ※[α ∈ I] E_α で
ψ(※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α)) = ※[α ∈ I] x_α（）となるものが一意に存在する。
ここで各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α である。
さらに ψ は各 E_α に関して自然（）である。
証明
I に次のように新しい順序関係 ≦ を定義する。
(x, y) ∈ I×I とする。
x, y ∈ J_i となる i ∈ K があるとき J_i において x ≦ y のとき x ≦ y とする。
x ∈ J_i、y ∈ J_j、i ≠ j のとき i ＜ j であれば x ＜ y とし、
j ＜ i なら y ＜ x とする。
この順序は全順序である。
よって、I のある置換 σ があり、この順序で σ(1) ＜．．．＜ σ(n) となる。
このとき、本命題はとから直ちに得られる。
証明終
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を A-Alg（）の対象とする。
各 i に対しての写像 μ_i：E_i → (E_1)※．．．※(E_n) を標準射と呼ぶ。
A を可換環とする。
I を有限全順序集合とする。
(E_α)、α ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
J を I の空でない部分集合とする。
このとき A-Alg の射 φ：※[α ∈ J] E_α → ※[α ∈ I] E_α（）で
φ(※[α ∈ J] x_α) = ※[α ∈ I] x_α（）となるものが一意に存在する。
ここで 各 α ∈ J に対して x_α ∈ E_α であり、
α ∈ I - J のとき x_α = 1 である。
証明
I = J のときは本命題は自明だから I ≠ J とする。
G = (※[α ∈ J] E_α)
H = (※[α ∈ I - J] E_α)
とおく。
μ：G → G※H を標準射（）とする。
より A-Alg の同型 ψ：G※H → ※[α ∈ I] E_α がある。
φ = ψμ とおけば φ は本命題の条件を満たす。
φ の一意性は G が ※[α ∈ J] x_α の形の元で生成されることから明らかっである。
証明終
A を可換環とする。
I を有限全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
J を I の空でない部分集合とする。
各 i ∈ I に対して μ_i：E_i → ※[α ∈ I] E_α（）を標準射（）とする。
各 j ∈ J に対して ν_j：E_i → ※[α ∈ J] E_α を標準射とする。
このとき A-Alg の射 φ：※[α ∈ J] E_α → ※[α ∈ I] E_α で
各 j ∈ J に対して μ_j = φν_j となるものが一意に存在する。
証明
φ：※[α ∈ J] E_α → ※[α ∈ I] E_α をの射とする。
明らかに各 j ∈ J に対して μ_j = φν_j である。
より ※[α ∈ J] E_α は μ_i(E_i)、i ∈ J により A-線型環として生成される。
よって、このような φ は一意に決まる。
証明終
A を可換環とする。
I を有限全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
I の空でない部分集合 S に対して E_S = ※[i ∈ S] E_i（）と書く。
A を可換環とする。
I を有限全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
J ⊂ K ⊂ L を I の空でない部分集合とする。
φ_(K, J)：E_J → E_K（）
φ_(L, K)：E_K → E_L
φ_(L, J)：E_J → E_L
をの射とする。
このとき φ_(L, J) = φ_(L, K)φ_(K, J) である。
証明
各 j ∈ J に対して
ν_j：E_j → E_J
ρ_j：E_j → E_K
μ_j：E_j → E_L
を標準射（）とする。
各 j ∈ J に対して
ρ_j = φ_(K, J)ν_j
μ_j = φ_(L, K)ρ_j
よって、
μ_j = φ_(L, K)ρ_j = φ_(L, K)φ_(K, J)ν_j
一方、μ_j = φ_(L, J)ν_j
よって、φ_(L, J) の一意性より φ_(L, J) = φ_(L, K)φ_(K, J) である。
証明終
A を可換環とする。
I を全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
Φ を I の空でない有限部分集合全体とする。
Φ は包含関係により上向きの有向集合（代数的整数論008の140）となる。
よって、Φ はフィルター圏（過去スレpart3の36）と見なせる。
より J ∈ Φ に E_J（）を対応させ、J ⊂ K のときの射 φ_(K, J)：E_J → E_K を
対応させることにより関手 φ：Φ → A-Alg が得られる。
このとき E = colim φ（過去スレpart2の831）を族 (E_i) のテンソル積と言い、
E = ※[i ∈ I] E_i と書く。
I を全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
Φ を I の空でない有限部分集合全体とする。
より関手 φ：Φ → A-Alg が定義される。
I に別の全順序を与えたものを Ｉ’とする。
J ∈ Φ のとき J を Ｉ’の部分順序集合と見たものを J’とする。
より J ∈ Φ に E_J’（）を対応させることにより
関手 φ’：Φ → A-Alg が得られる。
より A-Alg の同型 E_J → E_J’がある。
この同型は自然同型 φ → φ’である（確かめよ）。
よって、同型 colim φ → colim φ’が得られる。
即ち同型 ※[i ∈ I] E_i → ※[i ∈ I’] E_i が得られる。
この同型を標準同型と呼ぶ。
A を可換環とする。
I を全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
E = ※[i ∈ I] E_i（）とおく。
Φ を I の空でない有限部分集合全体とする。
J ∈ Φ のとき φ_J：E_J（）→ E を標準射とする。
i ∈ I のとき φ_{i} を φ_i と書く。
このとき、以下が成り立つ。
（1）i ≠ k のとき φ_i(E_i) の各元と φ_k(E_k) の各元は可換である。
（2）E は (φ_i(E_i))、i ∈ I の和集合により A-線型環として生成される。
（3）F ∈ A-Alg とし、各 i ∈ I に対して f_i：E_i → F を A-Alg の射で
i ≠ k のとき f_i(E_i) の各元と f_k(E_k) の各元は可換であるとする。
このとき A-Alg の射 g：E → F で各 i ∈ I に対して f_i = gφ_i となるものが一意に存在する。
証明
（1）i と k を含む J ∈ Φ をとる（例えば J = {i, k}）。
φ_(J, {i})：E_i → E_J
φ_(J, {k})：E_i → E_J
をの射とする。
φ_i = φ_Jφ_(J, {i})
φ_k = φ_Jφ_(J, {k})
である。
より φ_(J, {i})(E_i) の各元と φ_(J, {k})(E_k) の各元は可換である。
よって、φ_Jφ_(J, {i})(E_i) の各元と φ_Jφ_(J, {k})(E_k) の各元は可換である。
即ち φ_i(E_i) の各元と φ_k(E_k) の各元は可換である。
（続く）
（2）
代数的整数論020の117より E は (φ_J(E_J))、J ∈ Φ の和集合である。
より各 E_J は φ_(J, {i})(E_i)、i ∈ J の和集合で生成される。
φ_i = φ_Jφ_(J, {i}) であるから E は (φ_i(E_i))、i ∈ I の和集合により生成される。
（3）
より各 J ∈ Φ に対して f_J：E_J → F で
各 i ∈ J に対して f_i = f_Jφ_(J, {i}) となるものが一意に存在する。
J, K ∈ Φ、J ⊂ K のとき
各 i ∈ J に対して f_Kφ_(K, J)φ_(J, {i}) = f_Kφ_(K, {i}) = f_i
よって、f_J の一意性より f_Kφ_(K, J) = f_J
即ち (f_J：E_J → F)、J ∈ Φ は余錐（過去スレpart2の830）である。
よって、射 g：E → F で各 J ∈ Φ に対して f_J = gφ_J となるものが一意に存在する。
特に各 i ∈ I に対して f_i = gφ_i である。
(2) よりこのような g は一意に決まる。
証明終
A を可換環とする。
I を全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
E = ※[i ∈ I] E_i（）とする。
Φ を I の空でない有限部分集合全体とする。
J ∈ Φ のとき φ_J：E_J → E を標準射とする。
i ∈ I のとき φ_{i} を φ_i と書く。
>俺はこれを書くことによって有名になって後で名乗り出るとかなんて
ある意味すでに有名だろう、自意識過剰なアホとしてｗ
>だから自演の必要はない
自演で支援しないと単なる個人の勉強ノートスレになるからね。
A を可換環とする。
I を全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I と (F_i)、i ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
E = ※[i ∈ I] E_i（）
F = ※[i ∈ I] F_i
とおく。
各 i ∈ I に対して
φ_i：E_i → E
ψ_i：F_i → F
を標準射（）とする。
各 i ∈ I に対して f_i：E_i → F_i を A-Alg の射とする。
このとき A-Alg の射 f：E → F で各 i ∈ I に対して ψ_if_i = fφ_i となるものが一意に存在する。
即ち、次の図式が可換になる。
f_i
E_i → F_i
↓ ↓
E → F
f
証明
i ≠ k のとき ψ_if_i(E_i) の各元と ψ_kf_k(E_k) の各元は可換である。
よって、(ψ_if_i)、i ∈ I にの（3）を適用すればよい。
証明終
知らなかったのか？
しかし、俺のスレを見たいと言う人がいるんだよ。
だから２ｃｈとしても商売になるので俺のスレはありがたいはず。
俺のスレを見たいと言う人が俺の自演でないことは２ｃｈの管理人が良く知っているはず。
そうでなければこんなに長い間俺のスレが続くわけがない。
結局、どうころんでも自演の必要はない。
今まで教科書５、６冊以上の内容を書いてるからな。
もっとあるか。
特に俺の少し自慢なのは２元２次形式について書いたところ。
あれだけの内容のものはあまりないだろ。
>俺にとってこのスレはほとんど俺個人の勉強ノートなんだよ。
そんなの曝して恥ずかしくないのか？ｗｗ 普通はオリジナルな研究を目指すものだ。
>しかし、俺のスレを見たいと言う人がいるんだよ。
本当にいるならあげてみなｗ
>今まで教科書５、６冊以上の内容を書いてるからな。
つまみ食いしてるだけなのに、偉いね僕ちゃんｗ
勉強ってのは必ずしも他人の仕事を勉強することを意味しない
自分で考えることも勉強のうち
というかこれがほんとの勉強
>本当にいるならあげてみなｗ
過去スレ見ればわかる
準備だから原則として必要な部分しかやらない
あくまで原則だがｗ
あんたアホだろ
教科書を書くのをオリジナルな研究とは言わない
意味不明
A を可換環とする。
I を全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
E = ※[i ∈ I] E_i（）とおく。
Φ を I の空でない有限部分集合全体とする。
J ∈ Φ のとき φ_J：E_J → E を標準射（）とする。
i ∈ I のとき φ_{i} を φ_i と書く。
(x_i)、i ∈ I を各 i ∈ I に対して x_i ∈ E_i となる族とし、
H = {i ∈ I； x_i ≠ 1} は有限集合であるとする。
J、J’∈ Φ で H ⊂ J、H ⊂ J’とする。
x = ※[i ∈ J] x_i（）
x’= ※[i ∈ J’] x_i
とおく。
このとき φ_J(x) = φ_J’(x’) である。
証明
K ∈ Φ で J ⊂ K、J’⊂ K となるものをとる。
φ_(K, J)：E_J → E_K（）
φ_(K, J’)：E_J’→ E_K
をの射とする。
このとき φ_(K, J)(x) = φ_(K, J’)(x’) = ※[i ∈ K] x_i である。
よって、φ_J(x) = φ_Kφ_(K, J)(x) = φ_Kφ_(K, J’)(x’) = φ_J’(x’)
証明終
オラァ！
において φ_J(x) の値は H ⊂ J となる J ∈ Φ の取り方に寄らない。
この値を ※[i ∈ I] x_i と書く。
A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）と A-準同型のなす圏を A-CAlg と書く。
A を可換環とする。
I を全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を A-CAlg（）の対象の族とする。
E = ※[i ∈ I] E_i（）とおく。
各 i ∈ I に対して φ_i：E_i → E を標準射（）とする。
このとき (φ_i：E_i → E_)_I は A-CAlg における余積（代数的整数論017の837）である。
証明
の（3）より明らかである。
K を可換体とする。
E ≠ 0 と F ≠ 0 を K-線型環（過去スレpart1の97）とする。
このとき、標準射 ψ：K → E※F と
標準射（）μ：E → E※F と ν：F → E※F は単射である。
さらに μ(E) ∩ ν(F) = ψ(K) である。
証明
ρ：K → E を標準射とする。
ρ^：Mod(K) → Mod(E) を過去スレpart3の877で定義した関手とする。
ρ^(F) = E※F である。
ν：F → ρ^(F) はの写像でる。
より ν は単射である。
同様に μ は単射である。
よって、E※F ≠ 0 である。
よって、より ψ：K → E※F は単射である。
より ρ^(K) ∩ ν(F) = ν(K) である。
ここで、
ρ^(K) = E※K = μ(E)
ν(K) = ψ(K)
よって、μ(E) ∩ ν(F) = ψ(K) である。
証明終
K と L を可換体とし、K が L の部分体のとき K と L の対を L/K と書き(K の)拡大と呼ぶ。
L は K の拡大体または拡大と言う。
K と L を可換体とする。
環としての準同型 σ：K → L で σ(1) = 1 となるものはより単射である。
このとき、σ を埋め込みと呼ぶ。
全射埋め込みを同型と呼ぶ。
K を可換体とする。
E/K と F/K を拡大()とする。
E から F への埋め込み()で K の各元を固定するものを K-埋め込みと呼ぶ。
E から F への同型()で K の各元を固定するものを K-同型と呼ぶ。
やっぱりいないんじゃんｗ いるなら一番役に立ったコメントでいいから示してみろよ。
>いるなら一番役に立ったコメントでいいから示してみろよ。
意味不明
お前勘違いしてるだろ
>いるなら一番役に立ったコメントでいいから示してみろよ。
アホか
意味不明だろがｗ
493 ：１３２人目の素数さん：2012/01/14(土) 16:06:56.49
俺にとってこのスレはほとんど俺個人の勉強ノートなんだよ。
＞
勉強ノートなら、「Galois理論とそれに関連する話題」なんていう
紛らわしいコト書かないでほしい。
＞実際、俺のスレはかなり価値があるだろ。
＞今まで教科書５、６冊以上の内容を書いてるからな。
＞特に俺の少し自慢なのは２元２次形式について書いたところ。
以前は、（世の中の）教科書というものは、他からの「コピペ」
だと断言していた、「俺」さん。
２元２次形式は、どの本からの「コピペ」なのでしょうか？
２元２次形式は、どのスレにあるのですか。
（本人以外、どのスレにあるのかすら、分からない
（というヒドサ））
次形式でgrep()
２次形式で検索すると二次形式が引っかからない
だれかこのスレの前のdat落ちしてる二つのスレを保存した人いる？
Kummerさん記録に残してるのかな？
最初から読みたいので。
I を小さい（代数的整数論017の322）フィルター圏（過去スレpart3の36）とする。
F：I → A-Alg（）を関手とする。
S = ΣF(i) を直和集合とし、f_i：F(i) → S を標準写像とする。
≡ を（過去スレpart3の44）で定義した同値関係とする。
L を商集合 S/≡ とし、p：S → L を標準写像とする。
x ∈ S に対して p(x) を [x] と書くことにする。
x ∈ F(i)、y ∈ F(j) とする。
I はフィルター圏だから u：i → k、v：j → k となる射がある。
[x] と [y] の和 [x] + [y] を [F(u)(x) + F(v)(y)] により定義する。
[x] と [y] の [x][y] を [F(u)(x)・F(v)(y)] により定義する。
a ∈ A と [x] の積 a[x] を [ax] により定義する。
このとき、この算法は各同値類の代表の取り方によらず
L はこの算法により A-線型環となる。
このとき L = colim F（過去スレpart2の831）である。
A を可換環とする。
I を小さい（代数的整数論017の322）フィルター圏（過去スレpart3の36）とする。
F：I → A-Alg（）を関手とする。
S = ΣF(i) を直和集合とし、f_i：F(i) → S を標準写像とする。
≡ を（過去スレpart3の44）で定義した同値関係とする。
L を商集合 S/≡ とし、p：S → L を標準写像とする。
x ∈ S に対して p(x) を [x] と書くことにする。
x ∈ F(i)、y ∈ F(j) とする。
I はフィルター圏だから u：i → k、v：j → k となる射がある。
[x] と [y] の和 [x] + [y] を [F(u)(x) + F(v)(y)] により定義する。
[x] と [y] の [x][y] を [F(u)(x)・F(v)(y)] により定義する。
a ∈ A と [x] の積 a[x] を [ax] により定義する。
このとき、この算法は各同値類の代表の取り方によらず
L はこの算法により A-線型環となる。
このとき代数的整数論020の110より L = colim F（過去スレpart2の831）である。
A を可換環とする。
I を小さい（代数的整数論017の322）フィルター圏（過去スレpart3の36）とする。
F：I → A-Alg（）を関手とする。
このとき L = colim F（過去スレpart2の831）が存在し、
次の条件を満たす。
(1) L = ∪f_i(F(i))
ここで f_i：F(i) → L は標準射である。
(2) Ker(f_i) = ∪Ker(u)
ここで u は i を定義域とする全ての射を動く。
証明
L = colim F（過去スレpart2の831）が存在することはによる。
L の作り方から (1) と (2) は明らかである。
証明終
A を可換環とする。
I を全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
E = ※[i ∈ I] E_i（）とする。
各 i ∈ I に対して φ_i：E_i → E を標準射（）とする。
Φ を I の空でない有限部分集合全体とする。
任意の J、K ∈ Φ、J ⊂ K に対しての射 φ_(K, J)：E_J → E_K が単射であるとする。
このとき各 i ∈ I に対して φ_i は単射である。
証明
より明らかである。
K を可換体とする。
I を有限全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を K-Alg（）の対象の族とする。
各 i ∈ I に対して E_i ≠ 0 とする。
J を I の空でない部分集合とする。
φ：※[i ∈ J] E_i → ※[i ∈ I] E_i（）をの射とする。
このとき、φ は単射である。
証明
I = J のときは本命題は自明だから I ≠ J とする。
G = (※[i ∈ J] E_i)
H = (※[i ∈ I - J] E_i)
とおく。
μ：G → G※H を標準射（）とする。
より A-Alg の同型 ψ：G※H → ※[i ∈ I] E_i がある。
の証明より φ = ψμ である。
一方、より G ≠ 0、H ≠ 0 であり μ は単射である。
よって、φ は単射である。
証明終
命題
A を可換環とする。
I を小さい（代数的整数論017の322）フィルター圏（過去スレpart3の36）とする。
F：I → A-Alg（）を関手とする。
このとき L = colim F（過去スレpart2の831）が存在し、
次の条件を満たす。
(1) L = ∪f_i(F(i))
ここで f_i：F(i) → L は標準射である。
(2) Ker(f_i) = ∪Ker(F(u))
ここで u は i を定義域とする全ての射を動く。
証明
L = colim F（過去スレpart2の831）が存在することはによる。
L の作り方から (1) と (2) は明らかである。
証明終
命題
A を可換環とする。
I を全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を A-Alg（）の対象の族とする。
E = ※[i ∈ I] E_i（）とする。
Φ を I の空でない有限部分集合全体とする。
J ∈ Φ のとき φ_J：E_J → E を標準射（）とする。
任意の J、K ∈ Φ、J ⊂ K に対しての射 φ_(K, J)：E_J → E_K が単射であるとする。
このとき各 J ∈ Φ に対して φ_J は単射である。
証明
より明らかである。
K を可換体とする。
I を全順序集合とする。
(E_i)、i ∈ I を K-Alg（）の対象の族とする。
各 i ∈ I に対して E_i ≠ 0 とする。
E = ※[i ∈ I] E_i（）とする。
Φ を I の空でない有限部分集合全体とする。
J ∈ Φ のとき φ_J：E_J → E を標準射（）とする。
このとき各 J ∈ Φ に対して φ_J は単射である。
証明
より任意の J、K ∈ Φ、J ⊂ K に対しての射 φ_(K, J)：E_J → E_K は単射である。
よって、より各 J ∈ Φ に対して φ_J は単射である。
証明終
K を可換体とする。
I を集合とする。
(E_i)、i ∈ I を K の拡大体（）の族とする。
このとき K の拡大体 L と各 i ∈ I に対して K-埋め込み σ_i：E_i → L が存在する。
証明
I に全順序を定義する（例えば整列定理を使う）。
E = ※[i ∈ I] E_i（）とおく。
i ∈ I のとき φ_i：E_i → E を標準射（）とする。
より各 i ∈ I に対して φ_i は単射である。
よって、E ≠ 0 である。
E は単位元を持つから Zornの補題より E は極大イデアル M を持つ。
L = E/M とおく。
L ≠ 0 であるからより標準射 K → L は単射である。
よって、L は K の拡大体（）と見なせる。
π：E → L を標準射とする。
各 i ∈ I に対して σ_i = πφ_i とおけば σ_i：E_i → L は K-埋め込みである。
証明終
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
このとき K の拡大体 L があり f(X) が根 α ∈ L を持つ。
証明
f(X) の K[X] における既約因子の一つを g(X) とする。
L = K[X]/(g(X)) とおく。
L は K の拡大体と見なせる。
π：K[X] → L を標準写像とする。
α = π(x) とおく。
0 = π(g(X)) = g(α)
g(X) は f(X) の因子だから f(α) = 0 である。
証明終
K を可換体とする。
L/K を拡大()とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
f(X) が L において１次多項式の積になるとき、f(X) は L で分解するという。
K を可換体とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
このとき K の拡大体 L があり f(X) は L で分解（）する。
証明
f(X) の次数 n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
より K の拡大体 E があり f(X) が根 α ∈ E を持つ。
f(X) = (X - α)g(X)、g(X) ∈ E[X] となる。
g(X) の次数は n - 1 だから帰納法の仮定より E の拡大体 L があり g(X) は L で分解する。
このとき f(X) = (X - α)g(X) も L で分解する。
証明終
＞特に俺の少し自慢なのは２元２次形式について書いたところ。
＞あれだけの内容のものはあまりないだろ。
２元２次形式、これはどの本からのコピペ、なのですか？
（これ、内容についての質問ですよね？）
>29 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/07(土)
>それを言うならほとんどの教科書は全部とは言わないがほとんど単なるコピぺ
>例えば松村の可換環論だって永田の可換体論だって全部とは言わないがほとんど単なるコピぺ
>ほとんどの内容がオリジナルな教科書というのは例外的
K を可換体とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
L を K の拡大体とする。
f(X) が L で分解（）するとき L を f(X) の分解体と言う。
K を可換体とする。
L を K の拡大体とする。
S を L の部分集合とする。
K と S を含む L の最小の部分環を K[S] と書く。
K と S を含む L の最小の部分体を K(S) と書く。
(α_i)、i ∈ I を L の元の族とする。
S = {α_i； i ∈ I} とおく。
K[S] と K(S) をそれぞれ K[α_i； i ∈ I]、K(α_i； i ∈ I) と書く。
I が有限集合 {1、．．．、n} のとき、K[S] と K(S) をそれぞれ
K[α_1、．．．、α_n]、K(α_1、．．．、α_n) と書く。
>それを言うならほとんどの教科書は全部とは言わないがほとんど単なるコピぺ
「それを言うなら」は仮定
日本語勉強したほうがいい
外人？
K を可換体とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
L を f(X) の分解体（）とする。
f の L における全ての根を α_1、．．．、α_r とする。
L = K(α_1、．．．、α_r) ()となるとき L を f(X) の最小分解体と言う。
K を可換体とする。
(f_i(X))、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
L を K の拡大体とする。
L は各 i ∈ I に対して f_i(X) の分解体（）であるとする。
各 f_i(X) の L における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
L = K(S) ()となるとき L を族 (f_i(X))、i ∈ I の最小分解体と言う。
K を可換体とする。
(f_i(X))、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
このとき、族 (f_i(X))、i ∈ I の最小分解体（）が存在する。
証明
より各 i ∈ I に対して f_i(X) の分解体（）E_i が存在する。
より K の拡大体 L と各 i ∈ I に対して K-埋め込み σ_i：E_i → L が存在する。
L は各 i ∈ I に対して f_i(X) の分解体（）である。
各 f_i(X) の L における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
このとき K(S) ()が求めるものである。
証明終
K を可換体とする。
L を K の拡大体とし、α ∈ L とする。
K 係数の定数でない１変数多項式 f(X) があり f(α) = 0 となるとき α は K 上代数的であるという。
K 上代数的でない L の元を K 上超越的であるという。
A を可換環とし、E を A-線型環（過去スレpart1の97）とする。
任意の α ∈ A に対して α1 ∈ E を対応させる写像を ρ：A → E とする。
過去スレpart1の99より ρ は環としての準同型であり、ρ(A) は E の中心に含まれる。
このとき ρ：A → E を標準写像と言う。
A を可換環とする。
E を A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）とする。
ρ：A → E を標準写像（）とする。
S を E の部分集合とする。
ρ(A) と S を含む E の最小の部分環を A[S] と書く。
(α_i)、i ∈ I を E の元の族とする。
S = {α_i； i ∈ I} とおく。
A[S] を K[α_i； i ∈ I] と書く。
I が有限集合 {1、．．．、n} のとき、
A[S] を A[α_1、．．．、α_n] と書く。
A を可換環とする。
E を A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）とする。
A[X_1、．．．、X_n] を A 上の n 変数の多項式環とする。
α_1、．．．、α_n を E の元の有限列とする。
このとき A-準同型 ψ：A[X_1、．．．、X_n] → E で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
証明
自明である。
A を可換環とする。
E を A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）とする。
A[X_1、．．．、X_n] を A 上の n 変数の多項式環とする。
α_1、．．．、α_n を E の元の有限列とする。
より A-準同型 ψ：A[X_1、．．．、X_n] → E で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
f[X_1、．．．、X_n] ∈ A[X_1、．．．、X_n] のとき
ψ(f[X_1、．．．、X_n]) を f(α_1、．．．、α_n) と書く。
A を可換環とする。
E を A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）とする。
α_1、．．．、α_n を E の元の有限列とする。
このとき
A[α_1、．．．、α_n]（
= {f(α_1、．．．、α_n)；f[X_1、．．．、X_n] ∈ A[X_1、．．．、X_n]}
証明
自明である。
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
A[X_1、．．．、X_n] を A 上の n 変数の多項式環とする。
α_1、．．．、α_n を E の元の有限列でその任意の２元が可換であるとする。
このとき A-準同型 ψ：A[X_1、．．．、X_n] → E で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
証明
自明である。
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
A[X_1、．．．、X_n] を A 上の n 変数の多項式環とする。
α_1、．．．、α_n を E の元の有限列でその任意の２元が可換であるとする。
より A-準同型 ψ：A[X_1、．．．、X_n] → E で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
f[X_1、．．．、X_n] ∈ A[X_1、．．．、X_n] のとき
ψ(f[X_1、．．．、X_n]) を f(α_1、．．．、α_n) と書く。
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
A[X_1、．．．、X_n] を A 上の n 変数の多項式環とする。
α_1、．．．、α_n を E の元の有限列でその任意の２元が可換であるとする。
より A-準同型 ψ：A[X_1、．．．、X_n] → E で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
ψ(A[X_1、．．．、X_n]) を A[α_1、．．．、α_n] と書く。
A[α_1、．．．、α_n] は E の A-線型部分環（）である。
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
α ∈ E とする。
より A-準同型 ψ：A[X] → E で
ψ(X) = α となるものが一意に存在する。
Ker(ψ) = 0 のとき α は A 上超越的であるという。
Ker(ψ) ≠ 0 のとき α は A 上代数的であるという。
K を可換体とする。
E を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
α ∈ E を K 上代数的（）とする。
より A-準同型 ψ：A[X] → E で
ψ(X) = α となるものが一意に存在する。
K[X] は単項イデアル整域であり Ker(ψ) ≠ 0 であるから
Ker(ψ) = (f(X)) となるモニック(過去スレpart1の115)な多項式 f(X) ∈ K[X] が一意に定まる。
f(X) を α の K 上の最小多項式と言う。
K を可換体とする。
E を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
α ∈ E を K 上代数的（）とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式（）とする。
このとき K-同型 σ：K[X]/(f(X)) → K[α]（）で
σ(X~) = α となるものが一意に存在する。
ここで X~ は X の属す mod (f(X)) の剰余類である。
証明
より K-準同型 ψ：K[X] → E で
ψ(X) = α となるものが一意に存在する。
K[α] = ψ(K[X]) である。
Ker(ψ) = (f(X)) である。
よって、良く知られた準同型定理より本命題の主張が得られる。
証明終
K を可換体とする。
E を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
α ∈ E を K 上代数的（）とする。
このとき K[α]（）は可換体である。
証明
より明らかである。
定義
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
α ∈ E を K 上代数的（）とする。
より K-準同型 ψ：K[X] → E で
ψ(X) = α となるものが一意に存在する
Ker(ψ) ≠ 0 である。
E ≠ 0 であるからより標準写像（）ρ：K → E は単射である。
よって、ψ(K) = ρ(K) ≠ 0 である。
よって、Ker(ψ) ≠ K[X] である。
K[X] は単項イデアル整域であるから
Ker(ψ) = (f(X)) となるモニック(過去スレpart1の115)な多項式 f(X) ∈ K[X] が一意に定まる。
f(X) を α の K 上の最小多項式と言う。
命題
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
α ∈ E を K 上代数的（）とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式（）とする。
このとき K-同型 σ：K[X]/(f(X)) → K[α]（）で
σ(X~) = α となるものが一意に存在する。
ここで X~ は X の属す mod (f(X)) の剰余類である。
証明
より K-準同型 ψ：K[X] → E で
ψ(X) = α となるものが一意に存在する。
K[α] = ψ(K[X]) である。
Ker(ψ) = (f(X)) である。
よって、良く知られた準同型定理より本命題の主張が得られる。
証明終
命題
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
α ∈ E を K 上代数的（）とする。
このとき K[α]（）は可換体である。
証明
より明らかである。
K を可換体とする
E を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E は K 上の線型空間と見なせる。
この線型空間の次元、即ちこの線型空間の基底の濃度を [E : K] と書く。
[E : K] が有限のとき E は K 上有限である、または E/K は有限であると言う。
[E : K] が無限のとき E は K 上無限または E/K は有限であると言う。
K を可換体とする。
L を K の拡大体とする。
E を L 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E は K 上の線型環でもある。
(e_i)、i ∈ I を L の K 上の（線型空間としての）基底とし、
(f_j)、j ∈ J を E の L 上の基底とする。
このとき、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は E の K 上の基底である。
よって、[E: K] = [E: L][L : K] である。
証明
任意の z ∈ E に対して L の元の列 (α_j)、j ∈ J があり、
z = Σ(α_j)(f_j) と書ける。
ここで、有限個の j を除いて α_j = 0 である。
各 j ∈ J に対して K の元の列 (b_(j, i))、i ∈ I があり、
α_j = Σ[i] (b_(j, i))(e_i) と書ける。
ここで、有限個の (i, j) ∈ I×J を除いて b_(j, i) = 0 である。
よって、z = Σ[i, j] (b_(j, i))(e_i)(f_j) と書ける。
よって、E は K 上 ((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J で生成される。
K の元の列 (c_(j, i))、i ∈ I があり、Σ[i, j] (c_(j, i))(e_i)(f_j) = 0 とする。
ここで、有限個の (i, j) ∈ I×J を除いて c_(j, i) = 0 である。
各 j に対して Σ[i] (c_(j, i))(e_i) は L の元であるから Σ[i] (c_(j, i))(e_i) = 0 である。
よって、各 (i, j) に対して c_(j, i) = 0
よって、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は K 上一次独立である。
以上から ((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は E の K 上の基底である。
証明終
A を可換環とする。
f(X) を A 係数の次数 n ≧ 1 のモニック（過去スレpart1の115）な多項式とする。
(f(X)) を f(X) で生成される A[X] のイデアルとする。
ρ：A[X] → A[X]/(f(X)) を標準的な準同型とする。
ρ(X) = α とおく。
このとき 1、α、．．．、α^(n-1) は A-線型環 A[X]/(f(X)) の A 上の基底である。
証明
任意の g(X) ∈ A[X] に対して g(X) = f(X)q(X) + r(X)、deg r(X) ＜ n となる q(X)、r(x) ∈ A[X] が
存在する。
このとき、g(α) = f(α)q(α) + r(α) = r(α) である。
よって、A[X]/(f(X)) の任意の元は 1、α、．．．、α^(n-1) の A 上の一次結合として表される。
A の元の列 a_0、．．．，a_(n-1) があり a_0 + (a_1)α + ．．． + (a_(n-1))α^(n-1) = 0 とする。
g(X) = a_0 + a_1X + ．．． + a_(n-1)X^(n-1) とおく。
ρ(g(X)) = 0 だから g(X) ∈ (f(X))
よって、g(X) = f(X)q(X) となる q(X) ∈ A[X] がある。
f(X) はモニックだから q(X) ≠ 0 とすると deg g(X) = deg f(X) + deg q(X) ≧ n となって
矛盾である。
よって、q(X) = 0
よって、g(X) = 0
即ち、a_0 = a_1 = ．．． = a_(n-1) = 0 である。
よって、1、α、．．．、α^(n-1) は A 上一次独立である。
即ち、1、α、．．．、α^(n-1) は K[X]/(f(X)) の A 上の基底である。
証明終
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）で零因子を持たないとする。
即ち x、y ∈ E、xy = 0 のとき x = 0 または y = 0 とする。
α ∈ E を K 上代数的（）とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式（）とする。
このとき f(X) は K[X] において既約である。
証明
より K-同型 σ：K[X]/(f(X)) → K[α]（）で
σ(X~) = α となるものが一意に存在する。
K[α] は零因子を持たないから K[X]/(f(X)) も同様である。
よって、f(X) は K[X] において既約である。
証明終
命題
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）で零因子を持たないとする。
α ∈ E を K 上代数的（）とする。
このとき K[α]（）は可換体である。
証明
より K-同型 σ：K[X]/(f(X)) → K[α]（）で
σ(X~) = α となるものが一意に存在する。
より f(X) は K[X] において既約である。
よって、(f(X)) は K[X] の極大イデアルである。
よって、K[X]/(f(X)) は可換体である。
よって、K[α] も可換体である。
証明終
K を可換体とする。
L を K の拡大体とする。
α ∈ L を K 上代数的（）とする。
このとき、K[α] = K(α) ()である。
証明
より明らかである。
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
α ∈ E を K 上代数的（）とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式（）とする。
このとき、[K[α] : K] () = deg f(X) である。
証明
より K-同型 σ：K[X]/(f(X)) → K[α]（）で
σ(X~) = α となるものが一意に存在する。
より [K[X]/(f(X)) : K] = [K[α] : K] = deg f(X)
証明終
E を必ずしも可換とは限らない環とする。
K ⊂ L をそれぞれ E の部分環で必ずしも可換とは限らない体とする。
E 及び L は K-左加群と見なされる。
E は L-左加群と見なされる。
(e_i)、i ∈ I を L の K 上の基底とし、
(f_j)、j ∈ J を E の L 上の基底とする。
このとき、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は E の K 上の基底である。
証明
の証明と同様である。
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
ρ：K → E を標準写像（）とする。
E ≠ 0 であるからより ρ は単射である。
よって、この単射により K と ρ(K) を同一視する。
L を K ⊂ L ⊂ E となる E の部分環で必ずしも可換とは限らない体とする。
[E : K]（）は有限であるとする。
このとき E を L-左加群とみたときの E の L 上の次元と
E を L-右加群とみたときの E の L 上の次元は一致する。
この次元を s とすると [E : K] = s[L : K] である。
証明
E を L-左加群とみたときの E の L 上の次元を s とし、
E を L-右加群とみたときの E の L 上の次元を r とする。
K は E の中心に含まれるから E を K-左加群とみたときの E の K 上の次元と
E を K-右加群とみたときの E の K 上の次元は一致する。
同様に K は L の中心に含まれるから L を K-左加群とみたときの L の K 上の次元と
L を K-右加群とみたときの L の K 上の次元は一致する。
よって、より [E: K] = s[L : K] = r[L : K]
[E: K] は有限だから s = r である。
証明終
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
ρ：K → E を標準写像（）とする。
E ≠ 0 であるからより ρ は単射である。
よって、この単射により K と ρ(K) を同一視する。
L を K ⊂ L ⊂ E となる E の部分環で必ずしも可換とは限らない体とする。
[E : K]（）は有限であるとする。
より E を L-左加群とみたときの E の L 上の次元と
E を L-右加群とみたときの E の L 上の次元は一致する。
この次元を [E ： L] と書く。
クソの役にも立たないコトに、時間潰し、してるんじゃねえ！！！！！！！
C を必ずしも可換とは限らない環とする。
A ⊂ B をそれぞれ C の部分環で必ずしも可換とは限らない環とする。
C 及び B は A-左加群と見なされる。
C は B-左加群と見なされる。
(e_i)、i ∈ I を B の A 上の基底とし、
(f_j)、j ∈ J を C の B 上の基底とする。
このとき、((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J は C の A 上の基底である。
証明
の証明と同様である。
C を 必ずしも可換とは限らない環とする。
A ⊂ B をそれぞれ C の部分環で必ずしも可換とは限らない環とする。
C 及び B は A-左加群と見なされる。
C は B-左加群と見なされる。
B は A-左加群として A 上 (e_i)、i ∈ I で生成されるとする。
C は B-左加群として B 上 (f_i)、j ∈ J で生成されるとする。
このとき、C は A-左加群として A 上 ((e_i)(f_j))、(i, j) ∈ I×J で生成される。
証明
の証明と同様である。
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E が A-加群として有限生成のとき、E を A 上有限な線型環という。
A を可換環、M を A-加群とする。
n ＞ 0 を整数。
a_(i,j), 1 ≦ i, j ≦ n を A の元の列。
x_1, x_2, ... , x_n を M の元の列とする。
これ等の間に次の関係式：
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = 0
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = 0
があるとする。
このとき、det(A)x_i = 0 が各 i で成立つ。
ここで、 A = (a_(i,j)) であり、det(A) は A の行列式。
証明
(x_1, x_2, ... , x_n) の転置行列を x とする。
上の関係式を行列記法で書くと、Ax = 0 となる。
A~ を A の余因子行列とする。
線形代数でよく知られているように
A~A = det(A)E となる。ここで、E は n 次の単位行列。
よって、(A~A)x = (det(A)E)x = det(A)x = 0 となる。
つまり、det(A)x_i = 0 が各 i で成立つ。
証明終
うるせぇ！謝罪しろ
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
α ∈ E とする。
モニック（過去スレpart1の115）な多項式 f(X) ∈ A[X] があり、
f(α) = 0 となるとき、α を A 上整(integral)であるという。
E のすべての元が A 上整のとき、E を A 上整であるという。
補題（代数的整数論001の236から少し修正して転載）
A を可換環、M を A-加群とする。
n ＞ 0 を整数。
a_(i,j), 1 ≦ i, j ≦ n を A の元の列。
x_1, x_2, ... , x_n を M の元の列とする。
これ等の間に次の関係式：
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = 0
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = 0
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = 0
があるとする。
このとき、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。
ここで、 T = (a_(i,j)) であり、det(T) は T の行列式。
証明
(x_1, x_2, ... , x_n) の転置行列を x とする。
上の関係式を行列記法で書くと、Tx = 0 となる。
T~ を T の余因子行列とする。
線形代数でよく知られているように
T~T = det(T)E となる。ここで、E は n 次の単位行列。
よって、(T~T)x = (det(T)E)x = det(T)x = 0 となる。
つまり、det(T)x_i = 0 が各 i で成立つ。
証明終
A を可換環とする。
B を A 上有限な線型環（）とする。
このとき、B は A 上整である（）。
証明
α ∈ B を任意の元とする。
B の A-加群としての生成元を ω_1, ... , ω_n とする。
以下の関係式が成立つ。
αω_1 = a_(1,1) ω_1 + a_(1,2) ω_2 + ... + a_(1,n) ω_n
αω_2 = a_(2,1) ω_1 + a_(2,2) ω_2 + ... + a_(2,n) ω_n
.
.
.
αω_n = a_(n,1) ω_1 + a_(n,2) ω_2 + ... + a_(n,n) ω_n
ここで、各 a(i,j) は A の元である。
行列 (a_(i,j)) を T とおく。
より各 i に対して det(αE - T)ω_i = 0 となる。
ここで、E は n 次の単位行列である。
よって、det(αE - T)B = 0 である。
よって、e を B の単位元とすれば det(αE - T)e = 0 である。
X を A[X] の不定元とすれば f(X) = det(XE - T) は
A 係数のモニック（過去スレpart1の115）な多項式である。
f(α) = 0 であるから α は A 上整（）である。
α は B の任意の元であるから B は A 上整である。
証明終
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E の元 α が A 上整（）であるなら A[α]（）は A-加群として有限生成である。
証明
A の元の列 a_1, ... , a_n で、
α^n + a_1α^(n-1) + ... + (a_n)1 = 0
となるものがある
α^n ∈ A1 + Aα + ... + Aα^(n-1) である。
これから帰納法で任意の整数 m ≧ n に対して
α^m ∈ A1 + Aα + ... + Aα^(n-1) となることがわかる。
よって、A[α] = A1 + Aα + ... + Aα^(n-1)
証明終
A を可換環とする。
B を A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）とする。
E を B 上の線型環とする。
B は A 上有限（）、E は B 上有限とする
このとき、E は A 上有限である。
証明
B = Ax_1 + ... + Ax_n
E = By_1 + ... + By_m
とする。
E = ΣA(x_i)(y_j) となる。
ここに、和は i, j のすべての組み合わせを渡る。
証明終
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
B を E の可換な A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
α を E の元で B の各元と可換とする。
このとき A-線型環の準同型 ψ：B[X] → E で
b ∈ B のとき ψ(b) = b で ψ(X) = α となるものが一意に存在する。
証明
自明である。
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
B を E の可換な A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
α を E の元で B の各元と可換とする。
モニック（過去スレpart1の115）な多項式 f(X) ∈ B[X] があり、
f(α) = 0 となるとき、α を B 上整(integral)であるという。
E のすべての元が B 上整のとき、E を B 上整であるという。
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
B を E の可換な A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
α を E の元で B の各元と可換とする。
より A-線型環の準同型 ψ：B[X] → E で
b ∈ B のとき ψ(b) = b で ψ(X) = α となるものが一意に存在する。
ψ(B[X]) を B[α] と書く。
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
B を E の可換な A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
α を E の元で B の各元と可換とする。
α が B 上整（）であるなら B[α]（）は A-加群として有限生成である。
証明
B の元の列 b_1, ... , b_n で、
α^n + b_1α^(n-1) + ... + b_n = 0
となるものがある。
α^n ∈ B + Bα + ... + Bα^(n-1) である。
これから帰納法で任意の整数 m ≧ n に対して
α^m ∈ B + Bα + ... + Bα^(n-1) となることがわかる。
よって、B[α] = B + Bα + ... + Bα^(n-1)
証明終
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
α_1、．．．、α_n を E の元の有限列でその任意の２元が可換であるとする。
各 α_i が A 上整（）であれば A[α_1、．．．、α_n]（）は A 上有限（）である。
証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときはより A[α]（）は A 上有限である。
n ≧ 2 とする。
A[α_1、．．．、α_n] = A[α_1、．．．、α_(n-1)][α_n]（）である。
帰納法の仮定より A[α_1、．．．、α_(n-1)] は A 上有限である。
α_n は A 上整であるから A[α_1、．．．、α_(n-1)] 上整である。
よって、より A[α_1、．．．、α_n] は A[α_1、．．．、α_(n-1)] 上有限である。
より A[α_1、．．．、α_n] は A 上有限（）である。
証明終
A を可換環とする。
E を A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）とする。
A 上整（）な E の元全体は E の A-線型部分環（過去スレpart1の108）となる。
証明
α, β を E の元で A 上整とする。
より A[α, β] は、A 上有限である。
よって、 より、A[α, β] は、A 上整である。
証明終
A を可換環とする。
B を A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）とする。
E を B 上の線型環とする。
B は A 上整（）、E は B 上整とする。
このとき、E は A 上整である。
証明
E の元 α は
α^n + b_1α^(n-1) + ... + (b_n)1 = 0
の形の関係式を満たす。
ここで、b_1, ... , b_n は、B の元の列である。
よって、α は A[b_1, ... , b_n] 上整である。
より A[b_1, ... , b_n] は A 上有限（）である。
より A[b_1, ... , b_n, α] は A[b_1, ... , b_n] 上有限である。
より A[b_1, ... , b_n, α] は A 上有限である。
よって、より α は A 上整である。
証明終
やっぱりお前が一方的に書き込んでいるだけだなｗ
ゼミで例えるなら、お前一人話してみんな寝てる状況またはお前一人しかいない状況だ。
無意味なことを悟れよ。
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
ρ：A → E を標準写像（）とする。
S を E の部分集合でその任意の２元が可換であるとする。
ρ(A) と S を含む E の最小の部分環を A[S] と書く。
(α_i)、i ∈ I を E の元の族で任意の i, j ∈ I に対して α_i と α_j は可換であるとする。
S = {α_i； i ∈ I} とおく。
A[S] を K[α_i； i ∈ I] と書く。
I が有限集合 {1、．．．、n} のとき、
A[S] を A[α_1、．．．、α_n] と書く。
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
ρ：A → E を標準写像（）とする。
α_1、．．．、α_n を E の元の有限列でその任意の２元が可換であるとする。
より A-準同型 ψ：A[X_1、．．．、X_n] → E で
各 i に対して ψ(X_i) = α_i となるものが一意に存在する。
このとき、A[α_1、．．．、α_n]（）は
ρ(A) と α_1、．．．、α_n を含む E の最小の部分環である。
証明
自明である。
記法
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
ρ：A → E を標準写像（）とする。
S を E の部分集合でその任意の２元が可換であるとする。
ρ(A) と S を含む E の最小の部分環を A[S] と書く。
(α_i)、i ∈ I を E の元の族で任意の i, j ∈ I に対して α_i と α_j は可換であるとする。
S = {α_i； i ∈ I} とおく。
A[S] を K[α_i； i ∈ I] と書く。
I が有限集合 {1、．．．、n} のとき、より A[S] = A[α_1、．．．、α_n] である。
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
ρ：A → E を標準写像（）とする。
S を E の部分集合でその任意の２元が可換であるとする。
Φ を S の空でない有限部分集合全体とする。
このとき、A[S] = ∪{A[T]； T ∈ Φ} である。
証明
B = ∪{A[T]； T ∈ Φ} とおく。
T ∈ Φ、T’∈ Φ とする。
A[T] ∪ A[T’] ⊂ A[T ∪ T’] である。
よって、B は E の部分環である。
B は ρ(A) と S を含むから A[S] ⊂ B である。
逆の包含関係は明らかであるから A[S] = B である。
証明終
命題
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
S を E の部分集合でその任意の２元が可換であるとする。
Φ を S の空でない有限部分集合全体とする。
このとき、A[S]（）= ∪{A[T]； T ∈ Φ} である。
証明
ρ：A → E を標準写像（）とする。
B = ∪{A[T]； T ∈ Φ} とおく。
T ∈ Φ、T’∈ Φ とする。
A[T] ∪ A[T’] ⊂ A[T ∪ T’] である。
よって、B は E の部分環である。
B は ρ(A) と S を含むから A[S] ⊂ B である。
逆の包含関係は明らかであるから A[S] = B である。
証明終
A を可換環とする。
E を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
S を E の部分集合でその任意の２元が可換であるとする。
さらに S の各元は A 上整（）であるとする。
このとき、A[S]（）は A 上整（）である。
証明
Φ を S の空でない有限部分集合全体とする。
より A[S]= ∪{A[T]； T ∈ Φ} である。
α を A[S] の任意の元とする。
α ∈ A[T] となる T ∈ Φ がある。
より A[T] は A 上有限（）である。
よって、より α は A 上整である。
証明終
低のうめ
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）で零因子を持たないとする。
E は K 上整（）であるとする。
このとき E は必ずしも可換とは限らない体である。
証明
α ≠ 0 を E の元とする。
α は K 上整だから K 上代数的（）である。
よって、より K[α]（）は可換体である。
よって、1/α ∈ K[α] ⊂ E
よって、E は必ずしも可換とは限らない体である。
証明終
命題
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）で零因子を持たないとする。
α ∈ E を K 上代数的（）とする。
このとき K[α]（）は可換体である。
証明
より K[α] は K 上有限な線型環（）である。
β ≠ 0 を K[α] の元とする。
x ∈ K[α] に βx ∈ K[α] を対応させる写像を f：K[α] → K[α] とする。
ｆ は K-線型写像である。
E は零因子を持たないから f は単射である。
K[α] は K 上有限だから f は全射である。
よって、βx = 1 となる x がある。
K[α] は可換だから βx = xβ = 1
よって、x = 1/β
よって、K[α] は可換体である。
証明終
才能無い。やめとけ。
A を可換環とする。
B を A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）とする。
C を B 上の線型環とする。
B は A 上整（）とする。
標準射 τ：B → C は全射であるとする。
このとき C は A 上整である。
証明
γ ∈ C とする。
τ は全射だから τ(β) = γ となる β ∈ B がある。
B は A 上整だからモニックな多項式 f(X) ∈ A[X] があり、
f(β) = 0 となる。
τ(f(β)) = f(τ(β)) = f(γ) = 0
よって、γ は A 上整である。
γ は任意だから C は A 上整である。
証明終
A を可換環とする。
B と C を A 上の可換な線型環（過去スレpart1の97）とする。
B は A 上整（）とする。
このとき B※C（）は C 上整である。
証明
ρ：B → B※C を標準射（）とする。
より ρ(B) は A 上整である。
B※C の任意の元は b※c、b ∈ B、c ∈ C の形の元の有限和である。
B は可換だから B※C = C[ρ(B)]（）である。
ρ(B) は A 上整であるから C 上整である。
よって、より B※C = C[ρ(B)] は C 上整である。
証明終
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犯罪告知の事実はどう扱われる？
ナメとったらあかんョ
K を可換体とする。
E を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
α ∈ E とする。
α が K 上代数的（）であるためには α が K 上整（）であることが必要十分である。
証明
自明である。
学部２年生くらいのことを延々とw
K を可換体とする。
E ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）で零因子を持たないとする。
S を E の部分集合でその任意の２元が可換であるとする。
さらに S の各元は K 上代数的（）であるとする。
このとき K[S]（）は可換体であり、K 上代数的ある。
証明
とより K[S] は K 上代数的ある。
K[S] は可換であるからより K[S] は可換体である。
証明終
工程表：
無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論
K を可換体とする。
L を K の拡大体（）とする。
S を L の部分集合で S の各元は K 上代数的（）であるとする。
このとき K[S] = K(S) () である。
証明
より明らかである。
K と L を可換体とする。
σ： K → L を同型（）とする。
このとき、環としての同型 ψ：K[X] → L[X] で
f(X) ∈ K[X] のとき ψ(f(X)) = (σf)(X) となるものが一意に存在する。
ここで、(σf)(X) は f(X) の各係数にσを作用させたものである。
証明
自明である。
K と L を可換体とする。
σ： K → L を同型（）とする。
f(X) ∈ K[X] とする。
このとき、の同型 ψ：K[X] → L[X] は
環としての同型 K[X]/(f(X)) → L[X]/((σf)(X)) を引き起こす。
ここで、(σf)(X) は f(X) の各係数にσを作用させたものである。
証明
自明である。
＞494 ：１３２人目の素数さん：2012/01/14(土) 16:18:53.09
＞特に俺の少し自慢なのは２元２次形式について書いたところ。
＞あれだけの内容のものはあまりないだろ。
２元２次形式について「あれだけの内容」と
自身で書いているので、２元２次形式について質問します。
２元２次形式、これはどの本からのコピペ、なのですか？
（内容についてわからないことがあるので質問しています）
>内容についてわからないことがあったら遠慮なく
>質問してください。
K と K’を可換体とする。
σ： K → K’を同型（）とする。
L/K と L’/K’をそれぞれ拡大（）とする。
α ∈ E を K 上代数的（）とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式（）とする。
(σf)(X) ∈ K[X] を f(X) の各係数にσを作用させたものとする。
α’∈ L’を (σf)(X) の根とする。
このとき同型 ψ： K(α) → K’(α’) で ψ(α) = α’となり σ の拡張であるものが一意に存在する。
証明
より K[α] = K(α)、K’[α] = K’(α) である。
より K-同型 Ψ：K[X]/(f(X)) → K[α] で Ψ(X~) = α となるものが一意に存在する。
同様に K’-同型 Φ：K’[X]/((σf)(X)) → K’[α’] で Φ(X~) = α’となるものが一意に存在する。
他方、
より同型 δ：K[X] → K’[X] で g(X) ∈ K[X] のとき δ(g(X)) = (σg)(X) となるものが
一意に存在する。
より δ は同型 Δ：K[X]/(f(X)) → K’[X]/((σf)(X)) を引き起こす。
ψ = ΦΔΨ^(-1) とおけば良い。
証明終
ψ： K(α) → K’(α’) の一意性は明らかである。
ていうか完全にコピペした方がいいに決まってるがw
クマによる劣化改訂が書き込まれているw
誰も読まんがねw
「ほとんど単なるコピぺ」と言っていたのは、Kummerです。
：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/07(土) 12:44:26.25
>>それを言うならほとんどの教科書は全部とは言わないがほとんど単なるコピぺ
>>ほとんどの内容がオリジナルな教科書というのは例外的
クマのそのコンテキストからすると、
ほとんどが単なるコピペの否定が、ほとんどの内容がオリジナル
とクマの頭ではなるらしいw 鳥獣並の知能だなw
いったいいつまで２年生でも知っていることを書いているのかねw？＞クンマー
いったいいつまで２年生でも知っていることを書いているのかねw？＞クンマー
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２ちゃんねる監視を強化している警察は
この犯罪告知の事実をどう扱われる？
K と L を可換体とする。
σ： K → L を同型（）とする。
f(X) を K 係数の定数でない１変数多項式とする。
E を f(X) の最小分解体（）とする。
(σf)(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
F を (σf)(X) の最小分解体とする。
このとき、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。
証明
f(X) の次数 n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
f(X) の E における全ての根を重複度を含めて α_1、．．．、α_n とする。
即ち f(X) = c(X - α_1)．．．(X - α_n) である。
ここで、c ≠ 0 は f(X) の最高次の係数である。
このとき、E = K(α_1、．．．、α_n) である。
(σf)(X) の F における全ての根を重複度を含めて β_1、．．．、β_n とする。
即ち (σf)(X) = d(X - β_1)．．．(X - β_n) である。
ここで、d ≠ 0 は (σf)(X) の最高次の係数、即ち d = σ(c) である。
g(X) を α_1 の K 上の最小多項式（）とする。
(σg)(X) を g(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
(σg)(X) は (σf)(X) の因子であるから (σg)(β_i) となる i がある。
i = 1 と仮定してよい。
より同型 ψ： K(α_1) → L(β_1) で ψ(α_1) = β_1 となり
σ の拡張であるものが一意に存在する。
（続く）
h(X) = f(X)/(X - α_1) とおく。
h(X) = c(X - α_2)．．．(X - α_n) ∈ K(α_1)[X] であるから
E は h(X) の K(α_1) 上の最小分解体である。
r(X) = (σf)(X)/(X - β_1) とおく。
r(X) = d(X - β_2)．．．(X - β_n) ∈ L(β_1)[X] であるから
F は r(X) の L(β_1) 上の最小分解体である。
f(X) = (X - α_1)h(X)
この両辺の係数に ψ を作用させると
(σf)(X) = (X - β_1)(ψh)(X)
よって、(ψh)(X) = r(X) である。
よって、帰納法の仮定より同型 τ：E → F で ψ の拡張となっているものが存在する。
証明終
いったいいつまで２年生でも知っていることを書いているのかねw？＞クンマー
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資源の無駄です
才能ないね、君。
数学に向いてないからやめておきなさい。
プロの数学者に対するルサンチマンが、彼を駆り立てるのだった
K を可換体とする。
K 係数の定数でない任意の１変数多項式が K において根を持つとき K を代数的閉体と呼ぶ。
いったいいつまで２年生でも知っていることを書いているのかねw？＞クンマー
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取り調べをお願いします。
数学者に嫉妬すんなや！お前の努力が足りんかったんやろうが
K を代数的閉体とする。
K 係数の定数でない任意の１変数多項式は K で分解（）する。
証明
f(X) を K 係数の定数でない任意の１変数多項式とする。
f(X) が K で分解することを f(X) の次数 n に関する帰納法で証明しよう。
n = 1 のときは自明である。
n ≧ 2 とする。
K は代数的閉体だから f(X) は根 α ∈ K を持つ。
g(X) = f(X)/(X - α) ∈ K[X] であり deg g(X) = n - 1 である。
帰納法の仮定より g(X) は K で分解する。
よって、f(X) は K で分解する。
証明終
K を可換体とする。
L を K の拡大体（）とする。
L の各元が K 上代数的（）なとき L は K 上代数的であると言う。
このとき L は K の代数的拡大体または L/K は代数的拡大であるという。
K を可換体とする。
L を K の拡大体（）とする。
L が代数的閉体（）で K 上代数的（）なとき L を K の代数的閉包と言う。
K を可換体とする。
L を K の拡大体（）とする。
Φ を K 係数のモニック（過去スレpart1の115）な多項式全体の集合とする。
L が K の代数的閉包（）であるためには
L が Φ の最小分解体（）であることが必要十分である。
証明
必要性：
L が K の代数的閉包であるとする。
より任意の f(X) ∈ Φ は L で分解する。
α ∈ L を任意の元とする。
α は K 上代数的だから f(X) ∈ Φ があり f(α) = 0 である。
よって、L は Φ の最小分解体である。
十分性：
L が Φ の最小分解体であるとする。
より L は K 上代数的である。
L が代数的閉体（）であることを証明すれば良い。
G(X) ∈ L[X] を定数でない多項式とする。
より L の拡大体 E があり G(X) は E で分解（）する。
G(X) の E における根の一つを γ とする。
とより γ は K 上代数的である。
f(X) を γ の K 上の最小多項式（）とする。
f(X) は L で分解するから γ ∈ L である。
よって、L は代数的閉体である。
証明終
任意の可換体 K は代数的閉包（）を持つ。
証明
Φ を K 係数のモニック（過去スレpart1の115）な多項式全体の集合とする。
より Φ の最小分解体（）L が存在する。
より L は K の代数的閉包である。
証明終
K と L を可換体とする。
σ： K → L を同型（）とする。
(f_i(X))、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
E を (f_i(X))、i ∈ I の最小分解体（）とする。
各 i ∈ I に対して σf_i(X) を f_i(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
F を (σf_i(X))、i ∈ I の最小分解体（）とする。
τ：E → F を埋め込み（）で σ の拡張となっているものとする。
このとき τ(E) = F である。
証明
i ∈ I を任意にとる。
f_i(X) の E における全ての根を重複度を含めて α_1、．．．、α_n とする。
即ち f_i(X) = c(X - α_1)．．．(X - α_n) である。
ここで、c ≠ 0 は f_i(X) の最高次の係数である。
σf_i(X) = σ(c)(X - τ(α_1))．．．(X - τ(α_n)) である。
よって、σf_i(X) の F における全ての根は τ(E) に含まれる。
よって、τ(E) = F である。
証明終
K と L を可換体とする。
σ： K → L を同型（）とする。
N = {1、2、．．．} を自然数の集合とする。
(f_i(X))、i ∈ N を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
各 i ∈ N に対して σf_i(X) を f_i(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
E を (f_i(X))、i ∈ N の最小分解体（）とする。
F を (σf_i(X))、i ∈ N の最小分解体（）とする。
このとき、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。
証明
各 f_i(X) の E における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ N} とおく。
S = {α_1、α_2、．．．、α_n、．．．} とする。
K_n = K(α_1、α_2、．．．、α_n)、n = 1、2、．．．とおく。
K_1 ⊂ K_2 ⊂ ．．．⊂ K_n ⊂ ．．．
各 n ≧ 1 に対して埋め込み（）τ_n：K_n → F で
τ_n は τ_(n-1) の拡張となっているものを以下のように帰納的に定義する。
但し、τ_0 = σ である。
f_i(α_1) = 0 となる i ∈ N がある。
g(X) を α_1 の K 上の最小多項式（）とする。
σg(X) を g(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
σg(X) は σf_i(X) の因子であるから σg(β_1) = 0 となる β_1 ∈ F がある。
より埋め込み τ_1： K_1 → F で τ_1(α_1) = β_1 となり
σ の拡張であるものが一意に存在する。
（続く）
n ≧ 2 とする。
帰納法の仮定より埋め込み τ_(n-1)：K_(n-1) → F で τ_(n-2) の拡張となっているものがある。
f_k(α_n) = 0 となる k ∈ N がある。
G(X) を α_n の K_(n-1) 上の最小多項式とする。
σG(X) は σf_k(X) の因子であるから σG(β_n) = 0 となる β_n ∈ F がある。
より埋め込み τ_n： K_n → F で τ_n(α_n) = β_n となり
τ_(n-1) の拡張であるものが一意に存在する。
以上から埋め込み (τ_n)、n ∈ N が定義された。
写像 τ：E → F を次のように定義する。
E = ∪K_n であるから、任意の x ∈ E に対して x ∈ K_n となる n がある。
τ(x) = τ_n(x) とおく。
τ(x) は n の取り方によらない。
このとき、τ は埋め込みであり、σ の拡張となっていることは明らかである。
より τ：E → F は同型である。
証明終
命題
K と L を可換体とする。
σ： K → L を同型（）とする。
N = {1、2、．．．} を自然数の集合とする。
(f_i(X))、i ∈ N を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
各 i ∈ N に対して σf_i(X) を f_i(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
E を (f_i(X))、i ∈ N の最小分解体（）とする。
F を (σf_i(X))、i ∈ N の最小分解体（）とする。
このとき、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。
証明
各 f_i(X) の E における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ N} とおく。
S = {α_1、α_2、．．．、α_n、．．．} とする。
K_n = K(α_1、α_2、．．．、α_n)、n = 1、2、．．．とおく。
K_1 ⊂ K_2 ⊂ ．．．⊂ K_n ⊂ ．．．
各 n ≧ 1 に対して埋め込み（）τ_n：K_n → F で
τ_n は τ_(n-1) の拡張となっているものを以下のように帰納的に定義する。
但し、τ_0 = σ である。
f_i(α_1) = 0 となる i ∈ N がある。
g(X) を α_1 の K 上の最小多項式（）とする。
σg(X) を g(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
σg(X) は σf_i(X) の因子であるから σg(β_1) = 0 となる β_1 ∈ F がある。
より埋め込み τ_1： K_1 → F で τ_1(α_1) = β_1 となり
σ の拡張であるものが一意に存在する。
（続く）
n ≧ 2 とする。
帰納法の仮定より埋め込み τ_(n-1)：K_(n-1) → F で τ_(n-2) の拡張となっているものがある。
f_k(α_n) = 0 となる k ∈ N がある。
G(X) を α_n の K_(n-1) 上の最小多項式とする。
τ_(n-1)G(X) は σf_k(X) の因子であるから τ_(n-1)G(β_n) = 0 となる β_n ∈ F がある。
より埋め込み τ_n： K_n → F で τ_n(α_n) = β_n となり
τ_(n-1) の拡張であるものが一意に存在する。
以上から埋め込み (τ_n)、n ∈ N が定義された。
写像 τ：E → F を次のように定義する。
E = ∪K_n であるから、任意の x ∈ E に対して x ∈ K_n となる n がある。
τ(x) = τ_n(x) とおく。
τ(x) は n の取り方によらない。
このとき、τ は埋め込みであり、σ の拡張となっていることは明らかである。
より τ：E → F は同型である。
証明終
Zornの補題（即ち選択公理）が必要になる。
命題
K と L を可換体とする。
σ： K → L を同型（）とする。
(f_i(X))、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
各 i ∈ I に対して σf_i(X) を f_i(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
E を (f_i(X))、i ∈ I の最小分解体（）とする。
F を (σf_i(X))、i ∈ N の最小分解体とする。
このとき、同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。
証明
K ⊂ H ⊂ E となる E の部分体 H と埋め込み ν： H → F で
σ の拡張となっているものの対 (H, ν) 全体 Ψ を考える。
(K, σ) ∈ Ψ であるから Ψ は空でない。
(H, ν)、(M, μ) ∈ Ψ、H ⊂ M で μ が ν の拡張になっているとき (H, ν) ≦ (M, μ) と書く。
関係 ≦ により Ψ は順序集合となる。
Φ を Ψ の空でない全順序部分集合とする。
G = ∪{H；(H, ν) ∈ Φ} とおく。
G は体である。写像 ρ：G → F を以下のように定義する。
x ∈ G のとき (H, ν) ∈ Φ で x ∈ H となるものがある。
ρ(x) = ν(x) と定義する。
ρ は (H, ν) の選び方によらない。
(G, ρ) ∈ Ψ である。
各 (H, ν) ∈ Φ に対して (H, ν) ≦ (G, ρ) である。
よって Zornの補題により Ψ は極大元 (M, τ) を持つ。
このとき、M = E であることを示そう。
（続く）
M ≠ E とする。
α を E の元で M に含まれないものとする。
ある i ∈ I があり f_i(X) の根 α で M に含まれないものがある。
G(X) を α の M 上の最小多項式（）とする。
τG(X) は σf_i(X) の因子であるから τG(β) = 0 となる β ∈ F がある。
より埋め込み ν： M(α) → F で ν(α) = β となり
τ の拡張であるものが一意に存在する。
これは (M, τ) が Ψ の極大元であることに矛盾する。
よって、 M = E である。
よって、埋め込み τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。
より τ：E → F は同型である。
証明終
やめとけって、もう。
才能ないの見てると悲しくなってくる。お前のためにいっとるんやで。
K と L を可換体とする。
σ： K → L を同型（）とする。
(f_i(X))、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
E を (f_i(X))、i ∈ I の最小分解体（）とする。
各 i ∈ I に対して σf_i(X) を f_i(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
F を (σf_i(X))、i ∈ I の最小分解体（）とする。
τ：E → F を埋め込み（）で σ の拡張となっているものとする。
このとき τ(E) = F である。
証明
i ∈ I を任意にとる。
f_i(X) の E における全ての根を重複度を含めて α_1、．．．、α_n とする。
即ち f_i(X) = c(X - α_1)．．．(X - α_n) である。
ここで、c ≠ 0 は f_i(X) の最高次の係数である。
σf_i(X) = σ(c)(X - τ(α_1))．．．(X - τ(α_n)) である。
よって、σf_i(X) の F における全ての根は τ(E) に含まれる。
よって、τ(E) = F である。
証明終
A を可換環とする。
E_1、．．．、E_n を A 上の線型環とする。
D = (E_1)※．．．※(E_n)（）とおく。
このとき A-双線型写像 μ：D×D → D で
μ(x_1※．．．※x_n、y_1※．．．※y_n) = (x_1y_1)※．．．※(x_ny_n) となるものが一意に存在する。
証明
x = (x_1、．．．、x_n) ∈ (E_1)×．．．×(E_n) を固定する。
写像 f_(x_1、．．．、x_n)：(E_1)×．．．×(E_n) → D を
f_(x_1、．．．、x_n)(y_1、．．．、y_n) = (x_1y_1)※．．．※(x_ny_n) で定義する。
f_(x_1、．．．、x_n) は各変数に関して A-線型であるから
一意に定まる A-線型写像 λ_(x_1、．．．、x_n)：D → D があり、
λ_(x_1、．．．、x_n)(y_1※．．．※y_n) = f_(x_1、．．．、x_n)(y_1、．．．、y_n) となる。
即ち、λ_(x_1、．．．、x_n)(y_1※．．．※y_n) = (x_1y_1)※．．．※(x_ny_n)
対応 (x_1、．．．、x_n) → λ_(x_1、．．．、x_n) は写像
λ：(E_1)×．．．×(E_n) → Hom(D、D) を定める。
λ が各変数に関して A-線型であることは容易に分かる。
よって、一意に定まる A-線型写像 μ’：D → Hom(D、D) があり、
μ’(x_1※．．．※x_n) = λ_(x_1、．．．、x_n) となる。
写像 μ：D×D → D を μ(x、y) = μ’(x)(y) で定義する。
μ は A-双線型写像である。
μ(x_1※．．．※x_n、y_1※．．．※y_n)
= μ’(x_1※．．．※x_n)(y_1※．．．※y_n)
= λ_(x_1、．．．、x_n)(y_1※．．．※y_n) =(x_1y_1)※．．．※(x_ny_n)
D の各元は x_1※．．．※x_n の形の元の和であるから μ の一意性は明らかである。
証明終
C と D を前加法圏（代数的整数論09の53）とする。
F：C → D を加法的関手（過去スレpart2の589）で余核を反映する（）とする。
このとき F は差余核（代数的整数論017の850）を反映（代数的整数論01の34）する。
証明
の双対である。
K と L を可換体とする。
σ： K → L を同型（）とする。
E を K の代数的閉包（）とする。
F を L の代数的閉包とする。
このとき 同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。
証明
Φ を K 係数のモニック（過去スレpart1の115）な多項式全体の集合とする。
より E は Φ の最小分解体（）である。
Ψ を L 係数のモニックな多項式全体の集合とする。
より F は Ψ の最小分解体（）である。
各 f(X) ∈ Φ に対して σf(X) を f(X) の各係数にσを作用させた多項式とする。
Ψ = {σf(X)；f(X) ∈ Φ} である。
よって、より 同型 τ：E → F で σ の拡張となっているものが存在する。
証明終
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大()とする。
このとき K[X] の次数１以上の元からなる族 (f_i(X))、i ∈ I があり
L は (f_i(X))、i ∈ I の最小分解体（）E の部分体となる。
証明
L の部分集合 S で L = K(S)（）となるものをとる。
例えば S = L とすればよい。
より L は代数的閉包（）L~ を持つ。
各 α ∈ S の K 上の最小多項式（）を f_α(X) とする。
f_α(X) の L~ における全ての根の集合を T_α とする。
T = ∪{T_α；α ∈ S} とする。
E = K(T) とおく。
E は (f_α(X))、α ∈ S の K 上の最小分解体である。
S ⊂ T であるから K(S) ⊂ E である。
証明終
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大（）とする。
Ω を代数的閉体で K の拡大体とする。
このとき K-埋め込み（）σ：L → Ω が存在する。
証明
より K[X] の次数１以上の元からなる族 (f_i(X))、i ∈ I があり
L は (f_i(X))、i ∈ I の最小分解体（）E の部分体となる。
各 i ∈ I に対して f_i(X) の Ω における全ての根の集合を T_i とする。
T = ∪{T_i；i ∈ I} とする。
F = K(T) とおく。
F は (f_i(X))、i ∈ I の K 上の最小分解体である。
より K-同型（）τ：E → F が存在する。
τ を L に制限した写像（の値域をΩに変えたもの）を σ とすれば良い。
証明終
A を必ずしも可換とは限らない環とする。
C = {a ∈ A； 任意の x ∈ A に対して ax = xa} とおく。
C は A の可換な部分環である。
C を A の中心と呼ぶ。
だれもついて来ていないんだよｗ
こんなとこでクマ改悪のガロア理論のお勉強なんてしないしｗ
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
K の中心（） F は K の可換部分体である。
証明
F は K の可換な部分環である。
a ∈ F、a ≠ 0 とする。
b = a^(-1) とおく。
任意の x ∈ K に対して
ax = xa
この両辺に左から b を掛けて
x = bxa
この両辺に右から b を掛けて
xb = bx
よって、b ∈ F
よって、F は K の可換部分体である。
証明終
ひょっとして悔しいのかなｗ
意外かもしれないがほんと
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２ちゃんねる監視を強化している警察は
この犯罪告知の事実をどう扱われる？
涙を拭いて一歩前進しろや。まずはそこからやろが。
さすが無職低脳クマだなｗ
悔しいのおｗ
悔しいか？
悔しいだろ。でも、それがお前だ。悔しさを認めろ、それが第一歩になるんだ。
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
K の全ての部分体の共通集合を P とする。
P は K の最小の部分体であり、K の中心に含まれる。
P は有理数体 Q または Z/pZ に同型である。
ここで Z は有理整数環であり p はある素数である。
証明
環準同型 ψ：Z → K が一意に存在する。
ψ(Z) は K の部分環であり K の中心（）F に含まれる。
P = {a/b； a、b ∈ ψ(Z)、b ≠ 0} とする。
P は F の部分体である。
M を K の部分体とする。
ψ(Z) ⊂ M であるから P ⊂ M である。
よって、P は K の全ての部分体の共通集合である。
ψ(Z) は環として Z/Ker(ψ) に同型である。
よって、Ker(ψ) = 0 のときは P は有理数体 Q に同型である。
Ker(ψ) ≠ 0 のときは Ker(ψ) = nZ である。
ここで、n は有理整数 ≧ 2 である。
よって、ψ(Z) は環として Z/nZ に同型である。
Z/nZ は整域であるから n は素数である。
このとき、Z/nZ は可換体である。
よって、ψ(Z) = P であり、ある素数 p に対する Z/pZ に同型である。
証明終
取り調べをお願いします。
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
の P を K の素体と言う。
より、以下の二つの場合がある。
1) P は有理数体に同型である。
2) ある素数 p があり、P は Z/pZ に同型である。
1) のとき K の標数(characteristic)は 0 であると言う。
2) のとき K の標数は p であると言う。
K の標数を char(K) と書く。
涙を拭いて一歩前進しろや。まずはそこからやろが。
いったいいつまで２年生でも知っていることを書いているのかねw？＞クンマー
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K を必ずしも可換とは限らない体とする。
K の要素の個数が有限のとき K を有限体と言う。
無職だからな おめえは
無職だからな おめえは
もうアーカイブに公表されてから1年以上になるけど
涙を拭けよｗ
悔しければ踊りなさい。見といてやる。
―――無様ながら、生を得ようと必死な君をね。
／ ＼ な、なに急にスレ開くんだお！！
／ ─ ─＼ スレ開く時はノックくらいしろお！！
／ （ ○）三（○）＼
| /// （__人_.） | .＿＿＿＿
＼ |r┬| ／ |＼ ‐==‐ ＼
／ ヽノ ⌒`ヽ<´ ＼|￣￣￣￣|
/ | ＼___）⌒ ＼ ￣￣￣￣
｀￣＼ ＼ ,,,, ＼
＼ ／＼＼ ＼__
ゝ,,,__､___／ ヽｰヽ＿__）
↑クマ 涙ふけよｗ
定義
K を可換体とする。
K の要素の個数が有限のとき K を有限体と言う。
涙を拭けよｗ
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２ちゃんねる監視を強化している警察は
この犯罪告知の事実をどう扱われる？
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
|K|（過去スレpart1の180）は有限であるとする。
このとき |K| は素数冪である。
証明
K の標数（）は素数 p である。
よって、K の素体（）P は Z/pZ に同型である。
[K ： P]（） = n とする。
このとき |K| = p^n である。
証明終
昔から君を監視しているが、進歩がないね。
いつになったら気づくんだい？如何に君が愚かな存在であるかを
K を有限体（）とする。
K の標数（）を p とする。
K の素体（）を P とする。
[K ： P]（） = n とする。
このとき K は X^(p^n) - X ∈ P[X] の根全体と一致する。
従って K は X^(p^n) - X の P 上の最小分解体（）である。
証明
より |K| = p^n である。
過去スレpart1の332より K の乗法群 K^* は巡回群である。
|K^*| = p^n - 1 である。
よって、K^* の任意の元 a に対して a^(p^n - 1) = 1 である。
よって、a^(p^n) = a である。
即ち a は X^(p^n) - X の根である。
0 は ^(p^n) - X の根であるから K の全ての元は X^(p^n) - X の根である。
|K| = p^n であるから K は X^(p^n) - X の根全体と一致する。
証明終
チャンスを与えよう。
今なら交渉に応じてやる。
より K は代数的閉包（）Ω を持つ。
よって、K は過去スレpart1の体と見なせる。
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
L/K と M/K を拡大（）とする。
L において f(X) = Π(X - α_i)^(m_i)、i = 1、．．．、s とする。
ここで、α_1、．．．、α_s は互いに異なる。
M において f(X) = Π(X - β_k)^(r_k)、k = 1、．．．、t とする。
ここで、β_1、．．．、β_t は互いに異なる。
このとき s = t であり適当に番号を付け替えれば m_i = r_i、i = 1、．．．、s となる。
証明
E = K(α_1、．．．、α_s) ()
F = K(β_1、．．．、β_t)
とおく。
E、F はそれぞれ f(X) の最小分解体（）である。
より K-同型 τ：E → F が存在する。
τ は環の同型 τ’：E[X] → F[X] を引き起こす。
f(X) = Π(X - α_i)^(m_i) の両辺に τ’を作用させると
f(X) = Π(X - τ(α_i))^(m_i) となる。
τ は単射だから i ≠ j なら τ(α_i) ≠ τ(α_j) である。
よって、多項式環の素元分解の一意性より s = t であり
適当に番号を付け替えれば
τ(α_i) = β_i、i = 1、．．．、s
m_i = r_i、i = 1、．．．、s
となる。
証明終
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
n = deg f(X) とする。
L/K と M/K を拡大（）とする。
f(X) は L において n 個の互いに異なる根を持つとする。
f(X) は M において分解（）するとする。
このとき f(X) は M において n 個の互いに異なる根を持つ。
証明
より明らかである。
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
n = deg f(X) とする。
L を f(X) の分解体（）とする。
f(X) は L において n 個の互いに異なる根を持つとする。
このとき f(X) は分離的であると言う。
より、この定義は f(X) の分解体 L の取り方によらない。
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
f’(X) を f(X) の導多項式（過去スレpart1の182）とする。
f(X) が分離的()であるためには f(X) と f’(X) が互いに素であることが必要十分である。
証明
n = deg f(X) とする。
より K は代数的閉包（）Ω を持つ。
過去スレpart1の194より f(X) が Ω において n 個の互いに異なる根を持つためには
f(X) と f’(X) が互いに素であることが必要十分である。
よって、本命題の主張が得られる。
証明終
K を可換体とする。
K の標数（）を p ＞ 0 とする。
K は多項式 X^(p^n) - X ∈ K[X] の分解体（）であるとする。
このとき X^(p^n) - X ∈ K[X] の根全体 F は K の部分体であり |F| = p^n である。
証明
ψ を K のFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。
F = {x ∈ K：ψ^n(x) = x} である。
よって、F は K の部分体である。
X^(p^n) - X の導多項式(過去スレpart1の182)は (p^n)X^(p^n - 1) - 1 = -1
より X^(p^n) - X は分離的（）である。
よって、|F| = p^n である。
証明終
K と L を有限体（）とする。
|K| = |L| なら K と L は同型である。
証明
K の標数（）を p とする。
より |K| = p^n である。
L の標数（）を q とする。
より |L| = q^m である。
|K| = |L| より p^n = q^n である。
有理整数の素因数分解の一意性より p = q、n = m である。
K の素体（）を P とする。
より K は X^(p^n) - X の P 上の最小分解体（）である。
同様に L の素体を P’とすると L は X^(p^n) - X の P’上の最小分解体である。
より P と P’は Z/pZ に同型である。
よって、より K と L は同型である。
証明終
命題
A を可換環とする。
B を A 上有限な線型環（）とする。
このとき、B は A 上整である（）。
>|K| = |L| より p^n = q^n である。
|K| = |L| より p^n = q^m である。
おまえは何一つとして論文を書いてないからw
おまえのコピペを有り難がる理由はないw
命題
A を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とし I = {1、．．．、n} とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(E_α)、α ∈ I を Mod(A) の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = ※[α ∈ J_i] E_αとおく。
このとき A-同型 ψ：※[i ∈ K] F_i → ※[α ∈ I] E_α で
ψ(※[i ∈ K](※[α ∈ J_i] x_α)) = ※[α ∈ I] x_α となるものが一意に存在する。
ここで各 α ∈ I に対して x_α ∈ E_α である。
さらに ψ は各 E_α に関して自然である。
命題
C と D をアーベル圏とする。
F：C → D を完全関手とする。
このとき以下の条件は同値である。
(1) F は完全列を反映する。
(2) f：X → Y と g：Y → Z を C の射で gf = 0 とする。
このとき、F(X) → F(Y) → F(Z) が完全なら X → Y → Z も完全である。
(3) F は零対象を反映する。
(4) F は零射を反映する。
命題
(C, □, α) を擬半群圏とする。
n ≧ 1 を整数とし I = {1、．．．、n} とする。
I = J_1 ∪．．．∪J_k を I の直和分割とする。
但し、i ＜ j のとき λ ∈ J_i、σ ∈ J_j なら常に λ ＜ σ とする。
K = {1、．．．、k} とおく。
(X_λ)、λ ∈ I を C の対象の族とする。
各 i ∈ K に対して F_i = □[λ ∈ J_i] X_λ とおく。
このとき同型 □[i ∈ K] F_i → □[λ ∈ I] X_λ で
各 X_λ に関して自然であり、
I = {1、2, 3} で J_1 = {1, 2}、J_2 = {3} のときは α に一致するものが存在する。
任意の素数 p と任意の整数 n ≧ 1 に対して有限体 K で |K| = p^n となるものが存在する。
証明
Z を有理整数環とする。
P = Z/pZ とおく。
より多項式 X^(p^n) - X ∈ P[X] の分解体（）L が存在する。
より X^(p^n) - X の L における根全体 K は L の部分体であり |K| = p^n である。
証明終
任意の素数 p と任意の整数 n ≧ 1 に対して有限体（）K で |K| = p^n となるものが存在する。
このような有限体は全て同型である。
逆に任意の有限体 K に対して素数 p と整数 n ≧ 1 が定まり |K| = p^n となる。
証明
最初の主張はで証明されている。
２番目の主張はで証明されている。
最後の主張はで証明されている。
証明終
A を可換環とする。
H を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
より A-線型環の準同型 λ：E※F → H で
任意の x ∈ E、y ∈ F に対して
λ(x※1) = x
λ(1※y) = y
となるものがある。
このとき λ(x※y) = λ((x※1)(1※y)) = λ(x※1)λ(1※y) = xy である。
λ を標準準同型または標準射と言う。
K を可換体とする。
H を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の K-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E と F が次の条件を満たすとき E と F は K 上線型無関連（linearly disjoint over K）であると言う。
（1）E の任意の元と F の任意の元は可換である。
（2）標準射（）λ：E※F → H は単射である。
何年も粘着してよく言うよｗ
K を可換体とする。
H を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の K-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
このとき E と F が K 上線型無関連（linearly disjoint over K）であるためには
E の K 上線型独立な任意の有限集合が F 上線型独立であることが必要十分である。
証明
必要性：
E と F が K 上線型無関連であるとする。
Zornの補題より E の K 上線型独立な任意の有限集合は E の K 上の基底に含まれる。
よって、E の K 上の基底が F 上線型独立であることを証明すれば良い。
(e_i)、i ∈ I を E の K 上の基底とする。
過去スレpart3の887より E※F の任意の元 x は x = Σe_i※x_i と一意に書ける。
ここで、{i ∈ I；x_i ≠ 0} は有限である。
(y_i)、i ∈ I を F の元の族で Σe_iy_i = 0 とする。
ここで、{i ∈ I；y_i ≠ 0} は有限であるとする。
y = Σe_i※y_i とおく。
λ：E※F → H を標準射（）とする。
λ(y) = Σe_iy_i = 0 である。
λ は単射だから y = Σe_i※y_i = 0 である。
よって、各 y_i = 0 である。
よって、(e_i)、i ∈ I は F 上線型独立である。
（続く）
十分性：
E の K 上線型独立な任意の有限集合が F 上線型独立であるとする。
標準射 λ：E※F → H が単射であることを証明すれば良い。
(e_i)、i ∈ I を E の K 上の基底とする。
過去スレpart3の887より E※F の任意の元 x は x = Σe_i※x_i と一意に書ける。
ここで、{i ∈ I；x_i ≠ 0} は有限である。
λ(x) = 0 とする。
λ(x) = Σe_ix_i = 0
仮定より各 x_i = 0 である。
よって、x = 0 である。
よって、λ は単射である。
証明終
無職だとストレスすごいのw？
劣等感を克服して働いたらどうなのw？
勤労は国民の義務だよw
今日、大学に行かない連中に監視を頼むぜw
それにしても必死やな 相当、悔しいんだねw
どこにでも書いてある様なことを延々と劣化コピペしつづけてw
必死やなw
K を可換体とする。
H ≠ 0 を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
より標準射 ρ：K → H は単射だから K と ρ(K) を同一視して K ⊂ H と見なす。
E と F を H の K-線型部分環（過去スレpart1の108）で
K 上線型無関連（）であるとする。
このとき E ∩ F = K である。
証明
μ：E → E※F と ν：F → E※F を標準射（）とする。
K ⊂ E、K ⊂ F だから E ≠ 0、F ≠ 0 である。
よって、より μ(E) ∩ ν(F) = K である。
λ：E※F → H を標準射（）とする。
x ∈ E ∩ F とする。
λ(x※1) = x
λ(1※x) = x
λ は単射だから x※1 = 1※x ∈ μ(E) ∩ ν(F) = K
よって、x = λ(x※1) ∈ K
証明終
朝早くからスーパーにお仕事ご苦労さん
K を可換体とする。
H を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の K-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
このとき E と F が K 上線型無関連（linearly disjoint over K）であるためには
E の K 上線型独立な任意の部分集合が F 上線型独立であることが必要十分である。
証明
E の部分集合 S が K 上線型独立なためには
S の任意の空でない有限部分集合が K 上線型独立なことが必要十分である。
よって、本命題はより明らかである。
証明終
K を可換体とする。
H を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の K-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
このとき E と F が K 上線型無関連（）であるためには
E の元 x_1、．．．、x_n が K 上線型独立で
F の元 y_1、．．．、y_m が K 上線型独立なとき
(x_iy_j)、i = 1、．．．，n、j = 1、．．．，m が常に K 上線型独立であることが必要十分である。
証明
必要性：
E と F が K 上線型無関連であるとする。
E の元 x_1、．．．、x_n が K 上線型独立で
F の元 y_1、．．．、y_m が K 上線型独立であるとする。
(a_(i, j))、i = 1、．．．，n、j = 1、．．．，m を K の元の族とする。
Σ[i, j] a_(i, j)x_iy_j = 0 とする。
各 i に対して z_i = Σ[j] a_(i, j)y_j とおく。
Σ[i, j] a_(i, j)x_iy_j = Σ[i] Σ[j] a_(i, j)x_iy_j = Σ[i] x_iz_i = 0
よって、より各 z_i = 0
よって、各 a_(i, j) = 0
よって、(x_iy_j)、i = 1、．．．，n、j = 1、．．．，m は K 上線型独立である。
（続く）
十分性：
E の元 x_1、．．．、x_n が K 上線型独立で
F の元 y_1、．．．、y_m が K 上線型独立なとき
(x_iy_j)、i = 1、．．．，n、j = 1、．．．，m が常に K 上線型独立であるとする。
E の元 x_1、．．．、x_n が K 上線型独立であるとする。
(e_i)、i ∈ I を F の K 上の基底とする。
y_1、．．．、y_n を F の元とし Σx_iy_i = 0 とする。
各 i に対して y_i = Σ[j] a_(i, j)e_j とする。
ここで a_(i, j) ∈ K
Σx_iy_i = Σ[i] x_i(Σ[j] a_(i, j)e_j) = Σ[i, j] a_(i, j)x_ie_j = 0
仮定より各 a_(i, j) = 0
よって、各 y_i = 0
よって、x_1、．．．、x_n は F 上線型独立である。
よって、より E と F は K 上線型無関連である。
証明終
K を可換体とする。
H を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の K-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
このとき E と F が K 上線型無関連（）であるためには
E の元の族 (x_i)、i ∈ I と F の元の族 (y_j)、j ∈ J がそれぞれ K 上線型独立なとき
(x_iy_j)、(i, j) ∈ I×J が常に K 上線型独立であることが必要十分である。
証明
必要性：
E と F が K 上線型無関連であるとする。
E の元の族 (x_i)、i ∈ I と F の元の族 (y_j)、j ∈ J がそれぞれ K 上線型独立で
(x_iy_j)、(i, j) ∈ I×J が K 上線型従属であるとする。
このとき K の元の族 (a_(i, j))、(i, j) ∈ I×J で次のようなものがある。
（1）有限個の (i, j) を除いて a_(i, j) = 0 である。
（2）a_(i, j) ≠ 0 となる (i, j) がある。
（3）Σa_(i, j)x_iy_j = 0 である。
このとき I_0 = {i ∈ I；a_(i, j) ≠ 0} と J_0 = {j ∈ J；a_(i, j) ≠ 0} は
それぞれ有限集合である。
(x_iy_j)、(i, j) ∈ I_0×J_0 は K 上線型従属である。
これはに矛盾する。
十分性：
より明らかである。
証明終
>>普通の教科書に載ってないだろ
「トリビアルな事実」の一つだと思います。
Kummerの発言によれば。（下記、参照）
＞36 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/07(土) 13:26:28.07
＞数学の命題の証明とはその命題がトリビアルな事実の積み重ねであることを示すことに他ならない
＞塵も積もれば山となる
だから何？
謝罪と賠償を命ずる
俺はケツ感じるまで２年かかりました
最初はこんなんありえへんってくらい激痛だったけど
今じゃモロ感じまくってます。なので
痛いのを我慢してさんも、回数こなしてみて下さい
その日の体調、相手が自分のタイプか
タチのチンポの形、大きさ、テク、ローションの種類
などでも左右されると思いますが頑張って下さい
22 名前：薔薇と百合の名無しさん[] 投稿日：06/10/18 15:26:29 ID:pWJR67RN
間違えた。。。名前とトリップは忘れてください
「636」で
K 係数のモニック（過去スレpart1の115）な多項式全体は（素直に？）
集合なのでしょうか。
K 係数のモニック（過去スレpart1の115）な多項式全体も、一つの圏
ではありませんか。
多項式環 K[X] は集合ですよね？
K 係数のモニック（過去スレpart1の115）な多項式全体は K[X] に含まれます。
猫にも同じことやってただろ
わざわざご苦労なアホ
うるせェ、謝れこの野郎！
可換環A上の加群のなす圏を
可換環A上の加群からなる集合と考えてはいけないのでしょうか
お前、何年も何年も似たようなこと書いて進歩しないね。
そういうのを「馬鹿」と言うんだ。悔しければ踊りなさい。
圏と集合は違います
常識的には可換環 A 上の加群全体は類（クラス）であって集合ではないです。
しかしGrothendieckの立場（我々の立場）ではそれはGrothendieckの宇宙という大きな集合の部分集合です。
踊れ。
証明がトリビアルでも普通の教科書に載ってないことは事実
命令だ。踊れ。
悔しいのおw
まったくそうだなw
顔をまっ赤にしているよw
俺はケツ感じるまで２年かかりました
最初はこんなんありえへんってくらい激痛だったけど
今じゃモロ感じまくってます。なので
痛いのを我慢してさんも、回数こなしてみて下さい
その日の体調、相手が自分のタイプか
タチのチンポの形、大きさ、テク、ローションの種類
などでも左右されると思いますが頑張って下さい
22 名前：薔薇と百合の名無しさん[] 投稿日：06/10/18 15:26:29 ID:pWJR67RN
間違えた。。。名前とトリップは忘れてください
この件でクマはトリップをかえたんだよねw
Kummer, Ernst Eduard
MR Author ID: 107855
Earliest Indexed Publication: 1975
Total Publications: 3
Total Author/Related Publications: 22
Total Citations: 18
涙を拭けよｗ
悔しいのおw
コピペ改悪しか脳がなくてw
誰も読まんのに必死になってw
悔しいか？
さあ、踊ろう
涙を拭けよｗ
悔しいだろうw 数学者へのルサンチマンと云われてw
無職はつらいだろw？
俺はケツ感じるまで２年かかりました
最初はこんなんありえへんってくらい激痛だったけど
今じゃモロ感じまくってます。なので
痛いのを我慢してさんも、回数こなしてみて下さい
その日の体調、相手が自分のタイプか
タチのチンポの形、大きさ、テク、ローションの種類
などでも左右されると思いますが頑張って下さい
22 名前：薔薇と百合の名無しさん[] 投稿日：06/10/18 15:26:29 ID:pWJR67RN
間違えた。。。名前とトリップは忘れてください
疑問を解決するため、1の故郷である東ティモールに向かった。
「まだ世界にこんなところがあったのか…」
思わず口に出てしまった言葉を同行した上司に失礼だと咎められた。
小人が住むような小さな家、ツギハギだらけの服を着る農夫たち、
そして彼らは余所者で身なりのいい我々を監視する様に見詰めている。
高度成長だの、神武景気だの、オリンピックだので浮かれていた
我々は改めて農村の現状を噛み締めていた。
ボロ屑のような家に居たのは老いた母親一人
我々を見るなり全てを悟ったのか、涙ながらに
「息子が申し訳ありません」と我々に何度も土下座して詫びた。
我々は、だから『こそ』Kummerを絶対に許せないと思った。
我々はKummerの母親から貰った干し柿を手に、
打ちひしがれながら東京へと帰路についた。
K を可換体とする。
H を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の K-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
(e_i)、i ∈ I を E の K 上の基底とする。
(e_i)、i ∈ I は F 上線型独立であるとする。
このとき E と F は K 上線型無関連（）である。
証明
標準射 λ：E※F → H が単射であることを証明すれば良い。
過去スレpart3の887より E※F の任意の元 x は x = Σe_i※x_i と一意に書ける。
ここで、{i ∈ I；x_i ≠ 0} は有限である。
λ(x) = 0 とする。
λ(x) = Σe_ix_i = 0
仮定より各 x_i = 0 である。
よって、x = 0 である。
よって、λ は単射である。
証明終
みるみる顔が紅潮していくね
自分を素直に受け止めなさいよ
悔しいのおw
被災者の方への謝罪が済んでいませんが、そちらはどうなっているのでしょうか？
クンマー 薔薇です
K を可換体とする。
H を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の K-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
(e_i)、i ∈ I を E の K 上の基底とする。
(f_j)、j ∈ J を F の K 上の基底とする。
(e_if_j)、(i, j) ∈ I×J は K 上上線型独立であるとする。
このとき E と F は K 上線型無関連（）である。
証明
より (e_i)、i ∈ I が F 上線型独立であることを証明すれば良い。
(y_i)、i ∈ I を有限 F の元の列で Σe_iy_i = 0 とする。
ただし、I_0 = {i ∈ I；y_i ≠ 0} は有限であるとする。
各 i ∈ I_0 に対して y_i = Σ[j] a_(i, j)f_j とする。
ここで a_(i, j) ∈ K
Σe_iy_i = Σ[i] e_i(Σ[j] a_(i, j)f_j) = Σ[i, j] a_(i, j)e_if_j = 0
仮定より各 a_(i, j) = 0
よって、各 y_i = 0
よって、(e_i)、i ∈ I が F 上線型独立である。
証明終
悔しいのおw
K を可換体とする。
H を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の K-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
λ：E※F → H を標準射（）とする。
λ が K-線型環としての同型であるためには
E の K 上の基底で、それが H の F-左加群または F-右加群としての基底であるものが存在することが
必要十分である。
証明
必要性：
λ：E※F → H が K-線型環としての同型であるとする。
(e_i)、i ∈ I を E の K 上の基底とする。
E と F は K 上線型無関連（）であるから
より (e_i)、i ∈ I は F 上線型独立である。
y ∈ H を任意の元とする。
λ は全射だから y = λ(x) となる x ∈ E※F がある。
過去スレpart1の887より x = Σe_i※x_i と一意に書ける。
ここで {i ∈ I；x_i ≠ 0} は有限である。
このとき y = λ(x) = Σe_ix_i である。
よって、(e_i)、i ∈ I は H の F-右加群としての基底である。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるから
(e_i)、i ∈ I は H の F-左加群としての基底でもある。
（続く）
十分性：
(e_i)、i ∈ I を E の K 上の基底で H の F-右加群としての基底であるものとする。
より E と F は K 上線型無関連（）である。
よって、λ：E※F → H は単射である。
(e_i)、i ∈ I は H の F-右加群としての基底であるから
H の任意の元 x は x = Σe_iy_i と書ける。
ここで、(y_i)、i ∈ I は F の元の列で {i ∈ I；y_i ≠ 0} は有限である。
λ(Σe_i※y_i) = Σe_iy_i = x であるから λ：E※F → H は全射である。
よって、λ：E※F → H は K-線型環としての同型である。
証明終
無意味
A を可換環とする。
E と F を A-加群とする。
E は A-加群として A 上の基底 (e_i)、i ∈ I を持つとする。
F は A-加群として A 上の基底 (f_j)、j ∈ J を持つとする。
このとき (e_i※f_j)、(i, j) ∈ I×J は E※F（）の A-加群としての基底である。
証明
E※F の任意の元は x※y、x ∈ E、y ∈ F の形の元の有限和であるから
E※F は A-加群として (e_i※f_j)、(i, j) ∈ I×J で生成される。
Σ[i, j] a_(i, j)(e_i※f_j) = 0 とする。
ここで a_(i, j) ∈ A で {(i, j) ∈ I×J；a_(i, j) ≠ 0} は有限集合である。
各 i ∈ I に対して y_i = Σ[j] a_(i, j)f_j とおく。
Σ[i] e_i※y_i = Σ[i] e_i※(Σ[j] a_(i, j)f_j) = Σ[i] Σ[j] a_(i, j)(e_i※f_j) = 0
と過去スレpart3の887より各 y_i = 0 である。
よって、各 a_(i, j) = 0 である。
よって、(e_i※f_j)、(i, j) ∈ I×J は E※F の A 上の基底である。
証明終
K を可換体とする。
H を K 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の K-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
λ：E※F → H を標準射（）とする。
λ が K-線型環としての同型であるためには
E の K 上の基底 (e_i)、i ∈ I と
F の K 上の基底 (f_j)、j ∈ J で
(e_if_j)、(i, j) ∈ I×J が H の K 上の基底であるものが存在することが必要十分である。
証明
必要性：
より明らかである。
十分性：
E の K 上の基底 (e_i)、i ∈ I と
F の K 上の基底 (f_j)、j ∈ J で
(e_if_j)、(i, j) ∈ I×J が H の K 上の基底であるものが存在するとする。
より λ：E※F → H は単射である。
H の元は (e_if_j)、(i, j) ∈ I×J の K 上の一次結合で表されるから
λ は全射である。
証明終
A を可換環、 M、N を A-加群とする。
n ≧ 1 を整数とする。
M^n から N への A-多重線形写像 f が交代的であるとは
i ≠ j、x_i = x_j のとき常に f(x_1、．．．、x_n) = 0 となることをいう。
A を可換環、 M、N を A-加群とする。
n ≧ 1 を整数とする。
M^n から N への多重線形写像（）全体を Alt(M^n、N) または Alt_A(M^n、N) と書く。
Alt(M^n、N) は自明な演算で A-加群となる。
記法
A を可換環、 M、N を A-加群とする。
n ≧ 1 を整数とする。
M^n から N への交代的多重線形写像（）全体を Alt(M^n、N) または Alt_A(M^n、N) と書く。
Alt(M^n、N) は自明な演算で A-加群となる。
A を可換環とする。
M、N を A-加群とする。
n ≧ 1 を整数とする。
f ∈ Alt(M^n、N)（）とする。
σ を {1、．．．、n} の任意の置換とする。
ε(σ) を σ の符号とする。
このとき任意の (x_1、．．．、x_n) ∈ M^n に対して
f(x_σ(1)、．．．、x_σ(n)) = ε(σ)f(x_1、．．．、x_n) である。
証明
σ が互換 (i, j) のときに本命題を証明すれば良い。
σ は互換 (1, 2) と仮定して一般性を失わない。
0
= f(x_1 + x_2、x_1 + x_2、x_3、．．．、x_n)
= f(x_1、x_1 + x_2、x_3、．．．、x_n) + f(x_2、x_1 + x_2、x_3、．．．、x_n)
= f(x_1、x_1、x_3、．．．、x_n) + f(x_1、x_2、x_3、．．．、x_n)
+ f(x_2、x_1、x_3、．．．、x_n) + f(x_2、x_2、x_3、．．．、x_n)
= f(x_1、x_2、x_3、．．．、x_n) + f(x_2、x_1、x_3、．．．、x_n)
よって、
f(x_1、x_2、x_3、．．．、x_n) = -f(x_2、x_1、x_3、．．．、x_n)
証明終
任意の可換体 K は代数的閉包（）を持つ。
別証明（の方針） を考えてみました。
どうでしょうか。
以下、方針。
＞532 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/16(月) 12:13:09.33
＞命題
＞K を可換体とする。
＞I を集合とする。
＞(E_i)、i ∈ I を K の拡大体（）の族とする。
＞このとき K の拡大体 L と各 i ∈ I に対して K-埋め込み σ_i：E_i → L が存在する。
532において、(E_i)、i ∈ I をK の代数的拡大体全体の族
とする。532により、K の拡大体 L がえられ、532の条件が成り立つ。
K-埋め込み σ_iによる像は、同型を導くので、体E_iと同一視する。
体E_iの和集合Tは、体であり、K の代数的拡大体で、
T係数の定数でない任意の１変数多項式が T において根を持つ。
よって、E_iの和集合Tは、K の代数的閉包。
critical mistakesがありますが、修正しないのですか？
A を可換環とする。
M、N を A-加群とする。
n ≧ 2 を整数とする。
f を M^n から N への多重線形写像とする。
任意の i = 1、．．．、n - 1 と
x_i = x_(i+1) となる任意の (x_1、．．．、x_n) ∈ M^n に対して
f(x_1、．．．、x_n) = 0 とする。
このとき f は交代的（）である。
証明
{i, j}、i ＜ j を {1、．．．、n} の任意の２元からなる部分集合とする。
(x_1、．．．、x_n) ∈ M^n、x_i = x_j とする。
f(x_1、．．．、x_n) = 0 を示せば良い。
の証明と同様にして τ が互換 (k, k+1)、k = 1、．．．、n - 1 のとき
f(x_τ(1)、．．．、x_τ(n)) = －f(x_1、．．．、x_n) である。
一方、(k, k+1) の形の互換を何回か合成することにより {1、．．．、n} の置換 σ で
x_σ(1)、．．．、x_σ(n) のある隣り合った２元が等しくなるようなものが得られる。
仮定より f(x_σ(1)、．．．、x_σ(n)) = 0 である。
上記より f(x_1、．．．、x_n) は f(x_σ(1)、．．．、x_σ(n)) と符号の違いしかないから
f(x_1、．．．、x_n) = 0 である。
証明終
K の代数的拡大体全体というのは集合全体が集合じゃないのと同様に集合じゃないですよ
だからは使えません。
782読みました
＞(E_i)、i ∈ I を K の拡大体（）の族とする。
これ(にある)を例えば以下の様に訂正すればよいんですね。
---------訂正 案 ---------
(E_i)、i ∈ I を K の拡大体（）の族とする。
ただし、 (E_i)は集合をなすとする。
---------訂正 案 おわり ---------
＞交代的多重線形写像
これから､行列式が定義されるのかな｡
ワクワク ～♪
は訂正する必要はありません。
I は集合なので {E_i：i ∈ I} は集合です。
因みに集合 I を添字集合とする族 (E_i)、i ∈ I というのは集合じゃないですよ。
数列 (a_n)、n = 1、2、．．．と集合 {a_n；n = 1、2、．．．} が違うのと同様。
K の代数的拡大体全体というのは集合じゃないのでどんな集合 I をとってきても
K の拡大体の族 (E_i)、i ∈ I が代数的拡大体全体を表すようには出来ない。
だからは使えません。
A を可換環とする。
M を A-自由加群で基底 e_1、．．．、e_p を持つとする。
N を A-加群とする。
このとき任意の整数 n ＞ p に対して Alt(M^n、N)（）= 0 である。
証明
f ∈ Alt(M^n、N) とする。
(x_1、．．．、x_n) ∈ M^n とする。
x_i = Σ[j] a_(i, j)e_j とする。
ここで、a_(i, j) ∈ A
f(x_1、．．．、x_n)
= f(Σ[j_1] a_(1, j_1)e_j_1、．．．、Σ[j_n] a_(n, j_n)e_j_n)
= Σ[j_1、．．．、j_n] a_(1, j_1)．．．a_(n, j_n)f(e_j_1、．．．、e_j_n)
ここで、n ＞ p だから各 f(e_j_1、．．．、e_j_n) = 0 である。
よって、f(x_1、．．．、x_n) = 0
よって、Alt(M^n、N)= 0 である。
証明
以下、別証明の方針。
IをK係数のモニック（過去スレpart1の115）な多項式全体のなす集合とする。
E_iを、多項式i＝ｆの分解体とする。
532 を用いる。
532により、K の拡大体 L がえられ、532の条件が成り立つ。
K-埋め込み σ_iによる像は、同型を導くので、体E_iと同一視する。
体E_iの和集合Tは、体であり、
T係数の定数でない任意の１変数多項式が T において根を持つ。
よって、E_iの和集合T は代数的閉包である。
ーーーーー
こんなんでどうですか｡
A を可換環とする。
M を A-自由加群で基底 e_1、．．．、e_n を持つとする。
このとき Alt(M^n、A)（）≠ 0 である。
証明
A の元を成分とする n 次の縦ベクトル全体を A^n とする。
M は A^n に A-加群として同型であるから M = A^n と仮定してよい。
M^n の元 x_1、．．．、x_n に対して各 x_i を i-列に持つ行列を
[x_1、．．．、x_n] と書く。
[x_1、．．．、x_n] の行列式を det[x_1、．．．、x_n] と書く。
det：M^n → A を (x_1、．．．、x_n) ∈ M^n に det[x_1、．．．、x_n] ∈ A を
対応させる写像とする。
det ∈ Alt(M^n、A) である。
E を n 次の単位行列としたとき det(E) = 1 であるから Alt(M^n、A)≠ 0 である。
証明終
>体E_iの和集合Tは、体であり、
これは違うでしょ
A を可換環とする。
M を A-自由加群で基底 e_1、．．．、e_p を持つとする。
このとき p = min {n；Alt(M^n、A) ≠ 0} である。
証明
とより明らかである。
A を可換環とする。
L、M、N を A-加群とする。
h：L → M を A-線型写像とする。
f ∈ Alt(M^n、N)（）とする。
このとき (x_1、．．．、x_n) ∈ L^n に対して
f(h(x_1)、．．．、h(x_n)) を対応させる写像 g： L^n → N は Alt(L^n、N) に属す。
証明
自明である。
A を可換環とする。
L を A-自由加群で基底 (e_i)、i ∈ I を持つとする。
ここで I は無限集合とする。
このとき任意の整数 n ≧ 1 に対して Alt(L^n、A)（）≠ 0 である。
証明
J を n 個の要素からなる I の部分集合とする。
(e_j)、j ∈ J で生成される L の A-部分加群を M とする。
h：L → M を射影とする。
即ち i ∈ J のとき h(e_i) = e_i であり
i ∈ I - J のとき h(e_i) = 0 である。
より f ∈ Alt(M^n、A) で f ≠ 0 となるものがある。
よって、f(x_1、．．．、x_n) ≠ 0 となる (x_1、．．．、x_n) ∈ M^n がある。
(y_1、．．．、y_n) ∈ L^n に対して
f(h(y_1)、．．．、h(y_n)) を対応させる写像を g： L^n → N とする。
h は全射だから各 i に対して x_i = h(y_i) となる y_i ∈ L がある。
g(y_1、．．．、y_n) = f(h(y_1)、．．．、h(y_n)) = f(x_1、．．．、x_n) ≠ 0
よって、g ≠ 0 である。
より g ∈ Alt(L^n、A) であるから Alt(L^n、A)≠ 0 である。
証明終
A を可換環とする。
M を A-自由加群で基底 e_1、．．．、e_p と 基底 f_1、．．．、f_r を持つとする。
このとき p = r である。
証明
より明らかである。
しかし、その証明はZornの補題を使っていて非構成的である。
A を可換環とする。
M を有限生成 A-自由加群とする。
よりその基底の元の個数は基底によらない。
これを [M ： A] と書く。
A を可換環とする。
M を有限生成 A-自由加群とする。
このとき M の任意の基底は有限である。
証明
M は有限基底 e_1、．．．、e_p を持つ。
より任意の整数 n ＞ p に対して Alt(M^n、N)= 0 である。
よって、より M は無限基底を持たない。
証明終
命題
A を可換環とする。
M を A-加群で有限基底をもつとする。
このとき M の任意の基底は有限である。
証明
M は有限基底 e_1、．．．、e_p を持つ。
より任意の整数 n ＞ p に対して Alt(M^n、N)= 0 である。
よって、より M は無限基底を持たない。
証明終
A を可換環とする。
M を A-加群とする。
M は A-加群として e_1、．．．、e_p で生成されるとする。
このとき任意の整数 n ＞ p に対して Alt(M^n、N)（）= 0 である。
証明
の証明と同様である。
A を可換環とする。
M を A-加群で基底 e_1、．．．、e_p を持つとする。
M は A-加群として x_1、．．．、x_r で生成されるとする。
このとき r ≧ p である。
証明
より Alt(M^p、A) ≠ 0} である。
一方、より任意の整数 n ＞ r に対して Alt(M^n、N) = 0 である。
よって、r ≧ p である。
証明終
極めて深刻な疑問があるのですが。
飛躍があるけどあってる。
だけどそれは（飛躍を埋めれば）の証明とほとんど同じですよ。
A を可換環とする。
M を有限生成 A-自由加群とする。
このとき M の任意の基底は有限である。
証明
M は A-加群として x_1、．．．、x_p で生成されるとする。
より任意の整数 n ＞ p に対して Alt(M^n、A) = 0 である。
よって、より M は無限基底を持たない。
よって、M の任意の基底は有限である。
証明終
踊らない？
A を可換環とする。
H を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
E は A-加群として自由で (e_i)、i ∈ I を E の A 上の基底とする。
λ：E※F → H を標準射（）とする。
このとき λ が単射であるためには
(e_i)、i ∈ I が F 上線型独立であることが必要十分である。
証明
必要性：
λ：E※F → H は単射であるとする。
と過去スレpart3の887より E※F の任意の元 x は x = Σe_i※x_i と一意に書ける。
ここで、{i ∈ I；x_i ≠ 0} は有限である。
(y_i)、i ∈ I を F の元の族で {i ∈ I；y_i ≠ 0} は有限で Σe_iy_i = 0 とする。
y = Σe_i※y_i とおく。
λ(y) = Σe_iy_i = 0 である。
λ は単射だから y = Σe_i※y_i = 0 である。
よって、上記から各 y_i = 0 である。
よって、(e_i)、i ∈ I は F 上線型独立である。
十分性：
(e_i)、i ∈ I は F 上線型独立であるとする。
と過去スレpart3の887より E※F の任意の元 x は x = Σe_i※x_i と一意に書ける。
ここで、{i ∈ I；x_i ≠ 0} は有限である。
λ(x) = 0 とする。
λ(x) = Σe_ix_i = 0
仮定より各 x_i = 0 である。
よって、x = 0 である。
よって、λ は単射である。
証明終
A を可換環とする。
H を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
E は A-加群として自由で (e_i)、i ∈ I を E の A 上の基底とする。
λ：E※F → H を標準射（）とする。
このとき λ が全単射であるためには
(e_i)、i ∈ I が H の F-左加群または F-右加群としての基底であることが必要十分である。
証明
必要性：
λ：E※F → H は全単射であるとする。
より (e_i)、i ∈ I は F 上線型独立である。
y ∈ H を任意の元とする。
λ は全射だから y = λ(x) となる x ∈ E※F がある。
過去スレpart1の887より x = Σe_i※x_i と一意に書ける。
ここで {i ∈ I；x_i ≠ 0} は有限である。
このとき y = λ(x) = Σe_ix_i である。
よって、(e_i)、i ∈ I は H の F-右加群としての基底である。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるから
(e_i)、i ∈ I は H の F-左加群としての基底でもある。
十分性：
(e_i)、i ∈ I を H の F-右加群としての基底であるものとする。
より λ：E※F → H は単射である。
(e_i)、i ∈ I は H の F-右加群としての基底であるから
H の任意の元 x は x = Σe_iy_i と書ける。
ここで、(y_i)、i ∈ I は F の元の列で {i ∈ I；y_i ≠ 0} は有限である。
λ(Σe_i※y_i) = Σe_iy_i = x であるから λ：E※F → H は全射である。
証明終
Shall we dance?Ohhhn?!
A を可換環とする。
H を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
E は A-加群として自由で (e_i)、i ∈ I を E の A 上の基底とする。
F は A-加群として自由で (f_j)、j ∈ J を F の A 上の基底とする。
λ：E※F → H を標準射（）とする。
このとき λ が単射であるためには
(e_if_j)、(i, j) ∈ I×J が A 上線型独立であることが必要十分である。
証明
必要性：
λ が単射であるとする。
Σ[i, j] a_(i, j)e_if_j = 0 とする。
ここで各 a_(i, j) ∈ A で {(i, j) ∈ I×J；a_(i, j) ≠ 0} は有限集合である。
x = Σ[i, j] a_(i, j)e_i※f_j とおく。
λ(x) = Σ[i, j] a_(i, j)e_if_j = 0
λ は単射であるから x = Σ[i, j] a_(i, j)e_i※f_j = 0
より各 a_(i, j) = 0
よって、(e_if_j)、(i, j) ∈ I×J は A 上線型独立である。
（続く）
十分性：
(e_if_j)、(i, j) ∈ I×J が A 上線型独立であるとする。
より (e_i)、i ∈ I が F 上線型独立であることを証明すれば良い。
(y_i)、i ∈ I を有限 F の元の列で Σe_iy_i = 0 とする。
ただし、I_0 = {i ∈ I；y_i ≠ 0} は有限であるとする。
各 i ∈ I_0 に対して y_i = Σ[j] a_(i, j)f_j とする。
ここで各 a_(i, j) ∈ A
Σe_iy_i = Σ[i] e_i(Σ[j] a_(i, j)f_j) = Σ[i, j] a_(i, j)e_if_j = 0
仮定より各 a_(i, j) = 0
よって、各 y_i = 0
よって、(e_i)、i ∈ I は F 上線型独立である。
証明終
A を可換環とする。
H を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
E は A-加群として自由で (e_i)、i ∈ I を E の A 上の基底とする。
F は A-加群として自由で (f_j)、j ∈ J を F の A 上の基底とする。
λ：E※F → H を標準射（）とする。
このとき λ が全単射であるためには
(e_if_j)、(i, j) ∈ I×J が H の A 上の基底であることが必要十分である。
証明
必要性：
λ が全単射であるとする。
より (e_i※f_j)、(i, j) ∈ I×J は E※F の A 上の基底である。
よって、(e_if_j)、(i, j) ∈ I×J は H の A 上の基底である。
十分性：
(e_if_j)、(i, j) ∈ I×J が H の A 上の基底であるとする。
より λ は単射である。
H の元は (e_if_j)、(i, j) ∈ I×J の A 上の一次結合で表されるから
λ は全射である。
証明終
A を可換環とする。
M を A-自由加群とする。
M が有限生成のときより M の任意の基底は有限である。
よりその基底の元の個数は基底によらない。
これを [M ： A] と書いた（）。
M が有限生成でないとき [M ： A] = ∞ とする。
A を必ずしも可換とは限らない環とする。
A が唯一つの極大左イデアルを持つとき A を局所環と言う。
有限体であんなにシャバかったのに
貴方は何学部(卒)ですか？
A を必ずしも可換とは限らない環とする。
n ≧ 1 を整数とする。
A 上の n 次の正方行列全体のなす環を Mat(n, A) と書く。
R と S を可換環とする。
n ≧ 1 を整数とする。
f：R → S を準同型とする。
f は準同型 f’：Mat(n, R) → Mat(n, S) を引き起こす。
即ち A = (a_(i, j)) ∈ Mat(n, R) のとき f’(A) = (f(a_(i, j))) である。
A ∈ Mat(n, A) のとき det(f’(A)) = f(det(A)) である。
証明
自明である。
R を可換環とする。
I を R のイデアルとする。
n ≧ 1 を整数とする。
f：R → R/I を標準写像とする。
f は準同型 f’：Mat(n, R) → Mat(n, R/I)（）を引き起こす（）。
A、B ∈ Mat(n, R)（）とする。
f’(A - B) = 0 のとき A ≡ B (mod I) と書く。
これは合同関係である。
自明じゃねえよ、謝罪せよ
交渉に応じましょう。
R を可換環とする。
I を R のイデアルとする。
n ≧ 1 を整数とする。
A、B ∈ Mat(n, R)（）とする。
A ≡ B (mod I)（）のとき det(A) ≡ det(B) (mod I) である。
証明
f：R → R/I を標準写像とする。
f は準同型 f’：Mat(n, R) → Mat(n, R/I) を引き起こす（）。
f’(A - B) = f’(A) - f’(B) = 0 であるから f’(A) = f’(B)
よって、det(f’(A)) = det(f’(B))
よって、より f(det(A)) = f(det(B))
即ち det(A) ≡ det(B) (mod I) である。
証明終
こっちに「自明である」を使わない理由がわかりません＞＜
記法
R を可換環とする。
I を R のイデアルとする。
n ≧ 1 を整数とする。
f：R → R/I を標準写像とする。
f は準同型 f’：Mat(n, R) → Mat(n, R/I)（）を引き起こす（）。
A、B ∈ Mat(n, R)（）とする。
f’(A - B) = 0 のとき A ≡ B (mod I) と書く。
これは Mat(n, R) 上の同値関係である。
R を可換環、M を有限生成 R-加群とする。
I を R のイデアルで IM = M とする。
このとき aM = 0、a ≡ 1 (mod I) となる a ∈ R がある。
証明
M の R-加群としての生成元を x_1、．．．、x_n とする。
IM = M より、I の元の列 a_(i,j), 1 ≦ i、j ≦ n があり、
これ等の間に次の関係式が成立つ：
a_(1,1) x_1 + a_(1,2) x_2 + ... + a_(1,n) x_n = x_1
a_(2,1) x_1 + a_(2,2) x_2 + ... + a_(2,n) x_n = x_2
.
.
.
a_(n,1) x_1 + a_(n,2) x_2 + ... + a_(n,n) x_n = x_n
(x_1, x_2, ... , x_n) の転置行列を x とする。
A = (a_(i,j)) とすると Ax = x となる。
よって、(E - A)x = 0 となる。
ここで、E は n 次の単位行列である。
よって より det(E - A)x_i = 0 が各 i で成立つ。
よって、det(E - A)M = 0 となる。
一方、E - A ≡ E (mod I)（）であるからより det(E - A) ≡ 1 (mod I) となる。
a = det(E - A) とおけばよい。
証明終
R を可換環とする。
M を有限生成 R-加群とする。
f：M → M を R-線型写像とする。
このとき f が全射なら f は単射である。
証明
R[X] を R 係数の１変数多項式環とする。
m ∈ M に対して Xm = f(m) と定義することにより M は R[X]-加群になる。
f は全射だから XM = M である。
よって、I = R[X]X とすれば IM = M である。
中山の補題（）より FM = 0、F ≡ 1 (mod I) となる F ∈ R[X] がある。
F = 1 + GX と書ける。ここで G ∈ R[X]。
m ∈ Ker(f) とすると、f(m) = 0
よって、Xm = 0
よって、0 = Fm = (1 + GX)m = m
よって、Ker(f) = 0
よって、f は単射である。
証明終
A を可換環とする。
M を A-自由加群で n = [M ： A] ＜ ∞（）とする。
M は A-加群として x_1、．．．、x_n で生成されるとする。
このとき x_1、．．．、x_n は M の A 上の基底である。
証明
n = [M ： A] だから M の A 上の基底 e_1、．．．、e_n がある。
A-線型写像 f：M → M を各 i に対して f(e_i) = x_i で定義する。
f は全射だからより単射である。
即ち f は同型である。
よって、x_1、．．．、x_n は M の A 上の基底である。
証明終
代数幾何学ビギナーズスレッド（２）
241 2011/12/30(金)
242
に類似記事アリ。
>有限体であんなにシャバかったのに
有限斜体が可換なことは代数的整数論013の404で証明済み
何をどう訂正しろと？
定義
K を必ずしも可換とは限らない体とする。
K の要素の個数が有限のとき K を有限体と言う。
681 Kummer ◆SgHZJkrsn08e 2012/01/17(火) 19:17:00.52
の修正
定義
K を可換体とする。
K の要素の個数が有限のとき K を有限体と言う。
それが可換であることを示すリンクをつけないとならなくなる。
A を可換環とする。
H を A 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
E と F を H の A-線型部分環（過去スレpart1の108）とする。
E の任意の元と F の任意の元は可換であるとする。
E は A-加群として自由で [E ： A] ＜ ∞ （）とする。
F は A-加群として自由で [F ： A] ＜ ∞ （）とする。
λ：E※F → H を標準射（）とする。
このとき λ が全単射であるためには
H が A-加群として自由で [H ： A] = [E ： A][F ： A] となることが必要十分である。
証明
必要性：
λ が全単射であるとする。
[E ： A] = n
[F ： A] = m
とする。
(e_i)、i ∈ I を E の A 上の基底とする。
I の要素の個数 |I| = [E ： A] である。
(f_j)、j ∈ J を F の A 上の基底とする。
|J| = [F ： A] である。
より (e_if_j)、(i, j) ∈ I×J は H の A 上の基底である。
|I×J| = |I||J| = [E ： A][F ： A] である。
よって、[H ： A] = [E ： A][F ： A]
（続く）
十分性：
H が A-加群として自由で [H ： A] = [E ： A][F ： A] とする。
(e_i)、i ∈ I を E の A 上の基底とする。
(f_j)、j ∈ J を F の A 上の基底とする。
H の元は (e_if_j)、(i, j) ∈ I×J の A 上の一次結合で表される。
即ち、H は (e_if_j)、(i, j) ∈ I×J で生成される。
より (e_if_j)、(i, j) ∈ I×J は H の A 上の基底である。
よって、より λ は全射である。
証明終
K を可換体とする。
L を K の拡大体（）とする。
α ∈ L を K 上代数的（）とする。
α の K 上の最小多項式（）が分離的（）なとき
α を K 上分離的であるという。
K を可換体とする。
L を K の拡大体（）とする。
[L ： K]（）が有限のとき L は K の有限次拡大、L は K 上有限、または L/K は有限などと言う。
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大（）とする。
L の各元が K 上分離的（）なとき L は K 上分離代数的または単に K 上分離的という。
このとき L/K は 分離代数的または単に分離的という。
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大（）とする。
L の各元 α ∈ L に対して α の K 上の最小多項式（）が L で分解（）するとき
L/K を正規拡大(normal extension)と言う。
顔が真っ赤だぞ w>>kummer
代数の教科書に書いてあることをコピペして何か意味あるの\？
K を可換体とする。
L/K を拡大（）とする。
L から L への K-同型（）を L/K の自己同型(automorphism)と呼ぶ。
L/K の自己同型全体は群をなす。
この群を L/K の自己同型群と言い、Aut(L/K) と書く。
K を可換体とする。
L/K を拡大（）とする。
L/K が分離的（）な正規拡大（）のとき L/K をGalois拡大という。
このとき Aut(L/K)（）を L/K の Galois群と呼び Gal(L/K) または G(L/K) と書く。
K を可換体とする。
H/K を拡大（）とする。
R と S を H の部分環で共に K を含むとする。
E と F をそれぞれ R と S の H における商体とする。
このとき R と S が K 上線型無関連（）であるためには
E と F が K 上線型無関連であることが必要十分である。
証明
必要性：
R と S が K 上線型無関連であるとする。
x_1、．．．、x_n を E の元で K 上線型独立であるとする。
y_1、．．．、y_n を F の元とし、x_1y_1 + ．．． + x_ny_n = 0 とする。
仮定より R の元 r ≠ 0 で各 rx_i ∈ R となるものがある。
同様に S の元 s ≠ 0 で各 sy_i ∈ S となるものがある。
rsΣx_iy_i = Σ(rx_i)(sy_i) = 0
rx_1、．．．、rx_n は R の元で K 上線型独立である。
R と S は K 上線型無関連であるからより各 sy_i = 0 である。
よって、各 y_i = 0 である。
よって、より E と F は K 上線型無関連である。
十分性：
E と F が K 上線型無関連であるとする。
x_1、．．．、x_n を R の元で K 上線型独立であるとする。
y_1、．．．、y_n を S の元とし、x_1y_1 + ．．． + x_ny_n = 0 とする。
より各 y_i = 0 である。
よって、より R と S は K 上線型無関連である。
証明終
教科書ミックス改悪コピペ程度のことしか出来ないバカでw＞クマ
K を可換体とする。
F/K を拡大（）とする。
H ≠ 0 を F 上の線型環（過去スレpart1の97）とする。
H は K 上の線型環とも見なされる。
G を H の F-線型部分環とする。
E を H の K-線型部分環とする。
E の任意の元と G の任意の元は可換であるとする。
EF を E と F で生成される H の部分環とする。
このとき E と G が K 上線型無関連（）であるためには
E と F が K 上線型無関連で EF と G が F 上線型無関連であることが必要十分である。
証明
必要性：
E と G が K 上線型無関連であるとする。
x_1、．．．、x_n を E の元で K 上線型独立であるとする。
y_1、．．．、y_n を F の元とし、x_1y_1 + ．．． + x_ny_n = 0 とする。
より F ⊂ G と見なせるからより各 y_i = 0 である。
よって、より E と F は K 上線型無関連である。
よって、標準射（）λ：E※F → H は単射である。
λ(E※F) = EF である。
(e_i)、i ∈ I を E の K 上の基底とする。
λ は同型であるからより (e_i)、i ∈ I は EF の F 上の基底である。
一方、E と G は K 上線型無関連であるからより
(e_i)、i ∈ I は G 上線型独立である。
よって、より EF と G は F 上線型無関連である。
（続く）
十分性：
E と F が K 上線型無関連で EF と G が F 上線型無関連であるとする。
(e_i)、i ∈ I を E の K 上の基底とする。
E と F は K 上線型無関連であるから標準射（）λ：E※F → H は単射である。
λ(E※F) = EF である。
λ は同型であるからより (e_i)、i ∈ I は EF の F 上の基底である。
EF と G は F 上線型無関連であるからより (e_i)、i ∈ I は G 上線型独立である。
よって、より E と G は K 上線型無関連である。
証明終
それじゃあかんな。致命的間違いが散見されとるで。
これはワシからの真摯なアドバイスや、よく聞いとけ。
K を可換体とする。
L/K を拡大（）とする。
K ⊂ M ⊂ L となる L の部分体 M を L/K の中間体と呼ぶ。
オラァ、ナメとんかオマエ
オラァ、勉強せえや！
交渉に応じる可能性が少なからずもあることを、ここに示唆しておきます。
K を可換体とする。
H/K を拡大（）とする。
E、F、G を H/K の中間体（）とし、F ⊂ G とする。
E(F) を E と F で生成される H の部分体とする。
このとき E と G が K 上線型無関連（）であるためには
E と F が K 上線型無関連で E(F) と G が F 上線型無関連であることが必要十分である。
証明
EF を E と F で生成される H の部分環とする。
E(F) は EF の商体である。
必要性：
E と G が K 上線型無関連であるとする。
より E と F は K 上線型無関連で EF と G は F 上線型無関連である。
より E(F) と G は F 上線型無関連である。
十分性：
E と F が K 上線型無関連で E(F) と G が F 上線型無関連であることが必要十分である。
EF ⊂ E(F) だからより EF と G は F 上線型無関連である。
よって、より E と F は K 上線型無関連である。
証明終
K を可換体とする。
K の標数（）を p ＞ 0 とする。
L/K を拡大（）とする。
α を L の元とする。
α^(p^r) ∈ K となる整数 r ≧ 0 が存在するとき
α は K 上純非分離(purely inseparable over K)であると言う。
このような r の最小値を α の K 上の指数と呼ぶ。
三択だ。
・謝罪
・賠償
・舞踏
さあ選べ。
K を可換体とする。
K の標数（）を p ＞ 0 とする。
L/K を拡大（）とする。
L の各元が K 上純非分離（）なとき L は K 上純非分離である、
または L/K は純非分離であると言う。
誰に何を謝罪しろと？
K を可換体とする。
L/K を拡大（）とする。
H を Aut(L/K)（）の部分群とする。
このとき、M = {x ∈ L； σ(x) = x、各 σ ∈ H} は明らかに L/K の中間体（）である。
M を H の不変体または固定体と呼び L^H と書く。
K_1、K_2、．．．、K_n を可換体の有限列とし、
各 K_(i+1)/K_i、i = 1、．．．、n - 1 は拡大（）とする。
即ち K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n で各 K_i、i = 1、．．．、n - 1 は K_n の部分体である。
このとき列 K_1、K_2、．．．、K_n または K_1 ⊂ ．．．⊂ K_n を
可換体の有限塔、または単に塔という。
K を可換体とする。
L/K は代数的拡大（）とする。
σ：L → L を K-埋め込み（）とする。
このとき σ(L) = L である。
従って、σ は L/K の自己同型（）と見なせる。
証明
α を L の任意の元とする。
f(X) を α の K 上の最小多項式（）とする。
f(X) の L における根全体を S とする。
α ∈ S であるから S は空でない。
任意の β ∈ S に対して σ(f(β)) = f(σ(β)) = 0
よって、σ(β) は f(X) の根である。
よって、σ(β) ∈ S である。
よって、σ(S) ⊂ S である。
よって、σ は写像 σ’：S → S を引き起こす。
σ’は単射で S は有限集合であるから σ’(S) = S である。
よって、σ(β) = α となる β ∈ S がある。
よって、σ(L) = L である。
証明終
致命的間違いを多く含む数学的記述は、数学に対する冒涜だ。
K を可換体とする。
f(X) ∈ K[X] を定数でない多項式とする。
L を f(X) の最小分解体（）とする。
E/L を拡大（）とする。
σ：L → E を K-埋め込み（）とする。
このとき σ(L) = L である。
従って、σ は L/K の自己同型（）と見なせる。
証明
f(X) の L における全ての根を α_1、．．．、α_n とする。
L = K(α_1、．．．、α_n)（）である。
各 i に対して f(α_i) = 0 であるから σ(f(α_i)) = f(σ(α_i)) = 0
よって、σ(α_i) は f(X) の根である。
一方、各 α_i は K 上代数的（）であるからより、
K(α_1、．．．、α_n) = K[α_1、．．．、α_n] である。
よって、L の任意の元 x は x = P(α_1、．．．、α_n) と書ける。
ここで、P(α_1、．．．、α_n) は K 係数の n 変数多項式 P(X_1、．．．、X_n) の
各変数 X_i に α_i を代入したものである。
σ(x) = P(σ(α_1)、．．．、σ(α_n)) であるが、
上で示したように各 σ(α_i) は f(X) の根であるから σ(x) ∈ K[α_1、．．．、α_n] = L である。
よって、σ(L) ⊂ L である。
よって、より σ(L) = L である。
証明終
K を可換体とする。
L を K の拡大体とする。
S を L の空でない部分集合とする。
S の空でない有限部分集合全体を Φ とする。
K(S)（）= ∪{K(T)； T ∈ Φ} である。
証明
E = ∪{K(T)； T ∈ Φ} とおく。
α、β ∈ E とする。
α ∈ K(T_1)、β ∈ K(T_2) となる T_1、T_2 ∈ Φ がある。
T_1 ∪ T_2 ∈ Φ で α、β ∈ K(T_1 ∪ T_2) ⊂ E である。
よって、α + β、α - β、αβ ∈ K(T_1 ∪ T_2) ⊂ E である。
1 ∈ K ⊂ E であるから E は L の部分環である。
γ ∈ E、γ ≠ 0 のとき γ ∈ K(T) となる T ∈ Φ がある。
1/γ ∈ K(T) ⊂ E だから E は L の部分体である。
K ⊂ E、S ⊂ E だから K(S) ⊂ E である。
逆の包含関係は明らかだから K(S) = E である。
証明終
K を可換体とする。
I を空でない集合とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
(f_i)、i ∈ I の最小分解体（）を L とする。
各 f_i の L における全ての根の集合を S_i とする。
S = ∪{S_i；i ∈ I} とおく。
I の空でない有限部分集合全体を Φ とする。
各 J ∈ Φ に対して
S_J = ∪{S_i；i ∈ J}
f_J = Π{f_i；i ∈ J}
とおく。
K(S_J)（）は多項式 f_J の最小分解体である。
このとき L = ∪{K(S_J)； J ∈ Φ} である。
証明
L = K(S) である。
α ∈ L を任意の元とする。
より S の有限部分集合 T があり α ∈ K(T) となる。
T ⊂ S_J となる J ∈ Φ がある。
K(T) ⊂ K(S_J) だから α ∈ K(S_J)
よって、L ⊂ ∪{K(S_J)； J ∈ Φ} である。
逆の包含関係は明らかである。
証明終
K を可換体とする。
I を空でない集合とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
(f_i)、i ∈ I の最小分解体（）を L とする。
E/L を拡大（）とする。
σ：L → E を任意の K-埋め込み（）とする。
このとき σ(L) = L である。
従って、σ は L/K の自己同型（）と見なせる。
証明
各 f_i の L における全ての根の集合を S_i とする。
I の空でない有限部分集合全体を Φ とする。
各 J ∈ Φ に対して
S_J = ∪{S_i；i ∈ J}
f_J = Π{f_i；i ∈ J}
とおく。
K(S_J)（）は多項式 f_J の最小分解体である。
α ∈ L を任意の元とする。
より α ∈ K(S_J) となる J ∈ Φ がある。
より σ(α) ∈ K(S_J) である。
よって、σ(L) ⊂ L である。
よって、より σ(L) = L である。
証明終
K を可換体とする。
I を空でない集合とする。
(f_i)、i ∈ I を K[X] の次数１以上の元からなる族とする。
(f_i)、i ∈ I の K 上の最小分解体（）を L とする。
M を L/K 中間体（）とする。
σ：M → L を K-埋め込み（）とする。
このとき σ は L/K の自己同型（）に拡張される。
証明
L は (f_i)、i ∈ I の M 上の最小分解体である。
同様に L は (f_i)、i ∈ I の σ(M) 上の最小分解体である。
よって、より同型 τ：L → L で σ の拡張となっているものが存在する。
τ は K の元を動かさないから L/K の自己同型である。
証明終
おいおい…顔真っ赤やんけ…
K を可換体とする。
L/K を代数的拡大（）とする。
以下の条件は互いに同値である。
1) L/K は正規拡大（）である。
2) 空でない集合 I と K[X] の次数１以上の元からなる族 (f_i)、i ∈ I があり、
L は (f_i)、i ∈ I の最小分解体（）である。
3) E/L を拡大（）とし、σ：L → E を K-埋め込み（）とする。
このとき常に σ(L) = L である。
4) E/L を代数的拡大（）とし、σ：L → E を K-埋め込み（）とする。
このとき常に σ(L) = L である。
証明
1) ⇒ 2)
S を L の部分集合で L = K(S) となるものとする（例えば S = L とすれば良い）。
各 α ∈ S に対して f_α(X) を α の K 上の最小多項式（）とする。
仮定により、各 f_α(X) は L で分解する。
よって、L は (f_α(X))、α ∈ S の最小分解体である。
2) ⇒ 3)
で証明済みである。
3) ⇒ 4)
自明である。
（続く）
4) ⇒ 1)
任意の α ∈ L に対して f(X) を α の K 上の最小多項式とする。
β を f(X) の E における任意の根とするとき、β ∈ L を示せばよい。
S を L の部分集合で α ∈ S かつ L = K(S) となるものとする（例えば S = L とすれば良い）。
各 γ ∈ S に対して f_γ(X) を γ の K 上の最小多項式とする。
E を (f_γ(X))、γ ∈ S の L 上の最小分解体とする。
より K-同型（）σ：K(α) → K(β) で σ(α) = β となるものが一意に存在する。
β は f_α(X) = f(X) の根であるから K(β) ⊂ E である。
よって、より σ は E/K の自己同型 τ に拡張される。
4) より τ(L) = L である。
よって、τ(α) = σ(α) = β ∈ L
証明終
| ○ | r‐‐､
_,;ﾄ - ｲ、 ∧l☆│∧ 良い子の諸君！
（⌒` ⌒ヽ /,､,,ﾄ.-ｲ/,､ l 早起きは三文の得というが、
|ヽ ~~⌒γ⌒） r'⌒ ｀!´ `⌒） 今のお金にすると60円くらいだ。
│ ヽー―'^ー-' （ ⌒γ⌒~~ /| 寝てたほうがマシだな。
│ 〉 |│ |｀ー^ｰ― r' |
│ /───| | |/ | l ﾄ､ |
| irｰ-､ ｰ ,} | / i
| / ｀X´ ヽ / 入 |
K を可換体とする。
K の標数（）を p ＞ 0 とする。
f(X) ∈ K[X] をモニック（過去スレpart1の115）な既約多項式とする。
このとき、f(X) = g(X^(p^r)) となる整数 r ≧ 0 と
分離的（）かつ既約な g(X) ∈ K[X] が存在する。
このような r と g(X) は f(X) により一意に決まる。
証明
より K は代数的閉包（）Ω を持つ。
よって、本命題は過去スレpart2の476より得られる。
証明終
の証明においてを使わなくとも f(X) の分解体を Ω の代わりに使えば
過去スレpart2の407の論法はそのまま成り立ち、従って本命題もそのまま成り立つ。
なわけねーわな
K を可換体とする。
K の標数（）を p ＞ 0 とする。
f(X) ∈ K[X] をモニック（過去スレpart1の115）な既約多項式とする。
L を f(X) の分解体（）とする。
f(X) の L における互いに異なる根の全体を γ_1、．．．、γ_m とする。
このとき f(X) = ((X - γ_1)．．．(X - γ_m))^(p^r) となる整数 r ≧ 0 が存在する。
m と r は f(X) により一意に決まり L の取り方に取らない。
証明
より f(X) = g(X^(p^r)) となる整数 r ≧ 0 と
分離的（）かつ既約な g(X) ∈ K[X] が一意に存在する。
より K は代数的閉包（）Ω を持つ。
g(X) の Ω における根の全体を β_1、．．．、β_s とする。
各 i = 1、．．．、s に対して Ω における X^(p^r) - β_i の根の一つを δ_i とすると
過去スレpart2の407より
f(X) = ((X - δ_1)．．．(X - δ_s))^(p^r) となる。
ここで、δ_1、．．．、δ_s は互いに異なる。
より m = s であり、
f(X) = ((X - γ_1)．．．(X - γ_m))^(p^r) となる。
g(X) と r は K と f(X) により一意に決まる。
m = s = deg g(X) であるから m は f(X) により一意に決まる。
証明終
K を可換体とする。
K の標数（）を p ＞ 0 とする。
L/K を拡大（）とする。
α を L の元で K 上代数的（）とする。
α の K 上の最小多項式を f(X) とする。
E/K を f(X) の分解体（）とする。
このとき、α が K 上純非分離（）であるためには
f(X) が E において α 以外の根を持たないことが必要十分である。
証明
必要性：
α が K 上純非分離であるとする。
α^(p^e) ∈ K となる整数 e ≧ 0 がある。
a = α^(p^e) とおく。
過去スレpart1の219より E[X] において X^(p^e) - a = (X - α)^(p^e) であるから
α は X^(p^e) - a の E における唯一の根である。
f(X) は X^(p^e) - a の因子であるから α は E における f(X) の唯一の根である。
十分性：
f(X) が E において α 以外の根を持たないとする。
より、f(X) = (X - α)^(p^e) となる整数 e ≧ 0 がある。
このとき、α^(p^e) ∈ K だから α は K 上純非分離である。
証明終
ということかな？
の証明においてを使わず以下のようにしても良い。
g(X) の K 上の最小分解体を E とする。
g(X) の E における根の全体を β_1、．．．、β_s とする。
h(X) = (X^(p^r) - β_1)．．．(X^(p^r) - β_s)
h(X) の E 上の最小分解体を H とする。
Ω の代わりに H を使えば良い。
K を可換体とする。
L/K を正規拡大（）とする。
M を L/K の中間体（）とする。
σ：M → L を K-埋め込み（）とする。
このとき σ は L/K の自己同型（）に拡張される。
証明
より、空でない集合 I と K[X] の次数１以上の元からなる族 (f_i)、i ∈ I があり、
L は (f_i)、i ∈ I の最小分解体（）である。
よって、より σ は L/K の自己同型に拡張される。
証明終
K を可換体とする。
L/K を正規拡大（）とする。
G = Aut(L/K)（）とする。
このとき L^G（）は K 上純非分離（）である。
証明
α ∈ L^G とする。
α の K 上の最小多項式を f(X) とする。
f(X) の L における任意の根を β とする。
より K-同型 σ：K(α) → K(β) で σ(α) = β となるものが一意に存在する。
より σ は L/K の自己同型 τ に拡張される。
α ∈ L^G だから τ(α) = α
一方、τ(α) = σ(α) = β
よって、α = β
よって、f(X) は L において α 以外の根を持たない。
一方、L/K は正規拡大であるから L は f(X) の分解体（）である。
よって、より α は K 上純非分離（）である。
証明終
K を可換体とする。
L/K を拡大（）とする。
L の元で K 上分離的（）なもの全体 M は L/K の中間体（）をなす。
証明
より L は代数的閉包（）Ω を持つ。
α、β ∈ M とする。
α、β ∈ Ω であるから過去スレpart1の271より K(α、β)/K は分離的（）である。
よって、K(α、β) ⊂ M である。
よって、M は L の部分体である。
K ⊂ M であるから M は L/K の中間体である。
証明終
K を可換体とする。
L/K を拡大（）とする。
より L の元で K 上分離的（）なもの全体 M は L/K の中間体（）をなす。
M を K の L における相対分離的閉包または分離的閉包と言う。
命題
K を可換体とする。
K の標数（）を p ＞ 0 とする。
L/K を正規拡大（）とする。
G = Aut(L/K)（）とする。
このとき L^G（）は K 上純非分離（）である。
証明
α ∈ L^G とする。
α の K 上の最小多項式を f(X) とする。
f(X) の L における任意の根を β とする。
より K-同型 σ：K(α) → K(β) で σ(α) = β となるものが一意に存在する。
より σ は L/K の自己同型 τ に拡張される。
α ∈ L^G だから τ(α) = α
一方、τ(α) = σ(α) = β
よって、α = β
よって、f(X) は L において α 以外の根を持たない。
一方、L/K は正規拡大であるから L は f(X) の分解体（）である。
よって、より α は K 上純非分離（）である。
証明終
from 代数幾何学ビギナーズスレッド（２）
：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/20(金) 15:40:29.95
>>定理なり命題を見たら証明をいきなり見ずに自分で証明を考えてみる。
>>必死に考えてそれでも分からなかったらチラッと本の証明を見る。
: Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/29(木) 16:14:06.52
>>この間、俺が渋谷でナンパした女子高校生が今俺の隣に来てる。
>>うるさくてしかたないからちょっと相手してくる。
K を可換体とする。
K の標数（）を p ＞ 0 とする。
L/K を拡大（）とする。
L の元で K 上純非分離（）なもの全体 M は L/K の中間体（）をなす。
証明
ψ を L のFrobenius自己準同型（過去スレpart1の220）とする。
ψ は埋め込み（）である。
任意の整数 n ≧ 0 に対して L_n = (ψ^n)^(-1)(K) とおく。
L_n は L の部分体である。
任意の α ∈ L に対して n ≦ m なら α^(p^m) = (α^(p^n))^(p^(m - n))
よって、L_n ⊂ L_m である。
M = ∪{L_n； n = 0、1、2、．．．} である。
よって、M は L の部分体である。
K = L_0 であるから K ⊂ M である。
即ち、M は L/K の中間体である。
証明終
そいつは俺が読者サービスで書いたものでコテハンを消し忘れたわけじゃない。
つまり意識的に書いたもの。
だからそんなことをいくら引用しても俺にとって何のダメージにもならない。
てかどんな荒しも俺にとって何のダメージにもならないがｗ
K を可換体とする。
K の標数（）を p ＞ 0 とする。
L/K を拡大（）とする。
より L の元で K 上純非分離（）なもの全体 M は L/K の中間体（）をなす。
M を L における K の相対純非分離閉包または純非分離閉包と言う。
＞396 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/21(土) 08:33:42.59
＞米田の埋め込み定理が圏論で一番重要とも言えるが。
＞403 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/21(土) 10:34:55.81
＞米田の埋め込み定理
＞Set を小さい集合の圏とする。
＞C を局所的に小さい圏とする。
＞C^o を C の双対圏とする。
＞Func(C^o, Set) を C^o から Set への関手全体のなす圏とする。
＞X ∈ C に対して関手 Hom(－, X)：C^o → Set を h_X と書く。
＞X に h_X を対応させることにより
＞関手 h: C → Func(C^o, Set) が獲られる。
＞このとき h は充満忠実である。
＞404 名前：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/21(土) 10:35:54.81
＞
＞>獲られる
＞
＞得られる
＞
＞つまり意識的に書いたもの。
＞そいつは俺が読者サービスで書いたものでコテハンを消し忘れたわけじゃない。
そうだよね～。これこそが、Kummerのイメージ戦略。！？ Yeah！
サービス、サービスぅ♪(すんません。某アニメネタと気付いた人だけ笑って下さい)
>
>そいつは俺が読者サービスで書いたものでコテハンを消し忘れたわけじゃない。
その一例↓
28 ：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2011/12/27(火)
そこまで言うならおまんこ解析とか言えよ
乱交パーティとかアナルセックスとか意識的に書いてて何故それがコテハン消し忘れなんだよｗ
-- Kummer は、2人いるのかも？
（クイーンが2人だったように）
H を可換体とする。
E と F を H の部分体とする。
E と F を含む H の最小の部分体を E と F の合成体と呼び EF と書く。
EF = E(F) () である。
ですよね。
わざわざ、時間をかけて書くのW
暇なの？
合っているかどうか確認するために
お勉強結果を２ちゃんに書いているの？
例えばはどこに書いてあるの？
でも、例がない。
わざわざ、時間をかけて書くのW
バカなの？
たとえば証明を読んで使われていることだけを仮定するようなことをして
見通しを悪くしても意味ないねえ
本を書くときは目一杯拡張した形で定理を表現なんてしないよ
見通し悪い定理は読むのに面倒なだけだからねW
わざわざ、時間をかけて書くのW
バカなの？
なんでどこでも書かれていることを
わざわざ、時間をかけて書くのW
バカなの？
バカといわれて悔しいの？ だから反論するの？
悔しいの？
わざわざ、時間をかけて書くのW
バカなの？
＞バカなんだよ クマは
題とコメントは以下のとおりで
ガロア生誕200周年記念スレ part 5
2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました
Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日
Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
語るスレです。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
：Kummer ◆SgHZJkrsn08e ：2012/01/07(土) 12:44:26.25
>>それを言うならほとんどの教科書は全部とは言わないがほとんど単なるコピぺ
>>例えば松村の可換環論だって永田の可換体論だって全部とは言わないがほとんど単なるコピぺ
もちろん、このスレが教科書と同レベルという条件付だが
個人スレは２ちゃんねるで禁止されている
俺はケツ感じるまで２年かかりました
最初はこんなんありえへんってくらい激痛だったけど
今じゃモロ感じまくってます。なので
痛いのを我慢してさんも、回数こなしてみて下さい
その日の体調、相手が自分のタイプか
タチのチンポの形、大きさ、テク、ローションの種類
などでも左右されると思いますが頑張って下さい
22 名前：薔薇と百合の名無しさん[] 投稿日：06/10/18 15:26:29 ID:pWJR67RN
間違えた。。。名前とトリップは忘れてください
747 名前：１３２人目の素数さん ：2012/01/19(木) 08:49:37.65
クマの前のトリップだね
この件でクマはトリップをかえたんだよねw
>たとえば証明を読んで使われていることだけを仮定するようなことをして
意味不明
俺はケツ感じるまで２年かかりました
最初はこんなんありえへんってくらい激痛だったけど
今じゃモロ感じまくってます。なので
痛いのを我慢してさんも、回数こなしてみて下さい
その日の体調、相手が自分のタイプか
タチのチンポの形、大きさ、テク、ローションの種類
などでも左右されると思いますが頑張って下さい
個人スレの定義は？
俺はケツ感じるまで２年かかりました
最初はこんなんありえへんってくらい激痛だったけど
今じゃモロ感じまくってます。なので
痛いのを我慢してさんも、回数こなしてみて下さい
その日の体調、相手が自分のタイプか
タチのチンポの形、大きさ、テク、ローションの種類
などでも左右されると思いますが頑張って下さい
あげときまっさ
俺はケツ感じるまで２年かかりました
最初はこんなんありえへんってくらい激痛だったけど
今じゃモロ感じまくってます。なので
痛いのを我慢してさんも、回数こなしてみて下さい
その日の体調、相手が自分のタイプか
タチのチンポの形、大きさ、テク、ローションの種類
などでも左右されると思いますが頑張って下さい
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/716
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/718
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1321860460/720
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/308
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/309
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/311
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/312
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/324
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/327
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/445
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/449
ttp://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1323751124/452
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/711
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/716
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/718
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1321860460/720
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/308
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/309
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/311
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/312
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/324
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/327
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/445
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/449
ttp://logsoku.com/thread/uni.2ch.net/math/1323751124/452
警察さんよろしく
俺はケツ感じるまで２年かかりました
最初はこんなんありえへんってくらい激痛だったけど
今じゃモロ感じまくってます。なので
痛いのを我慢してさんも、回数こなしてみて下さい
その日の体調、相手が自分のタイプか
タチのチンポの形、大きさ、テク、ローションの種類
などでも左右されると思いますが頑張って下さい
22 名前：薔薇と百合の名無しさん[] 投稿日：06/10/18 15:26:29 ID:pWJR67RN
間違えた。。。名前とトリップは忘れてください
747 名前：１３２人目の素数さん ：2012/01/19(木) 08:49:37.65
クマの前のトリップだね
この件でクマはトリップをかえたんだよねw
＞内容についてわからないことがあったら遠慮なく
＞質問してください。その他、内容についてのご意見は歓迎します。
これは、次のように修正してください。
ーーーーーーーー修正 案ーーー
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。ただし、Kummer ◆g2BU0D6YN2 のつごうに
より一歩的に対応を打ち切ることがあります。
ーーーーーーーー修正 案 終わり ーーー
Kummer、打ち切リの一例（以下参照）
：１３２人目の素数さん：2012/01/10(火) 17:43:36.28
>>この話題に関しては今後ノーコメントにします(Kummer)
俺はケツ感じるまで２年かかりました
最初はこんなんありえへんってくらい激痛だったけど
今じゃモロ感じまくってます。なので
痛いのを我慢してさんも、回数こなしてみて下さい
その日の体調、相手が自分のタイプか
タチのチンポの形、大きさ、テク、ローションの種類
などでも左右されると思いますが頑張って下さい
22 名前：薔薇と百合の名無しさん[] 投稿日：06/10/18 15:26:29 ID:pWJR67RN
間違えた。。。名前とトリップは忘れてください
そんなもんいくらでも加工できるだろが
元リンクを張れよ
悔しいのおw ホモがバレてw
両刀（猟等？←Kummerだけに）だよ
女子高校生とだと ～♪
: Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/29(木) 16:14:06.52
>>この間、俺が渋谷でナンパした女子高校生が今俺の隣に来てる。
>>うるさくてしかたないからちょっと相手してくる。
謝罪と賠償を要求する。今すぐにだ。
今後の予定：
Galois理論の補足 → 無限次Galois理論 → Neukirchの抽象類体論 → 局所類体論 → 大域類体論
題とコメントは以下のとおりで
ガロア生誕200周年記念スレ part 5
2011年10月25日をもって、エヴァリスト・ガロア生誕200周年となりました
Evariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日
Galois生誕200周年を記念して Kummer ◆g2BU0D6YN2 がGalois理論とそれに関連する話題を
語るスレです。
内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。
君、そんな書き込みしてる暇あるの？
謝罪優先だろうが。
だから誰に何の謝罪をしろと言ってる？
それを言わなきゃ謝罪のしようがない
だから誰に何の謝罪をしろと言ってる？
それを言わなきゃ謝罪のしようがない
>>だから誰に何の謝罪をしろと言ってる？
例えば↓について
：１３２人目の素数さん：2012/01/10(火) 17:43:36.28
>>この話題に関しては今後ノーコメントにします(Kummer)
で賠償はいくらで誰に払えと？
うるせぇ！謝罪と賠償を命じる。
944 名前：１３２人目の素数さん ：2012/01/21(土) 13:05:21.22
で謝罪は誰に？
賠償のほかに、文章の訂正↓
＞926 ：１３２人目の素数さん：2012/01/21(土) 12:30:23.54
＞
＞＞内容についてわからないことがあったら遠慮なく
＞＞質問してください。その他、内容についてのご意見は歓迎します。
＞
＞これは、次のように修正してください。
＞ーーーーーーーー修正 案ーーー
＞内容についてわからないことがあったら遠慮なく
＞質問してください。ただし、Kummer ◆g2BU0D6YN2 のつごうに
＞より一歩的に対応を打ち切ることがあります。
＞ーーーーーーーー修正 案 終わり ーーー
＞Kummer、打ち切リの一例（以下参照）
＞
＞ ：１３２人目の素数さん：2012/01/10(火) 17:43:36.28
＞>>この話題に関しては今後ノーコメントにします(Kummer)
で、 文章の訂正を先にして
>>それを言わなきゃ謝罪のしようがない
と、謝罪について言及するが、
名前：１３２人目の素数さん ：2012/01/21(土) 13:05:21.22
>>で賠償はいくらで誰に払えと？
と、ここでは打って変わって、謝罪の一言もナイ
これでは､言葉をもてあそんでいるだけだ。
>>俺がここに書いたことまたはこれから書くことは全て架空の話だ。
: Kummer ◆SgHZJkrsn08e : 2011/12/29(木) 07:00:36.61
>>勿論、俺が書く数学の話は別。
「勿論、俺が書く数学の話は別。」
??
数学の話は、他とどうやって区別すればよいですか。
許さん。謝罪と賠償を命ずる。さもなくば踊りなさい。
猫
I've made up my mind to delete you completely.
I'm looking forward to see that what you are planning is going to be
completed just in front of the big public. Everybody is watching you.
Good luck for you.
--neko--
Come on,Kummer!!
I NEVER FORGIVE YOU.
I stick to all of you. So, you'll have no ways to escape.
YOU ARE MY VICTIMS.
--neko--
It is ＹＯＵ that must apologize to all of us for your stupid acts have been done repeatedly and leave here.
Otherwise, you will continue to disgrace yourself.
ready to beat him. So, you should never mind it. I have a joy to
attack him to lead him to perfect self-crash. Such a person should
be very seriously suffered by my attacks. He should be worried about
not to have a serious brain damage to be hospitalized and/or suicide.
--neko--
after the death of himself, nobody would appreciate him for sure.
--neko--
I'm watching you all the time.
that your stupidities are completely known by the big public. I think
its better for you to take care of your psychological equilibrium, or
otherwise, you could very easily fall down to the situation that your
brain is not able to come back to the normal state any more.
God bless you,
--neko--
--neko--
＞I'm looking forward to see that what you are planning is going to be
＞completed just in front of the big public. Everybody is watching you.
この言葉をそっくりそのまま猫に返してやりたい
猫
猫
まずは自分自身を打ち下せ。その為なら一切躊躇するな。
それができないから未だに本当の意味で他者を打ち下せずにいるのだよ。
そもそも打ち下すこと自体が間違っておる。
踊れ。
猫
ら日本の病気を治療するには『馬鹿から権限を奪って殲滅する』のが効果
的だと思われます。
猫
日本は沈没しません。
南海トラフにそって、付加体が現在も出来ています。
（余談 トウガラシで出来たソース状香辛料？ ってなに？）
交渉に応じましょう。扉は開かれて、貴方を待っているのです。
それは正にニーチェが言うところの奴隷道徳ですね
弱者におもねると秩序が崩壊しますわね
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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,' ／ ,ヽ `､ `<／':, ':, （ 志村ー谷山予想が成立することですわ。さくらちゃん
,''´ ':, ';,ﾞ:､ ';, ﾞ､ ';, ',（
,'. }; ! ',',|ﾞ､ lﾞ, ! |', ! ￣￣￣￣￣￣￣l／￣ヽ ヽ､￣':,￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
!. | |l |; | ! ,l N | ,' |l .,' ﾞ､ ＼ ',
, | | .,'| ﾚl ,'.l ,' ! / } / / './ ,:' ,., ',_..-''" !
! | ! .,' レ/ |/ |.,:' ﾉ"_ ",'／ ,〃 ,,;'' .,',' } } !
| | ,'| ,,/イ, ' ´ '´ ,;:=::ｯ1}-;＝=;;;;;;;; '∠_ ,:'/ , , |,' !
l ',',.ﾚ!./ ﾉ' _....... ´ | | ￣｀ﾞﾞﾞﾞ"￣'´'､_ ,':,' , ,' !
! ',', l' _,;;:'''"ﾞﾞﾞ` l lヾ:､ ..___ `ﾐ;;､ /:/ ,'.,' |
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', ', ':, ',` U :::: ､:::ｧ' ／!| j ::::::::... ,､ヽ._ ｀>ン'´ |
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':,''i:､ヽヽ.ヽ ｀｀ﾞ`' ー-,＜_ノﾉ.,ｲ|_|ヽ ` ｰ ´ ::::::... ,:'.ノ',' !
｀',',`ヾ;､ヾ:､---‐‐‐'´ {イ´,','/ ヽ ノ' ´ l ! |
ヾ;ﾉ `ヽ､｀ '｀`ｿ'ｰ‐‐‐-､` --,-‐‐‐ ' ' ´ | | !
￣￣ ヾ;､ ＿＿∧＿＿ノ'＿＿＿__｀ヽ〈___｀ヽ､＿________|_|＿_＿_＿_＿l＿_
`（
. （ ほえ～ さくら、算数とフェラが苦手だからわからないよ……フェラの仕方も教えて
「オウムが行く前に統一教会が、ロシアに進出していました。ところが、そういう連中が、どうも何時の間にかオウム信者とすりかわってしまった。」
【殺された石井こうきの発言から】
オウム、北朝鮮、麻原サブリミナル、左翼政権誕生→阪神大震災、サリン
韓流信奉、韓国、韓流サブリミナル、（反日）左翼政権誕生→東日本大震災、原発事故
似ているね
てかそのものか。 そうか、統一教会、朝鮮総連、民団→朝鮮人だらけの民主党
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もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
